4.4.1对数函数的概念导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4.1　对数函数的概念

1. 通过具体实例，了解对数函数的概念.

2. 结合具体实例，会求对数函数的解析式和定义域.

3. 从具体实例中体会对数型函数模型在实际问题中的应用．

活动一  对数函数的概念

在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题，对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究.

思考1►►►

在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳 14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？

 

 

 

 

 

 

 

 

思考2►►►

根据指数与对数的关系，由y＝ax（a>0，且a≠1）可以得到x＝logay（a>0，且a≠1）吗？进而，x是y的函数吗？

 

 

 

 

 

 

 

 

一般地，函数y＝logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).

例1　若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝　　　　．

判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax（a＞0，且a≠1）这种形式. (1) 对数符号前面的系数是1；(2) 对数的底数是不等于1的正实数（常数）；(3) 对数的真数仅有自变量x.

例2　求下列函数的定义域：

(1)  y＝log3x2；

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)  y＝loga(4－x) （a>0，且a≠1）.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

求下列函数的定义域：

(1) y＝log3(1－x)；

 

 

 

 

(2) y＝；

 

 

 

 

 

(3) y＝log7.

 

 

 

 

 

求函数的定义域应考虑的几种情况：

求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围．通常考虑的几种情况：(1) 中，f(x)≠0；(2) (n∈N*)中，f(x)≥0；(3) logaf(x)（a>0，且a≠1）中，f(x)>0；(4) logf(x)a(a>0)中，f(x)>0，且f(x)≠1；(5) [f(x)]0中，f(x)≠0.求抽象函数或复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义．

活动二  对数函数在实际问题中的应用

例3　假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过t年后的物价为w.

(1) 该地的物价经过几年后会翻一番？

(2) 填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．