4.3.2对数的运算导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3.2　对数的运算(1)

1. 掌握对数的运算性质，并掌握推导这些性质的依据和方法.

2. 弄清对数运算性质成立的条件，并能较灵活地运用性质解决问题.

活动一  对数运算性质

我们已知道，指数幂运算有相关的性质，那么，对数运算又有怎样的性质呢？

思考1►►►

指数幂运算有哪些性质？

 

 

 

思考2►►►

指数式与对数式的互化公式是怎样的？

 

 

 

思考3►►►

根据对数的定义及对数与指数的关系，你能解答下列问题吗？

(1) 设loga2＝m，loga3＝n，求am＋n的值；

 

 

 

 

(2) 设logaM＝m，logaN＝n，试利用m，n表示loga(M·N).

 

 

 

 

 

在思考3的第(2)题中，我们得到loga(M·N)＝m＋n，又由logaM＝m，logaN＝n，进行m，n的代换后就得到对数的一条运算性质，即loga(M·N)＝logaM＋logaN.

思考4►►►

同样地，由am÷an＝am－n和(am)n＝amn，可得到对数运算的其他性质：loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM（a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R）.你能不能推导出来呢？

 

 

 

 

 

 

 

 

上述证明运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数的定义将指数式化成对数式．对数运算性质可以用简易语言表达：“积的对数＝对数的和”“商的对数＝对数的差”“正数的n次方的对数＝正数的对数的n倍”．有时可逆用运算性质，如lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.

例1　求下列各式的值：

(1) log2(23×45)；

 

 

 

 

(2) log5125.

 

 

 

 

 

这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；

另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．

要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.