4.2.1指数函数的概念导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2.1　指数函数的概念

1. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.

2. 结合具体实例，会求指数函数的解析式.

3. 从具体实例中体会指数型函数模型在实际问题中的应用．

活动一  指数函数的概念

对于幂ax(a>0)，我们已经把指数x的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法，下面继续研究其他类型的基本初等函数．

问题1　随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．

思考1►►►

比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？

 

 

思考2►►►

我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试．

 

 

 

 

做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．

问题2　当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？

 

 

 

 

 

 

一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R.

特征：①a>0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.

思考3►►►

当底数a＝0，a＝1，a<0时，对自变量x的取值有何影响？

 

 

 

 

思考4►►►

函数y＝2x和函数y＝x2有什么区别？

 

 

例1　在下列关系式中，哪些不是指数函数，为什么？

(1) y＝2x+2；　　　　　(2) y＝(－2)x；

 

 

 

(3) y＝－2x；    (4) y＝πx；

 

 

 

(5) y＝x3；

 

 

 

(6) y＝(a－1)x(a>1，a≠2).

 

 

 

 

根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数为自变量x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．

指出下列函数哪些是指数函数：

(1) y＝4x；　　　　　 (2) y＝x4；

 

 

 

 

(3) y＝(－4)x；       (4) y＝xx；

 

 

(5) y＝(2a－1)x.