4.1.1n次方根与分数指数幂导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.1.1　n次方根与分数指数幂

1. 了解n次方根的概念及其性质.

2. 了解根式的概念及其性质. 

3. 理解分数指数幂的定义，把握分式与负整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系．

活动一  n次方根

为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数．

初中已经学过整数指数幂．在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数c＝记作c＝S.像S这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究．

思考1►►►

什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个？立方根呢？

 

 

 

 

 

思考2►►►

类比a的平方根及立方根的定义，如何定义a的 n次方根？

 

 

 

 

思考3►►►

类比平方根、立方根，猜想：当n为奇数时，一个数的n次方根有多少个？当n为偶数时呢？

活动二　根式　

思考4►►►

什么是根式？

 

 

 

思考5►►►

根式中的被开方数的范围是怎样的？

 

 

 

思考6►►►

表示an的n次方根，＝a一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？

 

 

 

 

例1　求下列各式的值：

(1)  ；

 

 

 

(2)  ；

 

 

 

(3)  ；

 

 

 

 

(4)  .

 

 

求下列各式的值：

(1) ；

 

 

 

 

(2) ；

 

 

 

 

(3) (a≤3).

 

 

 

 

活动三　利用根式的性质化简或求值　

例2　化简：（）2＋＋＝　　　　．

在根式运算中，经常会遇到开方与乘方并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，如对当且仅当a≥0时，恒有＝（）n，若a<0，则不一定．

化简＋的结果是　　　　．

活动四　有限制条件的根式的化简　

例3　设－3<x<3，求－的值．

 

 

 

 

 

 

 

此类问题的解答首先应去根号，这就要求将被开方部分化为完全平方的形式，结合根式性质求解．

例3中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？