专题02 与三角形有关的角 3大高频考点（期中真题汇编）八年级数学上学期人教版

专题02 与三角形有关的角 3大高频考点概览 考点01 三角形内角和定理 考点02 直角三角形的性质 考点03 三角形的外角性质 地 城 考点01 三角形内角和定理 一、选择题 1．（24-25八上•湖北黄石•期中）若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（24-25八上•浙江杭州•期中）将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝62°，则∠EDB的度数为（　　） A．12° B．13° C．17° D．18° 3．（24-25八上•北京西城区•期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC＝55°，∠ABE＝25°，则∠CAD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 4．（24-25八上•黑龙江大庆•肇源县期中）如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点 则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 5．（24-25八上•辽宁葫芦岛•龙港区期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点C作CF⊥BD交BD延长线于点F，若∠ACB＝30°，∠A＝100°，则∠DCF的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 6．（24-25八上•黑龙江牡丹江•期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 7．（24-25八上•福建福州•期中）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　） A．30° B．37° C．54° D．63° 8．（24-25八上•安徽蚌埠•期中）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，CE平分∠ACD，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，下列结论错误的是（　　） A．∠1＝2∠2 B．∠BOC＝3∠2 C． D．∠BOC＝90°+∠2 二、填空题 9．（24-25八上•山东淄博•博山区期中）如图，在△ABC中，∠B＝70°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝150°，则∠A＝　 　． 10．（24-25八上•湖北武汉•汉阳区期中）如图，直尺经过一副三角板DCB的直角顶点B，若∠C＝30°，∠ABC＝20°，∠DEF的大小为　 　． 11．（24-25八上•山东泰安•新泰市期中）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝110°，AM平分∠BAC，交BC于点M，MN∥AB，交AC于点N，则∠AMN的大小是　 　． 12．（24-25八上•安徽宿州•期中）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F，若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为　 　． 13．（24-25八上•上海崇明区•期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C落在点E处，联结DE，如果DE∥AB，那么∠CAD的度数是　 　度． 14．（24-25八上•辽宁丹东•期中）在△ABC中，AE和BD分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，且AE和BD相交于点F，∠BAC的度数为50°，∠ABC的度数为76°，连接FC，则∠AFC的度数为　 　． 三、解答题 15．（24-25八上•福建厦门•集美区期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度数． 16．（24-25八上•安徽合肥•庐阳区期中）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝36°，∠DFE＝34°时，求∠2的度数． 地 城 考点02 直角三角形的性质 一、选择题 17．（24-25八上•四川成都•双流区期中）在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④中，不能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．（24-25八上•天津红桥区•期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，若∠A：∠ABC＝2：1，则∠CBD的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 19．（24-25八上•山东威海•荣成市期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（　　） A． B． C． D． 20．（24-25八上•山东济南•市中区期中）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 21．（24-25八上•新疆乌鲁木齐•天山区期中）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高线，∠A＝60°，则∠2＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．40° 22．（24-25八上•福建福州•仓山区期中）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝3km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（　　） A．3km B．5km C． D．6km 23．（24-25八上•山西临汾•侯马市期中）如图，△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，且∠ABD＝90°，则∠BCD的度数为（　　） A．10° B．15° C．22.5° D．30° 24．（24-25八上•重庆铜梁区•期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，交AC边上的高BE于点F，若∠C＝α，则∠BFD＝（　　） A．α B．α+22.5° C． D． 25．（24-25八上•山西吕梁•离石区期中）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　） A．135° B．150° C．120° D．110° 26．（24-25八上•广东东莞•期中）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有锥体旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb角＞10°为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯Cobb角（∠O）的检测示意图，DA⊥OC于A，CB⊥OD于B，已知Cobb角为37°，则∠AEC的大小是（　　） A．37° B．45° C．53° D．63° 二、填空题 27．（24-25八上•山东淄博•淄川区期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CM是∠ACB的平分线，若∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠MCD＝　 　°． 28．（24-25八上•陕西西安•新城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠CDE度数为　 　． 29．（24-25八上•浙江杭州•临平区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝36°，∠CEA＝70°，则∠EAB＝　 　°． 30．（24-25八上•江苏苏州•工业园区期中）如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形ABC的直角顶点C，交斜边AB于点D；直尺的另一边缘分别交AB、AC于点E、F，若∠B＝30°，∠AFE＝70°，则∠DCB＝ 　 　度． 31．（24-25八上•辽宁沈阳•铁西区期中）如图，等边△ABC和Rt△DEF，其中∠DEF＝90°，点D在AB上，点C在EF上．若∠BDE＝45°，则∠ACE的度数为　 　°． 32．（24-25八上•山东淄博•张店区期中）如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AD为∠CAB的平分线，与∠ABC的平分线BE交于点E，BG是△ABC的外角平分线，AD与BG相交于点G，则∠ADC+∠GBF＝　 　． 三、解答题 33．（24-25八上•湖北鄂州•期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，直线CD⊥BC于点C，CE平分∠ACD交BA延长线于点E，EF⊥EC，交CD于点F． （1）试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）若，求∠AEC的度数． 34．（24-25八上•福建厦门•湖里区期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝56°，则∠B＝　 　 °； （2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°． ①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B＝28°，求∠AEB的度数． 35．（24-25八上•江西抚州•金溪县期中）如图1，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON． 观察分析： （1）如图1，若∠MOC＝28°，则∠BON的度数为 　 　 ； （2）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，若∠BON＝100°，求∠MOC的度数． 猜想探究： （3）若将三角形MON绕点O旋转到如图3所示的位置，请你猜想∠BON和∠MOC之间的数量关系，并说明理由． 36．（24-25八上•江苏常州•天宁区期中）【定义】如果两个角的差为30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”． 例如：α＝50°，β＝20°，α﹣β＝30°，则α和β互为“伙伴角”，即α是β的“伙伴角”，β也是α的“伙伴角”． （1）已知∠1和∠2互为“伙伴角”，且∠1+∠2＝90°，则∠1＝　 　 ． （2）如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作AB的平行线CM，∠ABC的平分线BD分别交AC，CM于D，E两点． ①若∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互为“伙伴角”，求∠A的度数； ②如图2所示，∠ACM的平分线CF交BE于点F，当∠A和∠BFC互为“伙伴角”时，直接写出∠A的度数． 地 城 考点03 三角形的外角性质 一、选择题 37．（24-25八上•安徽芜湖•期中）如图，在△ABC中，点D，E在射线BA上，则∠1，∠2，∠B之间的大小关系为（　　） A．∠1＜∠2＜∠B B．∠B＜∠2＜∠1 C．∠1＜∠B＜∠2 D．∠B＜∠1＜∠2 38．（24-25八上•北京西城区•期中）如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠1等于（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 39．（24-25八上•云南昆明•五华区期中）体育课上的侧压腿动作（图1）可以抽象为几何图形（图2），如果∠1＝115°，则∠2等于（　　） A．10° B．20° C．25° D．30° 40．（24-25八上•湖北武汉•硚口区期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，若∠BCA＝88°，则∠B+∠E的值是（　　） A．44° B．46° C．45° D．43° 41．（24-25八上•重庆渝中区•期中）如图，若∠A＝33°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（　　） A．180° B．213° C．246° D．270° 42．（24-25八上•浙江杭州•西湖区期中）如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD∥BC，若∠EAC＝100°，则∠C＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 43．（24-25八上•新疆乌鲁木齐•天山区期中）如图，在△ABC中，∠A＝50°，O是△ABC内一点，且∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数是（　　） A．85° B．95° C．100° D．105° 44．（24-25八上•广东广州•海珠区期中）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为（　　） A．增大10° B．减小10° C．增大30° D．减小30° 二、填空题 45．（24-25八上•内蒙古通辽•期中）一个零件的形状如图，测得∠A＝90°，∠B＝30°，∠D＝25°，则∠BCD＝　 　． 46．（24-25八上•黑龙江哈尔滨•道里区期中）如图，△ABC，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D、E，∠AFD＝155°，则∠EDF＝　 　． 47．（24-25八上•河北石家庄•长安区期中）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线与外角∠ABD的平分线交于点E，与AB边交于点F，若∠E＝40°，∠BFC＝110°，则∠ACB＝　 　． 48．（24-25八上•山东泰安•肥城市期中）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝α，则∠2的大小为　 ． （用含α的式子表示） 三、解答题 49．（24-25八上•江西南昌•期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠E＝25°，∠BAC＝80°，求∠B的度数； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 50．（24-25八上•广东江门•蓬江区期中）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数． 51．（24-25八上•贵州遵义•红花岗区期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝20°，∠ACB＝50°，求∠E的度数； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 52．（24-25八上•山东济宁•期中）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E．记∠BAC＝∠1，∠E＝∠2，已知∠2＝25°．求∠1与∠BOC的度数． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与三角形有关的角 3大高频考点概览 考点01 三角形内角和定理 考点02 直角三角形的性质 考点03 三角形的外角性质 地 城 考点01 三角形内角和定理 一、选择题 1．（24-25八上•湖北黄石•期中）若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4， ∴三个内角分别是180°×＝40°，180°×＝60°，180°×＝80°． 所以该三角形是锐角三角形． 答案：A． 2．（24-25八上•浙江杭州•期中）将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝62°，则∠EDB的度数为（　　） A．12° B．13° C．17° D．18° 解：根据题意得，∠DEF＝45°，∠ABC＝30°， ∵∠FEB＝62°， ∴∠BED＝∠FEB﹣∠DEF＝62°﹣45°＝17°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣30°＝150°， ∴∠EDB＝180°﹣∠ABE﹣∠BED＝180°﹣150°﹣17°＝13°， 答案：B． 3．（24-25八上•北京西城区•期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC＝55°，∠ABE＝25°，则∠CAD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 解：∵BE平分∠ABC交AC边于点E，∠ABE＝25°， ∴∠ABD＝2∠ABE＝50°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝40°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°， 答案：A． 4．（24-25八上•黑龙江大庆•肇源县期中）如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点 则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 解：在△ABC和△CGF中， ∵∠ACB＝∠GCF， ∴∠G+∠F＝∠ABC+∠BAC； 在△ABC和△ANM中， ∵∠BAC＝∠MAN， ∴∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB； 在△ABC和△BDE中， ∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠D+∠E＝∠ACB+∠BAC， ∴∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N ＝（∠ACB+∠BAC）+（∠ABC+∠BAC）+（∠ABC+∠ACB） ＝2（∠ABC+∠BAC+∠ACB） ＝2×180° ＝360°． 答案：B． 5．（24-25八上•辽宁葫芦岛•龙港区期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点C作CF⊥BD交BD延长线于点F，若∠ACB＝30°，∠A＝100°，则∠DCF的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 解：∵∠ACB＝30°，∠A＝100°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝50°， ∵在△ABC中，BD平分∠ABC， ∴， ∵过点C作CF⊥BD交BD延长线于点F， ∴∠BFC＝90°， ∴∠BCF＝180°﹣∠BFC﹣∠FBC＝65°， ∴∠DCF＝∠BCF﹣∠ACB＝65°﹣30°＝35°， 答案：B． 6．（24-25八上•黑龙江牡丹江•期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 解：如图： ∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD， ∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2， 设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y， 由外角的性质得： ∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2＝∠ABD＝（2x+y）＝x+y， ∴x+20＝x+y，解得y＝40°， ∴∠1＝∠2＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°， ∴∠DFB＝60°． 答案：C． 7．（24-25八上•福建福州•期中）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　） A．30° B．37° C．54° D．63° 解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处， ∴△BMN≌△B'MN， ∴∠BMN＝∠B'MN， ∵∠B＝35°，∠BNM＝28°， ∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°， ∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°， 答案：C． 8．（24-25八上•安徽蚌埠•期中）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，CE平分∠ACD，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，下列结论错误的是（　　） A．∠1＝2∠2 B．∠BOC＝3∠2 C． D．∠BOC＝90°+∠2 解：由题意可得：， 又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴， ∴∠1＝2∠2，故选项A不符合题意； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴ ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝90°+∠2， 故选项C、D不符合题意，选项B符合题意． 答案：B． 二、填空题 9．（24-25八上•山东淄博•博山区期中）如图，在△ABC中，∠B＝70°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝150°，则∠A＝　80°　 ． 解：∵点D在BC的延长线上， ∴∠ACD+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝30°， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠A＝180°﹣70°﹣30°＝80°， 答案：80°． 10．（24-25八上•湖北武汉•汉阳区期中）如图，直尺经过一副三角板DCB的直角顶点B，若∠C＝30°，∠ABC＝20°，∠DEF的大小为 　50°　 ． 解：在△ABC中，∠C＝30°，∠ABC＝20°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠C+∠ABC）＝180°﹣（30°+20°）＝130°， ∴∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣130°＝50°， 依题意得：EF∥AB， ∴∠DEF＝∠DAB＝50°． 答案：50°． 11．（24-25八上•山东泰安•新泰市期中）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝110°，AM平分∠BAC，交BC于点M，MN∥AB，交AC于点N，则∠AMN的大小是 　35°　 ． 解：∵∠B+∠C＝110°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝70°， ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAM＝∠BAC＝35°， ∵MN∥AB， ∴∠AMN＝∠BAM＝35°． 答案：35°． 12．（24-25八上•安徽宿州•期中）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F，若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为 　70°　 ． 解：∵DE⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∵∠D＝15°， ∴∠B＝180°﹣∠D﹣∠BED＝180°﹣15°﹣90°＝75°， ∵∠A＝35°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣75°＝70°， 答案：70°． 13．（24-25八上•上海崇明区•期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C落在点E处，联结DE，如果DE∥AB，那么∠CAD的度数是　40　 度． 解：在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°． 由折叠的性质可知：∠CAD＝∠EAD，∠E＝∠C＝30°． ∵DE∥AB， ∴∠BAE＝∠E＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠CAD+∠EAD，即110°＝30°+2∠CAD， ∴∠CAD＝40°． 答案：40． 14．（24-25八上•辽宁丹东•期中）在△ABC中，AE和BD分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，且AE和BD相交于点F，∠BAC的度数为50°，∠ABC的度数为76°，连接FC，则∠AFC的度数为 　128°　 ． 解：∵∠BAC＝50°，∠ABC＝76°， ∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝54°， ∵AE和BD分别是∠BAC和∠ABC的角平分线， ∴FC是∠ACB的角平分线， ∴， ∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝128°． 答案：128°． 三、解答题 15．（24-25八上•福建厦门•集美区期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度数． 解：在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣32°﹣60°＝88°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAC＝×88°＝44°． ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝44°﹣30°＝14°． 16．（24-25八上•安徽合肥•庐阳区期中）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝36°，∠DFE＝34°时，求∠2的度数． （1）证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB＝∠1， ∵∠1＝∠D， ∴∠DCB＝∠D， ∴DF∥BC； （2）解：∵DF∥BC，∠DFE＝34°， ∴∠B＝∠DFE＝34°， 在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝34°， ∴∠ACB＝180°﹣36°﹣34°＝110°， ∵CD平分∠ACB， ， ∴∠2＝180°﹣36°﹣55°＝89°． 地 城 考点02 直角三角形的性质 一、选择题 17．（24-25八上•四川成都•双流区期中）在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④中，不能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解：①当∠A+∠B+∠C＝180°时，不能判定△ABC是直角三角形， 故本小题不符合题意； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意； ③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x， ∵∠A＝∠B＝2∠C， ∴2x+2x+x＝180°， 解得x＝36°， ∴2x＝72°，故本小题不符合题意； ④设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x， 则x+2x+3x＝180°， 解得x＝30°，故3x＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意； 综上所述，是直角三角形的是②④共2个． 答案：C． 18．（24-25八上•天津红桥区•期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，若∠A：∠ABC＝2：1，则∠CBD的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 解：∵∠C＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∵∠A：∠ABC＝2：1， ∴∠ABC＝90°×＝30°， ∴∠CBD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣30°＝150°， 答案：D． 19．（24-25八上•山东威海•荣成市期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（　　） A． B． C． D． 解：A、∠α＝∠β＝45°，故不符合题意； B、根据同角的余角相等，得∠α＝∠β，故不符合题意； C、根据三角尺的特点和摆放位置得：∠α+45°＝180°，∠β+45°＝180°， ∴∠α＝∠β，故不符合题意； D、根据图形可知∠α与∠β是邻补角， ∴∠α+∠β＝180°，∠α≠∠β，故符合题意； 答案：D． 20．（24-25八上•山东济南•市中区期中）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 解：如图，作CK∥a． ∵a∥b，CK∥a， ∴CK∥b， ∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°， ∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°， 答案：C． 21．（24-25八上•新疆乌鲁木齐•天山区期中）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高线，∠A＝60°，则∠2＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．40° 解：根据题意可知：∠1+∠A＝90°，∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠A， ∴∠2＝60°， 答案：C． 22．（24-25八上•福建福州•仓山区期中）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝3km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（　　） A．3km B．5km C． D．6km 解：∵∠A＝60°，∠C＝90°， ∴∠B＝90°﹣60°＝30°， ∵AC＝3km ∴AB＝2AC＝6（km）． 答案：D． 23．（24-25八上•山西临汾•侯马市期中）如图，△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，且∠ABD＝90°，则∠BCD的度数为（　　） A．10° B．15° C．22.5° D．30° 解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝60°， ∵△ABD为等腰直角三角形，且∠ABD＝90°， ∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝150°， ∵AB＝BD， ∴BC＝BD， ∴． 答案：B． 24．（24-25八上•重庆铜梁区•期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，交AC边上的高BE于点F，若∠C＝α，则∠BFD＝（　　） A．α B．α+22.5° C． D． 解：∵∠ABC＝90°，∠C＝α， ∴∠BAC＝90°﹣α， ∵AD平分∠BAC交BC于点D， ∴∠EAF＝∠BAC＝（90°﹣α）＝45°﹣α， ∵BE⊥AC于点E， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AFE＝90°﹣∠EAF＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α， ∴∠BFD＝∠AFE＝45°+α， 答案：D． 25．（24-25八上•山西吕梁•离石区期中）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　） A．135° B．150° C．120° D．110° 解：∵∠C＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC， ∴， ∴， ∴∠AFB＝180°﹣45°＝135°． 答案：A． 26．（24-25八上•广东东莞•期中）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有锥体旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb角＞10°为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯Cobb角（∠O）的检测示意图，DA⊥OC于A，CB⊥OD于B，已知Cobb角为37°，则∠AEC的大小是（　　） A．37° B．45° C．53° D．63° 解：由示意图可知：DA⊥OC于A，CB⊥OD于B， ∴△DOA和△DBE都是直角三角形， ∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°， ∴∠DEB＝∠O＝37°， ∴∠AEC＝∠DEB＝37°， 答案：A． 二、填空题 27．（24-25八上•山东淄博•淄川区期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CM是∠ACB的平分线，若∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠MCD＝　15　 °． 解：由三角形内角和定理可得： ∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA ＝180°﹣45°﹣75° ＝60°， ∵CM是∠ACB的平分线， ∴， ∴∠CMD＝180°﹣∠AMC ＝180°﹣（1800﹣∠CAB﹣∠ACM） ＝∠CAB+∠ACM ＝45°+30° ＝75°， ∵CD是AB边上的高， ∴∠CDM＝90°， ∴∠MCD＝90°﹣75°＝15°， 答案：15． 28．（24-25八上•陕西西安•新城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠CDE度数为 　67°　 ． 解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED， ∵∠A＝22°， ∴∠B＝90°﹣22°＝68°， ∴∠CED＝∠B＝68°， ∴∠CDE＝180°﹣45°﹣68°＝67°， 答案：67°． 29．（24-25八上•浙江杭州•临平区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝36°，∠CEA＝70°，则∠EAB＝ 　16　 °． 解：∵∠ACB＝90°，∠BCD＝36°， ∴∠ACD＝90°﹣36°＝54°， ∵CD⊥AB于点D， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣54°＝36°， ∵∠CEA＝70°， ∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°， ∴∠EAB＝∠CAD﹣∠CAE＝36°﹣20°＝16°． 答案：16． 30．（24-25八上•江苏苏州•工业园区期中）如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形ABC的直角顶点C，交斜边AB于点D；直尺的另一边缘分别交AB、AC于点E、F，若∠B＝30°，∠AFE＝70°，则∠DCB＝　20　 度． 解：∵EF∥CD，∠AEF＝50°， ∴∠EDC＝∠AEF＝50°， ∵∠BDC+∠EDC＝180°， ∴∠BDC＝180°﹣50°＝130°， ∵∠B＝30°， ∴∠DCB＝180°﹣∠B﹣∠BDC＝180°﹣30°﹣130°＝20°． 答案：20． 31．（24-25八上•辽宁沈阳•铁西区期中）如图，等边△ABC和Rt△DEF，其中∠DEF＝90°，点D在AB上，点C在EF上．若∠BDE＝45°，则∠ACE的度数为 　75　 °． 解：设DE与BC交于点H，如图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°， 在Rt△DBH中，∠BDE＝45°， ∴∠DHB＝180°﹣（∠BDE+∠B）＝180°﹣（45°+60°）＝75°， ∴∠CHE＝∠DHB＝75°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠ECH＝90°﹣∠CHE＝90°﹣75°＝15°， ∴∠ACE＝∠ACB+∠ECH＝60°+15°＝75°． 答案：75°． 32．（24-25八上•山东淄博•张店区期中）如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AD为∠CAB的平分线，与∠ABC的平分线BE交于点E，BG是△ABC的外角平分线，AD与BG相交于点G，则∠ADC+∠GBF＝　135°　 ． 解：∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD为∠CAB的平分线，BE为∠CBA的平分线， ∴∠EAB＝∠CAB，∠EBA＝∠CBA， ∴∠EAB+∠EBA＝45°， 由三角形的外角性质可知：∠BEG＝∠EAB+∠EBA＝45°， ∵BG为∠CBF的平分线，BE为∠CBA的平分线， ∴∠CBG＝∠FBG＝∠CBF，∠EBC＝∠CBA， ∴∠CBG+∠EBC＝×180°＝90°，即∠EBG＝90°， ∴∠G＝∠BEG＝45°， ∴∠GDB+∠GBD＝180°﹣45°＝135°， ∵∠ADC＝∠GDB， ∴∠ADC+∠GBF＝135°， 答案：135°． 三、解答题 33．（24-25八上•湖北鄂州•期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，直线CD⊥BC于点C，CE平分∠ACD交BA延长线于点E，EF⊥EC，交CD于点F． （1）试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）若，求∠AEC的度数． 解：（1）结论：AB∥CD． 理由：∵CD⊥CB， ∴∠DCB＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠B+∠DCB＝180°， ∴CD∥AB； （2）设∠BAC＝4x，则∠EFC＝3x， ∵EF⊥EC， ∴∠FEC＝90°， ∵EC平分∠ACD， ∴∠FEC＝∠ECA＝90°﹣3x， ∵CD∥EB， ∴∠BAC＝∠DCA，∠AEC＝∠DCE， ∴4x＝2（90°﹣3x）， ∴x＝18°， ∴∠AEC＝∠DCE＝90°﹣3×18°＝36°． 34．（24-25八上•福建厦门•湖里区期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝56°，则∠B＝　17　 °； （2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°． ①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B＝28°，求∠AEB的度数． 解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝56°， ∴∠A+2∠B＝90°， ∴∠B＝17°， 答案：17°； （2）①△ABD是“准互余三角形”， 理由：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAC＝2∠BAD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°， ∴2∠BAD+∠B＝90°， ∴△ABD是“准互余三角形”， ②∵△ABE是“准互余三角形” ∴2∠EAB+∠ABC＝90°或∠EAB+2∠ABC＝90°， ∵∠ABC＝28°∴∠EAB＝31°或∠EAB＝34°， 当∠EAB＝31°，∠ABC＝28°时，∠AEB＝121°， 当∠EAB＝34°，∠ABC＝28°时，∠AEB＝118°， ∴∠AEB的度数为：121°或118°． 35．（24-25八上•江西抚州•金溪县期中）如图1，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON． 观察分析： （1）如图1，若∠MOC＝28°，则∠BON的度数为 　56°　 ； （2）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，若∠BON＝100°，求∠MOC的度数． 猜想探究： （3）若将三角形MON绕点O旋转到如图3所示的位置，请你猜想∠BON和∠MOC之间的数量关系，并说明理由． 解：（1）∵∠NOC＝∠MON﹣∠MOC＝90°﹣28°＝62°， 又∵OC平分∠AON， ∴∠AOC＝∠CON＝62°， ∴∠AOM＝∠AOC﹣∠MOC＝62°﹣28°＝34°， ∴∠BON＝180°﹣∠AOM﹣∠MON＝180°﹣34°﹣90°＝56°， 答案：56°； （2）∵∠BON＝100°， ∴∠AON＝80°， ∵OC平分∠AON， ∴∠AOC＝∠CON＝40°， ∵∠AOM＝90°﹣∠AON＝10°， ∴∠MOC＝∠AOM+∠AOC＝50°； （3）∠MOC和∠BON之间的数量关系∠BON＝2∠MOC，理由如下： ∵OC平分∠AON， ∴∠AOC＝∠NOC， ∵∠MON＝90°， ∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC， ∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC， 即：∠BON＝2∠MOC． 36．（24-25八上•江苏常州•天宁区期中）【定义】如果两个角的差为30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”． 例如：α＝50°，β＝20°，α﹣β＝30°，则α和β互为“伙伴角”，即α是β的“伙伴角”，β也是α的“伙伴角”． （1）已知∠1和∠2互为“伙伴角”，且∠1+∠2＝90°，则∠1＝　60°或30°　 ． （2）如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作AB的平行线CM，∠ABC的平分线BD分别交AC，CM于D，E两点． ①若∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互为“伙伴角”，求∠A的度数； ②如图2所示，∠ACM的平分线CF交BE于点F，当∠A和∠BFC互为“伙伴角”时，直接写出∠A的度数． 解：（1）当∠1＞∠2时，∠2＝∠1﹣30°， ∴∠1+∠2＝∠1+∠1﹣30°＝90°， ∴∠1＝60°； 当∠1＜∠2时，∠2＝∠1+30°， ∴∠1+∠2＝∠1+∠1+30°＝90°， ∴∠1＝30°， 答案：60°或30°； （2）①设∠A的度数为x， ∵∠ACB＝90°，则∠ABC＝90°﹣x， ∵∠ABC的平分线BD分别交AC，CM于D，E两点， ∴， ∵AB∥CM， ∴， ∵∠A＞∠BEC， ∴∠A﹣∠bec＝30°， 可得， 解得x＝50， ∴∠A＝50°； ②设∠A的度数为y， ∵AB∥CM， ∴∠ACE＝y， ∵CF平分∠ACE， ∴， 根据①可得， ∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠ACF﹣90°＝45°， 当∠A＞∠BFC时，可得∠A＝75°； 当∠A＜∠BFC时，可得∠A＝15°； 综上所述，∠A的度数为75°或15°． 地 城 考点03 三角形的外角性质 一、选择题 37．（24-25八上•安徽芜湖•期中）如图，在△ABC中，点D，E在射线BA上，则∠1，∠2，∠B之间的大小关系为（　　） A．∠1＜∠2＜∠B B．∠B＜∠2＜∠1 C．∠1＜∠B＜∠2 D．∠B＜∠1＜∠2 解：由外角性质可知∠2＝∠1+∠ACD，∠1＝∠B+∠BCD， ∴∠2＞∠1，∠1＞∠B， ∴∠B＜∠1＜∠2． 答案：D． 38．（24-25八上•北京西城区•期中）如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠1等于（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 解：由图可得∠1＝30°+45°＝75°， 答案：C． 39．（24-25八上•云南昆明•五华区期中）体育课上的侧压腿动作（图1）可以抽象为几何图形（图2），如果∠1＝115°，则∠2等于（　　） A．10° B．20° C．25° D．30° 解：由题意可得：∠2＝∠1﹣90°＝115°﹣90°＝25°． 答案：C． 40．（24-25八上•湖北武汉•硚口区期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，若∠BCA＝88°，则∠B+∠E的值是（　　） A．44° B．46° C．45° D．43° 解：∵∠BCA+∠ACD＝180°，∠BCA＝88°， ∴∠ACD＝180°﹣∠BCA＝180°﹣88°＝92°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ACD＝×92°＝46°． ∵∠ECD是△BCE的外角， ∴∠B+∠E＝∠ECD＝46°． 答案：B． 41．（24-25八上•重庆渝中区•期中）如图，若∠A＝33°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（　　） A．180° B．213° C．246° D．270° 解：如图： ∵∠B+∠C＝∠A+∠2，∠D+∠E＝∠A+∠1，∠1+∠2+∠A＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠A+∠1+∠A+∠2＝2∠A+（∠1+∠2+∠A）＝246°， 答案：C． 42．（24-25八上•浙江杭州•西湖区期中）如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD∥BC，若∠EAC＝100°，则∠C＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 解：∵AD平分∠EAC，∠EAC＝100°， ∴∠CAD＝∠EAC＝50°， ∵AD∥BC， ∴∠C＝∠CAD＝50°． 答案：B． 43．（24-25八上•新疆乌鲁木齐•天山区期中）如图，在△ABC中，∠A＝50°，O是△ABC内一点，且∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数是（　　） A．85° B．95° C．100° D．105° 解：延长BO交AC于点D， ∵∠A＝50°，∠ABO＝20°， ∴∠ODC＝∠A+∠ABO＝50°+20°＝70°， ∵∠ACO＝30°， ∴∠BOC＝∠ACO+∠ODC＝30°+70°＝100°． 答案：C． 44．（24-25八上•广东广州•海珠区期中）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为（　　） A．增大10° B．减小10° C．增大30° D．减小30° 解：起吊物体前，设∠BDC＝x， ∵∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线， ∴， ∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝60°+x； 物体被吊起后， ∵机械臂AB的位置不变，∠CBD＝2∠ABD，∠CBD+∠ABD＝120°， ∴∠CBD＝2∠ABD＝80°， ∵∠BDC增大了10°， ∴∠BDC＝x+10°， ∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝80°+x+10°＝90°+x， ∴（90°+x）﹣（60°+x）＝30°， ∴∠DCE的变化情况为增大30°． 答案：C． 二、填空题 45．（24-25八上•内蒙古通辽•期中）一个零件的形状如图，测得∠A＝90°，∠B＝30°，∠D＝25°，则∠BCD＝ 　145°　 ． 解：如图，延长BC交AD于点E， ∵∠A＝90°，∠B＝30°， ∴根据三角形外角性质得，∠1＝∠A+∠B＝90°+30°＝120°， ∵∠D＝25°， ∴根据三角形外角性质得，∠BCD＝∠1+∠D＝120°+25°＝145°，即∠BCD的度数为145°， 答案：145°． 46．（24-25八上•黑龙江哈尔滨•道里区期中）如图，△ABC，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D、E，∠AFD＝155°，则∠EDF＝ 　65°　 ． 解：∵FD⊥BC， ∴∠FDB＝90°， 即∠EDF+∠EDB＝90°， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴∠B+∠EDB＝90°， ∴∠EDF＝∠B＝∠C， ∵∠AFD＝∠C+∠FDC， ∴∠C＝∠AFD﹣∠FDC＝155°﹣90°＝65°， ∴∠EDF＝∠C＝65°． 答案：65°． 47．（24-25八上•河北石家庄•长安区期中）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线与外角∠ABD的平分线交于点E，与AB边交于点F，若∠E＝40°，∠BFC＝110°，则∠ACB＝　60°　 ． 解：∵∠ACB的平分线与外角∠ABD的平分线交于点E， ∴∠ABE＝∠DBE，， ∵∠BFC是△BEF的一个外角，∠BFC＝110°，∠E＝40°， ∴∠ABF＝∠BFC﹣∠E＝70°， ∴∠DBE＝70°， ∵∠DBE是△EBC的一个外角， ∴∠BCE＝∠DBE﹣∠E＝30°， ∴∠ACB＝2∠BCE＝60°． 答案：60°． 48．（24-25八上•山东泰安•肥城市期中）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝α，则∠2的大小为 　　 ．（用含α的式子表示） 解：∵∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O， ∴， ∵CE为△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴， ∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣∠ABC+∠1）＝∠1+∠ABC，∠ECD＝180°﹣∠ECB＝180°﹣（180°﹣∠EBC+∠1）＝∠EBC+∠2， ∴； 答案：． 三、解答题 49．（24-25八上•江西南昌•期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠E＝25°，∠BAC＝80°，求∠B的度数； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． （1）解：∵∠E＝25°，∠BAC＝80°， ∴∠ACE＝∠BAC﹣∠E＝55°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠DCE＝∠ACE＝55°， ∴∠B＝∠DCE﹣∠E＝55°﹣25°＝30°； （2）证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠DCE＝∠ACE， ∵∠BAC＝∠E+∠ACE，∠DCE＝∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠B+2∠E． 50．（24-25八上•广东江门•蓬江区期中）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数． 解：∵AD⊥BC ∴∠ADC＝90° ∵∠C＝70° ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°； ∵∠BAC＝50°，∠C＝70° ∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60° ∵BF是∠ABC的角平分线 ∴∠ABO＝30° ∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°． 51．（24-25八上•贵州遵义•红花岗区期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝20°，∠ACB＝50°，求∠E的度数； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． （1）解：∵∠ACB＝50°， ∴∠ACD＝180°﹣50°＝130°， ∵∠B＝20°， ∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°， ∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴∠ACE＝65°， ∴∠E＝180°﹣70°﹣65°＝45°； （2）证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE， ∵∠DCE＝∠B+∠E， ∴∠ACE＝∠B+∠E， ∵∠BAC＝∠ACE+∠E， ∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E． 52．（24-25八上•山东济宁•期中）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E．记∠BAC＝∠1，∠E＝∠2，已知∠2＝25°．求∠1与∠BOC的度数． 解：∵CE为∠ACD的平分线，BE平分∠ABC， ∴． ∵∠DCE是△BCE的外角，∠ACD是△ABC的外角， ∴， ∴∠1＝2∠2＝2×25°＝50°． ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴， ∴， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2＝90°+25°＝115°． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $