专题02 实际问题与一元二次方程 4大高频考点（期中真题汇编）九年级数学上学期人教版

专题02 实际问题与一元二次方程 4大高频考点概览 考点01 一元二次方程的应用-传播问题 考点02 一元二次方程的应用-变化率问题 考点03 一元二次方程的应用-图形面积问题 考点04 一元二次方程的应用-循环问题 地 城 考点01 一元二次方程的应用-传播问题 一、选择题 1．（24-25九上•广西南宁•武鸣区期中）近期爆发的流感，叫甲型H1N1流感，简称甲流，该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　） A．1+2x＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x（1+x）＝81 2．（24-25九上•重庆北碚区•期中）学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出2x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．1+x+（2x）2＝68 B．1+（1+2x）2＝68 C．1+x+2x2＝68 D．x+（1+2x）2＝68 3．（24-25九上•山东青岛•崂山区期中）秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（　　） A．x（x+1）＝81 B．x+x（x+1）＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x（1+x）＝81 4．（24-25九上•陕西咸阳•永寿县期中）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（　　） A．x2＝91 B．1+x2＝91 C．1+x+x（1+x）＝91 D．1+x+x2＝91 二、填空题 5．（24-25九上•宁夏银川•金凤区期中）有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感．如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为　 　． 6．（24-25九上•北京大兴区•期中）某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x，则可列方程为　 　． 三、解答题 7．（24-25九上•河北沧州•任丘市期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了x个人． （1）第二轮被传染上流感人数是 　 　 ；（用含x的代数式表示） （2）在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有81人患病的情况发生，并说明理由． 8．（24-25九上•广东深圳•龙岗区期中）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”． （1）求出m的值； （2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 地 城 考点02 一元二次方程的应用-变化率问题 一、选择题 9．（24-25九上•四川成都•期中）某校前年用于绿化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为72万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则列方程得（　　） A．18（1+2x）＝72 B．18（1+x2）＝72 C．18（1+x）2＝72 D．（1+x）+18（1+x）2＝72 10．（24-25九上•湖北武汉•期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　　） A．（1﹣x）2＝50% B．（1+x）2＝50% C．1﹣2x＝50% D．（1﹣x）（1+x）＝50% 11．（24-25九上•江苏南京•鼓楼区期中）近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．432（1+2x）＝507 B．432（1+2x）2＝507 C．432（1+x）2＝507 D．432+432（1+x）+432（1+x）2＝507 12．（24-25九上•天津红桥区•期中）某工厂今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．设该工厂每个月生产成本的平均下降率为x（x＞0），根据题意，下列方程正确的是（　　） A．400（1+x）2＝361 B．400（1﹣2x）＝361 C．400（1﹣x）2＝361 D．400×2（1﹣x）＝361 13．（24-25九上•广东深圳•龙华区期中）某电影一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达12亿元，若把增长率记作x，则方程可列为（　　） A．3（1+x）＝12 B．3（1+x）2＝12 C．3+3（1+x）2＝12 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝12 14．（24-25九上•江苏盐城•东台市期中）某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由256元降为196元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A．256（1﹣x）2＝196 B．196（1﹣x）2＝256 C．256（1﹣x2）＝196 D．256（1﹣2x）＝196 二、填空题 15．（24-25九上•重庆开州区•期中）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈，某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为115件，3月份销售量为216件，设该款上衣销售量的月平均增长率为x，则可列方程为　 　． 16．（24-25九上•江苏镇江•丹徒区期中）某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次进行了降价促销，已知两次降价后的单价为12.8元．设平均两次降价的百分率为x，则可列方程为　 　． 17．（24-25九上•湖南长沙•期中）长沙县金井茶叶享誉三湘大地，若金井茶叶2022年茶叶总产量约为1.5万吨，预计2024年茶叶总产量达到2.25万吨，求茶叶总产量的年平均增长率．设茶叶总产量的年平均增长率为x，则可列方程为　 　． 18．（24-25九上•上海浦东新区•期中）为加快上海家电以旧换新速度，某商场对一台原价4000元的电视进行调价，经过两次降价后，价格调整为2560元，如果每次降低的百分率相同，则这个百分率为　 ． 三、解答题 19．（24-25九上•陕西西安•蓝田县期中）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份A4纸的用纸量为1000张，到了4月份A4纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位A4纸的用纸量月平均降低率． 20．（24-25九上•黑龙江哈尔滨•南岗区期中）因地域特色鲜明、政府推动与支持、文化创新与传播以及旅游体验提升，哈尔滨在2024年冰雪节爆火出圈．2022年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客80万人次，2024年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客259.2万人次．哈尔滨美食无数，一家餐厅推出了一款新颖的饮品——冻梨汁．经测算，该冻梨汁成本价为每杯6元，借鉴以往经验：每杯卖25元，平均每天可销售300杯，若价格每降低1元，则平均每天多销售30杯． （1）求2022年1月份至2024年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护哈尔滨城市形象，餐厅规定每杯冻梨汁售价不得超过20元，则当每杯冻梨汁售价定为多少元时，餐厅才能实现每天利润6300元？ 21．（24-25九上•重庆綦江区•期中）某中学为了提高学生的身体素质，决定在2023年5月举办“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．经调查，某公司有A、B两种系列的体育器材可供选择，该公司2022年每套A系列体育器材的售价为2500元，经过连续两次降价，2023年4月每套售价为1600元． （1）求每套A系列体育器材这两次的平均下降率n； （2）2023年4月该学校经过招标，决定采购该公司A、B两种系列的体育器材共80套，采购专项经费总计不超过11.2万元，采购合同规定：每套A系列体育器材售价为1600元，每套B系列体育器材售价为1500（1﹣n）元，求A系列体育器材最多可购买多少套？ 22．（24-25九上•重庆江津区•期中）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（时间） … 40 50 60 … 学习效率 … 0.64 m 1 … 记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元． （1）若40分钟到60分钟每分钟增长率相同，求m的值． （2）研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能，当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围． 地 城 考点03 一元二次方程的应用-图形面积问题 一、选择题 23．（24-25九上•广西南宁•兴宁区期中）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为x cm，根据题意可列方程（　　） A．（30+x）（20+x）＝600 B．（30+2x）（20+2x）＝600 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝1200 D．（30+2x）（20+2x）＝1200 24．（24-25九上•甘肃武威•期中）如图所示为长20米、宽15米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为400平方米，若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　） A．x2+20×15﹣2x＝400 B．20×15﹣2x＝400 C．（20﹣2x）（15﹣x）＝400 D．（20﹣x）（15﹣2x）＝400 25．（24-25九上•浙江绍兴•新昌县期中）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为x cm，则列出的方程为（　　） A．（60+x）（80+x）＝6300 B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300 C．（60+2x）（80+2x）＝6300 D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300 26．（24-25九上•重庆江津区•期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为x（单位：米），下列方程正确的是（　　） A．19x+30x＝30×19﹣390 B．2x2+30x＝30×19﹣390 C．（30﹣x）（19﹣2x）＝390 D．（30﹣x）（19﹣x）＝390 27．（24-25九上•山东青岛•市南区期中）如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是（　　） A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600 C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600 28．（24-25九上•辽宁营口•大石桥市期中）如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（　　） A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440 C．x（81﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440 二、填空题 29．（24-25九上•山西太原•杏花岭区期中）用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使场地的面积为15m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形场地平行于墙的边长度为x m，则列方程为　 　． 30．（24-25九上•重庆江津区•期中）如图，一块长12m，宽8m的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，则道路的宽应为　 　m． 31．（24-25九上•北京海淀区•期中）如图，学校计划在一块长50m，宽20m的矩形空地内修建两块相同的矩形绿地，使得两块矩形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，若两个矩形绿地面积共520m2，那么人行通道的宽度是多少米．设人行通道的宽度是x米，可列方程为　 　． 32．（24-25九上•山东滨州•邹平市期中）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过　 　s后，P，Q两点之间相距25cm． 三、解答题 33．（24-25九上•江苏南京•玄武区期中）如图，若准备利用一处墙角EAF和长度为28m的篱笆围建一个矩形花圃ABCD，花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其他两边BC，CD由剩下的篱笆围成．若AF＝8m，AE＝4m，矩形花圃的面积为75m2，求花圃边BC的长度． 34．（24-25九上•福建三明•三元区期中）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长16cm，宽10cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张总面积的70%，求应设置的页边距． 35．（24-25九上•河南平顶山•期中）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）． （1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC； （2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 36．（24-25九上•上海奉贤区•期中）如图，用总长为80米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成如图所示的花圃ABCD，花圃中间有一条2米宽的人行通道，园艺师傅用篱笆围成了四个形状、大小一样的鲜花种植区域，鲜花种植总面积为192平方米，花圃的一边靠墙，墙长20米，求AB和BC的长． 地 城 考点04 一元二次方程的应用-循环问题 一、选择题 37．（24-25九上•天津南开区•期中）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，若设参加酒会的人数为x人，则可列出方程（　　） A．x（x+1）＝55 B．x（x﹣1）＝55 C． D． 38．（24-25九上•云南昆明•期中）2024年官渡区运动会（中学生篮球项目）暨昆明市中学生“希望杯”篮球三级联赛在新亚洲体育城举办．某学校为选拔篮球运动员参赛，要组织一场篮球邀请赛，参赛的每两个队伍之间都只比赛一场．根据场地和时间等条件要安排45场比赛，组织者应邀请多少个队参赛？设组织者应邀请x个队参赛，则可列方程为（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝45 D．1+x+x2＝45 39．（24-25九上•福建龙岩•期中）初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1260张照片．设全班有x名同学，可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝1260 B．x（x+1）＝1260 C．x（x﹣1）＝1260×2 D．x（x+1）＝1260×2 40．（24-25九上•浙江宁波•宁海县期中）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　） A． B． C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 2、 填空题 41．（24-25九上•湖南湘潭•岳塘区期中）某校九年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），共进行了55场比赛．若设该校九年级有x个班级篮球队参加比赛，则可列方程为　 　． 42．（24-25九上•福建泉州•鲤城区期中）书法兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，书法兴趣小组人数有　 　人． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实际问题与一元二次方程 4大高频考点概览 考点01 一元二次方程的应用-传播问题 考点02 一元二次方程的应用-变化率问题 考点03 一元二次方程的应用-图形面积问题 考点04 一元二次方程的应用-循环问题 地 城 考点01 一元二次方程的应用-传播问题 一、选择题 1．（24-25九上•广西南宁•武鸣区期中）近期爆发的流感，叫甲型H1N1流感，简称甲流，该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　） A．1+2x＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x（1+x）＝81 解：∵每一轮传染中平均每人传染了x人， ∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝81． 答案：D． 2．（24-25九上•重庆北碚区•期中）学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出2x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．1+x+（2x）2＝68 B．1+（1+2x）2＝68 C．1+x+2x2＝68 D．x+（1+2x）2＝68 解：∵植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出2x个小分支， ∴x个枝干上共长出2x2个小分支． 根据题意得：1+x+2x2＝68． 答案：C． 3．（24-25九上•山东青岛•崂山区期中）秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（　　） A．x（x+1）＝81 B．x+x（x+1）＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x（1+x）＝81 解：根据题意得：1+x+x（1+x）＝81． 答案：D． 4．（24-25九上•陕西咸阳•永寿县期中）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（　　） A．x2＝91 B．1+x2＝91 C．1+x+x（1+x）＝91 D．1+x+x2＝91 解：依题意得：1+x+x2＝91． 答案：D． 二、填空题 5．（24-25九上•宁夏银川•金凤区期中）有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感．如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为 　（1+x）2＝81　 ． 解：x+1+（x+1）x＝81 整理得，（1+x）2＝81． 答案：（1+x）2＝81． 6．（24-25九上•北京大兴区•期中）某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x，则可列方程为 　x2+x+1＝43　 ． 解：根据题意列方程得：x2+x+1＝43． 答案：x2+x+1＝43． 三、解答题 7．（24-25九上•河北沧州•任丘市期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了x个人． （1）第二轮被传染上流感人数是 　x（x+1）　 ；（用含x的代数式表示） （2）在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有81人患病的情况发生，并说明理由． 解：（1）∵在每轮的传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮被传染上流感人数是x，第二轮被传染上流感人数是x（x+1）． 答案：x（x+1）． （2）经过两轮传染后会有81人患病的情况发生，理由如下： 依题意得：1+x+x（x+1﹣4）＝81， 整理得：x2﹣2x﹣80＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣8（不合题意，舍去）， ∵x1＝10为正整数， ∴第二轮传染后会有81人患病的情况发生． 8．（24-25九上•广东深圳•龙岗区期中）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”． （1）求出m的值； （2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 解：（1）依题意得：1+m+（1+m）m＝121， 整理得：（1+m）2＝121， 解得：m1＝10，m2＝﹣12（不合题意，舍去）． 答：m的值为10． （2）∵第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人， ∴小丽号召了（n+2）人，小红号召了17﹣n﹣（n+2）＝（15﹣2n）人． 依题意得：， 解得：n＝4， ∴， ， ． 答：小颖号召的成功率为40%，小红号召的成功率为70%，小丽号召的成功率为60%． 地 城 考点02 一元二次方程的应用-变化率问题 一、选择题 9．（24-25九上•四川成都•期中）某校前年用于绿化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为72万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则列方程得（　　） A．18（1+2x）＝72 B．18（1+x2）＝72 C．18（1+x）2＝72 D．（1+x）+18（1+x）2＝72 解：根据题意得：18（1+x）2＝72． 答案：C． 10．（24-25九上•湖北武汉•期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　　） A．（1﹣x）2＝50% B．（1+x）2＝50% C．1﹣2x＝50% D．（1﹣x）（1+x）＝50% 解：根据题意得：（1﹣x）2＝50%． 答案：A． 11．（24-25九上•江苏南京•鼓楼区期中）近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．432（1+2x）＝507 B．432（1+2x）2＝507 C．432（1+x）2＝507 D．432+432（1+x）+432（1+x）2＝507 解：根据题意得：432（1+x）2＝507． 答案：C． 12．（24-25九上•天津红桥区•期中）某工厂今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．设该工厂每个月生产成本的平均下降率为x（x＞0），根据题意，下列方程正确的是（　　） A．400（1+x）2＝361 B．400（1﹣2x）＝361 C．400（1﹣x）2＝361 D．400×2（1﹣x）＝361 解：根据题意得：400（1﹣x）2＝361． 答案：C． 13．（24-25九上•广东深圳•龙华区期中）某电影一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达12亿元，若把增长率记作x，则方程可列为（　　） A．3（1+x）＝12 B．3（1+x）2＝12 C．3+3（1+x）2＝12 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝12 解：∵第一天票房约3亿元，且以后每天票房的增长率为x， ∴第二天票房约3（1+x）亿元，第三天票房约3（1+x）2亿元． 根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝12． 答案：D． 14．（24-25九上•江苏盐城•东台市期中）某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由256元降为196元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A．256（1﹣x）2＝196 B．196（1﹣x）2＝256 C．256（1﹣x2）＝196 D．256（1﹣2x）＝196 解：依题意得：256（1﹣x）2＝196． 答案：A． 二、填空题 15．（24-25九上•重庆开州区•期中）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈，某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为115件，3月份销售量为216件，设该款上衣销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 　115（1+x）2＝216　 ． 解：根据题意得：115（1+x）2＝216． 答案：115（1+x）2＝216． 16．（24-25九上•江苏镇江•丹徒区期中）某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次进行了降价促销，已知两次降价后的单价为12.8元．设平均两次降价的百分率为x，则可列方程为 　20（1﹣x）2＝12.8　 ． 解：根据题意得：20（1﹣x）2＝12.8． 答案：20（1﹣x）2＝12.8． 17．（24-25九上•湖南长沙•期中）长沙县金井茶叶享誉三湘大地，若金井茶叶2022年茶叶总产量约为1.5万吨，预计2024年茶叶总产量达到2.25万吨，求茶叶总产量的年平均增长率．设茶叶总产量的年平均增长率为x，则可列方程为 　1.5（1+x）2＝2.25　 ． 解：根据题意得：1.5（1+x）2＝2.25． 答案：1.5（1+x）2＝2.25． 18．（24-25九上•上海浦东新区•期中）为加快上海家电以旧换新速度，某商场对一台原价4000元的电视进行调价，经过两次降价后，价格调整为2560元，如果每次降低的百分率相同，则这个百分率为 　20%　 ． 解：设这个百分率为x， 根据题意得：4000（1﹣x）2＝2560， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）， ∴这个百分率为20%． 答案：20%． 三、解答题 19．（24-25九上•陕西西安•蓝田县期中）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份A4纸的用纸量为1000张，到了4月份A4纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位A4纸的用纸量月平均降低率． 解：设从2月到4月该单位A4纸的用纸量月平均降低率为x， 根据题意得：1000（1﹣x）2＝640， ∴1﹣x＝±0.8， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）． 答：该单位A4纸的用纸量月平均降低率为20%． 20．（24-25九上•黑龙江哈尔滨•南岗区期中）因地域特色鲜明、政府推动与支持、文化创新与传播以及旅游体验提升，哈尔滨在2024年冰雪节爆火出圈．2022年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客80万人次，2024年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客259.2万人次．哈尔滨美食无数，一家餐厅推出了一款新颖的饮品——冻梨汁．经测算，该冻梨汁成本价为每杯6元，借鉴以往经验：每杯卖25元，平均每天可销售300杯，若价格每降低1元，则平均每天多销售30杯． （1）求2022年1月份至2024年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护哈尔滨城市形象，餐厅规定每杯冻梨汁售价不得超过20元，则当每杯冻梨汁售价定为多少元时，餐厅才能实现每天利润6300元？ 解：（1）设2022年1月份至2024年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客人次的年平均增长率为x， 根据题意得：80（1+x）2＝259.2， 解得：x1＝0.8＝80%，x2＝﹣2.8（不符合题意，舍去）． 答：2022年1月份至2024年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客人次的年平均增长率为80%； （2）设每杯冻梨汁售价定为y元，则每杯冻梨汁的销售利润为（y﹣6）元，平均每天可销售300+30（25﹣y）＝（1050﹣30y）杯， 根据题意得：（y﹣6）（1050﹣30y）＝6300， 整理得：y2﹣41y+420＝0， 解得：y1＝20，y2＝21， 又∵餐厅规定每杯冻梨汁售价不得超过20元， ∴y＝20． 答：每杯冻梨汁售价定为20元． 21．（24-25九上•重庆綦江区•期中）某中学为了提高学生的身体素质，决定在2023年5月举办“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．经调查，某公司有A、B两种系列的体育器材可供选择，该公司2022年每套A系列体育器材的售价为2500元，经过连续两次降价，2023年4月每套售价为1600元． （1）求每套A系列体育器材这两次的平均下降率n； （2）2023年4月该学校经过招标，决定采购该公司A、B两种系列的体育器材共80套，采购专项经费总计不超过11.2万元，采购合同规定：每套A系列体育器材售价为1600元，每套B系列体育器材售价为1500（1﹣n）元，求A系列体育器材最多可购买多少套？ 解：（1）根据题意得：2500（1﹣n）2＝1600， 解得：n1＝0.2＝20%，n2＝1.8（不符合题意，舍去）． 答：每套A系列体育器材这两次的平均下降率n为20%； （2）设购买x套A系列体育器材，则购买（80﹣x）套B系列体育器材， 根据题意得：1600x+1500×（1﹣20%）（80﹣x）≤112000， 解得：x≤40， ∴x的最大值为40． 答：A系列体育器材最多可购买40套． 22．（24-25九上•重庆江津区•期中）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（时间） … 40 50 60 … 学习效率 … 0.64 m 1 … 记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元． （1）若40分钟到60分钟每分钟增长率相同，求m的值． （2）研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能，当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围． 解：（1）设40分钟到60分钟的增长率为x， 根据题意得：0.64（1+x）2＝1， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， ∴40分钟到60分钟的增长率为25%， ∴m＝0.64（1+x）＝0.64×（1+25%）＝0.8． 答：m的值为0.8； （2）设每晚作业时间为（60+10y）分钟， 根据题意得：（60+10y）（1﹣0.2y）＝20， 解得：y1＝﹣5（不符合题意，舍去），y2＝4， ∴60+10y＝60+10×4＝100， ∴超过100分钟为无效学习， ∴作业时间的合理范围是60至100分钟． 地 城 考点03 一元二次方程的应用-图形面积问题 一、选择题 23．（24-25九上•广西南宁•兴宁区期中）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为x cm，根据题意可列方程（　　） A．（30+x）（20+x）＝600 B．（30+2x）（20+2x）＝600 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝1200 D．（30+2x）（20+2x）＝1200 解：∵原画面是长为30cm，宽为20cm的矩形，且彩纸的宽度为x cm， ∴原画四周镶上彩纸后的长为（30+2x）cm，宽为（20+2x）cm． 根据题意得：（30+2x）（20+2x）＝2×30×20， 即（30+2x）（20+2x）＝1200． 答案：D． 24．（24-25九上•甘肃武威•期中）如图所示为长20米、宽15米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为400平方米，若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　） A．x2+20×15﹣2x＝400 B．20×15﹣2x＝400 C．（20﹣2x）（15﹣x）＝400 D．（20﹣x）（15﹣2x）＝400 解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（20﹣2x）米、宽为（15﹣x）米的矩形， 根据题意知：（20﹣2x）（15﹣x）＝400． 答案：C． 25．（24-25九上•浙江绍兴•新昌县期中）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为x cm，则列出的方程为（　　） A．（60+x）（80+x）＝6300 B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300 C．（60+2x）（80+2x）＝6300 D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300 解：当边框的宽度为x cm时，矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（60+2x）cm， 根据题意得：（60+2x）（80+2x）＝6300． 答案：C． 26．（24-25九上•重庆江津区•期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为x（单位：米），下列方程正确的是（　　） A．19x+30x＝30×19﹣390 B．2x2+30x＝30×19﹣390 C．（30﹣x）（19﹣2x）＝390 D．（30﹣x）（19﹣x）＝390 解：根据题意，得（30﹣x）（19﹣x）＝390， 答案：D． 27．（24-25九上•山东青岛•市南区期中）如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是（　　） A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600 C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600 解：∵人行通道的宽度为x m， ∴每个展位的长为（25﹣2x）m，宽为 依题意得： 即（40﹣4x）（25﹣2x）＝600． 答案：B． 28．（24-25九上•辽宁营口•大石桥市期中）如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（　　） A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440 C．x（81﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440 解：∵铁栅栏的总长为81米，且AB＝x米， ∴BC＝81+3﹣4x＝（84﹣4x）（米）， 根据题意得：x（84﹣4x）＝440． 答案：D． 二、填空题 29．（24-25九上•山西太原•杏花岭区期中）用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使场地的面积为15m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形场地平行于墙的边长度为x m，则列方程为 　　 ． 解：∵铁丝的总长为12m，且设该长方形场地平行于墙的边长度为x m， ∴该长方形场地垂直于墙的边长度为 根据题意得： 答案：． 30．（24-25九上•重庆江津区•期中）如图，一块长12m，宽8m的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，则道路的宽应为 　2　 m． 解：设道路的宽度为x m，则剩余部分可合成长为（12﹣x）m，宽为（8﹣x）m的长方形， 依题意得：（12﹣x）（8﹣x）＝60， 整理得：x2﹣20x+36＝0， 解得：x1＝2，x2＝18（不合题意，舍去）， ∴道路的宽度为2m． 答案：2． 31．（24-25九上•北京海淀区•期中）如图，学校计划在一块长50m，宽20m的矩形空地内修建两块相同的矩形绿地，使得两块矩形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，若两个矩形绿地面积共520m2，那么人行通道的宽度是多少米．设人行通道的宽度是x米，可列方程为 　（50﹣3x）（20﹣2x）＝520　 ． 解：∵矩形空地长50m，宽20m，且人行通道的宽度是x米， ∴两块矩形绿地可合成长为（50﹣3x）m，宽为（20﹣2x）m． 根据题意得：（50﹣3x）（20﹣2x）＝520． 答案：（50﹣3x）（20﹣2x）＝520． 32．（24-25九上•山东滨州•邹平市期中）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　10　 s后，P，Q两点之间相距25cm． 解：设x秒后P、Q两点相距25cm， 则CP＝2x cm，CQ＝（25﹣x）cm， 由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252， 解得，x1＝10，x2＝0（舍去）， 则10秒后P、Q两点相距25cm． 答案：10． 三、解答题 33．（24-25九上•江苏南京•玄武区期中）如图，若准备利用一处墙角EAF和长度为28m的篱笆围建一个矩形花圃ABCD，花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其他两边BC，CD由剩下的篱笆围成．若AF＝8m，AE＝4m，矩形花圃的面积为75m2，求花圃边BC的长度． 解：设BC＝x m，则， 根据题意得：x（20﹣x）＝75， 整理得：x2﹣20x+75＝0， 解得：x1＝5，x2＝15， 又∵AF＝8m， ∴x＝15． 答：花圃边BC的长度为15m． 34．（24-25九上•福建三明•三元区期中）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长16cm，宽10cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张总面积的70%，求应设置的页边距． 解：设页边距应设置为x cm，则打印区域是长为（16﹣2x）cm、宽为（10﹣2x）cm的矩形， 根据题意得：（16﹣2x）（10﹣2x）＝16×10×70%， 整理得：x2﹣13x+12＝0， 解得：x1＝1，x2＝12（不符合题意，舍去）． 答：页边距应设置为1cm． 35．（24-25九上•河南平顶山•期中）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）． （1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC； （2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 解：（1）设BC＝x m，则AB＝（39﹣3x）m， 由题意得：x（39﹣3x）＝120， 整理得：x2﹣13x+40＝0， 解得：x1＝5，x2＝8， 当x＝5时，39﹣3x＝24＞15，不符合题意；当x＝8时，39﹣3x＝15，符合题意； 答：鸡场的长AB和宽BC分别为15m与8m． （2）设BC＝x m，则AB＝（39﹣3x）m， 由题意得：x（39﹣3x）＝130， 整理得：3x2﹣39x+130＝0， Δ＝（﹣39）2﹣4×3×130＝1521﹣1560＜0， 方程无实数解； 所以想法不能实现． 36．（24-25九上•上海奉贤区•期中）如图，用总长为80米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成如图所示的花圃ABCD，花圃中间有一条2米宽的人行通道，园艺师傅用篱笆围成了四个形状、大小一样的鲜花种植区域，鲜花种植总面积为192平方米，花圃的一边靠墙，墙长20米，求AB和BC的长． 解：设AB的长为x，则BE的长为米，BC的长为2（20﹣x）+2＝（42﹣2x）米， 依题意得：2x（20﹣x）＝192， 整理得：x2﹣20x+96＝0， 解得：x1＝8，x2＝12， 当x＝8时，42﹣2x＝42﹣2×8＝26＞20，不合题意； 当x＝12时，42﹣2x＝42﹣2×12＝18＜20，符合题意． 答：AB的长为12米，BC的长为18米． 地 城 考点04 一元二次方程的应用-循环问题 一、选择题 37．（24-25九上•天津南开区•期中）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，若设参加酒会的人数为x人，则可列出方程（　　） A．x（x+1）＝55 B．x（x﹣1）＝55 C． D． 解：根据题意得： 答案：C． 38．（24-25九上•云南昆明•期中）2024年官渡区运动会（中学生篮球项目）暨昆明市中学生“希望杯”篮球三级联赛在新亚洲体育城举办．某学校为选拔篮球运动员参赛，要组织一场篮球邀请赛，参赛的每两个队伍之间都只比赛一场．根据场地和时间等条件要安排45场比赛，组织者应邀请多少个队参赛？设组织者应邀请x个队参赛，则可列方程为（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝45 D．1+x+x2＝45 解：根据题意得： 答案：A． 39．（24-25九上•福建龙岩•期中）初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1260张照片．设全班有x名同学，可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝1260 B．x（x+1）＝1260 C．x（x﹣1）＝1260×2 D．x（x+1）＝1260×2 解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x﹣1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1260． 答案：A． 40．（24-25九上•浙江宁波•宁海县期中）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　） A． B． C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 解：设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝90． 答案：D． 2、 填空题 41．（24-25九上•湖南湘潭•岳塘区期中）某校九年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），共进行了55场比赛．若设该校九年级有x个班级篮球队参加比赛，则可列方程为 　　 ． 解：根据题意得：． 答案：． 42．（24-25九上•福建泉州•鲤城区期中）书法兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，书法兴趣小组人数有 　9　 人． 解：设书法兴趣小组的人数为x人，则每人需送出（x﹣1）个月饼， 依题意得：x（x﹣1）＝72， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）， 即书法兴趣小组的人数为9人， 答案：9． 试卷第1页，共3页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $