专题4.2 直线与圆锥曲线的综合问题（2知识+10题型+分层强化）（高效培优讲义）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 教学目标 1.学会解决直线与圆锥曲线的综合问题. 2.掌握坐标法解决直线与圆锥曲线相交的问题. 教学重难点 1.重点:四大常见题型：定点、定值、最值及范围问题. 2.难点：利用设而不求思想解决直线与圆锥曲线相交的问题. 知识点01 点差法 以椭圆为例： 直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，与弦AB中点有关的问题称为中点弦问题，这类问题的解决常用到“点差法”，其方法是：将A，B两点的坐标代入椭圆方程中，得＋＝1，① ＋＝1，② ①—②，得＋＝0， 即＋＝0③ 设M(x0，y0)为AB的中点，则有 同时有直线AB的斜率kAB＝.⑥ 将④⑤⑥代入③得kAB＝. 直线与双曲线、直线与抛物线的中点弦问题同样用“点差法”，同学们自己推导． 【即学即练】 1．（24-25高二下·陕西西安·期末）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 知识点02 圆锥曲线中的热点题型 1.定点问题：是指直线系或者曲线系中，直线系或者曲线系不受参数变化影响的直线系上或者曲线系上的点. 2.定值问题：是指不受参数变化影响的量，如线段的长度、向量的数量积、直线的斜率等. 3.范围问题：是指符合一定条件的参数、点的坐标、线段长度、直线斜率、向量的数量积等，随着其中某个量的变化而变化的范围. 4.最值问题：是指某个量在变化过程中的一个极端情况，即在某个情况下这个量比在其他情况下的值都大（小）. 【即学即练】 1．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 2．抛物线上两个不同的点，，满足，则直线一定过定点，此定点坐标为 ． 【答案】. 【详解】设直线的方程为代入抛物线，消去得, 设，，则，， ∴ ， ∴（舍去）或, 故直线过定点． 3．（24-25高二上·上海·期中）若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则 ． 【答案】 【详解】由题意设， 当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，， 则. 题型01 中点弦问题 【典例1】P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程． 【详解】解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去y得， (2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0， ∴x1＋x2＝， 又∵x1＋x2＝2，∴＝2，得k＝－. 故弦所在直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)， 则＋＝1，＋＝1，两式相减得 ＝0， ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴＋(y1－y2)＝0，∴k＝＝－. ∴此弦所在直线方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 破解中点弦问题的两大策略 (1)根与系数关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解 (2)点差法：设直线与曲线交于A、B两点，将A、B两点的坐标代入曲线方程，得到两个方程，将这两个方程作差即可得到直线AB的斜率与线段AB的中点间的关系，这种方法称为点差法． 【变式1-1】（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，因为，两点在曲线上，所以有： 用式减去式可得： 因为点是线段的中点，根据中点坐标公式：可得： ,即，. 代入可得： 化简得：，可得： 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高三下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于、两点，直线是线段的垂直平分线，且与的交点为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】CD 【详解】如图 由题意，斜率存在且为，所以， 联立得：， 由韦达定理得， 所以，代入得， 代入得，则， 又因为，则， . 由以上可得CD均正确； 对于A选项，代入，可得，故A错误； 对于B选项，不符合与的关系，故B错误； 故选：CD. 【变式1-3】．（23-24高二上·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【详解】（1）设双曲线的标准方程为代入，， 得，解得， ∴双曲线的标准方程. （2）如图：    设直线方程：，联立得 ， 直线与双曲线有两个交点， 所以或或. （或：且）. （3）设A，B两点坐标分别为，由（2）可得， 若P为AB中点，则， 此时， 所以不存在实数，使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点. 题型02 定点问题 【典例2】已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点，点F2在线段PF1的中垂线上。 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线与F2N的倾斜角分别为，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标。 【分析】（1）待定系数；（2）由已知，使用韦达定理，然后确定双参数直线系方程中的系数之间的关系。 【详解】（1）由椭圆C的离心率，得 椭圆C的左、右焦点分别为，又点F2在线段PF1的中垂线上 （2）由题意直线MN的方程为 由 设 则 由已知 即 化简，得 … 直线MN的方程为，因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0） 求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法 (1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． (2)直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 【变式2】（24-25高三上·江苏·期末）已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 【详解】（1）设焦距为2c，则， 故点到双曲线E的渐近线的距离为． 由，知，得． 又因为，所以，解得． 所以双曲线E的标准方程为． （2）①当直线的斜率不存在时， 由，设直线的方程为， 当时，则在双曲线，可得,所以， 当时，则在双曲线，可得,所以不合题意舍， 可得直线的方程为， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立得， 当时，，， 因为四边形为矩形，所以， 所以， 所以， 所以 所以， 所以，所以或， 当时，直线的方程为，恒过定点，不合题意，舍去． 当时，直线的方程为，恒过定点． 综上①②，直线恒过定点． 题型03 定值问题 【典例3】椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q。 （1）当|CD | = 时，求直线l的方程； （2）当点P异于A、B两点时，求证： 为定值。 【分析】（1）以直线的斜率为参数建立弦长的表达式，得出方程求出直线的斜率即可；（2）根据题意，直线的斜率存在，此时直线方程和椭圆方程联立消掉，根据韦达定理可得点的坐标的整体关系式，然后以点的坐标写出直线的方程，解方程组以得到以的坐标表达的点的横坐标（因为点在轴上，数量积与点的纵坐标无关），根据韦达定理把点的横坐标使用参数表达即可。 【详解】（1）因椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为， 由已知得，，所以，则椭圆方程为． 直线垂直于x轴时与题意不符． 设直线的方程为，联立得， 设，，则 ，，， ． 由已知得，解得， 所以直线的方程为或． （2）直线垂直于x轴时与题意不符． 设直线的方程为（且），所以P点的坐标为． 设，，由（Ⅰ）知，， 直线AC的方程为：，直线BD的方程为：， 方法一： 联立方程 设，解得， 不妨设，则 因此Q点的坐标为，又，∴． 故为定值． 方法二： 联立方程消去y得， 因为，所以与异号． 又， ∴与异号，与同号，∴，解得． 因此Q点的坐标为，又，∴． 故为定值． 定值问题破解策略 定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值，就是要求的定值． 化解这类问题难点的关键就是引进变得的参数表示直线方程、数量积、比例关系、点的坐标等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量. 【变式3】（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线恰为抛物线的准线. (1)求的方程； (2)将抛物线向左移4个单位长度得到新抛物线，抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不重合的两点，交于点.若直线经过坐标原点，求证：的面积恒为定值. 【详解】（1）设直线与轴交于，由几何性质得 因为直线为抛物线的准线，直线为圆的切线， 所以， 在与中，为公共角， 所以，， 即，即，解得： 故抛物线的标准方程为; （2）解法一：依题意：，则，设， 则， 因为直线经过坐标原点，所以， 又，在抛物线上，，两式作差得，化简得， 因为，所以， 化简可得，即， 联立，得： ， 将代入得，为定值. 故. 解法二：向左平移4个单位后，新抛物线为， 则与轴的交点为， 因为直线经过原点，所以设其方程为， 设直线方程为，设直线方程为， 点和是直线与抛物线的交点，代入中得： ， 设该方程的两根为和，根据韦达定理：① 点在直线上，满足：② 点在直线上，满足：③ 联立方程： 由②和③得：， 利用①中的韦达定理结果：， 所以，即点的横坐标恒为， 故. 题型04 范围问题 【典例4】如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点为，且离心率等于，过点的直线与椭圆相交于不同两点，点在线段上。 （1）求椭圆的标准方程； （2）设，试求的取值范围。 【分析】（1）待定系数即可；（2）分直线的斜率存在与不存在，当直线的斜率存在时，以斜率为参数建立坐标之间的关系，利用把点的坐标用参数表示，再用点的坐标表示，根据点的坐标的范围求解的范围。 【详解】（1）设椭圆的标准方程是。 由于椭圆的一个顶点是，故，根据离心率是得，，解得。 所以椭圆的标准方程是。 （2）设。 ①若直线与轴重合，则，解得，得； 若直线与轴不重合，设直线的方程为，与椭圆方程联立消去得 ，根据韦达定理得，。 由，得，整理得，把上面的等式代入得，又点在直线上，所以，于是有。 ，由，得，所以。 综上所述. 圆锥曲线中的范围问题的求解常用的三种方法 (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围． (3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围． 【变式4】（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为． （2）易知抛物线的焦点为，且“点在以为直径的圆内”等价于“”． 设，，则，记为① 由题意，过点且斜率为1的直线方程为．于是有和，将其代入①式，得 ，记为② 由联立消去，整理得．于是有，即且，记为③ 再将③代入②，整理得 ． 要成立，只要在上恒成立即可． 解不等式得，符合题意． 综上可知，实数的取值范围为． 题型05 最值问题 【典例5】已知椭圆：. （1）若点为椭圆上的任意一点，求证：直线为椭圆的切线； （2）若点P为直线上的任意一点，过P作椭圆的切线PM、ＰＮ，其中Ｍ、N为切点，试求椭圆的右焦点F到直线MN的距离的最大值. 【分析】（1）直线方程和椭圆方程联立，消掉一个变量后根据得到的一元二次方程的判别式等于零进行证明；（2）关键是确定直线的方程，由于过切点的切线方程为，这两条直线都过直线的点，即，这说明直线过点，两点确定唯一的一条直线，即直线的方程方程是，下面只要根据点到直线的距离公式建立函数关系即可。 【详解】（1)由题意，，即……① 由，则 代入①式，得，则，直线为椭圆的切线。 (2)设，则，即 设，则由(1)知，切线方程为 且过，则， 所在直线方程为，即 设所求距离为，且，则 · 当时，1 或者所在直线方程为，即 过定点A(2,1)，又 当直线时，即所在直线方程为,点到直线的距离最大为1. 圆锥曲线中的最值问题的求解常用的三种方法 (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求得最值． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求最值． (3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求最值． 【变式5】已知抛物线C：，点在抛物线上，点为抛物线的焦点，且，过点作直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求面积的最小值. 【详解】（1）点在抛物线上，点为抛物线的焦点，且， 由抛物线的定义可得：， 即， 所以抛物线的方程为； （2）由已知直线的斜率不为， 设直线的方程为， 联立， 消得：， 则， 设，， 则，， 设直线与轴的交点为，则，， 所以， 又， 所以， 当且仅当时取等号， 即面积的最小值为 题型06 向量问题 【典例6】已知抛物线的焦点为，且抛物线经过点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点． (1)求拋物线的标准方程； (2)若直线过定点，求面积的取值范围； (3)若，求直线的方程． 【详解】（1）由题意抛物线C经过点，代入方程可得. 所以抛物线的标准方程为：. （2）如图： 依题意，直线与抛物线有2个交点 所以直线斜率不为0， 设直线 联立，整理得 ． 整理得： 故的取值范围是. （3）如图： 由题意得抛物线的焦点， 又由，可知直线过焦点且斜率不为0 于是可设直线的方程为：， 设 联立方程组得 于是 由可知，，代入上式 所以直线的方程或. 圆锥曲线中的向量问题求解策略 (1)建系转化：设圆锥曲线标准方程，将点坐标化，向量用坐标表示，转化为代数问题. (2)利用性质：结合圆锥曲线定义（如椭圆定义）、焦点弦等性质，简化向量关系。 (3)韦达定理：联立直线与曲线方程，用韦达定理处理向量数量积、共线等条件。 (4)参数法：设参数（如椭圆参数方程），将向量关系转化为三角函数式求解。 (5)几何意义：借助向量几何意义（如垂直、中点），结合圆锥曲线几何性质解题。 【变式6】（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标． (2)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值． 【详解】（1） 当时，双曲线，且． 由点在第一象限，可知为钝角． 由为等腰三角形，得． 设点，且，则，解得， 即； （2） 由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称． 设，则． 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立，得， 则，即，, 由，得， 得，所以 整理得，则, 再由，得，解得，所以， 又，得，即的最大值为． 题型07 三点共线问题 【典例7】已知双曲线的中心为坐标原点，过点，其中一条渐近线的方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于、两点.直线与直线交于点，证明：三点共线. 【详解】（1）由题意知且， 所以，所以的方程为. （2）由题意知，， 当直线的斜率为时，：，此时三点共线显然成立， 当直线的斜率不为时，设：，，， 联立可得， 由题意得， ， 所以，， 因为直线的方程为， 令，得，所以， 所以， 因为， 所以 所以，故三点共线， 综上：三点共线. 圆锥曲线中三点共线问题破解策略 1.斜率法：算两点斜率，若相等则共线； 2.距离法：三点中，若两点距离和等于第三段距离，共线； 3.方程法：求两点直线方程，代入第三点，满足则共线； 4.向量法：两向量共线（成倍数），且共起点或终点，则三点共线. 【变式7】已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的最大值； （3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点共线，求. 【详解】（1）由题意得，所以， 又，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）设直线的方程为， 由消去可得， 则，即， 设，，则，， 则， 易得当时，，故的最大值为； （3）设，，，， 则①，②， 又，所以可设，直线的方程为， 由消去可得， 则，即， 又，代入①式可得，所以， 所以，同理可得． 故，， 因为三点共线，所以， 将点的坐标代入化简可得，即． 题型08 角度转化问题 【典例8】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 【详解】（1）由已知得，的方程为. 由已知可得，点的坐标为或. 所以的方程为或. （2）分类＋常规联立 当与轴重合时，. 当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以. 当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，， 则，直线、的斜率之和为. 由得. 将代入得. 所以，. 则. 从而，故、的倾斜角互补，所以. 综上，. 圆锥曲线中角度转化问题破解策略 1.斜率关联：利用夹角公式，将角度关系转化为两点斜率的等式（如夹角相等、垂直时斜率积为 - 1）； 2.向量工具：用向量点积，将角度（如锐角、钝角、直角）转化为向量数量积的正负或零； 3.几何转化：借助等腰、对称等性质，将角度条件转化为线段相等或中点、垂直关系； 4.三角函数：引入参数（如倾斜角），用正切值关联角度与坐标，简化计算. 【变式8】在直角坐标系中，已知为一个动点，且直线，的斜率之积为. (1)求的轨迹的方程； (2)若，经过点的直线与交于点，求证：. 【详解】（1）设，因为，直线的斜率之积为. 所以，化简得， 即的方程为. （2）由题知直线的斜率不为零， 设的方程为，联立与， 得，显然判别式，设， 所以， 设直线的斜率分别为， 所以 ， 即，即，所以. 题型09 图形问题 【典例9】已知O为坐标原点，双曲线的焦距为，过点的直线与C交于A，B两点，当轴时，的面积为. (1)求C的方程； (2)证明：为钝角三角形. 【分析】（1）利用的面积求出点坐标，将其代入方程中，结合焦距信息，解方程组即可； （2）设直线的方程，与双曲线方程联立，分两种情况讨论，若交于两支，求，若交于一支，依对称性可知，只研究交与左支，数形结合证明为锐角来得出为钝角. 【详解】（1）由题意可知，则， 又，则，故， 将点坐标代入曲线的方程中得，又， 解得（负值舍去），则C的方程为 （2）由题意可知直线的斜率存在，故设直线的方程为， 联立得，， 设， 则，得且， 若直线与双曲线的两支相交，则，则， 则 ，则为钝角； 若直线与双曲线的一支相交，由于双曲线的对称性，不妨设直线与双曲线的左支相交，且在点上方，设， 因， 则，则为锐角， 则为钝角， 综上可知，始终为钝角三角形. 圆锥曲线中的图形问题破解策略 以圆锥曲线方程和点的坐标为核心，先设关键点位坐标（如交点、动点），代入曲线方程得关系式；再结合图形条件（如线段垂直、中点、距离），用坐标公式（斜率、中点、距离公式）转化为代数方程；最后联立方程求解，验证结果是否符合图形几何意义. 【变式9】已知椭圆的左右焦点为，是椭圆上不同的三点，四边形是边长为的正方形． (1)求椭圆的标准方程： (2)在轴上是否存在一点，使得为等边三角形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）四边形是边长为的正方形，， 由对称性可知，为短轴端点． 椭圆的标准方程为 （2）假设在轴上存在一点，满足条件． 由对称性，不妨设，设直线的方程为 代入椭圆方程中，整理得 设线段中点为，则． 线段的中垂线方程为 为等边三角形，在线段的中垂线上， 令，得，即，, 又，，解得． 在轴上存在一点，使得为等边三角形，且 题型10 探究性问题 【典例10】已知双曲线（，）过点，且渐近线方程为． (1)求C的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据渐近线可得，即可代入点的坐标即可求出双曲线方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理及数量积的坐标表示求解即得. 【详解】（1）根据渐近线方程为，故， 将代入可得，则， 所以的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得，显然， 且，得且， 则， 设存在符合条件的定点，则， 因此 要为常数，当且仅当，解得，此时该常数的值为56， 所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为56． 圆锥曲线中探索性问题的常见解法 ⑴假设存在法：先假设满足条件的点、直线等存在，设其方程或坐标，代入曲线方程推导，若有解则存在，无解则不存在. ⑵特殊值法：取特殊位置（如对称轴、顶点）或特殊参数值，探索可能结论，再验证一般情况. ⑶代数推导法：联立方程，用韦达定理、判别式等，结合条件（如垂直、中点）列方程，分析解的情况判断存在性. ⑷几何直观法：借助圆锥曲线几何性质（如对称性、焦点特性），初步判断是否存在，再代数验证. 【变式10】已知椭圆的左右焦点为，是椭圆上不同的三点，四边形是边长为的正方形． (1)求椭圆的标准方程： (2)在轴上是否存在一点，使得为等边三角形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）四边形是边长为的正方形，， 由对称性可知，为短轴端点． 椭圆的标准方程为 （2）假设在轴上存在一点，满足条件． 由对称性，不妨设，设直线的方程为 代入椭圆方程中，整理得 设线段中点为，则． 线段的中垂线方程为 为等边三角形，在线段的中垂线上， 令，得，即，, 又，，解得． 在轴上存在一点，使得为等边三角形，且 练基础 1．如图，椭圆与过点的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率． (1)求椭圆方程； (2)设分别为椭圆的左、右焦点，M为线段的中点，求证：． 【详解】（1）过A、B的直线方程为由题意得有惟一解. 即有惟一解，所以，（）， 故，又因为，所以，a2=4b2.从而得=2，， 故所求的椭圆方程为 （2）由(1)得，所以， 从而由解得x1=x2=1，所以 所以tan∠AF1T=， 又因为为线段的中点，. ，， 得 因此∠ATM=∠AF1T. 2．（24-25高二下·广西梧州·期中）已知抛物线的焦点为，点在直线上，过焦点作一条直线交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上. 【详解】（1）的焦点在轴上，为， 直线与轴的交点坐标为，则，即 所以抛物线为 （2）令，，，不妨设， 设的方程为，， 联立与，得到，， 由， 则直线，直线， 两直线方程相减得到：， 因为，于是， 即，即， 即，于是，解得， 即直线AP与BQ的交点在一条定直线上 3．（2025·江西九江·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为，在上，． (1)求的方程； (2)过的直线交于另一点（异于），与轴交于点，直线与交于点，证明：直线过定点． 【详解】（1）∵在上，∴．① ∵，∴， ∴，② 由①②解得，故的方程为． （2）解法一：设直线的方程为，直线的方程为． 联立得． 联立消去，整理得， ∴，即． ∴直线的斜率为，∴直线的方程为． 令，得，即． ∴直线的斜率为，∴直线的方程为， 即． 由解得， 故直线过定点． 解法二：同法一，得， 设直线过定点，则． 又∵， ∴， 整理得． 由解得．故直线过定点． 4．（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【详解】（1）设点，，则，， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为． （2）当直线l斜率不存在时，可设，． 则，， 将其代入双曲线方程得， 又，解得，此时， 当直线l斜率存在时，设其方程为，设，， 联立，. 由韦达定理：，. 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时，当时，此时， ，，故， 因此，综上可得． 练提升 5．已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． （1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由． 【详解】(1)设直线，，，． ∴由得， ∴，． ∴直线的斜率，即． 即直线的斜率与的斜率的乘积为定值． （2）四边形能为平行四边形． ∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是， 由(Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为． ∴由得，即 将点的坐标代入直线的方程得，因此． 四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即 ∴．解得，． ∵，，， ∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形． 6.（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. (1)求C的方程； (2)已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 【详解】（1）由双曲线的一个焦点为，得， 由点在双曲线上，得，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）设，，则直线AB方程为， 由，消去得， 由直线AB交C于D，E两点，得， 解得，且，且，， 当时，在A的异侧，在B的同侧；当时，在A的同侧，在B的异侧， 则总有， ， 所以. 7．（2025·山东临沂·三模）已知为抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若过的直线与交于，两点，试探究：在轴上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由； (3)若，抛物线上两点，满足，且，求的最大值. 【详解】（1）因为为抛物线的焦点，故，故， 故. （2）设，设，则， 化简得. 设直线的方程为，则由可得， 故，故，由的任意性可得. 故存在，使得. （3） 设，则， 同理，， 因为，故，故，故， 设直线，由得， 故，，故. 而，故，故， 当直线过时，，过时，，故， 设到直线的距离为， 则 设，则且， 故 ， 当且仅当即时等号成立， 故的最大值为. 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的焦点与短轴两个顶点所成三角形的面积为 ，离心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)设A(4，0)，B(0，2)，点 P 是椭圆上且在第三象限内的一点. （Ⅰ）当 的面积取最大值时，求点 P 的坐标； （Ⅱ）记直线PA与y轴交于点M，直线 PB与x轴交于点N，求四边形ABNM面积的最大值. 【详解】（1）已知椭圆 的焦点与短轴两个顶点所成三角形的面积为， ，离心率为 ，，又，解得，， 椭圆的方程为. （2）（Ⅰ）设直线的直线方程为：， 代入，得到，解得， 直线的直线方程为， 点是椭圆上且在第三象限内的一点， 过作直线且与椭圆相切，切点为，此时的面积取最大值. 设过的直线的方程为， 直线与椭圆联立方程组， 消去，得到关于的一元二次方程， 直线与椭圆相切，，，， 是第三象限的点，， 此时的解为， 代入直线方程为，得到， . （Ⅱ）设， 是第三象限的点，， 将代入椭圆中得到，整理得. ，，，直线的方程为， 令，解得，. ，，，直线的方程为， 令，解得，. ，，设四边形面积为，， 设，，， ， 设，，， ，当时，， 即时，也即，时， 四边形的面积的最大值为.    练创新 9．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）在平面直角坐标系中，一个动点到定点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线过定点，其斜率为．当分别为何值时，直线与曲线：只有一个公共点；有两个公共点；有三个公共点； (3)过点作两条互相垂直的弦、，分别交曲线于，，，，令、的中点分别为、，过点作，垂足为，求的最大值． 【详解】（1）由已知得，令，则 整理得，. （2）由题意，直线l的方程为. 联立方程组（*） （i）当时，直线l：与有唯一公共点，与无公共点，此时共有一个公共点. （ii）当时，判别式为 ①由，. 故或时，方程（*）只有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点，与各有一个交点为，，故分别有两个公共点. ②当直线过时，直线方程为，与交于，，与无交点，故直线与轨迹共有两个公共点 ③由. 故当且，时，方程（*）有两个解，即直线与抛物线有两个公共点， 与有一个公共点，故直线与轨迹有三个公共点 ④由，或. 故当，或时，方程（*）无实数解，即直线与抛物线没有公共点，与有一个公共点 综上， 当时，直线轨迹有三个公共点； 当时，直线轨迹有两个公共点； 当时，直线轨迹有一个公共点. （3） 设直线，，， 联立，可得，则得，， ，同理， ①时，， ②当时， ，即， 所以直线恒过点， 又，所以点在以为直径的圆上，且轨迹方程为， 由几何图形关系可知，的最大值为：. 10．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点. （i）求点的轨迹方程； （ii）求周长的最小值. 【详解】（1）由题意得，直线的方程为，即， 当时，，故， 由解得或（舍去）， 椭圆的方程. （2）（i）设直线：，，，， 与联立， 所以，， 由可得 化简可得① 设的方程为，即， 与联立， 令，结合， 解得，所以切线方程为， 即直线方程为：，不存在时也满足此直线方程， 同理可得方程为：， 由在直线，上，则，即，在直线上， 所以直线方程为：，即 而直线方程为，故， 由①可得，整理得到：， 若轴，则，则，故， 此时在轴上，结合切线方程可得， 此时也满足此方程， 所以的轨迹方程为. （ii）由（i）可知在以为焦点，以为准线的抛物线上， 过分别向直线作垂线，垂足分别为，， 由抛物线定义可得：， 当且仅当，，共线时取等， 所以周长的最小值为. 11．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 【详解】（1）渐近线，夹角为． （2）设，或， 则 ， 当即时，令，最小值为； 当即时，令，最小值为． （3）设为好点，考虑、需满足的充要条件． 若直线的斜率存在，设直线，， 将与联立，得．（*） 则，，， 而 ， ①当直线与的左右两支都有公共点，即时， ，当时有最小值． 这说明，； ②当直线与的左支有两个公共点或与右支有两个公共点时， 需满足的条件为：且（*）式的判别式． 此时可得：． 这说明时，判别式条件不能成立． 即时，． 当时，，解得． 另一方面，当时，． 两边平方后即得． 若直线斜率不存在，假设直线与双曲线存在交点， 则，则，， 则，显然与好点矛盾； 因此，为好点当且仅当， 于是所有好点对应的区域为， 即由构成的正方形，故所求面积为． 32 / 47 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 教学目标 1.学会解决直线与圆锥曲线的综合问题. 2.掌握坐标法解决直线与圆锥曲线相交的问题. 教学重难点 1.重点:四大常见题型：定点、定值、最值及范围问题. 2.难点：利用设而不求思想解决直线与圆锥曲线相交的问题. 知识点01 点差法 以椭圆为例： 直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，与弦AB中点有关的问题称为中点弦问题，这类问题的解决常用到“点差法”，其方法是：将A，B两点的坐标代入椭圆方程中，得＋＝1，① ＋＝1，② ①—②，得＋＝0， 即＋＝0③ 设M(x0，y0)为AB的中点，则有 同时有直线AB的斜率kAB＝.⑥ 将④⑤⑥代入③得kAB＝ . 直线与双曲线、直线与抛物线的中点弦问题同样用“点差法”，同学们自己推导． 【即学即练】 1．（24-25高二下·陕西西安·期末）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 知识点02 圆锥曲线中的热点题型 1.定点问题：是指直线系或者曲线系中，直线系或者曲线系不受参数变化影响的直线系上或者曲线系上的点. 2.定值问题：是指不受参数变化影响的量，如线段的长度、向量的数量积、直线的斜率等. 3.范围问题：是指符合一定条件的参数、点的坐标、线段长度、直线斜率、向量的数量积等，随着其中某个量的变化而变化的范围. 4.最值问题：是指某个量在变化过程中的一个极端情况，即在某个情况下这个量比在其他情况下的值都大（小）. 【即学即练】 1．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线上两个不同的点，，满足，则直线一定过定点，此定点坐标为 ． 3．（24-25高二上·上海·期中）若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则 ． 题型01 中点弦问题 【典例1】P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程． 破解中点弦问题的两大策略 (1)根与系数关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解 (2)点差法：设直线与曲线交于A、B两点，将A、B两点的坐标代入曲线方程，得到两个方程，将这两个方程作差即可得到直线AB的斜率与线段AB的中点间的关系，这种方法称为点差法． 【变式1-1】（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高三下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于、两点，直线是线段的垂直平分线，且与的交点为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【变式1-3】．（23-24高二上·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 题型02 定点问题 【典例2】已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点，点F2在线段PF1的中垂线上。 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线与F2N的倾斜角分别为，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标。 求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法 (1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． (2)直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 【变式2】（24-25高三上·江苏·期末）已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 题型03 定值问题 【典例3】椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q。 （1）当|CD | = 时，求直线l的方程； （2）当点P异于A、B两点时，求证： 为定值。 定值问题破解策略 定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值，就是要求的定值． 化解这类问题难点的关键就是引进变得的参数表示直线方程、数量积、比例关系、点的坐标等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量. 【变式3】（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线恰为抛物线的准线. (1)求的方程； (2)将抛物线向左移4个单位长度得到新抛物线，抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不重合的两点，交于点.若直线经过坐标原点，求证：的面积恒为定值. 题型04 范围问题 【典例4】如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点为，且离心率等于，过点的直线与椭圆相交于不同两点，点在线段上。 （1）求椭圆的标准方程； （2）设，试求的取值范围。 圆锥曲线中的范围问题的求解常用的三种方法 (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围． (3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围． 【变式4】（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 题型05 最值问题 【典例5】已知椭圆：. （1）若点为椭圆上的任意一点，求证：直线为椭圆的切线； （2）若点P为直线上的任意一点，过P作椭圆的切线PM、ＰＮ，其中Ｍ、N为切点，试求椭圆的右焦点F到直线MN的距离的最大值. 圆锥曲线中的最值问题的求解常用的三种方法 (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求得最值． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求最值． (3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求最值． 【变式5】已知抛物线C：，点在抛物线上，点为抛物线的焦点，且，过点作直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求面积的最小值. 题型06 向量问题 【典例6】已知抛物线的焦点为，且抛物线经过点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点． (1)求拋物线的标准方程； (2)若直线过定点，求面积的取值范围； (3)若，求直线的方程． 圆锥曲线中的向量问题求解策略 (1)建系转化：设圆锥曲线标准方程，将点坐标化，向量用坐标表示，转化为代数问题. (2)利用性质：结合圆锥曲线定义（如椭圆定义）、焦点弦等性质，简化向量关系。 (3)韦达定理：联立直线与曲线方程，用韦达定理处理向量数量积、共线等条件。 (4)参数法：设参数（如椭圆参数方程），将向量关系转化为三角函数式求解。 (5)几何意义：借助向量几何意义（如垂直、中点），结合圆锥曲线几何性质解题。 【变式6】（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标． (2)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值． 题型07 三点共线问题 【典例7】已知双曲线的中心为坐标原点，过点，其中一条渐近线的方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于、两点.直线与直线交于点，证明：三点共线. 圆锥曲线中三点共线问题破解策略 1.斜率法：算两点斜率，若相等则共线； 2.距离法：三点中，若两点距离和等于第三段距离，共线； 3.方程法：求两点直线方程，代入第三点，满足则共线； 4.向量法：两向量共线（成倍数），且共起点或终点，则三点共线. 【变式7】已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的最大值； （3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点共线，求. 题型08 角度转化问题 【典例8】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 圆锥曲线中角度转化问题破解策略 1.斜率关联：利用夹角公式，将角度关系转化为两点斜率的等式（如夹角相等、垂直时斜率积为 - 1）； 2.向量工具：用向量点积，将角度（如锐角、钝角、直角）转化为向量数量积的正负或零； 3.几何转化：借助等腰、对称等性质，将角度条件转化为线段相等或中点、垂直关系； 4.三角函数：引入参数（如倾斜角），用正切值关联角度与坐标，简化计算. 【变式8】在直角坐标系中，已知为一个动点，且直线，的斜率之积为. (1)求的轨迹的方程； (2)若，经过点的直线与交于点，求证：. 题型09 图形问题 【典例9】已知O为坐标原点，双曲线的焦距为，过点的直线与C交于A，B两点，当轴时，的面积为. (1)求C的方程； (2)证明：为钝角三角形. 圆锥曲线中的图形问题破解策略 以圆锥曲线方程和点的坐标为核心，先设关键点位坐标（如交点、动点），代入曲线方程得关系式；再结合图形条件（如线段垂直、中点、距离），用坐标公式（斜率、中点、距离公式）转化为代数方程；最后联立方程求解，验证结果是否符合图形几何意义. 【变式9】已知椭圆的左右焦点为，是椭圆上不同的三点，四边形是边长为的正方形． (1)求椭圆的标准方程： (2)在轴上是否存在一点，使得为等边三角形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 题型10 探究性问题 【典例10】已知双曲线（，）过点，且渐近线方程为． (1)求C的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值；若不存在，请说明理由． 圆锥曲线中探索性问题的常见解法 ⑴假设存在法：先假设满足条件的点、直线等存在，设其方程或坐标，代入曲线方程推导，若有解则存在，无解则不存在. ⑵特殊值法：取特殊位置（如对称轴、顶点）或特殊参数值，探索可能结论，再验证一般情况. ⑶代数推导法：联立方程，用韦达定理、判别式等，结合条件（如垂直、中点）列方程，分析解的情况判断存在性. ⑷几何直观法：借助圆锥曲线几何性质（如对称性、焦点特性），初步判断是否存在，再代数验证. 【变式10】已知椭圆的左右焦点为，是椭圆上不同的三点，四边形是边长为的正方形． (1)求椭圆的标准方程： (2)在轴上是否存在一点，使得为等边三角形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 练基础 1．如图，椭圆与过点的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率． (1)求椭圆方程； (2)设分别为椭圆的左、右焦点，M为线段的中点，求证：． 2．（24-25高二下·广西梧州·期中）已知抛物线的焦点为，点在直线上，过焦点作一条直线交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上. 3．（2025·江西九江·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为，在上，． (1)求的方程； (2)过的直线交于另一点（异于），与轴交于点，直线与交于点，证明：直线过定点． 4．（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 练提升 5．已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． （1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由． 6.（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. (1)求C的方程； (2)已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 7．（2025·山东临沂·三模）已知为抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若过的直线与交于，两点，试探究：在轴上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由； (3)若，抛物线上两点，满足，且，求的最大值. 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的焦点与短轴两个顶点所成三角形的面积为 ，离心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)设A(4，0)，B(0，2)，点 P 是椭圆上且在第三象限内的一点. （Ⅰ）当 的面积取最大值时，求点 P 的坐标； （Ⅱ）记直线PA与y轴交于点M，直线 PB与x轴交于点N，求四边形ABNM面积的最大值. 练创新 9．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）在平面直角坐标系中，一个动点到定点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线过定点，其斜率为．当分别为何值时，直线与曲线：只有一个公共点；有两个公共点；有三个公共点； (3)过点作两条互相垂直的弦、，分别交曲线于，，，，令、的中点分别为、，过点作，垂足为，求的最大值． 10．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点. （i）求点的轨迹方程； （ii）求周长的最小值. 11．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $