1.4.1.1直线与平面的向量表示课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1 第一课时 空间中的点、直线和平面的向量表示 济 南 市 钱 学 森 高 级 中 学 学习目标 核心素养 1.能用向量语言表述直线和平面（重点） 数学抽象 2.理解直线的方向向量与平面的法向量,会求直线的方向向量与平面的法向量（难点） 数学运算 导 如图，在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. 知识点1、空间中点的向量表示 学 知识点2、空间中直线的向量表示 如图，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t 直线l的方向向量 学 新知 3. 平面的法向量 如图，直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量. α P • A m 追问2：如果另有一条直线， 在直线上任取向量，与有什么关系? 也为平面的法向量 学 5 总结： 1. 平面的法向量一定是非零向量; 2. 一个平面的法向量不唯一，但都互相平行; 3. 平面的法向量垂直于该平面内（或与平面平行）的任意一个向量. 新知 3. 平面的法向量 如图，直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量. α P • A m 学 6 【例1】（1）已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过 A（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y＋z＝（　D　） A. 0 B. 1 D C. D. 3 展+评 典型例题 （2）〔多选〕如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则（　AC　） A. 以A为基点，点C1的一个位置向量为（1，1，1） B. 以B为基点，点D的一个位置向量为（0，1，0） C. 直线BC1的一个方向向量为（0，1，1） D. 直线B1D的一个方向向量为（1，1，1） AC 展+评 典型例题 训练1　（1）〔多选〕若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上， 则下列可作为直线l方向向量的是（　AB　） A. （2，2，6） B. （1，1，3） C. （3，1，1） D. （－3，0，1） AB 练 （2）已知点P是过点A（0，1，1）且方向向量为v＝（1，0，0）的直线 上的一点，若｜ ｜＝3，则点P的坐标是 ⁠⁠. （－3，1，1）或（3，1，1） 【例2】 （1）〔多选〕在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD- A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是（　AC　） AC A. 平面CDD1C1的一个法向量为（0，1，0） B. 平面A1BC的一个法向量为（1，1，1） C. 平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1） D. 平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1） 展+评 典型例题 （2）已知平面α经过点O（0，0，0），且e＝（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是 ⁠. x＋2y－3z＝0 展+评 典型例题 训练2　（1）若n＝（2，－3，1）是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（　D　） A. （0，－3，1） B. （2，0，1） C. （－2，－3，1） D. （－2，3，－1） D 练 （2）已知n＝（－3，1，2）是平面α的一个法向量，点A(0，－3，1)，B（k，2k，4）在平面α内，则k＝ ⁠. 9 【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平ABCD, E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝ ，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 展+评 典型例题 训练3　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中 点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： （1）平面BDD1B1的一个法向量； 练 解：设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0), B（2，2，0），D1（0，0，2），E（1，0，2）. 设平面BDD1B1的法向量为n＝（x1，y1，z1）， ∵ ＝（2，2，0）， ＝（0，0，2）， 则 即 令x1＝1，则y1＝－1，z1＝0， ∴平面BDD1B1的一个法向量为n＝（1，－1，0）. （2）平面BDEF的一个法向量. 解：∵ ＝（2，2，0）， ＝（1，0，2）， 设平面BDEF的法向量为m＝（x2，y2，z2）. 则 即 令x2＝2，则y2＝－2，z2＝－1， ∴平面BDEF的一个法向量为m＝（2，－2，－1）. 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线l的方向向量是唯一的. （　×　） （2）若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量， 则 ·n＝0. （　√　） （3）空间中任意一个平面都可由它上面的一个定点及与它平行的两个不 共线向量唯一确定. （　√　） × √ √ 练 2. 已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x的值是（　　） A. －1 B. 1或－1 C. －3 D. 1 √ 练 3. 〔多选〕已知A（－4，6，－1），B（4，3，2），则下列各向量中是 平面AOB（O是坐标原点）的法向量的是（　　） A. （－ ，1，9） B. （ ，1，－9） C. （－15，4，36） D. （15，4，－36） √ √ 4. 已知直线l的一个方向向量为a＝(2,1,1),且过点M(1,0,－1). 若平面α过直线l与点N（1，2，3），则平面α的一个法向量 是 ⁠. 解析：依题意， ＝（0，2，4），显然 与a不共线， 设平面α的一个法向量为n＝（x，y，z）， 则 取z＝2，得y＝－4，x＝1， 因此n＝（1，－4，2）是平面α的一个法向量. （1，－4，2）（答案不唯一） 练 课堂小结 1.理清单 （1）空间中点、直线、平面的向量表示； （2）直线的方向向量； （3）平面的法向量. 2.应体会 （1）利用空间向量表示点、直线、平面体现了数形结合思想； （2）求平面的法向量时一般应用待定系数法. 3.避易错 不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性. 04 PART 课时作业 1. 若A（－1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向 量为（　　） A. （1，2，3） B. （1，3，2） C. （2，1，3） D. （3，2，1） 解析：因为 ＝（2，4，6），所以（1，2，3）是直线l的一个方向向量. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是（　　） A. ＝ ＋k B. ＝ ＋k C. ＝ ＋k D. ＝ ＋k 解析：由点P在直线上的充要条件可得，B符合题意. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 已知平面α内有两点M（－2，3，1），N（2，4，1），若平面α的一 个法向量为n＝（6，a，6），则a＝（　　） A. － B. C. －24 D. 24 解析：　由题可得 ＝（4，1，0），因为平面α的一个法向量为n＝ （6，a，6），所以n⊥ ，所以n· ＝（6，a，6）·（4，1，0）＝ 6×4＋a×1＋6×0＝0，解得a＝－24. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. 已知平面α内有一个点A（2，－1，2），α的一个法向量为n＝（3， 1，2），则下列点P中，在平面α内的是（　　） A. （1，－1，1） B. （1，3， ） C. （1，－3， ） D. （－1，3，－ ） 解析：对于选项A， ＝（1，0，1），则 ·n＝（1，0，1）·（3， 1，2）＝5≠0，故排除A；对于选项B， ＝（1，－4， ），则 ·n＝ （1，－4， ）·（3，1，2）＝0，故B正确；同理可排除C、D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的 一个单位法向量是（　　） A. （1，1，1） B. （ ， ， ） C. （ ， ， ） D. （ ， ，－ ） 解析：　设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z）.又 ＝（0，－1， 1）， ＝（－1，1，0），则 ∴x＝y＝z， 又∵单位向量的模为1，故只有B正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 〔多选〕若 是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以 下各式成立的是（　　） A. ⊥ B. ⊥ C. ⊥ D. ⊥ √ √ √ 解析：由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 〔多选〕已知空间中A（0，0，0），B（2，1，0），C（－1，2，1） 三点，则下列说法正确的是（　　） A. 与 是共线向量 B. 与 同向的单位向量是（ ， ，0） C. 在 方向上的投影向量是（－2，－1，0） D. 平面ABC的一个法向量是（1，－2，5） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ＝（2，1，0）， ＝（－1，2，1）， ＝（－3，1，1），若 与 共线，设 ＝λ ，则 方程组无解，故 与 不共线，A错误；与 同向的单位向量是 ＝ ＝（ ， ，0），B正确； 在 方向上的投影向量是 · ＝ · ＝（－2，－1，0），C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设平面ABC的法向量是n＝（x，y，z），则 令y＝－2，则n＝（1，－2，5），D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝（2，1，1）与n2＝ （0，2，1）为其法向量，α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为 ⁠ .（写出一个方向向量的坐标） 解析：设直线l的方向向量为d＝（x，y，z），则 所以 令y＝1，则z＝－2，x＝ ，所以直线l的一个方向向量 为d＝（ ，1，－2）. （ ， 1，－2）（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠ACB＝90°，平面 A1B1C的一个法向量为n＝（－2，－2，1），则棱AA1的长为 ⁠. 解析：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴， y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设AA1＝ h，由题意可知C（0，0，0），A1（1，0，h），所以 ＝（1，0，h），因为n＝（－2，－2，1），所以根据法向 量的定义可得，n· ＝（－2，－2，1）·（1，0，h）＝ －2＋h＝0，解得h＝2，所以AA1＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图 所示. （1）求直线DB1的一个方向向量； 解：由题意知D（0，0，0），B1（1，1，1），所以 ＝（1，1，1），即直线DB1的一个方向向量是（1，1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）点P是过D点且以 为方向向量的直线上的一点，且｜ ｜＝ 1，求点P的坐标. 解：设P（x，y，z），则 ＝（x，y，z）， 因为点P在以 为方向向量的直线上， 所以 ∥ ，设 ＝λ ，即有（x，y，z）＝ λ（1，1，1）， 所以x＝y＝z＝λ，又因为｜ ｜＝1， 所以 ＝1， 即 ＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以 ＝1，所以λ＝± ， 所以点P的坐标是（ ， ， ）或（－ ，－ ，－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. （2025·莆田质检）已知 ＝（－3，1，2），平面α的一个法向量为 n＝（2，－2，4），点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系 为（　　） A. AB⊥α B. AB⊂α C. AB与α相交但不垂直 D. AB∥α √ 解析：因为n· ＝2×（－3）＋（－2）×1＋4×2＝0，所以n⊥ .又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 已知直线l的一个方向向量为v＝（1，－2，0），写出一个以（2， 1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量的终点坐标为 ⁠ ⁠. 解析：设终点坐标为（x，y，z），因为l的一个方向向量为v＝（1，－ 2，0），以（2，1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量为（x－2，y －1，z－1），则满足 即 可取x＝2，y＝1，z＝0，故 终点坐标为（2，1，0）. （2，1，0） （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（－1，0，2），B（0，1，－ 1），点C，D分别在x轴、y轴上，AD⊥BC，那么｜ ｜的最小值 是 ⁠. 解析：设C（x，0，0），D（0，y，0）.∵A（－1，0，2），B（0， 1，－1），∴ ＝（1，y，－2）， ＝（x，－1，1）.∵AD⊥BC， ∴ · ＝x－y－2＝0，即x＝y＋2.∵ ＝（－x，y，0），∴｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝ ≥ （当y＝－1时取等号）.故｜ ｜的最小值为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝ 90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，试建立适当的坐 标系，求： （1）平面ABCD的一个法向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x 轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D （ ，0，0），S（0，0，1）. （1）因为SA⊥平面ABCD， 所以 ＝（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）平面SAB的一个法向量； 解： 因为AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB， SA⊂平面SAB， 所以AD⊥平面SAB， 所以 ＝（ ，0，0）是平面SAB的一个法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （3）平面SCD的一个法向量. 解：在平面SCD中， ＝（ ，1，0）， ＝（1，1， －1）. 设平面SCD的法向量是n＝（x，y，z）， 则n⊥ ，n⊥ ， 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 得方程组 所以 令y＝－1，得x＝2，z＝1，所以n＝（2，－1，1）. 所以n＝（2，－1，1）是平面SCD的一个法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果 ＝（2，－1， －4）， ＝（4，2，0）， ＝（－1，2，－1）. （1）求证： 是平面ABCD的法向量； 解：证明：因为 · ＝（－1，2，－1）·（2，－1，－4）＝0， · ＝（－1，2，－1）·（4，2，0）＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD. 所以 是平面ABCD的法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）求平行四边形ABCD的面积. 解：因为｜ ｜＝ ＝ ， ｜ ｜＝ ＝2 ， · ＝（2，－1，－4）·（4，2，0）＝6， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ， 故 sin ＜ ， ＞＝ ， S▱ABCD＝｜ ｜·｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝8 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $