专题04 二次函数（期中真题汇编，江苏专用）九年级数学上学期

专题04 二次函数 8大高频考点概览 考点01 二次函数的性质 考点02 二次函数的图象与的综合判断问题 考点03 二次函数图象的平移问题 考点04 二次函数与一元二次方程的关系问题 考点05 二次函数的图象与性质的综合解答题 考点06 二次函数与一次函数综合问题 考点07 二次函数与几何图形综合问题 考点08 二次函数实际应用问题 地 城 考点01 二次函数的性质 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）对于抛物线下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A．3 B． C． D．4 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数的图像经过点，点，点．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在二次函数的图像上有三个点则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 7．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．的最大值是5 B．的最小值是 C．的最大值是4 D．的最小值是 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知，都在函数的图象上，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 二、填空题 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）设是抛物线上的三点，则的大小关系为 ．（用“”连接）． 10．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是 ． 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）写出一个当时，y的值随着x值增大而减小的二次函数表达式 ． 13．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）函数的最大值是 ． 14．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知关于x的二次函数的最小值为4，设，则z的取值范围是 ． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）二次函数的图像不经过第 象限． 地 城 考点02 二次函数的图象与的综合判断问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的其中一个交点在点和，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：；④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为，其中正确的个数为（） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象上有一点，对称轴是直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C． D． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的图象如图所示，下列说法：①；②；③若图象上有两点，，当时，；④（m为实数），正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ；；；；． 其中正确的是 （填序号） 地 城 考点03 二次函数图象的平移问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏南通·期中）将抛物线向下平移()个单位长度，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口大小改变 B．开口方向改变 C．顶点位置不变 D．对称轴不变 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）将函数的图象向左平移个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）将抛物线，先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得新抛物线的函数关系式为 ． 6．（24-25九年级上·江苏南通·期中）将抛物线向下平移1个单位长度，所得新抛物线的函数解析式为 ． 7．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若二次函数的图象沿轴向左平移个单位长度后经过坐标原点，则 ． 8．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的表达式为 ． 地 城 考点04 二次函数与一元二次方程的关系问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是(   ) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）若二次函数与轴有两个交点，则可能的值是（   ） A．5 B．3 C．1 D． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．与y轴交点坐标为 B．与x轴有两个公共点 C．当时，y随x增大而减小 D．对称轴为直线 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴交点的横坐标是（    ） A．0 B．2 C．0，2 D．0， 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知二次函数的自变量x与函数y的部分对应值列表如下： … 0 1 2 … … 0 5 … 下列说法：①；②函数图象的顶点坐标是；③函数图象与x轴的交点坐标是；④若，是函数图象上两点，则，其中说法正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为2个单位，则移动方式可为（    ） A．向上平移5个单位 B．向右平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向下平移2个单位 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知二次函数，图象上部分点的坐标的对应值如下表所示，则方程的根是 ． … 0 6 … … 0.52 －2 2 … 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的两根之和为 ． 9．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图是函数的部分图象，对称轴是直线，该函数图象与x轴正半轴的交点坐标是 ． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知代数式（a，c是常数）中，x与该代数式的部分对应值如下表： 0.0142 0.0832 根据表中数据，可知关于x的方程的一个根约为 ，另一个根约为 ．（都精确到0.1） 12．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是 ． 地 城 考点05 二次函数的图象与性质的综合解答题 一、解答题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． (1)抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； (4)当时，的取值范围是______． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求二次函数的表达式； (2)若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，以，，，为顶点的四边形的面积为 　 　； (3)将二次函数的图象向左平移个单位后恰好经过坐标原点，则的值为 　 　． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围 ； (3)将该函数图像沿x轴翻折，所得图像的函数表达式为 ． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知二次函数． (1)该二次函数的顶点坐标为____________； (2)求这条抛物线与x轴和y轴的交点坐标，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，并求出以这些交点为顶点所构成的图形的面积． 5．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知一个二次函数的图像经过，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围． 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知抛物线． (1)在所给的坐标系中画出抛物线的大致图象（不用列表、直接描点、连线）； (2)结合函数图象，直接写出： ①当时，x的取值范围为________； ②当时，y的取值范围为________； (3)将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线表达式为________（化为一般式）． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数． (1)画出这个函数的图像； (2)根据图像，直接写出答案： 函数值的最大值； 当时，函数值的取值范围． 8．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知抛物线， (1)在所给的坐标系中画出这条抛物线； (2)利用图象回答：x取什么值时，函数值小于0？ 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，直接写出x的取值范围 10．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知y是x的函数，下表中给出了几组x、y的对应值： x … 0 1 5 … y … 3 m 0 3 … (1)建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图象可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m的值； (2)结合图象回答问题：当x的取值范围是____________时，． 11．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数中的x，y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … … (1)当时， ①求a，b的值； ②点，点都在此二次函数的图象上，试比较p与q的大小； (2)若，，中有且只有两个是负数，求a的取值范围． 12．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 13．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知抛物线经过A，B，M三点，其中，定点M的坐标为，A，B两点的横坐标分别为，，且． (1)若抛物线过点，则它的对称轴是 ； (2)当时，二次函数的最大值为1，求a的取值范围； (3)记时二次函数的最大值为，最小值为，求的取值范围． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如表是二次函数的部分取值情况： x … 0 2 4 … y … c 3 5 … 根据表中信息，回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是 ； (2)求c的值，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (3)观察图象，写出时x的取值范围： ． 一、选择题地 城 考点06 二次函数与一次函数综合问题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知，在同一直角坐标系中一次函数，二次函数，一平行于x轴的直线与一次函数交于点，与二次函数图像交于、两点，若、、三点的横坐标分别为、、，且，则的值（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，小明从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的，，，，中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为（单位：），乘坐地铁的时间（单位：）是关于的一次函数，若小明骑单车的时间（单位：）也受的影响，其关系可以用来描述，则小明从文化宫回到家里所需的最短时间为（   ） A．39分钟 B．35分钟 C．39.5分钟 D．34.5分钟 二、填空题 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是 ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的上方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． (3)若该二次函数的图象经过上下平移后与坐标轴有两个公共点，请直接写出平移后的函数表达式． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． (1)判断函数的图象上是否存在“不动点”？如果存在，求出“不动点”的坐标；如果不存在，说明理由． (2)若二次函数的图像上存在两个“不动点”A，B，当时，求b的值； (3)已知二次函数，直线：，将该二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有3个“不动点”，直接写出m的值． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图像的“2倍点”．例如，点是函数的图像的“2倍点”． (1)一次函数的图像的“2倍点”的坐标是________，二次函数的图像的“2倍点”的坐标是________； (2)若关于x的二次函数（c为常数）的图像在上存在两个“2倍点”，求c的取值范围； (3)设关于x的函数的图像上有且只有一个“2倍点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图像上有两个“2倍点”分别为点B，点C（点B在点C的左侧），且，求m，n的值． 8．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B． (1)　　，　　； (2)若点M是第三象限内抛物线上的一动点，过点M作垂直于x轴，垂足为点C，交直线于点D，连接，当时： ①求点M的坐标； ②直线上是否存在点E，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)抛物线上是否存在点N（不与点A、B重合），使得O、A、B、N四点共圆，如果存在求出点N的坐标，如果不存在，请说明理由． 一、解答题地 城 考点07 二次函数与几何图形综合问题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； (2)连结，把所在的直线平移，使它经过原点，得到直线，点是上一动点，设以点为顶点的四边形面积为，点的横坐标为，当时，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使为以为直角边的直角三角形；若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已经抛物线经过点，且它的对称轴． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线线上的一点，当的面积为15时，直接写B的坐标； (3)P是对称轴上的一点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的上方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． (3)若该二次函数的图象经过上下平移后与坐标轴有两个公共点，请直接写出平移后的函数表达式． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，抛物线交轴于两点，顶点为． (1)求的面积； (2)在抛物线上求点，使． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图所示，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为 ；顶点的坐标为 ； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线（）分别交直线和抛物线于点，点为平面内任意一点，当点构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点 (1)求二次函数的表达式； (2)过点作轴的平行线交抛物线于点， ①如图1，点为抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； ②如图2，点为抛物线上一点，连接交轴于点，若，求点的坐标 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)结合函数图象，当时，直接写出y的取值范围：_____； (2)若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，二次函数与轴交于点和，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式和直线的表达式； (2)若点为二次函数的顶点，连接，求的面积． (3)将（1）中的二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合，再将其图像绕坐标原点逆时针旋转得到抛物线，若抛物线与直线交于两点，点是抛物线上位于直线左侧一个动点，连接，求的面积最大值． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图①，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为，连接，以为一边作正方形，连接，设的面积为，与t之间的函数关系如图②所示． (1)______，______； (2)当为何值时，的面积最小？请求出这个最小值； (3)当为何值时，为等腰三角形？请直接写出结果． 10．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，过点P作轴于点E，交于点G，作于点F． (1)点B的坐标是____________，点C的坐标是___________； (2)当时，求出点P的坐标； (3)当的周长最大时，求点P的坐标． 一、选择题地 城 考点08 二次函数的实际应用问题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）数学老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．同学们发现：洒水少了“发芽率”低，洒水多了要烂根，也会影响“发芽率”．通过实验，同学们发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：升）近似地满足函数关系（，，是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳的洒水量为（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，小明从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的，，，，中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为（单位：），乘坐地铁的时间（单位：）是关于的一次函数，若小明骑单车的时间（单位：）也受的影响，其关系可以用来描述，则小明从文化宫回到家里所需的最短时间为（   ） A．39分钟 B．35分钟 C．39.5分钟 D．34.5分钟 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、抛物线孔的，富有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化．如图1是某公园的一座抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升3米后，则水面宽等于（　　） A．4米 B．8米 C．米 D．米 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏南通·期中）小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是．有下列结论：①小球从飞出到落地需要；②小球的飞行高度可以是；③小球飞行的高度大于飞行的高度．其中正确的是 （填序号） 6．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度（米）与水平距离（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 米． 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）用一根长为的铁丝围成一个半径为r的扇形，则扇形的面积y与它的半径r之间的函数关系式是 ． 8．（24-25九年级上·北京·阶段练习）市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管喷出的抛物线形水柱在与喷泉管的水平距离为处达到最高，高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉管喷出的抛物线形水柱的函数关系式是 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙长为）的矩形菜园． (1)当围成的矩形面积为时，求的长； (2)当长为多少时，围成的矩形面积最大?面积最大值是多少? 10．（24-25九年级上·江苏南通·期中）某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：【注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）】 销售单价x（元） 日销售量y（件） 日销售利润w（元） (1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式； (2)①填空：该产品的成本单价是 元，表中a的值是 ； ②若商店规定该商品的销售单价不低于元，求该商品日销售利润的最大值． 11．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）书店销售某系列儿童书刊，每套进价90元，销售定价为130元，一天可以销售20套．为了扩大销售，尽快减少库存且确保盈利，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． (1)求出y与x的函数关系式； (2)若要书店每天盈利1050元，则每套书销售定价应为多少元最合适？ (3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？ 12．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某商品零售店预售2025年亚洲冬季运动会吉祥物．该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价．现在售价为每个50元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元，每天销售吉祥物的利润为W元． (1)求出W与x的函数关系式； (2)该零售店如何定价，才能使得每天的利润W最大，并求出最大利润； 13．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）“香梨”是新疆特产水果，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱． (1)现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？ (2)若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？最高是多少元？ 14．（24-25九年级上·江苏南通·期中）某种商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．经市场调查发现如下信息： 设每件商品的售价为x元，每星期可获得的销售利润为y元． (1)求y与x的函数解析式； (2)每件商品的售价定为多少元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是多少？ 15．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）． (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积为192平方米？ (3)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 16．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）某水果商场销售一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克， (1)若每千克涨价2元，则每天可售 千克．（直接写出答案）； (2)现该商场要保证这种水果每天盈利6000元，且尽可能减轻顾客负担，那么每千克应涨价多少元？ (3)商场每天能盈利7000元吗？为什么？ (4)请直接写出商场这种水果每天盈利的最大值为 元． 17．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社+农户”模式托起村民致富梦、村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为w元． (1)分别求出y与x，w与x之间的函数解析式； (2)该合作社计划日利润是1000元，求该农产品的售价； (3)若该农产品的日销量不低于90千克，当销售单价定为______元时，每天获取的利润最大，最大利润是______元． 18．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)求出与之间的函数关系式； (2)若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ (3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 19．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）我国是最早发明火箭的国家，制作火箭模型、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组设计制作的火箭，它的升空高度与飞行时间满足函数表达式．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞． (1)求点火后，该火箭的高度是多少？ (2)求火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时该火箭的高度是多少？ 20．（24-25九年级上·江苏南通·期中）海安大公千亩梨园硕果累累，大大提高了广大梨农的生活水平．每千克梨的成本为6元，每千克售价需超过成本，但不高于14元，已知日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，当每千克梨的售价为7元时，日销售量为220千克，每涨价1元日销售量减少20千克，设日销售利润为W元． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数解析式； (2)若日销量不低于160千克，当售价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元？ 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数 8大高频考点概览 考点01 二次函数的性质 考点02 二次函数的图象与的综合判断问题 考点03 二次函数图象的平移问题 考点04 二次函数与一元二次方程的关系问题 考点05 二次函数的图象与性质的综合解答题 考点06 二次函数与一次函数综合问题 考点07 二次函数与几何图形综合问题 考点08 二次函数实际应用问题 地 城 考点01 二次函数的性质 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）对于抛物线下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据抛物线的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：抛物线， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， 故①③正确， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．题目给出了抛物线的顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握：的顶点坐标是是解题的关键． 根据的顶点坐标是求解作答即可． 【详解】解：由题意知，这条抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数的图像经过点，点，点．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，根据及点得到对称轴及，之间关系，将代入结合性质求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴A选项错误，不符合题意， 当时，， ∵， ∴，， ∴， ∴B选项错误，不符合题意， ∵时y随x增大而减小， ∵， ∴， 故D选项正确，符合题意， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故C选项错误，不符合题意， 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，由，可得，即知，故得，解题关键是根据已知求出b与a的关系． 【详解】∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：D． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在二次函数的图像上有三个点则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的增减性：当二次项系数时，离对称轴越远的点，函数值越大；时，离对称轴越远，函数值越小．由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，故；进而得离对称轴最近，离对称轴最远，从而即可得解． 【详解】解：∵二次函数可知， ∴对称轴为，图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴三点中，离对称轴最近，离对称轴最远． 综上所述： ． 故选B． 7．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．的最大值是5 B．的最小值是 C．的最大值是4 D．的最小值是 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据函数解析式，可得到图象的开口方向和顶点坐标，从而得到最值． 【详解】解：∵函数的图象为抛物线， ∴图象的开口向上，顶点坐标为， ∴y有最小值是． 故选：D． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知，都在函数的图象上，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，都在函数的图象上，且， ∴； 故选C． 二、填空题 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）设是抛物线上的三点，则的大小关系为 ．（用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 而离直线的距离最远，在直线上， ． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 直接根据顶点式可求得答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用二次函数的性质进行推理是解答本题的关键． 根据二次函数的图象上点的坐标特征得出结果即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，当时，函数值随自变量的增大而增大， ∵关于直线的对称点为，，，， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）写出一个当时，y的值随着x值增大而减小的二次函数表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：由题意得，（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 13．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）函数的最大值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， 函数的最大值是7， 故答案为：7． 14．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知关于x的二次函数的最小值为4，设，则z的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数最小值为4得到，之间的关系，代入中根据二次函数的性质求解即可得到答案； 【详解】解：二次函数的对称轴直线为， ∵的最小值为4， ∴，，解得：， ∴， ∴， ∴对称轴直线为：， ∵，， ∴时最大， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）二次函数的图像不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到该函数图象不经过哪个象限． 【详解】解：当时， ∵， ∴该函数图象的顶点坐标为且经过点，函数图象开口向上， ∴该函数图象不经过第三象限， 故答案为：三． 地 城 考点02 二次函数的图象与的综合判断问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的其中一个交点在点和，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由时函数取最大值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为值， ∴，， ∴，①②正确． ∵时， ∴时，，③不正确． 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，④正确． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质“对于二次函数，开口向上，开口向下”，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示， ∴， ∴， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数系数与图像的关系是解本题的关键． 根据图像可知：，从而可判断结论①；根据对称轴得出，当时，可得结论②；当时可得结论③；当时，，根据，可得出，从而判断结论④． 【详解】解：根据图像可知：， ∴，故①正确； ∵对称轴是直线， ， ，即， 当时，， 即，故②正确； 当时，， 即，故③错误； 当时，， ， ， 即，故④错误； 故正确的结论有①②共2个， 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：；④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为，其中正确的个数为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①抛物线开口向上，则，故正确； ②由图象可知：抛物线与轴无交点，即 ，故错误； ③由图象可知：抛物线过点， 即当时，， 当时，， ，即， ，故正确； ④∵是抛物线向上移动2个单位得到， ∴与x轴没有交点，即关于x的方程没有实数根，故错误； ⑤点在直线上， 由图象可知，当时，抛物线在直线的下方， 的解集为，故正确； 故正确的是①③⑤，正确个数为3个， 故选：B． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象上有一点，对称轴是直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象开口，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数图象中，数形结合分析各项系数的符号是解题的关键． 根据二次函数图象过点，对称轴直线为可得，，可判定结论②；根据二次函数图象的开口，与的交点可判定结论①；根据二次函数图象的顶点坐标可得判定结论③；根据二次函数图象的增减性可判定结论④；由此即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象 上有一点， ∴， ∵对称轴是直线， ∴，则， ∴， ∴，故②正确； 根据图示可得，图形开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵根据图象可知，当二次函数对称轴直线为，二次函数有最大值，且在轴上方， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵根据二次函数图象可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个， 故选：C ． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质和一次函数的性质，根据二次函数的性质得对称轴为直线，可判断C；再由二次函数的性质和一次函数的性质对、的符号进行逐项判断，即可求解；掌握二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： 对称轴为直线，当时，则有，即抛物线与y轴的交点坐标为， 故C错误，不符合题意； A．由抛物线的图象得，顶点坐标为，且，所以一次函数交y轴于正半轴，且经过第一、二、四象限，故此项符合题意； B．由抛物线的图象得，由一次函数图象得，符号不一致，故此项错误，不符合题意； D．由一次函数图象得，，则由抛物线的顶点坐标可知，所以前后矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的图象如图所示，下列说法：①；②；③若图象上有两点，，当时，；④（m为实数），正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题关键是能根据图象得出各系数之间的相等关系；本题应先判断出a、b和c的符号，再根据对称轴和图象上的关键点得出和当时y的值最小等信息，即可求解． 【详解】解：由图象可知：， ∴， ∴，故①错误； ，故②正确； ∵， ∴点，可能都位于对称轴的左侧， ∴当点，都位于对称轴的左侧，且点在点的右侧时，，故③错误； 由图象可知，当时y的值最小， ∴（m为实数），即（m为实数）成立，故④正确； 综上分析可知：正确的有2个． 故选：B． 8．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考二次函数图象与系数之间的关系，解决问题的关键是利用对称轴求与的关系，以及二次函数特殊值的运用． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与或进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A、由函数图象开口向下可知，，由图象与轴的交点在轴正半轴可知，，由对称轴，，可知， 所以，故A选项错误，不符合题意； B、当时，对应得到，故B选项错误，不符合题意； C、由图象知：当时，， ∴，故C选项错误，不符合题意； D、由对称轴得，又，代入得， ∴得，故D正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③ 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过，则得②的判断；根据图象经过可得到之间的关系，从而对②作判断；利用，可判断③；从图象与y轴的交点B在和之间可以判断c的大小可判断④，由此即可得出结论． 【详解】①由抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线， ∴，， 又∵， ∴，故①是正确的； ②二次函数的图象与x轴交于点， ∴二次函数的图象与x轴另一交点为， ∴当时，，故②是错误的； ③∵二次函数的图象与y轴的交点在的下方， ∴最小值为， ∵， ∴，故③正确； ④∵图象与y轴的交点B在和之间， ∴， ，， 且二次函数的图象与x轴交于点， ∴当时，， 即， ∴， ∴．故④错误； 故答案为：①③． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ；；；；． 其中正确的是 （填序号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线开口向下则，又抛物线的对称轴为直线，则，由抛物线交轴于正半轴，则，即可判断；由对称轴对称轴的取值范围，可得的正负，即可判断；由抛物线经过得（），由图知，当时，得（），由图知，当时，，得（），联立（）、（）、（）便可求得的取值范围，即可判断；由抛物线的对称轴，，得，进而得，即可判断；由当得，由得，进而得的取值范围，即可判断；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∴， 故不正确； ∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴， 故正确； ∵抛物线经过， ∴（）， 由图知，当时，， ∴（）， 由图知，当时，， ∴（）， 联立（）（）得， 联立（）（）得， ∴， ∴， 故错误； ∵抛物线的对称轴， ∴抛物线的顶点纵坐标应该大于， ∴， ∵， ∴， ∴， 故正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴， 故正确； 综上：正确的结论是， 故答案为：． 地 城 考点03 二次函数图象的平移问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏南通·期中）将抛物线向下平移()个单位长度，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口大小改变 B．开口方向改变 C．顶点位置不变 D．对称轴不变 【答案】D 【分析】本题考查看二次函数平移，二次函数图象和性质，由平移可得平移后的抛物线的解析式为，据此即可判断求解，掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移()个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∴平移前后的抛物线开口大小和方向没有改变，对称轴不变，顶点位置变化了， ∴选项错误，选项正确， 故选：． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据二次函数平移的规则“左加右减，上加下减”，逐步进行平移变换即可求解． 【详解】解：将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是， 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）将函数的图象向左平移个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的平移，二次函数图象与性质，先把二次函数转化为，再由抛物线平移规律：左加右减、上加下减，根据题中平移要求即可得到答案，熟记函数平移规律是解题的关键． 【详解】解：由， ∵函数的图象向左平移个单位， ∴平移后得解析式为， ∴顶点坐标为， 故选：． 4．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行作答即可． 【详解】解：∵把抛物线向下平移2个单位长度， ∴ ∵再向右平移1个单位长度， ∴ 故选：D 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）将抛物线，先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得新抛物线的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线，先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得新抛物线的函数关系式为，即． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏南通·期中）将抛物线向下平移1个单位长度，所得新抛物线的函数解析式为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上间1即可得新函数解析式． 【详解】解：∵向下平移1个单位长度， ∴新抛物线为． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若二次函数的图象沿轴向左平移个单位长度后经过坐标原点，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了二次函数图象的平移；把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴沿轴向左平移个单位长度后的函数解析式为， ∵函数图象经过坐标原点， ∴， 解得或． 故答案为：或． 8．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的表达式为， 故答案为：． 地 城 考点04 二次函数与一元二次方程的关系问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）若二次函数与轴有两个交点，则可能的值是（   ） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴交点问题，二次函数的图象与轴有两个交点，则其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据得到关于的方程，解之即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个交点， 方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．与y轴交点坐标为 B．与x轴有两个公共点 C．当时，y随x增大而减小 D．对称轴为直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解： 当时，， 图象与y轴的交点坐标为，故A不符合题意； ， 图象与x轴没有交点，故B不符合题意； ∵，即：抛物线的开口向上，且对称轴为， 当时，y的值随x值的增大而减小，故C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴交点的横坐标是（    ） A．0 B．2 C．0，2 D．0， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与轴交点，令，然后解方程即可． 【详解】解：令，得 ， 解得． 故选D． 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知二次函数的自变量x与函数y的部分对应值列表如下： … 0 1 2 … … 0 5 … 下列说法：①；②函数图象的顶点坐标是；③函数图象与x轴的交点坐标是；④若，是函数图象上两点，则，其中说法正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．先求出抛物线的对称轴为直线，可得抛物线的顶点坐标为，可判断①②；再由函数图象与x轴的一个交点坐标是，可得函数图象与x轴的另一个交点坐标，可判断③，；根据二次函数的性质可判断④． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为，即函数有最小值， ∴抛物线开口向上， ∴，故①②正确； ∵函数图象与x轴的一个交点坐标是， ∴函数图象与x轴的另一个交点坐标是， 即函数图象与x轴的交点坐标是故③正确； ∵，，是函数图象上两点， ∴，故④正确． 故选：D 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为2个单位，则移动方式可为（    ） A．向上平移5个单位 B．向右平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向下平移2个单位 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数与轴的交点，二次函数的平移问题． 根据二次函数平移的规律：上加下减，左加右减，求解即可． 【详解】解：∵二次函数为， 当函数向下平移5个单位时，函数解析式变为：， 此时与x轴有两个交点分别为：与，相距2个单位， ∴当函数向下平移5个单位时，能够满足题意； 故选：C． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知二次函数，图象上部分点的坐标的对应值如下表所示，则方程的根是 ． … 0 6 … … 0.52 －2 2 … 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质． 先利用表中对应值得到，方程化为，然后利用时，可判断为方程的根． 【详解】解：把代入得， 方程化为， 时，， 为方程的根， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的两根之和为 ．    【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象与一元二次方程的根，二次函数的性质以及根与系数的关系，数形结合是解题的关键．由图可知二次函数的对称轴为，得到，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， ， 关于的方程的两根之和为， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图是函数的部分图象，对称轴是直线，该函数图象与x轴正半轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性，解题关键是掌握二次函数的性质．由抛物线与x轴交点坐标为及抛物线的对称轴求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线对称轴为直线， 另一交点的横坐标为， ∴抛物线与x轴另一交点坐标为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，根据图象，找到直线在抛物线下方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，或； 故答案为：或 11．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知代数式（a，c是常数）中，x与该代数式的部分对应值如下表： 0.0142 0.0832 根据表中数据，可知关于x的方程的一个根约为 ，另一个根约为 ．（都精确到0.1） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，关键是观察表格，确定代数式值由负到正时，对应的的取值范围．由表格可知的值在之间，代数式的值由负到正，故可判断时，对应的的值在之间，然后利用根与系数的关系即可求得另一个根． 【详解】解：设方程的两个根、， ， 由表格可知的值在之间，代数式的值由负到正， 关于的方程的一个根约为， 则， 则另一个根约为， 故答案为：，0.7． 12．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点，解题的关键在于掌握：的图象与x轴没有交点，即无解． 由二次函数的图象与x轴没有交点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像与轴没有公共点， ∴， 解得． 故答案为： ． 地 城 考点05 二次函数的图象与性质的综合解答题 一、解答题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． (1)抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； (4)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3) (4)或； 【分析】本题考查了二次函数图像及性质，以及函数平移，解题关键是熟悉二次函数的图像和性质. （1）利用配方法求出写出顶点式即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据题意由函数平移原则“左加右减，上加下减”写出即可； （4）根据函数图像可求解. 【详解】（1）解： 故 ∵点C在y轴上 ∴ 故答案为：， （2）如图： （3）二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位； 则： 故答案为：； （4）∵，由图像可得：或； 故答案为：或. 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求二次函数的表达式； (2)若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，以，，，为顶点的四边形的面积为 　 　； (3)将二次函数的图象向左平移个单位后恰好经过坐标原点，则的值为 　 　． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】设二次函数的表达式为，利用待定系数法将三点坐标代入即可求得抛物线的解析式； 利用抛物线的解析式求得，的坐标，可知，利用配方法求得顶点的坐标，则的边上的高为点的纵坐标的绝对值，利用与轴交于点坐标可得，则的的边上的高为的值，利用，，，为顶点的四边形的面积为：； 用抛物线的平移规律得到平移后的解析式得到抛物线的解析式为，平移后恰好经过坐标原点，把原点坐标代入解析式可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， 由题意得：， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：当时，有， 解得：，， 二次函数的图象与轴交于、两点， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， 顶点的坐标为， 抛物线与轴交于点， 当时，可得：， 点的坐标为， ， ，， 以，，，为顶点的四边形的面积为： ， 故答案为：； （3）解：由题意：将二次函数的图象向左平移个单位后的解析式为：， 将二次函数的图象向左平移个单位后恰好经过坐标原点， ， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与轴的交点，抛物线上点的坐标的特征，抛物线的平移的性质，解决本题的关键是利用抛物线的平移规律得到平移后的解析式，再把原点的坐标代入平移后的解析式得到关于的方程． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知抛物线经过，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围 ； (3)将该函数图像沿x轴翻折，所得图像的函数表达式为 ． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，待定系数法，求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）待定系数法求出抛物线的解析式即可． （2）根据图像直接写出时，函数值的范围即可． （3）根据函数图像沿x轴翻折抛物线形状不变，开口向上，顶点的坐标为，待定系数法求出解析式即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点的坐标为， 当时，的取值范围为：， 故答案为：； （3）解：根据函数图像沿轴翻折，抛物线形状不变，开口向上， 顶点的坐标为， 设翻折后的解析式为， 将点代入得：，解得， 翻折后的解析式为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知二次函数． (1)该二次函数的顶点坐标为____________； (2)求这条抛物线与x轴和y轴的交点坐标，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，并求出以这些交点为顶点所构成的图形的面积． 【答案】(1) (2)，，，图像见解析，3 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，一般式化为顶点式，二次函数的图象，熟练掌握相关知识为解题关键． （1）把一般式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标； （2）通过计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标，再利用描点法画出二次函数图象，然后利用三角形面积公式计算抛物线与x轴和y轴的交点所组成的三角形的面积． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； 故答案为：； （2）当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 如图， 这条抛物线与x轴和y轴的交点所组成的三角形的面积． 5．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知一个二次函数的图像经过，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）先求得二次函数的顶点坐标，则可得当时，y取最小值，再结合 自变量m的范围，进而根据二次函数图像的性质求解即可； 本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 根据题意得，解得：， ∴． （2）解：∵， ∴二次函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当时，y取最小值， 当时，；当时，， ∴当时，n的取值范围是． 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知抛物线． (1)在所给的坐标系中画出抛物线的大致图象（不用列表、直接描点、连线）； (2)结合函数图象，直接写出： ①当时，x的取值范围为________； ②当时，y的取值范围为________； (3)将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线表达式为________（化为一般式）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题考查了画二次函数的图象、二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用描点法画出函数图象即可得； （2）①结合函数图象，找出函数图象位于轴上方时，的取值范围即可； ②先求出和时，的值；以及顶点坐标，再根据二次函数的增减性求解即可得； （3）根据二次函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”求解即可得． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 在所给的坐标系中画出抛物线的大致图象如下： ． （2）解：①∵当和时，， ∴结合函数图象可知，当时，， 故答案为：． ②二次函数的顶点坐标是，对称轴是直线， ∴在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∵当时，；当时，， ∴当时，， 故答案为：． （3）解：将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线表达式为，即为， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数． (1)画出这个函数的图像； (2)根据图像，直接写出答案： 函数值的最大值； 当时，函数值的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了画二次函数的图像—五点作图法，函数最大值以及求相应自变量范围内的函数值的取值范围，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据五点作图法的步骤：列表；描点；画图；即可解答； （2）根据函数的图像即可求得； 根据函数的图像即可求得． 【详解】（1）解：列表： 描点，画图，二次函数的图像如下所示： ； （2）解：由图像可知，函数最大值是； 当时， 当时，， 所以函数值的取值范围：． 8．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知抛物线，      (1)在所给的坐标系中画出这条抛物线； (2)利用图象回答：x取什么值时，函数值小于0？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，函数值小于0． 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，能根据题意画出图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． （1）利用列表、描点、连线即可解决； （2）直接根据函数图象可得出结论． 【详解】（1）解：列表： x ... 0 1 2 3 ... y ... 0 0 ... 描点、连线，   ； （2）解：由函数图象知，当抛物线在x轴上方时， ∴当时，函数值小于0． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，直接写出x的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，得，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：将，，代入，得 解得： ∴ （2）解：当时， 解得：， 根据函数图象可得当时， 10．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知y是x的函数，下表中给出了几组x、y的对应值： x … 0 1 5 … y … 3 m 0 3 … (1)建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图象可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m的值； (2)结合图象回答问题：当x的取值范围是____________时，． 【答案】(1)画图见解析，它是二次函数，函数得表达式为， (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数的图象，图象法解一元二次不等式，数形结合是解题的关键； （1）建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接即可作图，根据所作图形可判断函数类型，再根据待定系数求解析式，把代入所求解析式即可求m； （2）根据图象可知，取x轴上及其上方的图象对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图， 由图象可知，它是我们学过的二次函数， 设二次函数的解析式为：， 把代入得， ， 解得， 二次函数的解析式为， 当时，； （2）解： 由图象可知，抛物线与x轴的交点为：， 结合图象可知：当或时，， 故答案为：或． 11．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数中的x，y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … … (1)当时， ①求a，b的值； ②点，点都在此二次函数的图象上，试比较p与q的大小； (2)若，，中有且只有两个是负数，求a的取值范围． 【答案】(1)①a的值为1，b的值为；②当时，；当时，；当时，； (2)a的取值范围是：． 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将，和，代入，得出关于a，b的方程，再对其进行求解即可． ②根据①中所求函数解析式，结合m的取值范围即可解决问题． （2）根据所给表格，得出抛物线的对称轴为直线，再结合，，中有且只有两个是负数，得出及这两个负数只能是和，据此可解决问题． 【详解】（1）解：①由题知， 将，和，代入得， ， 解得， ∴a的值为1，b的值为； ②由①知，抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 则当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 综上所述，当时，；当时，；当时，； （2）解：∵当和2时，函数值都是， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当和3时，函数值相等， 即． 又∵，，中有且只有两个是负数， ∴这两个只能是和，且， 则，且． 又∵， 则， ∴， ∴， 综上所述，a的取值范围是：． 12．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)该二次函数图象的顶点坐标为 (2)该二次函数图象与y轴的交点为；该二次函数图象与x轴的交点为和 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及化为顶点式、与坐标轴的交点和函数值取值范围， （1）利用配方法化为顶点式即可； （2）令和解方程即可求得交点； （3）根据二次函数的开口方向、对称轴和交点距离即可求得y的范围． 【详解】（1）解： ， 该二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：令，则， 该二次函数图象与y轴的交点为； 令，则， 解得：，， 该二次函数图象与x轴的交点为和． （3）解：∵，对称轴为 ∴当时，y有最小值为， ∵， ∴当时，y有最大值为12， ． 13．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知抛物线经过A，B，M三点，其中，定点M的坐标为，A，B两点的横坐标分别为，，且． (1)若抛物线过点，则它的对称轴是 ； (2)当时，二次函数的最大值为1，求a的取值范围； (3)记时二次函数的最大值为，最小值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线过点求得a，代入抛物线即可求得对称轴； （2）根据抛物线经过定点M代入求的m的值，结合二次函数的对称轴求得M的对称点为，结合已知条件找到不等式和求解即可； （3）由（2）知解得，结合对称轴与和位置关系分三种情况求解，（i）当时，（ii）当时，（iii）当时，分别求得对应的最大值和最小值，进一步结合二次函数的性质求得其取值范围，结合三种情况的范围求其公共部分即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线 则它的对称轴； （2）解：∵抛物线经过定点M的坐标为， ∴，化解为，则，解得， 那么，定点M的坐标为， ∵抛物线的对称轴为， ∴M的对称点为， ∵当时，二次函数的最大值为1， ， ， 又由， 可知， ； （3）解：由（2）知，，且， 则，解得， （i）当时， 则时取最大值；时取最小值，， ， 当时，， 当时，， ． （ii）当时， 则时取最大值；时取最小值，， ， 当时，， 当时，， ． （iii）当时， 则时取最大值；时取最小值，， ， 当时，， 当时，， ． 综上，． 【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质、过定点、二次函数最值问题、解不等式、二次函数与对称轴之间的关系，解题的关键是熟悉二次函数的性质和分类讨论思想的应用． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如表是二次函数的部分取值情况： x … 0 2 4 … y … c 3 5 … 根据表中信息，回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是 ； (2)求c的值，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (3)观察图象，写出时x的取值范围： ． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，也考查了二次函数的图象与性质． （1）把一组已知的对应值代入中可求出c的值，然后利用配方法把抛物线解析式配成顶点，从而得到抛物线的顶点坐标； （2）通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标为，，再利用描点法画出二次函数图象； （3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 故答案为：； （2）解：由（1）得， 当时，，解得，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 如图， （3）解：由函数图象可发现：当时，， 故答案为：． 一、解答题地 城 考点06 二次函数与一次函数综合问题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； (2)连结，把所在的直线平移，使它经过原点，得到直线，点是上一动点，设以点为顶点的四边形面积为，点的横坐标为，当时，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使为以为直角边的直角三角形；若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)且 (3)或或 【分析】（1）根据轴对称的性质可求得点的坐标，将点的坐标代入即可求出抛物线的解析式，进而通过求函数值可求出顶点的坐标； （2）根据点、的坐标，利用待定系数法易求得直线的解析式，进而可确定直线的解析式，于是可表示出点的坐标，过点作轴交轴于点，连接，求出，分三种情况：当时，，不合题意；当时，点位于第四象限，过点作轴交轴于点，连接，得出，利用，代入求解即可；当时，点位于第二象限，设交轴交于点，得出，利用，代入求解即可； （3）根据（2）的结论，可求出的最大值，由此可得到点的坐标；若为直角三角形且为直角边，那么有两种情况需要考虑：，；过点、分别作直线、垂直于直线，在直线上的点右侧取点，过点作轴交轴于点，在直线上的点右侧取点，过点作轴交轴于点，于是可求出直线、的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：点与点关于直线对称， 点的横坐标， ， 将点坐标代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，， 顶点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， ，， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 把所在的直线平移得到直线， 直线， 可设直线的解析式为， 直线经过原点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点是上一动点且点的横坐标为， 点的坐标为， 过点作轴交轴于点，连接， 则，， ∴， ∴当时，，不合题意； 当时，点位于第四象限，如图，过点作轴交轴于点，连接， 则， ， ， ， 解得：， 当时，点位于第二象限，如图，设交轴交于点， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴ ， ， ， 解得：， 综上，且， 即：的取值范围是且； （3）解：存在，点的坐标为或或， 理由如下： 由（2）可知：的最大值为，则， 如图，过点、分别作直线、垂直于直线，在直线上的点右侧取点，过点作轴交轴于点，在直线上的点右侧取点，过点作轴交轴于点， ， ， ， ， ， ， 直线直线， ， ， ， ， 设点的坐标为， ， 直线过原点， 可设直线的解析式为， 将点代入直线的解析式，得： ， ， 直线的解析式为， 直线直线，直线直线， ，， ， 直线平行于直线， 可设直线的解析式为， 将点代入直线的解析式， 得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线的解析式，可得： ， 解得：，， 其中，即为原点，不合题意，故舍去， ； 联立直线与抛物线的解析式，可得： ， 解得：，， ，； 综上所述：点的坐标为或或， 答：当取最大值时，抛物线上存在点，使为直角三角形且为直角边；此时，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数与面积问题，二次函数与直角三角形存在性问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象平移问题，二次函数与一次函数交点问题等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已经抛物线经过点，且它的对称轴． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线线上的一点，当的面积为15时，直接写B的坐标； (3)P是对称轴上的一点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 【答案】(1) (2)或或或 (3)点时，的值最大为， 【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设，设的解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，再求出点C的坐标，进而可得出，代入即可求出a的值，进而可求出点B的坐标，再当时，求的面积是否为15进而可得出点B 的另一个坐标． （3）做点O的对称点，连接交对称轴于点P，则，有，当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值，利用待定系数法求得直线的直线方程为，当时求得，则点时，的值最大，并利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解： 抛物线经过点， ∴设抛物线为： 抛物线过，且它的对称轴为． 解得： ∴抛物线为：； （2）解：设， 设的解析式为：， 则， 解得：， 则 的解析式为：， 当时，则， 解得：， 侧， ∴ ∵ ∴， 解得：或或或（舍去）， 此时点，或， 当时，则直线为，平行于x轴 此时， ，满足题意， 综上：则或或或． （3）解：做点O的对称点，连接交对称轴于点P，如图， 则， ∴， 当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值， 设直线的直线方程为， 则，解得， ∴直线的直线方程为， 当时，， 那么，点时，的值最大，． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、等面积法、对称的性质、三角形三边关系和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉二次函数的性质和对称性． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的上方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． (3)若该二次函数的图象经过上下平移后与坐标轴有两个公共点，请直接写出平移后的函数表达式． 【答案】(1) (2)8 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b、c； （2）由（1）可得：，设，作，交于E，则，则，得出面积，即可解答； （3）平移后的抛物线与坐标轴有两个公共点，则，即可求解；此外当抛物线过原点时，也符合题意，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，； 当时，， ∴，， 把，代入得 ，解得； （2）解：由（1）得函数表达式为， 设，作，交于E． 则， ∴， 则， ∴当时，的面积的最大值为8； （3）解：设抛物线平移的距离为t， 则平移后的抛物线表达式为：， ∵平移后的抛物线与坐标轴有两个公共点， ∴与轴有一个交点，与轴只有一个交点，或者抛物线过原点且与轴有两个交点， 当与轴只有一个交点时，， 解得：， 则平移后的抛物线表达式为：， 当抛物线过原点时，，即， 此时抛物线的表达式为：， 综上，或． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，抛物线交轴于两点，顶点为． (1)求的面积； (2)在抛物线上求点，使． 【答案】(1)的面积是； (2)点的坐标为：，，，． 【分析】（）根据抛物线的性质得到，，，所以是底边为，高为的等腰三角形，利用三角形的面积公式可以求出三角形的面积； （）根据的面积是的面积的一半，得到点的纵坐标为，然后代入抛物线可以求出点的横坐标，确定点的坐标； 本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 设，则， ∴，，， ∴，， ∴； ∴的面积是； （2）解：∵，即， ∴， ∴点的纵坐标为， 当时，代入抛物线有：，得：； 当时，代入抛物线有：，得：； ∴点的坐标为：，，，． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图所示，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为 ；顶点的坐标为 ； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线（）分别交直线和抛物线于点，点为平面内任意一点，当点构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值是，点的坐标为 (3)或或或 【分析】（）令可得点的坐标，将抛物线的解析式配方后可得点的坐标； （）如图，连接，设点的坐标为，根据计算后配方即可解答； （）先根据待定系数法可求得直线的解析式为，设，则，分三种情况：①如图，当时，；②当为对角线时，点与的中点在轴上；③如图，当时，分别列方程可解答即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴； ∵， ∴顶点的坐标为； 故答案为：；； （2）解：如图，连接， 设点的坐标为， 令时，则， 解得，， ∴， ∴， 由（）知：， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值是， 此时点的坐标为； （3）解：设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴，， 分三种情况： ①如图，当时，， ∴或， 解得（不合，舍去），，， ∴点的坐标为或； ②当为对角线时， ∵，四边形是菱形， ∴的中点在轴上， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴； ③如图，当时，则， ∴， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，菱形的性质等知识，本题综合性较强，掌握二次函数的图象和性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点 (1)求二次函数的表达式； (2)过点作轴的平行线交抛物线于点， ①如图1，点为抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； ②如图2，点为抛物线上一点，连接交轴于点，若，求点的坐标 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）将点和点代入抛物线解析式求解； （2）①先求出点的坐标，抛物线的对称轴，进而求出点的坐标，设，由勾股定理来求解； ②设交轴于，延长到，根据题意得到，即可得，设，利用勾股定理求出点的坐标，进而求出直线的解析式，再与抛物线联立组成方程组求出交点坐标． 【详解】（1）解：把点和点代入中得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①在中，令得， ∴． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵过点作轴的平行线交抛物线于点， ∴与关于直线对称， ∴． 设， ∵， ∴． ， ，， ， ∴， 解得或， ∴的坐标为或； ②设交轴于，延长到． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设， ，， ， 解得， 点． 设直线的解析式为， 将点和代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，等腰三角形判定与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)结合函数图象，当时，直接写出y的取值范围：_____； (2)若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为4． 【分析】（1）根据抛物线解析式求得当和时y的值，再结合函数图象作答即可； （2）过点M作轴于点N，连接，设点，则，，根据构建二次函数，利用二次函数的性质求出最大值即可解决问题． 【详解】（1）解：对于， 令，则，即， 令，则， 由函数图象知，当时，y的取值范围为， 故答案为：． （2）如图，过点M作轴于点N，连接， 令，则， 解得：， ， 设，则，， ， ， ， ， 当时，有最大值为4， 四边形面积的最大值为4． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与性质、二次函数的面积问题、二次函数的最值问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，二次函数与轴交于点和，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式和直线的表达式； (2)若点为二次函数的顶点，连接，求的面积． (3)将（1）中的二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合，再将其图像绕坐标原点逆时针旋转得到抛物线，若抛物线与直线交于两点，点是抛物线上位于直线左侧一个动点，连接，求的面积最大值． 【答案】(1)，直线的表达式为； (2)； (3)． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）由得抛物线的顶点，过点作轴于，如图，则，从而根据即可得解； （3）由平移得平移后的二次函数表达式为，由，为绕坐标原点逆时针旋转后抛物线上的两点，且，在直线上，记旋转前，的对应点为，得在直线绕坐标原点顺时针旋转后的图像上，设直线绕坐标原点顺时针旋转后的表达式为，求得，进而得，由旋转性质得，过点作直线轴交直线于点，设则，根据铅锤法求得的面积函数，从而利用二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：把和，分别代入，得 解得，， ∴抛物线的表达式为， 当时，， ∴， 设直线的为， 把、分别代入，得 ， 解得∶ ∴直线的表达式为； （2）解：， ∴抛物线的顶点， 过点作轴于，如图，则， ∵、，， ． （3）解：∵，二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合， ∴平移后的二次函数表达式为， ∵，为绕坐标原点逆时针旋转后抛物线上的两点，且，在直线上， 记旋转前，的对应点为， ∴在直线绕坐标原点顺时针旋转后的图像上， 设直线绕坐标原点顺时针旋转后的表达式为 ∵点、，绕坐标原点顺时针旋转后对应点为，， ∴ 解得， 所以 联立 解得， ∴， ∵为旋转后抛物线上，左侧动点， ∴旋转前的对应点在上且在直线上方，， 过点作直线轴交直线于点， 设则， ∴， ∴ ， 当时，有最大值， ∴最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移、旋转的性质，二次函数的性质，待定系数法求二次函数，求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的平移、旋转的性质及二次函数的性质是解题的关键． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图①，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为，连接，以为一边作正方形，连接，设的面积为，与t之间的函数关系如图②所示． (1)______，______； (2)当为何值时，的面积最小？请求出这个最小值； (3)当为何值时，为等腰三角形？请直接写出结果． 【答案】(1)2，5 (2)当时，的面积最小，且最小值为 (3)当或或时，为等腰三角形 【分析】（1）根据图②的面积，可得矩形的长和宽； （2）由题意得，，根据三角形的面积公式可得y与t的关系式，由图②得：，代入可得结论； （3）当为等腰三角形时，分三种情况进行讨论，根据全等三角形的性质计算和的长，可得t的值． 【详解】（1）解：图②知，， 当时，P与A重合，， 即， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：2，5； （2）由题意得，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 当时，的面积最小，且最小值为； （3）当为等腰三角形时，分三种情况： 当时，如下图所示，过F作于G， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； 当时，如下图所示，点E在的延长线上，此时四边形是正方形，， ； 当时，如下图所示，过点E作于点G， ， ， 同理得：， ， ， 综上所述：当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理得运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强． 10．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，过点P作轴于点E，交于点G，作于点F．    (1)点B的坐标是____________，点C的坐标是___________； (2)当时，求出点P的坐标； (3)当的周长最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式等知识． （1）分别令，，即可求解； （2）利用待定系数法可得直线的解析式为，设点P的坐标为，则点G的坐标为，可得，再根据，建立方程求解即可； （3）先证得是等腰直角三角形，可得，设点P的坐标为，则点G的坐标为，可得，进而可得的周长，运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴点； 故答案为：；； （2）解：设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点G的坐标为， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：或3， ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点，点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点P的坐标为，则点G的坐标为， ∴， ∴的周长 ， ∴当时，的周长最大，最大值为，此时点P的坐标为． 一、解答题地 城 考点07 二次函数与几何图形综合问题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； (2)连结，把所在的直线平移，使它经过原点，得到直线，点是上一动点，设以点为顶点的四边形面积为，点的横坐标为，当时，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使为以为直角边的直角三角形；若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)且 (3)或或 【分析】（1）根据轴对称的性质可求得点的坐标，将点的坐标代入即可求出抛物线的解析式，进而通过求函数值可求出顶点的坐标； （2）根据点、的坐标，利用待定系数法易求得直线的解析式，进而可确定直线的解析式，于是可表示出点的坐标，过点作轴交轴于点，连接，求出，分三种情况：当时，，不合题意；当时，点位于第四象限，过点作轴交轴于点，连接，得出，利用，代入求解即可；当时，点位于第二象限，设交轴交于点，得出，利用，代入求解即可； （3）根据（2）的结论，可求出的最大值，由此可得到点的坐标；若为直角三角形且为直角边，那么有两种情况需要考虑：，；过点、分别作直线、垂直于直线，在直线上的点右侧取点，过点作轴交轴于点，在直线上的点右侧取点，过点作轴交轴于点，于是可求出直线、的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：点与点关于直线对称， 点的横坐标， ， 将点坐标代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，， 顶点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， ，， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 把所在的直线平移得到直线， 直线， 可设直线的解析式为， 直线经过原点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点是上一动点且点的横坐标为， 点的坐标为， 过点作轴交轴于点，连接， 则，， ∴， ∴当时，，不合题意； 当时，点位于第四象限，如图，过点作轴交轴于点，连接， 则， ， ， ， 解得：， 当时，点位于第二象限，如图，设交轴交于点， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴ ， ， ， 解得：， 综上，且， 即：的取值范围是且； （3）解：存在，点的坐标为或或， 理由如下： 由（2）可知：的最大值为，则， 如图，过点、分别作直线、垂直于直线，在直线上的点右侧取点，过点作轴交轴于点，在直线上的点右侧取点，过点作轴交轴于点， ， ， ， ， ， ， 直线直线， ， ， ， ， 设点的坐标为， ， 直线过原点， 可设直线的解析式为， 将点代入直线的解析式，得： ， ， 直线的解析式为， 直线直线，直线直线， ，， ， 直线平行于直线， 可设直线的解析式为， 将点代入直线的解析式， 得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线的解析式，可得： ， 解得：，， 其中，即为原点，不合题意，故舍去， ； 联立直线与抛物线的解析式，可得： ， 解得：，， ，； 综上所述：点的坐标为或或， 答：当取最大值时，抛物线上存在点，使为直角三角形且为直角边；此时，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数与面积问题，二次函数与直角三角形存在性问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象平移问题，二次函数与一次函数交点问题等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已经抛物线经过点，且它的对称轴． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线线上的一点，当的面积为15时，直接写B的坐标； (3)P是对称轴上的一点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 【答案】(1) (2)或或或 (3)点时，的值最大为， 【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设，设的解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，再求出点C的坐标，进而可得出，代入即可求出a的值，进而可求出点B的坐标，再当时，求的面积是否为15进而可得出点B 的另一个坐标． （3）做点O的对称点，连接交对称轴于点P，则，有，当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值，利用待定系数法求得直线的直线方程为，当时求得，则点时，的值最大，并利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解： 抛物线经过点， ∴设抛物线为： 抛物线过，且它的对称轴为． 解得： ∴抛物线为：； （2）解：设， 设的解析式为：， 则， 解得：， 则 的解析式为：， 当时，则， 解得：， 侧， ∴ ∵ ∴， 解得：或或或（舍去）， 此时点，或， 当时，则直线为，平行于x轴 此时， ，满足题意， 综上：则或或或． （3）解：做点O的对称点，连接交对称轴于点P，如图， 则， ∴， 当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值， 设直线的直线方程为， 则，解得， ∴直线的直线方程为， 当时，， 那么，点时，的值最大，． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、等面积法、对称的性质、三角形三边关系和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉二次函数的性质和对称性． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的上方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． (3)若该二次函数的图象经过上下平移后与坐标轴有两个公共点，请直接写出平移后的函数表达式． 【答案】(1) (2)8 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b、c； （2）由（1）可得：，设，作，交于E，则，则，得出面积，即可解答； （3）平移后的抛物线与坐标轴有两个公共点，则，即可求解；此外当抛物线过原点时，也符合题意，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，； 当时，， ∴，， 把，代入得 ，解得； （2）解：由（1）得函数表达式为， 设，作，交于E． 则， ∴， 则， ∴当时，的面积的最大值为8； （3）解：设抛物线平移的距离为t， 则平移后的抛物线表达式为：， ∵平移后的抛物线与坐标轴有两个公共点， ∴与轴有一个交点，与轴只有一个交点，或者抛物线过原点且与轴有两个交点， 当与轴只有一个交点时，， 解得：， 则平移后的抛物线表达式为：， 当抛物线过原点时，，即， 此时抛物线的表达式为：， 综上，或． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，抛物线交轴于两点，顶点为． (1)求的面积； (2)在抛物线上求点，使． 【答案】(1)的面积是； (2)点的坐标为：，，，． 【分析】（）根据抛物线的性质得到，，，所以是底边为，高为的等腰三角形，利用三角形的面积公式可以求出三角形的面积； （）根据的面积是的面积的一半，得到点的纵坐标为，然后代入抛物线可以求出点的横坐标，确定点的坐标； 本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 设，则， ∴，，， ∴，， ∴； ∴的面积是； （2）解：∵，即， ∴， ∴点的纵坐标为， 当时，代入抛物线有：，得：； 当时，代入抛物线有：，得：； ∴点的坐标为：，，，． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图所示，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为 ；顶点的坐标为 ； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线（）分别交直线和抛物线于点，点为平面内任意一点，当点构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值是，点的坐标为 (3)或或或 【分析】（）令可得点的坐标，将抛物线的解析式配方后可得点的坐标； （）如图，连接，设点的坐标为，根据计算后配方即可解答； （）先根据待定系数法可求得直线的解析式为，设，则，分三种情况：①如图，当时，；②当为对角线时，点与的中点在轴上；③如图，当时，分别列方程可解答即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴； ∵， ∴顶点的坐标为； 故答案为：；； （2）解：如图，连接， 设点的坐标为， 令时，则， 解得，， ∴， ∴， 由（）知：， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值是， 此时点的坐标为； （3）解：设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴，， 分三种情况： ①如图，当时，， ∴或， 解得（不合，舍去），，， ∴点的坐标为或； ②当为对角线时， ∵，四边形是菱形， ∴的中点在轴上， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴； ③如图，当时，则， ∴， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，菱形的性质等知识，本题综合性较强，掌握二次函数的图象和性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点 (1)求二次函数的表达式； (2)过点作轴的平行线交抛物线于点， ①如图1，点为抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； ②如图2，点为抛物线上一点，连接交轴于点，若，求点的坐标 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）将点和点代入抛物线解析式求解； （2）①先求出点的坐标，抛物线的对称轴，进而求出点的坐标，设，由勾股定理来求解； ②设交轴于，延长到，根据题意得到，即可得，设，利用勾股定理求出点的坐标，进而求出直线的解析式，再与抛物线联立组成方程组求出交点坐标． 【详解】（1）解：把点和点代入中得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①在中，令得， ∴． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵过点作轴的平行线交抛物线于点， ∴与关于直线对称， ∴． 设， ∵， ∴． ， ，， ， ∴， 解得或， ∴的坐标为或； ②设交轴于，延长到． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设， ，， ， 解得， 点． 设直线的解析式为， 将点和代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，等腰三角形判定与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)结合函数图象，当时，直接写出y的取值范围：_____； (2)若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为4． 【分析】（1）根据抛物线解析式求得当和时y的值，再结合函数图象作答即可； （2）过点M作轴于点N，连接，设点，则，，根据构建二次函数，利用二次函数的性质求出最大值即可解决问题． 【详解】（1）解：对于， 令，则，即， 令，则， 由函数图象知，当时，y的取值范围为， 故答案为：． （2）如图，过点M作轴于点N，连接， 令，则， 解得：， ， 设，则，， ， ， ， ， 当时，有最大值为4， 四边形面积的最大值为4． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与性质、二次函数的面积问题、二次函数的最值问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，二次函数与轴交于点和，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式和直线的表达式； (2)若点为二次函数的顶点，连接，求的面积． (3)将（1）中的二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合，再将其图像绕坐标原点逆时针旋转得到抛物线，若抛物线与直线交于两点，点是抛物线上位于直线左侧一个动点，连接，求的面积最大值． 【答案】(1)，直线的表达式为； (2)； (3)． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）由得抛物线的顶点，过点作轴于，如图，则，从而根据即可得解； （3）由平移得平移后的二次函数表达式为，由，为绕坐标原点逆时针旋转后抛物线上的两点，且，在直线上，记旋转前，的对应点为，得在直线绕坐标原点顺时针旋转后的图像上，设直线绕坐标原点顺时针旋转后的表达式为，求得，进而得，由旋转性质得，过点作直线轴交直线于点，设则，根据铅锤法求得的面积函数，从而利用二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：把和，分别代入，得 解得，， ∴抛物线的表达式为， 当时，， ∴， 设直线的为， 把、分别代入，得 ， 解得∶ ∴直线的表达式为； （2）解：， ∴抛物线的顶点， 过点作轴于，如图，则， ∵、，， ． （3）解：∵，二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合， ∴平移后的二次函数表达式为， ∵，为绕坐标原点逆时针旋转后抛物线上的两点，且，在直线上， 记旋转前，的对应点为， ∴在直线绕坐标原点顺时针旋转后的图像上， 设直线绕坐标原点顺时针旋转后的表达式为 ∵点、，绕坐标原点顺时针旋转后对应点为，， ∴ 解得， 所以 联立 解得， ∴， ∵为旋转后抛物线上，左侧动点， ∴旋转前的对应点在上且在直线上方，， 过点作直线轴交直线于点， 设则， ∴， ∴ ， 当时，有最大值， ∴最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移、旋转的性质，二次函数的性质，待定系数法求二次函数，求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的平移、旋转的性质及二次函数的性质是解题的关键． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图①，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为，连接，以为一边作正方形，连接，设的面积为，与t之间的函数关系如图②所示． (1)______，______； (2)当为何值时，的面积最小？请求出这个最小值； (3)当为何值时，为等腰三角形？请直接写出结果． 【答案】(1)2，5 (2)当时，的面积最小，且最小值为 (3)当或或时，为等腰三角形 【分析】（1）根据图②的面积，可得矩形的长和宽； （2）由题意得，，根据三角形的面积公式可得y与t的关系式，由图②得：，代入可得结论； （3）当为等腰三角形时，分三种情况进行讨论，根据全等三角形的性质计算和的长，可得t的值． 【详解】（1）解：图②知，， 当时，P与A重合，， 即， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：2，5； （2）由题意得，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 当时，的面积最小，且最小值为； （3）当为等腰三角形时，分三种情况： 当时，如下图所示，过F作于G， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； 当时，如下图所示，点E在的延长线上，此时四边形是正方形，， ； 当时，如下图所示，过点E作于点G， ， ， 同理得：， ， ， 综上所述：当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理得运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强． 10．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，过点P作轴于点E，交于点G，作于点F．    (1)点B的坐标是____________，点C的坐标是___________； (2)当时，求出点P的坐标； (3)当的周长最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式等知识． （1）分别令，，即可求解； （2）利用待定系数法可得直线的解析式为，设点P的坐标为，则点G的坐标为，可得，再根据，建立方程求解即可； （3）先证得是等腰直角三角形，可得，设点P的坐标为，则点G的坐标为，可得，进而可得的周长，运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴点； 故答案为：；； （2）解：设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点G的坐标为， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：或3， ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点，点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点P的坐标为，则点G的坐标为， ∴， ∴的周长 ， ∴当时，的周长最大，最大值为，此时点P的坐标为． 一、选择题地 城 考点08 二次函数的实际应用问题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）数学老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．同学们发现：洒水少了“发芽率”低，洒水多了要烂根，也会影响“发芽率”．通过实验，同学们发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：升）近似地满足函数关系（，，是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳的洒水量为（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，将，，代入得： ，解得：， ∴满足函数关系为， ∴当时，取到最大值， 故选：． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，小明从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的，，，，中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为（单位：），乘坐地铁的时间（单位：）是关于的一次函数，若小明骑单车的时间（单位：）也受的影响，其关系可以用来描述，则小明从文化宫回到家里所需的最短时间为（   ） A．39分钟 B．35分钟 C．39.5分钟 D．34.5分钟 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合应用，二次函数的最值问题，设小明从文化宫回到家里所需的时间为，则，根据题意，确定二次函数的解析式，根据二次函数的性质，即可得出最短时间． 【详解】解：设小明从文化宫回到家里所需的时间为， 则， 当时，， 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、抛物线孔的，富有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化．如图1是某公园的一座抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升3米后，则水面宽等于（　　） A．4米 B．8米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，确定水位上升后的水面高度的是解题关键．根据题意，正常水位时，水面宽米，可求出当时可有，再根据水位上升3米后可知，将其代入二次函数解析式并求出的值，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， ∴当时，可有， 当水位上升3米后，可有， 将代入， 可得，解得， ∴米． 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏南通·期中）小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是．有下列结论：①小球从飞出到落地需要；②小球的飞行高度可以是；③小球飞行的高度大于飞行的高度．其中正确的是 （填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了二次函数的应用，令求出时间作差即可判断①，求出二次函数的顶点即可得到最高高度即可判断②，将，代入比较即可得到答案； 【详解】解：当时， ，解得：，， ，故①正确， 当时最高， ∴， 故②错误， 当时， ， 当时， ， ，故③正确， 故答案为：①③． 6．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度（米）与水平距离（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线与轴的交点的横坐标即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：把代入得，， 解得，， ∴小明将铅球推出的距离为米， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）用一根长为的铁丝围成一个半径为r的扇形，则扇形的面积y与它的半径r之间的函数关系式是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查扇形面积的计算公式、二次函数的概念，熟记公式并根据扇形的面积是解题关键．将扇形的弧长用r表式出来，再根据扇形面积公式写出函数表达式即可． 【详解】解：∵用一根长为的铁丝围成一个半径为的扇形， ∴扇形的弧长为：， ∴扇形的面积与它的半径之间的函数关系式为：， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 8．（24-25九年级上·北京·阶段练习）市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管喷出的抛物线形水柱在与喷泉管的水平距离为处达到最高，高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉管喷出的抛物线形水柱的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题目隐含的条件得到待定系数所需要的点的坐标解决问题． 根据二次函数的图象，喷水管喷水的最大高度为，此时喷水水平距离为，由此得到顶点坐标为，所以设抛物线的解析式为，而抛物线还经过，由此可确定抛物线的解析式． 【详解】解：喷水管喷水的最大高度为，此时喷水水平距离为， 顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 而抛物线还经过， ， ， 抛物线的解析式为：， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙长为）的矩形菜园． (1)当围成的矩形面积为时，求的长； (2)当长为多少时，围成的矩形面积最大?面积最大值是多少? 【答案】(1)长为； (2)当时，矩形面积最大，最大面积为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值． 设，根据矩形的面积为列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，因为墙的长度为，把超过的解舍去； 根据矩形的面积公式得到矩形的面积与的长度之间的函数关系式为，配方法可得，从而可得当时，矩形面积最大，最大面积为． 【详解】（1）解：设，则 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，， 舍去， 长为； （2）解：设围成矩形的面积为 根据题意得： ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 又， 当时，矩形面积最大，最大面积为． 10．（24-25九年级上·江苏南通·期中）某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：【注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）】 销售单价x（元） 日销售量y（件） 日销售利润w（元） (1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式； (2)①填空：该产品的成本单价是 元，表中a的值是 ； ②若商店规定该商品的销售单价不低于元，求该商品日销售利润的最大值． 【答案】(1)一次函数解析式为 (2)①；②该商品日销售利润的最大值为元 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①设该产品的成本单价是n元，根据题意，得，可求，则，计算求解即可．②根据题意，得，由，，可知当时，w最大，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：设， 把代入得：， 解得：， 一次函数解析式为； （2）①解：设该产品的成本单价是n元， 根据题意，得， 解得， ∴． 故答案为：； ②解：根据题意，得， ，且销售单价不低于元，即， 当时，w最大，最大值为， 答：该商品日销售利润的最大值为元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次方程的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次方程的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的最值是解题的关键． 11．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）书店销售某系列儿童书刊，每套进价90元，销售定价为130元，一天可以销售20套．为了扩大销售，尽快减少库存且确保盈利，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． (1)求出y与x的函数关系式； (2)若要书店每天盈利1050元，则每套书销售定价应为多少元最合适？ (3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)若要书店每天盈利1050元，则每套书销售定价应为105元 (3)当每套书销售定价为115元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用． （1）依据题意，由一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．且每套书降价x元，利用利润=（售价-进价）×销量，求解析式得解； （2）依据题意可得，当时，即，计算即可判断得解； （3）依据题意，由（1）可知：，故当时，y有最大值，最大值为1250，进而可得解． 【详解】（1）解：由题意可得 与x的函数关系式为：； （2）解：由题意可得，当时，即， 解得：，， ∵尽快减少库存且确保盈利， ∴， （元）， 答：若要书店每天盈利1050元，则每套书销售定价应为105元； （3）解：由（1）可知：， 当时，y有最大值，最大值为1250， 此时售价：（元） 答：当每套书销售定价为115元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某商品零售店预售2025年亚洲冬季运动会吉祥物．该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价．现在售价为每个50元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元，每天销售吉祥物的利润为W元． (1)求出W与x的函数关系式； (2)该零售店如何定价，才能使得每天的利润W最大，并求出最大利润； 【答案】(1) (2)定价为45元，能使得每天的利润W最大，最大利润为2250 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售问题． （1）根据售价为每个50元，每天可销售100个．售价每降价1元，每天的销售量将增加10个，再根据总利润等于每个利润乘数量列出函数关系式； （2）根据，，得到时，W有最大值2250，定价为45元． 【详解】（1）解：由题意，∵售价为每个50元，每天可销售100个．售价每降价1元，每天的销售量将增加10个， ∴每天销售吉祥物的利润为； （2）解：由题意，∵，且， ∴当时，W有最大值，且最大值为2250， 此时定价为：（元）， 答：定价为45元，能使得每天的利润W最大，最大利润为2250． 13．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）“香梨”是新疆特产水果，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱． (1)现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？ (2)若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？最高是多少元？ 【答案】(1)每箱产品应涨价元 (2)每箱产品应涨价元才能获利最高，最高是元 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是学会构建一元二次方程和二次函数解决实际问题，学会利用二次函数的性质，解决最值问题，属于中考常考题型． （1）设每箱应涨价元，则每天可售出箱，每箱盈利元．根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． （2）设利润为元，依题意得出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每箱应涨价元，则每天可售出箱，每箱盈利元． ， 整理，得， 解这个方程，得， ∵要使顾客得到实惠， 应取． 答：每箱产品应涨价元． （2）设利润为元，则 ， 整理得：， 当元，可以取得最大值． 答：每箱产品应涨价元才能获利最高，最高是元． 14．（24-25九年级上·江苏南通·期中）某种商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．经市场调查发现如下信息： 设每件商品的售价为x元，每星期可获得的销售利润为y元． (1)求y与x的函数解析式； (2)每件商品的售价定为多少元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件商品的售价定为元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是 元 【分析】（1）依题意得，，整理作答即可； （2）由题意知，，可求，则，由题意知，然后求最值并作答即可． 【详解】（1）解：设每件商品的售价为x元，每星期可获得的销售利润为y元， 依题意得，， ∴； （2）解：由题意知，， 解得，， ∴， ∴，； 由题意知， ∵，， ∴当时，最大，， ∴每件商品的售价定为元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是 元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，二次函数解析式，二次函数最值等知识．熟练掌握二次函数的应用，一元一次不等式的应用，二次函数解析式，二次函数最值是解题的关键． 15．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）． (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积为192平方米？ (3)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】(1) (2)12 (3)10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用． （1）根据，，列出代数式即可； （2）根据“围成的菜地面积为192平方米”列方程，解方程即可得到结论； （3）设围成的菜地面积为y平方米，根据题意得到函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵矩形菜地， ∴，， 设菜地的宽为x米，则米； 故答案为：； （2）解：根据题意得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， ∴， 答：当x为12米时，围成的菜地面积为192平方米； （3）解：设围成的菜地面积为y平方米， 根据题意得，， ∵墙的最大可用长度为20米， ∴， 解得， ∴当时，有最大值； 答：当x为10米时，围成的菜地面积最大． 16．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）某水果商场销售一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克， (1)若每千克涨价2元，则每天可售 千克．（直接写出答案）； (2)现该商场要保证这种水果每天盈利6000元，且尽可能减轻顾客负担，那么每千克应涨价多少元？ (3)商场每天能盈利7000元吗？为什么？ (4)请直接写出商场这种水果每天盈利的最大值为 元． 【答案】(1) (2)每千克应涨价5元 (3)商场每天不能盈利7000元，理由见解析 (4)6125 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据每千克涨价1元，日销售量将减少20千克列式求解即可； （2）设每千克应涨价x元，求出每千克的利润和销售量，再根据总利润等于每千克的利润乘以销售量列出方程求解即可； （3）假设商场能每天盈利7000元，设此时每千克应涨价m元，求出每千克的利润和销售量，再根据总利润等于每千克的利润乘以销售量列出方程，最后解方程，看方程是否有正数解即可得到结论； （4）设每千克涨价n元，每天的利润为w元，求出每千克的利润和销售量，再根据总利润等于每千克的利润乘以销售量列出w关于n的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：（千克）， ∴若每千克涨价2元，则每天可售千克， 故答案为：； （2）解：设每千克应涨价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵要尽可能减轻顾客负担， ∴， 答：每千克应涨价5元； （3）解：商场每天不能盈利7000元，理由如下： 假设商场能每天盈利7000元，设此时每千克应涨价m元， 由题意得，， 整理得：， ∵， ∴原方程无解，即假设不成立， ∴商场每天不能盈利7000元； （4）解：设每千克涨价n元，每天的利润为w元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w最大，最大值为6125， ∴这种水果每天盈利的最大值为6125元， 故答案为：6125． 17．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社+农户”模式托起村民致富梦、村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为w元． (1)分别求出y与x，w与x之间的函数解析式； (2)该合作社计划日利润是1000元，求该农产品的售价； (3)若该农产品的日销量不低于90千克，当销售单价定为______元时，每天获取的利润最大，最大利润是______元． 【答案】(1)， (2)30元 (3)35，1550． 【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）利用待定系数法求y与x的函数解析式，根据利润=单件利润×销售量可得w与x的函数解析式即可； （2）当时，解一元二次方程即可求解； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，设y与x的函数解析式为，， 根据图象，，；，， ∴，解得， ∴y与x的函数解析式为； 由题意， 即； （2）解：当时，有， 则， 解得，， ∵， ∴， 答：该农产品的售价为30元； （3）解： ， ∵该农产品的日销量不低于90千克， ∴，解得， 又∵， ∴，又， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：该农产品的日销量不低于90千克，当销售单价定为35元时，每天获取的利润最大，最大利润是1550元， 故答案为：35，1550． 18．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)求出与之间的函数关系式； (2)若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ (3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价为90元 (3)最大利润是10000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）一件的利润为元，涨价后的销售量为元，根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出函数关系式； （2）由所得函数关系式，求出当函数值为6000时，解一元二次方程即可求出自变量的值； （3）由题意解不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【详解】（1）解：由题意得：， 整理得：； 答：与之间的函数关系式为； （2）解：由题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 答：该玩具销售单价为90元； （3）解：由题意得：， 解得：； ∵，， ∴当时，函数取得最大值，且最大值为10000； 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 19．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）我国是最早发明火箭的国家，制作火箭模型、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组设计制作的火箭，它的升空高度与飞行时间满足函数表达式．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞． (1)求点火后，该火箭的高度是多少？ (2)求火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时该火箭的高度是多少？ 【答案】(1)点火后，该火箭的高度是 (2)火箭点火后时间降落伞将打开，这时该火箭的高度是 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）把代入函数表达式中即可求解； （2）把配方得，可求得最大值时的时间，此时的最大值． 【详解】（1）解：当时，； 答：点火后，该火箭的高度是； （2）解：函数配方得：， 由于二次项系数为负， 则当时，火箭达到最高点为，此时降落伞打开； 答：火箭点火后时间降落伞将打开，这时该火箭的高度是． 20．（24-25九年级上·江苏南通·期中）海安大公千亩梨园硕果累累，大大提高了广大梨农的生活水平．每千克梨的成本为6元，每千克售价需超过成本，但不高于14元，已知日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，当每千克梨的售价为7元时，日销售量为220千克，每涨价1元日销售量减少20千克，设日销售利润为W元． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数解析式； (2)若日销量不低于160千克，当售价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)当售价定为10元时，每天获取的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得与的函数关系式，根据利润（售价进价）销量，可表示出； （2）根据日销量不低于160千克，可得，由，可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，，当时，， 设，则，得， ∴； 则日销售利润； （2）∵， ∴，即， ， 则，对称轴为直线，该图象开口向下， ∴当时，随增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时，（元）， 即：当售价定为10元时，每天获取的利润最大，最大利润是640元． 试卷第1页，共3页 1 / 124 学科网（北京）股份有限公司 $