3.3幂函数导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3　幂　函　数

1. 通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.

2. 体会数形结合、分类讨论等方法的应用.

3. 通过研究幂函数的有关性质，培养观察、分析、归纳的思维能力.

活动一  幂函数的概念

(1) 如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；

(2) 如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；

(3) 如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；

(4) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝，这里c是S的函数（也可以表示为S）；

(5) 如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，即v＝t-1，这里v是t的函数.

思考1►►►

上述(1)～(5)中函数的对应关系分别是什么？

 

 

 

 

思考2►►►

上述5个函数具有什么共同特征？

 

 

 

 

一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常

数．

思考3►►►

判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？

 

例1　在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为　　　　．

只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子，才是幂函数，否则就不是．　　

已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值．

 

 

 

 

 

 

 

活动二　幂函数的图象和性质　

例2　写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：

(1) y＝x3；

 

 

 

 

(2) y＝x；

 

 

 

 

(3) y＝x-2.

 

 

 

 

思考4►►►

在同一平面直角坐标系中画出下列函数：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x-1的图象．

 

 

 

 

 

思考5►►►

观察函数图象并结合函数解析式，你能填写表格的内容吗？

思考6►►►

通过图象和表你能发现什么规律？

 

 

 

 

 

 

 

 

例3　求证：幂函数f(x)＝是增函数．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

证明函数的单调性，一般是利用单调性的定义进行证明，证明的关键是通过