3.2.1单调性与最大（小）值导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1　单调性与最大（小）值(1)

1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义．

2. 掌握增（减）函数的证明和判断，学会运用函数图象理解和研究函数的性质．

3. 能利用函数图象划分函数的单调区间.

活动一  探究增函数、减函数、单调性、单调区间的概念

函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性．下面进一步用符号语言刻画这种性质．

先研究二次函数f(x)＝x2的单调性．

画出它的图象（如图），可以看到：

图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说，当x≤0时，y随x的增大而减小；

图象在y轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当x≥0时，y随x的增大而增大．

 

思考1►►►

请你用符号语言描述上述单调性？

 

 

 

 

思考2►►►

函数f(x)＝|x|，f(x)＝－x2各有怎样的单调性？

 

1. 增函数、减函数的概念

一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：

如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增（如图1）.

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．

如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减（如图2）.

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．

   

图1              图2

2. 函数的单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．

思考3►►►

(1)  设A是区间I上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1，x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，我们能说函数f(x)在区间I上单调递增吗？你能举例说明吗？

 

 

 

(2)  函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增，但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？

 

 

 

活动二　探究函数的单调性　

例1　画出下列函数的图象，并写出单调区间：

(1) y＝－x2＋2；

 

 

 

(2) y＝(x≠0).

 

例2　根据定义， 研究函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的单调性．

 

 

 

 

 

 

 

画出函数y＝|－x2＋2|的图象，并写出单调区间．

 

 

 

 

 

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，不能用“∪”；在单调区间I上的函数要么单调递增，要么单调递减，不能二者兼有．

活动三　探究函数单调性的证明方法　

例3　求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增．

 

 

 

 

 

思考4►►►

记y2－y1＝Δy，x2－x1＝Δx，那么函数的单调性与的符号有什么关系？

 

 

 

 

试讨论函数f(x)＝的单调性．