3.1.1函数的概念导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1　函数的概念(1)

1. 在初中用变量之间的对应关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.

2. 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.

3. 正确使用函数、区间符号．

活动一  探究函数的概念

在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l＝4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数．这个函数与正比例函数y＝4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y＝x与y＝是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念．

问题1　某“复兴号”高速列车加速到350 km/h 后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为s＝350t.这里，t和s是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，s都存在唯一确定的值与之对应，所以s是t的函数．

思考1►►►

根据对应关系s＝350t，可知这趟高速列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km，这个说法正确吗？

 

 

 

 

 

问题2　某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？

 

 

 

 

思考2►►►

在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？

 

 

问题3　如图是某市某日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？

 

 

 

 

问题4　国际上常用恩格尔系数r(r＝×100%)反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表是我国城镇居民恩格尔系数变化情况，你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？

 

 

 

 

 

思考3►►►

上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？

 

 

 

思考4►►►

如何用集合语言和对应关系刻画函数？

 

思考5►►►

f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？

 

 

 

思考6►►►

函数的值域与集合B什么关系？请你说出上述四个问题的值域？

 

 

 

思考7►►►

一次函数y＝ax＋b(a≠0)的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数．

 

 

 

思考8►►►

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数．

 

 

 

思考9►►►

反比例函数y＝(k≠0)的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数．

 

 

 

例1　函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量关系和变化规律．例如，正比例函数y＝kx(k≠0)可以用来刻画匀速运动中的路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．

试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x(10－x)来描述．