3.4函数的应用（一） 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4　函数的应用（一）

1. 能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题．

2. 感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性．

活动一  一次函数模型

我们学习过的一次函数、二次函数、分段函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系．下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法．

例1　某厂日生产文具盒的总成本y（单位：元）与日产量x（单位：套）之间的关系为y＝6x＋30 000，而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

A. 2 000套　　　　    B. 3 000套    C. 4 000套　　　    D. 5 000套

1. 一次函数模型的实际应用

一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．

2. 一次函数的最值求解

一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0（或ax＋b≤0），解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．

如图所示，这是某通信公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y（单位：元）与通话时间t（单位：min）之间的函数关系图象．根据图象填空：

(1) 如果通话2 min，那么需要付电话费　　　　元；

(2) 如果通话5 min，那么需要付电话费　　　　元；

(3) 如果t≥3，那么电话费y（单位：元）与通话时间t（单位：min）之间的函数关系式为　　　　　　　　　　．

活动二　二次函数模型　

例2　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

(1) 求平均每天的销售量y（单位：箱）与销售单价x（单位：元/箱）之间的函数关系式；

(2) 求该批发商平均每天的销售利润w（单位：元）与销售单价x（单位：元/箱）之间的函数关系式；

(3) 当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围．

渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为k(k＞0).

(1) 写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；

(2) 求鱼群年增长量的最大值．