特训05 二次函数周长与面积问题专练-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训05 二次函数周长与面积问题专练 【特训过关】 一、周长问题 1．如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求的面积． （2）若P是第四象限内抛物线上任意一点，轴于点H，与交于点M．求线段的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，点A的坐标为． （1）求抛物线的解析式及B点坐标； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 3．如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点（不与O，B重合），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线解析式； （2）当，求t的值； （3）若点N到直线的距离为d，求d的最大值． 4．如图1，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标； （2）如图2，点P，Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴，交于点N． ①求直线的解析式； ②求的最大值及此时点Q的坐标． 5．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求b，c，m的值； （2）如图，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，点B的坐标为，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． （1）求抛物线的解析式与顶点坐标； （2）若点D为线段上的一个动点，过点D作轴，交抛物线于点E，过E作轴，交直线于点F，以、为边作矩形，设矩形的周长为l，求当D点在何位置时，周长l有最大值，并求出最大值． 7．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点D是第一象限抛物线上的点，过点D分别作x轴、y轴的垂线，交于点E、交y轴于点F，求的最大值及此时点D的坐标． 8．如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）如图2，第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，连接交于点Q．当的值最大时，求M点的坐标，并求出这个最大值． 9．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已点B的坐标是，．    （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标． 10．抛物线交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于点C． （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）已知，点D在第二象限抛物线上，交于点E．若，求点D的坐标． 11．如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； （3）在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 二、面积问题 12．如图，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当点P的坐标为时，求四边形的面积． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C，D为抛物线上的一个动点，连接，，． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点D在直线上方时，求面积的最大值． 14．如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接，． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点P为直线上方抛物线上一点，若，求出点P的坐标． 15．综合与探究 已知抛物线与直线交于，两点，与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式． （2）若N为抛物线顶点，则线段的长为_____． （3）如图，点M是直线上方抛物线的一动点，过点M作轴，交于点E．连接，，求的面积的最大值． 16．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标； （2）当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标． 17．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线交抛物线于点D，并且，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形面积的最大值． 18．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为、，点M是抛物线的顶点．    （1）求二次函数的关系式； （2）点P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．设点P的横坐标为n，的面积为S． ①求S与n的函数关系式，写出自变量n的取值范围； ②求S的最大值． 19．如图，抛物线（a，b，c为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，直线交于点G，求的最大值． 20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，，，抛物线经过点B，且与x轴交于点和点E． （1）求抛物线的表达式； （2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接， ，当四边形的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形的最大面积是多少． 21．如图，直线与坐标轴交于B，C两点．抛物线经过B，C两点，与x轴交于点A，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点D是直线上方抛物线上的一点，过点D作交于点E，连接，，，求的最大值． 22．如图，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C．    （1）求抛物线的表达式； （2）点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，过点E作于点F，连接．求面积的最大值，及此时点D的坐标． 11 学科网（北京）股份有限公司 $特训05二次函数周长与面积问题专练 【特训过关】 一、周长问题 1.如下图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0)，点B 的坐标为(3,0) 0 (1)求△ABC的面积. (2)若P是第四象限内抛物线上任意一点，PH⊥x轴于点H,与BC交于点M.求线段PM的最大值. 9 【答案】(1)△ABC的面积是6；(2)线段PM的最大值为 【解析】(1)解：将A-1,0),B(3,0)代入y=x2+bx+c, [1-b+c=0 得 9+3b+c=0 b=-2 解得 c=-3 ∴.抛物线解析式为y=x2-2x-3, .C(0,-3) .OC=3. 由A-1,0,B(3,0可知，AB=4, 5c4B:0C=x4x3=6 故答案为：△ABC的面积是6. 1 (2)设直线BC的解析式为y=kx+t. 3k+t=0 将点B、C的坐标代入函数解析式，得 t=-3 [k=1 解得 t=-3 .直线BC的解析式为y=x-3. 设M(n,n-3),则Pn,n2-2n-3, .9 8PM=n-3=m-2n-3)=-m+3n=n-3+8 当n=3时，PM有最大值，最大值为 9 9 故答案为：线段PM的最大值为 2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A,B两点，与y轴相交于 C(0,-4)点，点A的坐标为(-1,0). (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线BC于点Q,求线段PQ的最大值 及此时点P的坐标. 【答案】(1)y=x2-3x-4,B(4,0);(2)线段PQ的最大值是4，此时点P的坐标为2，-6). 【解析】(1)解：把(0，-4)，（-1,0)，代入y=x2+bx+c得： 1-b+c=0 10+0+c=-4 2 b=-3 解得 c=-4' ∴.抛物线的表达式为y=x2-3x-4, 令x2-3x-4=0,则x=-1或4， .B4,0; (2)解：设直线BC的解式为y=kx-4, B(4,0), .0=4k-4, 解得k=1, .直线BC的解析式为y=x-4, 设Px,x2-3x-4,0<x<4, .PQ∥y轴， .Qx,x-4), ·P2=x-4-x2-3x-4=-x2+4x=-(x-2)2+4, ∴.当x=2时，P9x=4,此时P(2,-6), .线段PQ的最大值是4，此时点P的坐标为2，-6). 3 1 3.如图，已知直线y=-一x+2与x轴、y轴交于B,A两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B,点P 为线段OB上一个动点（不与O,B重合），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N,交直线AB于点 M,设点P的横坐标为t. A M P B (1)求抛物线解析式： (2)当MN=2MP,求t的值； (3)若点N到直线AB的距离为d,求d的最大值 7 【答案】(1)y=-x2+二x+2;(2)t=1;(3)d的最大值为 V5 5 1 【解析】(1)解：直线y=-二x+2中，x=0时，y=2;y=0时，x=4. ∴.点A的坐标为0,2)，点B的坐标为4,0). ,抛物线y=-x2+bx+C经过点A,B, c=2 -16+4b+c=01 7 b= 解得： 2, c=2 7 ∴抛物线的解析式为y=-x+2x+2: 2说点P0051:圆点-小+子-2小 w=+1+2-(+2=-+4.n-+2 MN =2MP, +=2+2 解得：t=1或4（与点B重合，舍去）， .t=1; (3)解：点N到直线AB的距离为d, 求d的最大值即为求△AWB面积的最大值， 连接NA、NB,如下图所示， 点B(4,0)、A0,2), ∴.OB=4,OA=2, 由(2)得：MN=-t2+4t, S.4NB= MN.0B=×4-2+4=-24-2}2+8≤8， ∴.△ANB面积最大为8， A N M B衣 .AB=0A2+0B2=25, 54a=24B-d=8, 解得d=8v5 5 即d的最大值为 85 5 4.如图1，已知抛物线y=x2+x+n与x轴交于A-1,0),B两点，与y轴交于点C(0,-3). 头 图1 图2 (1)求抛物线的解析式及点B的坐标； (2)如图2，点P,Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作 PM∥y轴，交BC于点M,过点Q作QN∥y轴，交BC于点N. ①求直线BC的解析式； ②求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标. 【答案】(1)y=x2-2x-3,B(3,0);(2)①y=x-3;②PM+QN有最大值4，此时点Q的坐标为 (2,-3) 【解析】(1)解：把A-1,0)和C(0,-3)代入y=x2+x+n, 1-m+n=0 得 n=-3 m=-2 解得 n=-3, .抛物线的解析式为y=x2-2x-3. 令y=0,则x2-2x-3=0, 解得x=-1,x2=3, .点B的坐标为3,0). (2)解：①设直线BC的解析式为y=kx+b. 3k+b=0 把B(3,0),C(0,-3)代入上述解析式，得 1b=-3 6 k=1 解得 b=-31 .直线BC的解析式为y=x-3. ②设Pa,a2-2a-3(0<a<2), 则Qa+1,a2-4,Ma,a-3,N(a+1,a-2), ∴.PM=-a2+3a,QN=-a2+a+2, ∴.PM+QN=-2a2+4a+2=-2a-12+4. -2<0, .当a=1时，PM+QN有最大值4， 此时a+1=2,a2-4=-3, ∴.点Q的坐标为(2，-3). 5.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-1,0),B(m,0)两点，与y轴交于点C(0,7). 珠 AO FG B主 (1)求b,c,m的值； (2)如图，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线 交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作EF⊥x轴，垂足为点F,当四边形DEFG的 周长最大时，求点D的坐标 【答案】(1)b=6,c=7,m=7;(2)当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为4,15). 【解析】(1)解：把A-1,0),C0,7)代入y=-x2+bx+c, 7 -1-b+c=0 得 c=7 b=6 解得 {c=7 .这个抛物线的解析式为：y=-x2+6x+7, 令y=0,则-x2+6x+7=0, 解得x1=7,x2=-1, .B7,0, .m=7; (2)解：，抛物线的解析式为y=-x2+6x+7=-（x-3)+16; .对称轴为x=3, 设Dx,-x2+6x+7, .DE∥x轴， .D6-x,-x2+6x+7, ,过点D作x轴的平行线交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作EF⊥x轴， ∴.四边形DEFG是矩形， ∴.四边形DEFG的周长=2(-x2+6x+7+2(x-6+x)=-2x2+16x+2=-2(x-4)2+34 .-2<0 .当x=4时，四边形DEFG的周长最大，则-42+6×4+7=15， .当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为4,15). 8 6。在平面直角坐标系中，抛物线y=x2_3 x+c与x轴交于点A、B,点B的坐标为(1,0)，与y轴交于 点C,直线y=kx+2经过A、C两点. (1)求抛物线的解析式与顶点坐标； (2)若点D为线段AC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E,过E作EF⊥y轴，交直 线AC于点F,以DE、EF为边作矩形DEFG,设矩形DEFG的周长为l,求当D点在何位置时，周长 1有最大值，并求出最大值 325 答案Dy=工2- 二x+2,顶点坐标为 28 ；(2)1最大值为12，此时D(-2,1)· 2 【解析】(1)解：直线y=kx+2经过C点，当x=0时，y=2, .C(0,2）, 3 将B1,0),C0,2)代入y=ar2-3x+ 2x+c,得 a- +c=0 2 c=2 1 a=- 得 2, c=2 “抛物线的解析式为：y=-x_ 2 2x+2: 3 199。 当x= 时，y=一 225 n 2448 2 顶点坐标为 325 2'8 )x23 (2)解：当- x+2=0时， 2 9 解得：x1=-4,x2=1, .A-4,0, 将A-4,0)代入y=kx+2, 得：-4k+2=0, 1 ∴.直线AC为：y=。x+2, :D在直线4C上设Dmm+2, 则E点坐标D 1 m+2； )n23 1 1 m+2=二x+2, 2 2 解得：x=-m2-3m, 2m+2, ·DE=-m -m2-2m,EF=-m2-4m, 矩形DEFG周长1=2(DE+EF)=-3m2-12m=-3m+22+12; .当m=-2时，1取最大值为12，此时D(-2,1). 7.如图，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,OB=OC=3. D F C E B (1)求抛物线的解析式； 10