2.1等式与不等式性质第1课时课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版2019必修第一册 不等关系与不等式 第 2 章 2.1 等式与不等式性质（第1课时） 1 学习目标 能用不等式（组）表示实际问题的不等关系. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小. 能用不等式（组）表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小提升数学抽象素养与数学运算素养. 不等关系与不等式 01 用不等式(组)表示不等关系 导入新知 在现实世界与日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，两者都是基本的数量关系. 生活中的不等关系 限速40标志牌 0＜v≤40 某品牌酸奶的质量检査规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； f≥2.5% p≥2.3% 三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 几何中的不等关系 a+b＞c a-b＜c CD＜CE C A E D B 利用不等式解决问题 公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） 学习新知 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元? 设提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为： 学习新知 如何解上述不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质． 在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？ 回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实． 学习新知 学习新知 如何刻画实数a,b的大小关系？ 形 数 学习新知 学习新知   这个基本事实可以表示为： 从上述基本事实可知：要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小． 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆” 不等关系与不等式 02 作差法比较大小 作差 特殊值 不等式比较大小 作商 分母不为零 限定范围 应用新知 分析：通过考查这两个多项式的差与0的大小关系， 可以得出它们的大小关系． 这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）． 这是解决不等式问题的常用方法． 变为若干个因式相乘或相除的形式 判断与0的大小关系 利用实数a,b大小比较的基本事实 作差法比较两个实数大小的基本步骤 应用新知 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小． 应用新知 【跟踪练习】 证明： 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 应用新知 不等关系与不等式 03 不等式性质 认识新知 图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 认识新知 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的证明。 大正方形的构成： 4个全等的直角三角形 1个小正方形 等面积法 相等关系 不等关系 第24届国际数学家大会会标是根据赵爽弦图设计的. 2.赵爽弦图的不等关系 认识新知 2.赵爽弦图的不等关系（面积关系） 大正方形面积 >4个直角三角形的面积和 a,b>0 大正方形面积 =4个等腰直角三角形的面积和 Q：对于任意的实数a,b，a2+b2≥2ab成立吗？试证明。 认识新知 作差法 2 4 2.重要不等式 探究新知 3.已知a>b,证明: 探究新知 不等关系与不等式 04 能力提升练 能力提升 题型一： 用不等式(组)表示不等关系 能力提升 题型一： 用不等式(组)表示不等关系 方法技巧 1.用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数；(2)适当设未知数表示变量；(3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式. 2.用不等式表示不等关系的注意点 (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一. 利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的 两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示. (1) 能力提升 题型二： 作差法比较大小 能力提升 题型二： 作差法比较大小 方法技巧 作差法比较两个实数大小的基本步骤 能力提升 题型三： 重要不等式 反思感悟　 在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质． 不等关系与不等式 05 小结及随堂练习 课堂总结 作差法比较大小 重要不等式 关于实数大小的比较的基本事实 不等式关系与不等式 用不等式(组）表示不等关系 将不等关系表示成不等式(组)的思路 课堂总结 用不等式表示不等关系，注意文字语言与符号语言之间的转化． 作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论 1．不等式与不等关系： 2．比较两个实数大小关系的依据： 3．作差比较法： 作业 课内作业： P35的6(3)、7(1)(3)题； p42习题2.1的3(1)(4)题. 不等关系与不等式 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【变式】已知,比较与的大小. 【解析】因为 因为,所以, 所以, 【练习1】已知 ， ，则 ， ， 的大小关系是 B． C． D． 【解析】取特殊值： ， ， 则 ， ，故 ， 故选：D. 【练习1】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组。 【解析】 【分析】根据题意列式即可. 【详解】由题意得，即.故答案为：. 【变式1】 为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来． 【解析】【详解】组建中型图书角x个，则组建小型图书角个，由题意得 【解析】 【详解】，因为，所以，， 所以，即，所以. 故答案为：. 【练习2】 已知，则与的大小关系为 【变式2】 . 【解析】【详解】解： . . 故答案为：. 【练习3】 已知,求证：≥2. 【证明】方法一：利用, 当且仅当时，等号成立. 方法二：, $