1.3.2 空间向量运算的坐标表示 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3.2空间向量运算的坐标表示 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 2 在空间直角坐标系O-xyz中，对 任意向量p，必存在唯一的有序实数 组(x、y、z)，可使 p=xe1+ye2+ze3 其中，e1，e2，e3是以原点为起点的 单位正交基底，有序数组(x、y、z) 叫做向量p的坐标，记为p=(x、y、z) 特别地，若平移向量p，使p的起点与原点重合， 则p的终点的坐标为(x、y、z) 空间向量的坐标： x y z O P A B P′ 复习巩固 向量的坐标=(x、y、z) 终点的坐标P(x、y、z) 一一对应 前面我 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来. 那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 情境引入 向量的坐标=(x、y、z) 终点的坐标P(x、y、z) 一一对应 类 比 平面向量坐标运算1 ---加减、数乘运算 已知 ,则 空间向量坐标运算1 ---加减、数乘运算 已知 ,则 探究新知 平面向量坐标运算2 ---数量积 已知 ,则 空间向量坐标运算2 ---数量积 已知 ,则 类 比 探究新知 = ; = ; a1b1+a2b2+a3b3 a1b1+a2b2 下面证明：空间向量数量积运算的坐标表示 设 为空间的一个单位正交基底,则： 得到 利用向量数量积的分配律以及 探究新知 所以a∙b=(a1i+a2j+a3k)∙(b1i+b2j+b3k) i∙j=j∙k=k∙i=0;i2=j2=k2=1 a∙b=a1b1+a2b2+a3b3 平面向量坐标运算3 ---共线与垂直判定 已知 ,则 当 时 空间向量坐标运算3 ---共线与垂直判定 已知 ,则 当 时 类 比 探究新知 平面向量坐标运算4 ---模长公式 已知 ,则 空间向量坐标运算4 ---模长公式 已知 ,则 类 比 探究新知 平面向量坐标运算5 ---夹角公式 已知 ,则 空间向量坐标运算5 ---夹角公式 已知 ,则 类 比 探究新知 空间向量坐标运算6 ---两点间距离公式 已知 ,则 平面向量坐标运算6 ---两点间距离公式 已知 ,则 类 比 探究新知 空间中两点间距离公式的推导 如图，建立空间直角坐标系 设 是空间中任意两点，则 于是 所以 x y z O i j k P2 P1 探究新知 空间向量的坐标=终点坐标-起点坐标 两点间的距离公式 平面向量的坐标运算 空间向量的坐标运算 将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单. 1. 已知 求: 2. 已知 求x的值. 课堂练习 课本P21练习1、2 例2 如图示，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E, F分别是BB1, D1B1的中点， 求证：EF⊥DA1. 典例分析 证明：如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz,设正方体的棱长为2，则有： (1) 建立直角坐标系 (2)把点、向量坐标化 (3)对向量计算或证明 (4)结论 还有什么方法可以求向量 O A D C B A1 D1 C1 B1 E F 例2 如图示，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E, F分别是BB1, D1B1的中点， 求证：EF⊥DA1. 典例分析 证明：如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz,设正方体的棱长为2，则有： 还有什么方法可以求向量 求向量的坐标有两种方法： （1）向量的线性运算； （2）终点坐标减去起点坐标。 O A D C B A1 D1 C1 B1 E F A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 例3 如图示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. 典例分析 求两条异面直线所成角的问题，常以空间向量数量积为工具，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围。 思考：你能从例3的解答中体会解决此类问题的基本思路吗？ 建立恰当坐标系 由运算结果定结论 用向量表示元素 进行向量坐标运算 简记：建系→点坐标→向量坐标→代入公式求解 解题策略 3. 在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等. 课本P22练习3 小试牛刀 4. 如图, 正方体OABC-D'A'B'C'的棱长为a, 点N, M分别在AC, BC'上, AN=2CN，BM=2MC', 求MN的长. A O C B A' D' C' B' M N 课本P22练习4 小试牛刀 5. 如图，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，M是AB的中点，求DB1与CM所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 M 课本P22练习5 小试牛刀 1.基本知识： (1)向量的加减、数乘和数量积运算的坐标表示； (2)两个向量的夹角公式和垂直、平行判定的坐标表示. 2.思想方法： 用向量坐标法计算或证明立体几何问题 (1) 建立直角坐标系， (2)把点、向量坐标化， (3)对向量计算或证明. 课堂小结 3.应用 运用空间向量着重解决三类题型: (1).例1---向量间的运算 (2).例2---证明线线垂直关系 (3).例3--求解线段长度、解决异面直线所成角 简记：建系→点坐标→向量坐标→代入公式求解 1. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若 ，则AB1与BC1所成角的大小为( ). (A) 60° (B) 90° (C) 105° (D) 75° A C B A1 C1 B1 x O y z 巩固训练： B 2. 如图示, 正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E, F, G分别为C'D′, A'D', D'D的中点. (1) 求证：EF//AC； (2) 求CE与AG所成角的余弦值. B D C A′ B′ C′ D′ A G F E 巩固训练： 2. 如图示, 正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E, F, G分别为C'D′, A'D', D'D的中点. (1) 求证：EF//AC； (2) 求CE与AG所成角的余弦值. B D C A′ B′ C′ D′ A G F E 巩固训练： 4.. 巩固训练： 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点) 2．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点) 1.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养． 2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养. $