第3章 勾股定理 综合测试卷(A) 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第3章综合测试卷(A) 用时:120分钟 总分:120分 得分: 一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分) 1.变式提优→B卷T2 (2025·盐城东台期末)下列四组长度的线段中，可以构成直角三角形的三边长的是( ). A. 1,2,3 B. 1.5,2,2.5 C.3,5,7 D. 6,8,9 2.(2025·南京秦淮区期末)下列各组数中，不是勾股数的是(). A. 3,4,5 B. 5,12,13 C. 10,15,20 D. 7,24,25 3.(2025·河南洛阳西工区期中)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则∠BAC的度数是(). A. 30° B. 36° C. 45° D. 60° 4.传统文化《数书九章》 (2023·南京中考)我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何?”问题大意:如图,在△ABC中,AB=13里,BC=14里,AC=15里,则△ABC 的面积是( ). A. 80平方里 B. 82平方里 C. 84平方里 D. 86平方里 5. 教材P103数学探究·变式(2025·南京联合体期中)当n 为正整数时,下列各组数:①3n,4n,5n;② ,③2n-1,2n+1,2n+3.其中是勾股数的是( ). A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 6.(2024·辽宁锦州期中)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(). A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 7.传统文化《周髀算经》 (2025·苏州工业园区期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图(1)，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图(2)的方式放置在最大正方形内.则下列选项中一定正确的是(). A. S阴影=直角三角形的面积 B. S阴影=S正方形① C. S阴影=S正方形② D. S阴影=较小两个正方形重叠部分的面积 8.(2025·山东东营经开区期中)下列命题：①如果a，b，c为一组勾股数，那么5a，5b，5c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边长是3，4，那么另一边必是5；③如果一个三角形的三边长是5，13，14，那么此三角形 学科网（北京）股份有限公司 必是直角三角形；④如果一个等腰直角三角形的三边长是a，b，c(a>b=c)，那么( 其中正确的是(). A. ①④ B. ①③ C. ①② D. ②④ 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 9.变式提优→B卷T14(2024·徐州邳州期中)如图，数据代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为 . 10.(2024·扬州二模)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm. 11.实验班原因 如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠C=90°,线段AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,则EC的长度为 . 12.如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为 . 13.传统文化《周髀算经》 (2025·徐州邳州期中)勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,这类勾股数的特点是:勾为奇数,弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；….若此类勾股数的勾为12，则其弦是 . 14.如图,在△ABC中,CD⊥AB 于点D,E 是AC的中点.若AD=6,DE=5,则CD的长为 . 15.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=4,BC=5,AD⊥BC,垂足为D,则AD 的长为 . 16.(南京中华中学特长生)直角三角形中，直角边长为a，b，斜边长为c，则 (填“>”“<”或“=”). 17.(2025·宿迁期末)如图,在“4×4”的正方形网格中,∠1+∠2的度数为 . 18. 分类讨论思想(2025·泰州期中)如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于点D,BD=8cm,动点P从点A 出发以每秒2cm的速度沿线段AB 向点B 运动，设点 P运动的时间为t秒.当t= 时，△PAD 是以AD为腰的等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题(本大题共8小题，共84分) 19.(8分)变式提优→B卷T21 (2025·扬州仪征期中)有一块四边形空地，如图，经测量，CD=CB=13米，BD=10米，AB=6米，AD=8米.求四边形空地ABCD 的面积. 20.(8分)(2023·长沙中考)如图, ，垂足分别为D，E. (1)求证: (2)若AE=6,CD=8,,求 BD 的长. 21.(10分)如图，小明放风筝时风筝挂在了树上.他先垂直拉住风筝线，发现风筝线多出2米；当他把风筝线沿直线BC 向后拉6米时，风筝线末端刚好接触地面.求风筝距离地面的高度AB 的长. 学科网（北京）股份有限公司 22.(10分)(2024·宿迁宿城区期末)图(1)是某品牌婴儿车，图(2)为其简化结构示意图，根据安全标准需满足 现测得AB=CD=6dm,BC=3dm,AD=9dm,，其中AB 与BD 之间由一个固定为 的零件连接(即 ，通过计算说明该车是否符合安全标准. 23.(10分)(2024·安徽合肥四十五中期中)定义:如图,点 M,N 把线段AB 分割成AM,MN,NB,若以AM，MN，NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N是线段AB 的勾股分割点. (1)已知M,N 把线段AB 分割成AM,MN,NB,若AM=9,MN=15,BN=12,则点 M，N是线段AB 的勾股分割点吗?请说明理由. (2)已知点 M，N是线段AB 的勾股分割点，且AM 为直角边，若AB=24,AM=6,,求 BN 的长. 学科网（北京）股份有限公司 24.(12分)如图,在 中，已知 ,点E 在AB 上, 于点D,M为EC的中点. (1)试判断BM和DM有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)当AE=2cm时， 的面积是 . 25.(12分)中考新考法 动点问题 (2024·陕西西安未央实验学校月考)如图，已知在四边形ABCD 中， BC=AD=4,AB=CD=10,∠DCB=90°,E为CD边上的一点,DE=7,动点P 从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿着边AB 向终点B 运动，连接PE，设点 P 运动的时间为t秒. (1)求 BE 的长; (2)若△BPE 为直角三角形,求 t 的值. 学科网（北京）股份有限公司 26.如图,在 中，AB=AC=10,,AD 是边BC 上的高,点 E 在边BC 上,连接AE. (1)当AD=6时， ①求 的面积； ②若AE 平分 求CE 的长. (2)探求三条线段AE，BE，CE 之间的等量关系. 学科网（北京）股份有限公司 11第3章综合测试卷(A) 1. B 2. C [解析] 本组数是勾股数，不符合题意； 本组数是勾股数，不符合题意； ，本组数不是勾股数，符合题意； 本组数是勾股数，不符合题意. 故选C. 易错警示 勾股数的定义：满足 的三个正整数称为勾股数. 3. C 4. C [解析]如图,过点A 作AD⊥BC 于点D. 设BD=x 里,则CD=(14-x)里. 在Rt△ABD 中, 在 Rt△ADC 中, 解得x=5. ∵在 Rt△ACD中,由勾股定理,得AD=12里, ∴△ABC 的面积 84(平方里).故选C. 归纳总结 本题考查了三角形面积、勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点. 5. A 6. C [解析]如图,在 Rt△ACB 中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米, 在Rt△A'BD 中,∵∠A'DB=90°,A'D=2米, ∵BD>0,∴BD=1.5米, ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).故选C. 7. D[解析]设直角三角形的斜边长为c，较长直角边的长为b，较短直角边的长为a， 由勾股定理得， ∴阴影部分的面积 =a(a+b-c), 较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)，长=a， 则较小两个正方形重叠部分面积=a(a+b-c)=阴影部分的面积， 因此知道图中阴影部分的面积等于较小两个正方形重叠部分的面积. 故选 D. 8. A [解析]①设 而5a,5b,5c 一定是正整数, 勾股数是一组正整数 ∴5a,5b,5c仍是勾股数,故①符合题意; ②如果直角三角形的两边长是3，4，则另一边的长可能为 且符合三角形的两边之和大于第三边，故 ②不符合题意； 故③不符合题意； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ④∵一个等腰直角三角形的三边长a，b，c满足a>b=c， 即 故④符合题意.故选 A. 归纳总结 本题主要考查了勾股数和直角三角形的性质，正确掌握勾股数的定义和直角三角形的性质是解题的关键. 9.100 10.5 11. 12.213.37 14.8 [解析]∵△ABC中,CD⊥AB 于点 D,E 是AC 的中点， 在Rt△ACD 中,∠ADC=90°,AD=6,AC=10,则由勾股定理，得( 15. [解析]由勾股定理，得 9,∴AB=3. 16.< [解析]∵0<a<c,0<b<c, 17.45°[解析]将∠2向下平移1个单位长度得到∠ABE,如图，连接AC， ∴∠2=∠ABE. ∴△ABC 是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°, ∴∠ABE+∠1=45°,∴∠1+∠2=45°. 18.3或3.6 [解析]∵AB=AC=10cm,BD⊥AC于点D,BD=8cm, 当AP=AD=6cm时,t=3; 当DP=DA=6时,如图,过点D作DE⊥AB 于E, 则AE=EP=t cm, 在 Rt△AED中, 在Rt△BED 中, 即 解得t=3.6. 综上所述,当t=3或3.6时,△PAD是以AD 为腰的等腰三角形. 19.如图,过点C作CE⊥BD 于点E, ∵CD=CB=13米,BD=10米, 米， 米. 即 ∴△ABD 为直角三角形,且∠DAB=90°, (平方米). 20.(1)∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠AEB=∠ADC=90°.在△ABE 和△ACD中, ∴△ABE≌△ACD(AAS). (2)∵△ABE≌△ACD,∴AD=AE=6. 在Rt△ACD中, ∴AC=10. 又AB=AC=10,∴BD=AB-AD=10-6=4. 归纳总结 本题考查了全等三角形的判定与性质.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件. 21.设AB=x米,则AC=(x+2)米. 由题意,得∠ABC=90°,BC=6米, ∴在Rt△ABC 中, 即 ,解得x=8. 故风筝距离地面的高度 AB 为8米. 22.在 Rt△ABD中, 在△BCD中, ∴BC²+CD²=BD²,∴∠BCD=90°,∴BC⊥CD.故该车符合安全标准. 23.(1)是.理由如下: ∴以 AM，MN，NB 为边的三角形是一个直角三角形， ∴点 M，N 是线段AB 的勾股分割点. (2)设BN=x,则MN=24-AM-BN=18-x. ①当 MN 为最长线段时，依题意，得 NB²,即( ,解得x=8; ②当BN 为最长线段时，依题意，得 即 解得x=10. 综上所述,BN=8或10. 24.(1)BM=DM,BM⊥DM.理由如下: ∵∠ABC=90°,DE⊥AC,M为EC的中点,AB=BC, 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∠ACB=45°, ∴BM=DM,∠MBC=∠MCB,∠MDC=∠MCD. ∵∠BME =∠MBC +∠MCB,∠DME = ∠MDC +∠MCD,∠MCB+∠MCD=∠ACB=45°, ∴∠BMD=∠BME+∠DME=45°+45°=90°, ∴BM⊥DM. [解析]∵AE=2cm,AB=BC=8cm,∴BE=AB-AE=6cm. 在 Rt△BCE 中,( ∴CE=10cm. ∵M为EC 的中点, ∵BM=DM,BM⊥DM, 25.(1)∵CD=10,DE=7,∴CE=10-7=3. 在Rt△CBE 中,1 (2)当∠BPE=90°时,AP=10-3=7,则t=7÷1=7. 当∠BEP=90°时, 即 解得 ∴当t=7或 时,△BPE为直角三角形. 26.(1)①∵AD 是边BC上的高,∴∠ADB=90°, 又AB=10,AD=6,∴BD=✔10²-6²=8. ∵AB=AC,AD 是边BC上的高,∴BC=2BD=16, ∴△ABC的面积 ②过点E作EF⊥AB 于点F. ∵AE 平分∠BAD,∠ADB=90°,∴EF=ED. 又AE=AE,∴Rt△AEF≌Rt△AED(HL), ∴AF=AD=6,∴BF=10-6=4. 设EF=ED=x,则BE=8-x,在 Rt△BEF 中,由勾股定理，得 解得x=3, ∴CE=8+3=11. (2)由勾股定理，得 . ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD, $