2.2基本不等式导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2．2　基本不等式

2.2.1　基本不等式(1)

1. 掌握基本不等式的内容．

2. 能熟练地运用基本不等式比较两个实数的大小．

3. 能初步运用基本不等式证明简单的不等式．

4. 熟练掌握基本不等式及变形的应用．

5. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

活动一  探究基本不等式

我们可以利用完全平方公式得出一类重要不等式：∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

思考1►►►

如果a＞0，b＞0，我们用，分别代替上式中的a，b，可以得到什么？

 

 

 

思考2►►►

基本不等式表明什么意义？

 

 

 

思考3►►►

你能利用不等式的性质推导出基本不等式吗？

 

 

 

 

思考4►►►

如图，AB是⊙O的直径，C是AB上的一点，AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？

 

 

思考5►►►

当a，b∈R时，由(a－b)2≥0可得哪些常用不等式？

 

 

 

 

 

 

活动二  基本不等式的简单应用

例1　当a，b∈R时，下列不等关系中成立的是(　　)

A. a＋b≥2    B. a－b≥2    C. a2＋b2≥2ab    D. a2－b2≥2ab

活动三　利用基本不等式求最值　

例2　已知x>0，求x＋的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

已知x>0，则4x＋的最小值为________．

例3　已知x，y都是正数，求证：

(1) 如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；

(2) 如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.

 

 

 

 

应用基本不等式时的注意点：

一正：两项必须都是正数；二定：求两项和的最小值，它们的积应为定值，

求两项积的最大值，它们的和应为定值；三相等：等号成立的条件必须存在．

 

活动四　利用基本不等式证明不等式　

例4　设a，b为正数，证明下列不等式成立．

(1) ＋≥2；

 

 

 

 

 

(2) a＋b＋＋≥4.

 

 

 

 

 

证明：

(1) ＋≤－2(a，b异号);

 

 

 

 

 

(2) a＋＋1≥3(a＞0).

 

 

 

 

 

活动五  利用基本不等式比较大小

例5　已知a，b为正数，比较，，，的大小．