2.1等式性质与不等式性质导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2．1　等式性质与不等式性质

1. 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小．

2. 能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题．

活动一  描述现实世界和日常生活中的不等关系

在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．

问题1　你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？

(1) 某路段限速40 km/h；

 

 

 

 

(2) 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；

 

 

 

 

(3) 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

 

 

 

 

(4) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．

 

 

 

问题2　某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2 000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？

 

 

 

 

 

活动二　两个实数大小的比较　

关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：

如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b.反过来也对．

思考1►►►

实数比较大小的依据与方法是什么？

 

 

 

 

例1　比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．

 

 

 

 

 

 

(1) 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小；

(2) 设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．

 

 

实数比较大小的方法：

(1) 比较两个实数a与b的大小，需归结为判断它们的差a－b的符号(注意：指的是差的符号，至于差的值究竟是什么，无关紧要).

(2) 比较两个实数大小的步骤：作差→化简整理(配方，分解因式、分类讨论)→判断差的符号→得出结论．

注意：①在比较两个代数式的大小时，一定要注意字母的取值范围；②比较实数的大小经常用到分类讨论的方法，此处分类讨论的标准是：对于任意两个实数 a和b，在a＝b，a>b，a<b三种关系中有且仅有一种关系成立．

活动三　等式性质与不等式性质　

思考2►►►

请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？

 

 

思考3►►►

类比等式的基本性质，试猜想不等式的基本性质，并加以证明．

 

 

 

例2　已知a>b>0，c＜0，求证：>.

 

 

 

 

 

 

实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据．

活动四　不等式的性质及应用　

例3　已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d.

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) 已知a>b>0，c<d<0，求证：<；

(2) 已知bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.