1.4充分条件与必要条件 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1．4　充分条件与必要条件

1.4.1　充分条件与必要条件(1)

1. 通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．

2. 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．

3. 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．

活动一  理解充分条件、必要条件的概念

一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件， q称为命题的结论．下面我们将进一步考察“若p，则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件．

思考1►►►

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？

(1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；

 

 

 

(2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；

 

 

 

(3) 若x2－4x＋3＝0，则x＝1；

 

 

(4) 若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b.

 

 

思考2►►►

在思考1中，哪些命题中的p是q的充分条件？

 

 

 

 

 

 

思考3►►►

在思考1中，哪些命题中的q是p的必要条件？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. p⇒q的含义

(1) “若p，则q”形式的命题为真命题．

(2) 由条件p可以得到结论q.

(3) p是q的充分条件或q的充分条件是p；q是p的必要条件或p的必要条件是q.

(4) 只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是必要的．

(5) 为得到结论q，具备条件p就可以推出．

显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．

2. 对充分条件概念的理解

“若p，则q”为假命题时，p推不出q，q不是p的必要条件，p也不是q的充分条件．

3. 对充分条件的理解

(1) 所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．

(2) 充分条件不是唯一的，如x>2，x>3等都是x>0的充分条件．

必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是 x>9的必要条件．

 

例1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

(1) 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；

 

 

(2) 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；

 

 

(3) 若四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；

 

 

(4) 若x2＝1，则x＝1；

 

 

(5) 若a＝b，则ac＝bc；

 

 

(6) 若x，y为无理数，则xy为无理数．

 

 

思考4►►►

例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”．这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？

 

 

 

 

下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？

(1)  p：x＝2，q：x2－x－2＝0；

 

 

(2)  p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形；

 

 

(3)  p：同位角相等，q：两条直线平行；