2026届高三物理一轮复习讲义：第2讲 平抛运动

新教材高三一轮复习资料-力学5--曲线运动-第2讲　平抛运动--学生版 新教材高三一轮复习资料-力学5--曲线运动-第2讲 平抛运动 自测 知识点1　平抛运动 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在 作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的 曲线运动，其运动轨迹是 。 3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿 ；(2)只受 作用。 4．研究方法：平抛运动通常可以分解为水平方向的 运动和竖直方向的自 运动。 5．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有： (1)位移：分位移x＝v0t ；y＝gt2 合位移x合＝＝， tanφ＝ ，φ为合位移与x轴的夹角。 (2)速度：分速度vx＝ ；vy＝ 合速度v＝＝，tanθ＝ ，θ为合速度v与x轴的夹角。 (1)位移关系 (2)速度关系 思考：上图中位移与水平方向夹角φ与速度与水平方向夹角θ相等吗？请推导出它们之间关系式。 知识点2　斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0沿 或 抛出，物体只在 作用下的运动。 2．性质：加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹是 。 3．研究方法：斜抛运动可以看作水平方向的 运动和竖直方向的 运动的合运动。 4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 4.1、初速度与合外力的分解 (1)水平方向：v0x＝v0cos θ；F合x＝0； (2)竖直方向：v0y＝v0sin θ；F合y＝－mg。 4.2、位移和速度的分解 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t① vx＝v0x＝v0cos θ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③ vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④ 自测巩固 1、思维诊断： (1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(　 　) (2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。(　 　) (3)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。 (　 　) (4)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大。 (　 　) (5)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大。(　 　) (6)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长。(　 　) (7)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大。(　 　) (8)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。 (　 　) 2．关于平抛运动的叙述，下列说法不正确的是(　 　) A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动 B．平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变 C．平抛运动的速度大小是时刻变化的 D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小 3．(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落。关于该实验，下列说法中正确的有(　 　) A．两球的质量应相等 B．两球应同时落地 C．应改变装置的高度，多次实验 D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动 4、（多选）如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标。已知点高度为，山坡倾角为，由此可算出（ ） A．轰炸机的飞行高度 B．轰炸机的飞行速度 C．炸弹的飞行时间 D．炸弹投出时的动能 5、斜面上有、、、四个点，。从点正上方的点以速度水平抛出一个小球，它落在斜面上点。若小球从点以速度水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（ ） A．与之间某一点 B．点 C．与之间某一点 D．点 6．(多选)正在水平匀速飞行的飞机，每隔1秒钟释放一个小球，先后共释放5个，不计阻力，则(　 　) A．这5个球在空中排成一条直线 B．这5个球在空中处在同一抛物线上 C．在空中，第1、2两球间的距离保持不变 D．相邻两球的落地点间距离相等 7、如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点正上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为(　 　) A．R B. C. D. 8、人站在楼上水平抛出一个小球，球离手时速度为，落地时速度为，忽略空气阻力，图中正确表示在几段相等时间内速度矢量的变化情况的是图（ ） 核心考点突破 考点1、平抛运动规律的应用 1、关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间(t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程(x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度(v) v＝＝，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tanθ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度的改变量(Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 2、平抛运动问题的常见解法 平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，求解此类问题的基本方法是：将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。再结合使用推论法，全程应用动能定理等。 2.1、分解速度求解平抛运动问题 对于一个做平抛运动的物体来说，若知道了某时刻的速度方向，可以从分解速度的角度来研究：tanθ＝＝(θ为t时刻速度与水平方向间夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。 2.2、分解位移求解平抛运动问题 对于一个做平抛运动的物体来讲，若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tanα＝(α为t时刻位移与水平方向间夹角)，确定初速度v0、运动时间t和夹角α间的大小关系。 2.3、利用推论法求解平抛运动问题：平抛运动的两个重要推论 (1)做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置处)，有tan θ＝2tan α.(如图) 推导：→tan θ＝2tan α (2)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，如图所示，即xB＝. 推导：→xB＝ 专题讲练1 1．某弹射管每次弹出的小球速度相等，该弹射管在沿光滑竖直轨道自由下落过程中保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的(　 　) A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同 C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同 2.如图所示，A球在B球的斜上方，两球相向水平抛出。若要使两球在与两球抛出的距离相等的竖直线上相遇，则(　 　) A．A、B两球要同时抛出 B．B球要先抛出 C．A球抛出时的速度大于B球抛出时的速度 D．A球抛出时的速度小于B球抛出时的速度 3、(多选)如图所示，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹．小球a从(0,2L)处抛出，落在(2L,0)处；小球b、c从(0，L)处抛出，分别落在(2L,0)和(L,0)处．不计空气阻力，下列说法正确的是(　 　) A．b和c运动时间相同 B．a的运动时间是b的两倍 C．a和b加速度相同 D．b的初速度是c的两倍 4、如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点．c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点.等于(　 　) A．20 B．18 C．9.0 D．3.0 5、如图所示，两小球从高度相同的A、B两点同时以相同的速率水平抛出，经过时间t在空中相遇，若仅将从B点抛出的小球速率变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间变为( ) A．t B．t C．t D． 6、一小球从水平地面斜向上抛出，最后又落回同一水平面，不计空气阻力，在下图中能正确表示速度矢量变化过程的是(　 ) 7、(多选)一个物体以初速度大小v0被水平抛出，落地时速度大小为v，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则( ) A．物体做平抛运动的时间为 B．物体做平抛运动的竖直分位移为 C．物体做平抛运动的时间为 D．物体做平抛运动的水平分位移为 8、如图所示，A、B两个平台水平距离为7.5 m，某同学先用一个小球从A平台边缘以v0＝5 m/s的速度水平抛出，结果小球落在了B平台左侧边缘下方6.25 m处。重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，要使小球从A平台边缘水平抛出能落到B平台上，则从A平台边缘水平抛出小球的速度至少为(　 　) A．6 m/s B．7.5 m/s C．9 m/s D．11.25 m/s 9、如图，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶，结果球落在小桶的前方．不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以(　 　) A．增大抛出点高度，同时增大初速度 B．减小抛出点高度，同时减小初速度 C．保持抛出点高度不变，增大初速度 D．保持初速度不变，增大抛出点高度 10、某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的游泳池中．现制作一个为实际尺寸的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实际的(　 　) A. B. C. D. 11、如图，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速度为v0的平抛运动，恰落在b点．若小球初速度变为v，其落点位于c，则(　 ) A．v0<v<2v0 B．v＝2v0 C．2v0<v<3v0 D．v>3v0 12、如图所示，小球甲从A点水平抛出，小球乙从B点自由释放，两小球先后经过C点时的速度大小相等，速度方向夹角为45°，已知A、C高度差为h，不计空气阻力，由以上条件可知B、A两点高度差为(　 ) A.h B.h C．h D．2h 13、如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖甲与竖直墙壁成α＝53°角，飞镖乙与竖直墙壁成β＝37°角，两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。(sin 37°＝0.6，cos37°＝0.8) 考点2、有约束条件的平抛运动---平抛运动与落点界面的综合问题 做平抛运动的物体经常落在一些特定界面上，常见的类型有：竖直面、斜面、圆弧面、抛物面、有界区域、障碍物等，解决这类问题的关键是：把特定界面的几何关系或函数方程与平抛运动规律结合。 1．对平抛运动的约束条件常见的有“斜面”约束和“曲面”约束，解此类问题的关键： (1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。 (2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。 (3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。 2．常见类型示例 运动情景 物理量分析 vy＝gt，tan θ＝＝→t＝ x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝ tan θ＝＝→t＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝＝＝2tan θ ，α＝φ－θ tan θ＝＝→t＝ 在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R＝v0t 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R 专题讲练2 2.1、“斜面”约束的平抛运动---落在斜面上的平抛运动 两个典型模型 运动情景 求小球平抛时间 总结 分解速度 vy＝gt，tan(－θ)＝＝⇒t＝ ⇒x＝v0t＝， y＝gt2＝ 分解速度，构建速度三角形，确定时间，进一步确定位移 分解位移 x＝v0t，y＝gt2，tanθ＝⇒t＝⇒ vx＝v0，vy＝gt＝2v0tanθ 分解位移，构建位移三角形，确定时间，进一步确定速度 1、如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0拋出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是(　 ) A．夹角α将变大 B．夹角α与初速度大小无关 C．小球在空中的运动时间不变 D．PQ间距是原来间距的3倍 2、(多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经历的时间为t，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　 　) A．若小球以最小位移到达斜面，则t＝ B．若小球垂直击中斜面，则t＝ C．若小球恰能击中斜面中点，则t＝ D．无论小球怎样到达斜面，运动时间均相等 3、(多选)如图所示，长木板OA的倾角θ＝30°，在O点正上方的P处水平抛出一个小球，结果小球恰好垂直打在板面上距离O点为L的B点。重力加速度大小为g，空气阻力忽略不计。下列说法正确的是(　 ) A．小球在空中运动的时间为 B．小球被抛出时的初速度大小为 C．小球打到B点前瞬间的速度大小为 D．O、P两点间的距离为 4、(多选)如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力．下列说法正确的是( ) A．小球从抛出到落在斜面上的运动时间为 B．小球从抛出到落在斜面上的运动时间为 C．小球抛出时距斜面底端的高度为 D．小球抛出时距斜面底端的高度为 5、如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)(　 　) A．v0tanθ　 B． C． D． 6、如图所示，某一运动员从弧形雪坡上沿水平方向飞出后，又落回到斜面雪坡上，若斜面雪坡的倾角为θ，运动员飞出时的速度大小为v0，不计空气阻力，运动员飞出后在空中的姿势保持不变，重力加速度为g，则(　 　) A．如果v0不同，则该运动员落到雪坡时的速度方向也就不同 B．不论v0多大，该运动员落到雪坡时的速度方向都是相同的 C．运动员落到雪坡时的速度大小是 D．运动员在空中经历的时间是 7、(多选)如图(a)所示，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v­t图象如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则(　 　) 　　　　 图(a)　　　　　　　　　　图(b) A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小 B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大 C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大 D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大 8、 A、D 分别是斜面的顶端、底端，B、C 是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E 点在 D点的正上方，与 A 等高，从 E 点水平抛出质量相等的两个小球，球 1 落在 B 点，球 2 落在C 点，忽略空气阻力。关于球 1 和球 2 从抛出到落在斜面上的运动过程( ) A.球 1 和球 2 运动的时间之比为 2∶1 B.球 1 和球 2 运动的时间之比为 1∶2 C.球 1 和球 2 抛出时初速度之比为 2∶1 D.球 1 和球 2 运动时单位时间内速度变化量之比为 1∶1 9、如图所示，两个高度相同的斜面，倾角分别为30°和60°，小球A、B分别由斜面顶端以相同大小的水平速度v0抛出，若两球均落在斜面上，不计空气阻力，则A、B两球平抛运动过程(　 　) A．飞行的时间之比为1∶3 B．水平位移大小之比为1∶9 C．竖直下落高度之比为1∶3 D．落至斜面时速度大小之比为1∶3 10、(多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则(　 　) A．落于B点的小球飞行时间为t B．v2＝gt C．落于C点的小球的水平位移为gt2 D．A点距水平面MN的高度为gt2 11、如图，两小球P、Q从同一高度分别以v1和v2的初速度水平抛出，都落在了倾角θ＝53°的斜面上的A点，其中小球P垂直打到斜面上，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.则v1、v2大小之比为(　 　) A．2∶1 B．3∶2 C．9∶16 D．32∶9 12、从足够长的光滑斜面顶端以v0水平抛出一个弹性小球，小球在斜面上经多次弹性碰撞反弹后，运动轨迹如图所示。则下列四个选项中与实际符合最好的是( )。 13、如图所示，一小球从平台上抛出，恰好无碰撞地落在临近平台的一倾角为α＝53°的光滑斜面上并下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m。(g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求： (1)小球水平抛出的初速度v0是多大？ (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？ 14、用如图甲所示的水平—斜面装置研究平抛运动。一物块(可视为质点)置于粗糙水平面上的O点，O点与斜面顶端P点的距离为s。每次用水平拉力F，将物块由O点从静止开始拉动，当物块运动到P点时撤去拉力F。实验时获得物块在不同拉力作用下落在斜面上的不同水平射程，作出了如图乙所示的图象。若物块与水平面间的动摩擦因数为0.5，斜面与水平地面之间的夹角θ＝45°，g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求O、P间的距离s。(保留两位有效数字) 甲　　　　　　　　　乙 15、如图所示，挡板OM与竖直方向所夹的锐角为θ，一小球（视为质点）从O点正下方的A点以速度水平抛出，小球运动过程中恰好不和挡板碰撞（小球轨迹所在平面与挡板垂直）．重力加速度大小为g，求O、A间的距离． 2.2、“曲面”约束的平抛运动--落在圆弧面上的平抛运动 如图所示，由半径和几何关系制约时间t： h＝gt2　R±＝v0t，联立两方程可求t。 1、如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　 　) A. B. C. D. 2、如图所示，科考队员站在半径为10 m的半圆形陨石坑(直径水平)边，沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点)，石子在坑中的落点P与圆心O的连线与水平方向的夹角为37°，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2 m．取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力．则石子抛出时的速度大小为(　 ) A．9 m/s B．12 m/s C．15 m/s D．18 m/s 3.如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为四分之一圆弧ab，半径为R，O点为圆心，c点为圆弧的中点。若在O点以某一初速度v沿Oa方向抛出一个小球，小球落在坑中。忽略空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是( ) A．当小球的初速度为时，恰好能打到c点 B．小球的初速度v越大，在空中运动的时间就越长 C．小球的初速度v越大，落到坑上时速度的偏转角越小 D．小球的初速度v越大，落到坑上时的动能就越大 4、如图所示，水平路面出现了一个大坑，其竖直截面为半圆，AB为沿水平方向的直径。一辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以速度v1、v2从A点沿AB方向水平飞出，分别落于C、D两点，C、D两点距水平路面分别为圆半径的0.6倍和1倍。则v1︰v2的值为(　 　) A．　 B．　 C．　 D． 5、如图所示，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为(　 　) A．tan α B．cos α C．tan α D．cos α 6、如图所示，竖直平面内平抛的小球恰好与光滑半圆轨道相切于B点，已知抛出点在半圆轨道左端点(A点)的正上方，半圆轨道半径为R，直线OB与水平面成60°角，重力加速度为g，则下列关于小球在空中的运动的分析正确的是(　 ) A．小球到达B点飞行的时间为 B．小球平抛的初速度大小为 C．小球到达B点时水平位移为 D．小球到达B点时竖直位移为 7、如图所示,半球形容器固定在水平地面上,开口向上,AD为球的水平直径,O是球心,B是AO的中点,C是OD的中点。让一个小球先后从A、B、O、C四点沿AD方向水平向右抛出,则小球从哪一点抛出可能垂直打在容器内壁上(　 　) A.从A点抛出 B.从B点抛出 C.从O点抛出 D.从C点抛出 8、(多选)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心O等高且在同一竖直平面内．现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力．则下列说法中正确的是(　 　) A．两球抛出的速率之比为1∶3 B．若仅增大v1，则两球将在落在坑壁之前相撞 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中 2.3、抛物面约束的平抛运动--落在抛物面上的平抛运动 1、(多选)如图所示，一个质量为0.4kg的小物块从高h＝0.05m的坡面顶端由静止释放，滑到水平台上，滑行一段距离后，从边缘O点水平飞出，击中平台右下侧挡板上的P点。现以O为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板的形状满足方程y＝x2－6(单位：m)，不计一切摩擦和空气阻力，g取10m/s2，则下列说法正确的是(　 　) A．小物块从O点运动到P点的水平位移为2m B．小物块从O点运动到P点的时间为1s C．小物块刚到P点时速度方向与水平方向夹角的正切值等于10 D．小物块刚到P点时速度的大小为10m/s 考点3、 平抛运动的临界和极值问题 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形： (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向． 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题． 专题训练3 3.1、平抛运动的临界问题 1、如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d ＝0.4 m，某人在距离墙壁L＝1.4 m、距窗子上沿h ＝0.2 m 处的 P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10 m/s2.则可以实现上述要求的速度大小是(　 ) A．2 m/s B．4 m/s C．8 m/s D．10 m/s 2、(多选)飞镖运动于15世纪兴起于英格兰，20世纪初，成为人们日常休闲的必备活动。一般投飞镖的靶上共标有10环，第10环的半径最小。现有一靶的第10环的半径为1 cm，第9环的半径为2 cm，……以此类推，若靶的半径为10 cm，在进行飞镖训练时，若人离靶的距离为5 m，将飞镖对准第10环中心以水平速度v投出，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是(　 ) A．当v≥50 m/s时，飞镖将射中第8环的线内 B．当v＝50 m/s时，飞镖将射中第6环线 C．若要击中第10环的线内，飞镖的速度v至少为50 m/s D．若要击中靶子，飞镖的速度v至少为25 m/s 3.2、平抛运动的极值问题 1、某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平．现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为(　 　) A．0 B．0.1 m C．0.2 m D．0.3 m 2、海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤(贝类动物)后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳．一只海鸥叼着质量m＝0.1 kg的鸟蛤，在H＝20 m的高度、以v0＝15 m/s的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上．取重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力． (1)若鸟蛤与地面的碰撞时间Δt＝0.005 s，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大小F；(碰撞过程中不计重力) (2)在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度L＝6 m的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系．若海鸥水平飞行的高度仍为20 m，速度大小在15 m/s～17 m/s之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围． 在乒乓球、排球、网球等运动中，都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，球速往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点。 3、一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示，水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　 ) A.<v<L1 B.<v< C.<v< D.<v< 4、国际女子排球队比赛，球网高度为，球半场长为，若某运动员从线处竖直跃起扣球时手离地面的高度为。当她将排球水平扣出，让排球既不出线，又不触网，则排球运动的初速度范围是什么（取）？ 考点4 斜抛运动 1、斜抛运动中的极值 在最高点，vy＝0，得到t＝ ， 物体的射高ym＝， 总时间t总＝⑦ 得物体的射程xm＝，当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大． 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大． 2、逆向思维法处理斜抛问题：对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题． 专题讲练4 2、一小球从水平地面斜向上抛出，最后又落回同一水平面，不计空气阻力，在下图中能正确表示速度矢量变化过程的是(　 　) 3.如图所示,从地面上同一位置抛出两小球、,分别落在地面上的、点,两球运动的最大高度相同。 空气阻力不计,则（ ）（多选） A．的加速度比的大 B．的飞行时间比的长 C．在最高点的速度比在最高点的大 D．在落地时的速度比在落地时的大 4、以不同的抛射角抛出三个小球A、B、C，三球在空中的运动轨迹如图所示，下列说法中正确的是( ) A．A、B、C三球在运动过程中加速度不相同 B．B球的射程最远，所以最迟落地 C．A球的射高最大，所以最迟落地 D．A、C两球的水平位移相等，所以两球的水平速度分量相等 5、（多选）如图所示，从水平地面上同一位置先后抛出的两个质量相等的小球P、Q，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同，不计空气阻力，则下列说法正确的是( ) A．P、Q的飞行时间相等 B．P与Q在空中不可能相遇 C．P、Q落地时的动能相等 D．P、Q落地时重力的瞬时功率相等 6、某同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于这两次篮球从抛出到撞击篮板的过程( ) A．两次在空中运动的时间相等 B．两次抛出时的速度相等 C．第1次抛出时速度的水平分量小 D．第2次抛出时速度的竖直分量大 7、如图所示，一小球(视为质点)以速度v从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出，落到斜面上的M点且速度水平向右．现将该小球以2v的速度从斜面底端朝同样方向抛出，落在斜面上的N点．下列说法正确的是(　 　) A．落到M和N两点时间之比大于1∶2 B．落到M和N两点速度之比大于1∶2 C．落到N点时速度方向水平向右 D．M和N两点距离斜面底端的高度之比为1∶2 8、某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等．若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度．下列说法正确的是(　 　) A．相邻位置运动员重心的速度变化相同 B．运动员在A、D位置时重心的速度相同 C．运动员从A到B和从C到D的时间相同 D．运动员重心位置的最高点位于B和C中间 9、在投掷游戏中，甲同学从A点将某个玩具水平抛出，玩具沿轨迹①落到了地面上的D点；乙同学从位于A点正下方地面上的B点斜向上将另一个同样的玩具抛出，玩具沿轨迹②也恰好落到了D点；C点为轨迹最高点,A、C高度相同，不计空气阻力，下列说法正确的是(　 　) A.两过程的水平速度相同 B.两过程中玩具在空中的运动时间相等 C.沿轨迹①落到D点的玩具落地速度大 D.两个过程中重力的冲量相等 10、三级跳远是速度、力量和平衡能力的结合。设运动员在空中运动过程只受重力和沿跳远方向恒定的水平风力作用，地面水平、无杂物、无障碍，运动员每次起跳姿势不变且与地面的作用时间不计，假设人着地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变方向相反，运动员从A点开始起跳到D点的整个过程中均在竖直平面内运动，则下列说法中正确的是( )。 A．每次运动到最高点时速度为0 B．每次起跳速度方向与水平方向的夹角相等 C．运动员在空中时的加速度恒定 D．从起跳到着地三段运动水平方向速度变化量越来越大 11、在倾角为α的斜坡上，沿着与水平线成α角的方向斜向上方抛出一石块，如图所示设石块落在斜坡上的位置离抛出点的距离为L，则石块抛出的初速度为( B ) 培优专题1、类平抛运动 1.受力特点：物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。 2．运动特点：在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。 3．求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。 培优训练1 1、如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求： (1)物块由P运动到Q所用的时间t； (2)物块由P点水平射入时的初速度v0； (3)物块离开Q点时速度的大小v。 2、如图所示，质量为m，电荷量为e的粒子从A点以v0的速度沿垂直电场线方向的直线AO方向射入匀强电场，由B点飞出电场时速度方向与AO方向成450，已知AO的水平距离为d（不计重力）．求： (1)从A点到B点用的时间； (2)匀强电场的电场强度大小． 3、如图所示，竖直放置的两金属板之间加一电压U1，在其右侧有两个水平正对放置的平行金属极板，板长为L，相距为d，两极板间电压为U2，从左极板静止释放一带负电粒子，经加速后进入偏转电场，粒子轨迹如图，已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子的重力．求： (1)粒子穿越加速电场获得的速度v1； (2)粒子在偏转电场发生的侧位移y； (3)粒子射出偏转电场时偏转角的正切值tanθ 培优专题2、平抛运动与圆周运动的综合问题 平抛运动与圆周运动的综合问题是高考的重点，主要有两种类型：一是平抛运动与水平面内圆周运动的综合，二是平抛运动与竖直面内圆周运动的综合。在此类问题中，除了应用平抛和圆周运动相关规律，通常还要结合能量关系分析求解，解题的关键是求解平抛与圆周运动衔接点的速度。 1、平抛运动与水平面内圆周运动的综合 此类问题往往是物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，解题思路是： (1)分析物体做匀速圆周运动的受力，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。 (2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。 (3)两种运动衔接点的速度是联系前后两个过程的关键物理量。 2、平抛运动与竖直面内圆周运动的综合 此类问题有两种类型：一是先做平抛后做圆周运动；二是先做圆周后做平抛运动，解题的关键是： (1)除了应用平抛和圆周运动相关规律，通常还要结合能量关系分析求解。 (2)竖直面内的圆周运动要明确是“轻绳模型”还是“轻杆模型”，注意应用物体到达圆周最高点的临界条件。 (3)两种运动衔接点处的速度是联系前后两个过程的关键物理量，注意速度方向与圆周的几何关系。 培优训练2 1．(多选)如图所示，BC是半径为R＝1m的竖直面内的圆弧轨道，轨道末端C在圆心O的正下方，∠BOC＝60°，将质量为m＝1kg的小球，从与O等高的A点水平抛出，小球恰好从B点沿圆弧切线方向进入轨道，由于小球与圆弧之间有摩擦，能够使小球从B到C做匀速圆周运动，重力加速度大小g取10m/s2，则下列说法正确的是(　 　) A．从B到C，小球与轨道之间的动摩擦因数可能保持不变 B．从B到C，小球克服摩擦力做功为5J C．A、B两点间的距离为m D．小球从B到C的全过程中，小球对轨道的压力不变 2、如图所示，餐桌中心是一个半径为r＝1.5m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数为μ1＝0.6，与餐桌间的动摩擦因数为μ2＝0.225，餐桌离地面的高度为h＝0.8m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。 (1)为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？ (2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面上，餐桌半径R的最小值为多大？ (3)若餐桌的半径R′＝r，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L为多少？ 3、如图所示，半径R＝1.0m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°。将一个质量m＝1.0kg的物体(视为质点)从A点左侧高h＝0.8m处的P点水平抛出，恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道。已知物体与轨道CD间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求： (1)物体水平抛出时的初速度v0； (2)物体经过B点时受圆弧轨道的支持力FN； (3)物体在轨道CD上向上运动的最大距离x。 4、如图所示为某电视台正在策划的“快乐向前冲”节目的场地设施。AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人(人可看成质点)运动，下方水面上漂浮着一个半径R＝1m、匀速转动的铺有海绵垫的转盘，转盘轴心离平台的水平距离为L，平台边缘与转盘平面的高度差H＝3.2m。选手抓住悬挂器后，按动开关，在电动机的带动下从A点沿轨道做初速度为零、加速度a＝2m/s2的匀加速直线运动，起动后2s悬挂器脱落。已知人与转盘间的动摩擦因数μ＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求人随悬挂器水平运动的位移大小和悬挂器脱落时人的速率； (2)若选手恰好落到转盘的圆心上，求L的大小； (3)假设选手落到转盘上相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度ω应限制在什么范围？ 5、如图所示，高H＝0.8m的桌面上固定一半径R＝0.45m的四分之一光滑圆弧轨道AB，轨道末端B与桌面边缘水平相切，地面上的C点位于B点的正下方。将一质量m＝0.04kg的小球由轨道顶端A处由静止释放，g取10m/s2。求：(1)小球运动到B点时对轨道的压力大小； (2)小球落地点距C点的距离； (3)若加上如图所示的恒定水平风力，将小球由A处静止释放，要使小球恰落在C点，作用在小球上的风力应为多大？ 1 物理学习的核心在于思维 最基本的知识、方法才是最重要的； 30%兴趣+30%信心+30%方法+10%勤奋+l%天赋>100%成功 学科网（北京）股份有限公司 $新教材高三一轮复习资料-力学5--曲线运动-第2讲　平抛运动--教师版 新教材高三一轮复习资料-力学5--曲线运动-第2讲 平抛运动 自测 知识点1　平抛运动 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力 作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速 曲线运动，其运动轨迹是抛物线 。 3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿水平方向 ；(2)只受重力 作用。 4．研究方法：平抛运动通常可以分解为水平方向的匀速直线 运动和竖直方向的自由落体 运动。 5．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有： (1)位移：分位移x＝v0t ；y＝gt2 合位移x合＝＝， tanφ＝ ，φ为合位移与x轴的夹角。 (2)速度：分速度vx＝ v0 ；vy＝ gt 合速度v＝＝，tanθ＝ ，θ为合速度v与x轴的夹角。 (1)位移关系 (2)速度关系 思考：上图中位移与水平方向夹角φ与速度与水平方向夹角θ相等吗？请推导出它们之间关系式。 [答案]　不相等。θ>φ。tanθ＝2tanφ。 知识点2　斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0沿斜向上方 或斜向下方 抛出，物体只在重力 作用下的运动。 2．性质：加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线 。 3．研究方法：斜抛运动可以看作水平方向的匀速直线 运动和竖直方向的匀变速直线 运动的合运动。 4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 4.1、初速度与合外力的分解 (1)水平方向：v0x＝v0cos θ；F合x＝0； (2)竖直方向：v0y＝v0sin θ；F合y＝－mg。 4.2、位移和速度的分解 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t① vx＝v0x＝v0cos θ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③ vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④ 自测巩固 1、思维诊断： (1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(　×　) (2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。(　×　) (3)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。 (　√　) (4)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大。 (　×　) (5)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大。(　×　) (6)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长。(　×　) (7)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大。(　√　) (8)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。 (×) 2．关于平抛运动的叙述，下列说法不正确的是(　B　) A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动 B．平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变 C．平抛运动的速度大小是时刻变化的 D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小 3．(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落。关于该实验，下列说法中正确的有(　BC　) A．两球的质量应相等 B．两球应同时落地 C．应改变装置的高度，多次实验 D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动 4、（多选）如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标。已知点高度为，山坡倾角为，由此可算出（ ABC ） A．轰炸机的飞行高度 B．轰炸机的飞行速度 C．炸弹的飞行时间 D．炸弹投出时的动能 5、斜面上有、、、四个点，。从点正上方的点以速度水平抛出一个小球，它落在斜面上点。若小球从点以速度水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（ A ） A．与之间某一点 B．点 C．与之间某一点 D．点 6．(多选)正在水平匀速飞行的飞机，每隔1秒钟释放一个小球，先后共释放5个，不计阻力，则(　AD　) A．这5个球在空中排成一条直线 B．这5个球在空中处在同一抛物线上 C．在空中，第1、2两球间的距离保持不变 D．相邻两球的落地点间距离相等 7、如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点正上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为(　D　) A．R B. C. D. 8、人站在楼上水平抛出一个小球，球离手时速度为，落地时速度为，忽略空气阻力，图中正确表示在几段相等时间内速度矢量的变化情况的是图（ C ） 核心考点突破 考点1、平抛运动规律的应用 1、关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间(t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程(x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度(v) v＝＝，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tanθ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度的改变量(Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 2、平抛运动问题的常见解法 平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，求解此类问题的基本方法是：将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。再结合使用推论法，全程应用动能定理等。 2.1、分解速度求解平抛运动问题 对于一个做平抛运动的物体来说，若知道了某时刻的速度方向，可以从分解速度的角度来研究：tanθ＝＝(θ为t时刻速度与水平方向间夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。 2.2、分解位移求解平抛运动问题 对于一个做平抛运动的物体来讲，若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tanα＝(α为t时刻位移与水平方向间夹角)，确定初速度v0、运动时间t和夹角α间的大小关系。 2.3、利用推论法求解平抛运动问题：平抛运动的两个重要推论 (1)做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置处)，有tan θ＝2tan α.(如图) 推导：→tan θ＝2tan α (2)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，如图所示，即xB＝. 推导：→xB＝ 专题讲练1 1．某弹射管每次弹出的小球速度相等，该弹射管在沿光滑竖直轨道自由下落过程中保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的(　B　) A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同 C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同 2.如图所示，A球在B球的斜上方，两球相向水平抛出。若要使两球在与两球抛出的距离相等的竖直线上相遇，则(　D　) A．A、B两球要同时抛出 B．B球要先抛出 C．A球抛出时的速度大于B球抛出时的速度 D．A球抛出时的速度小于B球抛出时的速度 3、(多选)如图所示，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹．小球a从(0,2L)处抛出，落在(2L,0)处；小球b、c从(0，L)处抛出，分别落在(2L,0)和(L,0)处．不计空气阻力，下列说法正确的是(　ACD　) A．b和c运动时间相同 B．a的运动时间是b的两倍 C．a和b加速度相同 D．b的初速度是c的两倍 解析　b、c抛出时的高度相同，小于a抛出时的高度，根据h＝gt2得t＝，知b、c的运动时间相同，a的运动时间是b的运动时间的倍，B错误，A正确；由于a和b都做平抛运动，竖直方向只受重力，故a和b加速度相同，C正确；b、c的运动时间相同，b的水平位移是c的水平位移的两倍，则b的初速度是c的初速度的两倍，D正确． 4、如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点．c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点.等于(　B　) A．20 B．18 C．9.0 D．3.0 解析　摩托车从a点做平抛运动到c点，水平方向：h＝v1t1，竖直方向：h＝gt12，可解得v1＝，动能E1＝mv12＝；摩托车从a点做平抛运动到b点，水平方向：3h＝v2t2，竖直方向：0.5h＝gt22，解得v2＝3，动能E2＝mv22＝mgh，故＝18，B正确． 5、如图所示，两小球从高度相同的A、B两点同时以相同的速率水平抛出，经过时间t在空中相遇，若仅将从B点抛出的小球速率变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间变为( A ) A．t B．t C．t D． 6、一小球从水平地面斜向上抛出，最后又落回同一水平面，不计空气阻力，在下图中能正确表示速度矢量变化过程的是(　C　) 7、(多选)一个物体以初速度大小v0被水平抛出，落地时速度大小为v，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则(AB) A．物体做平抛运动的时间为 B．物体做平抛运动的竖直分位移为 C．物体做平抛运动的时间为 D．物体做平抛运动的水平分位移为 8、如图所示，A、B两个平台水平距离为7.5 m，某同学先用一个小球从A平台边缘以v0＝5 m/s的速度水平抛出，结果小球落在了B平台左侧边缘下方6.25 m处。重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，要使小球从A平台边缘水平抛出能落到B平台上，则从A平台边缘水平抛出小球的速度至少为(　B　) A．6 m/s B．7.5 m/s C．9 m/s D．11.25 m/s 9、如图，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶，结果球落在小桶的前方．不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以(　B　) A．增大抛出点高度，同时增大初速度 B．减小抛出点高度，同时减小初速度 C．保持抛出点高度不变，增大初速度 D．保持初速度不变，增大抛出点高度 10、某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的游泳池中．现制作一个为实际尺寸的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实际的(　B　) A. B. C. D. 解析　由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和竖直位移均变为原来的，由h＝gt2，得t＝，所以时间变为实际的，水流出的速度v＝，由于水平位移变为实际的，时间变为实际的，则水流出的速度为实际的，故选B. 11、如图，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速度为v0的平抛运动，恰落在b点．若小球初速度变为v，其落点位于c，则(　A　) A．v0<v<2v0 B．v＝2v0 C．2v0<v<3v0 D．v>3v0 12、如图所示，小球甲从A点水平抛出，小球乙从B点自由释放，两小球先后经过C点时的速度大小相等，速度方向夹角为45°，已知A、C高度差为h，不计空气阻力，由以上条件可知B、A两点高度差为(　C　) A.h B.h C．h D．2h 13、如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖甲与竖直墙壁成α＝53°角，飞镖乙与竖直墙壁成β＝37°角，两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。(sin 37°＝0.6，cos37°＝0.8) [解析]设射出点P离墙壁的水平距离为L，飞镖甲下降的高度为h1，飞镖乙下降的高度为h2，根据平抛运动的重要推论可知，两飞镖速度的反向延长线一定通过水平位移的中点Q， 如图所示，由此得cotβ－cotα＝d 代入数值得：L＝ [答案]　 考点2、有约束条件的平抛运动---平抛运动与落点界面的综合问题 做平抛运动的物体经常落在一些特定界面上，常见的类型有：竖直面、斜面、圆弧面、抛物面、有界区域、障碍物等，解决这类问题的关键是：把特定界面的几何关系或函数方程与平抛运动规律结合。 1．对平抛运动的约束条件常见的有“斜面”约束和“曲面”约束，解此类问题的关键： (1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。 (2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。 (3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。 2．常见类型示例 运动情景 物理量分析 vy＝gt，tan θ＝＝→t＝ x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝ tan θ＝＝→t＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝＝＝2tan θ ，α＝φ－θ tan θ＝＝→t＝ 在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R＝v0t 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R 专题讲练2 2.1、“斜面”约束的平抛运动---落在斜面上的平抛运动 两个典型模型 运动情景 求小球平抛时间 总结 分解速度 vy＝gt，tan(－θ)＝＝⇒t＝ ⇒x＝v0t＝， y＝gt2＝ 分解速度，构建速度三角形，确定时间，进一步确定位移 分解位移 x＝v0t，y＝gt2，tanθ＝⇒t＝⇒ vx＝v0，vy＝gt＝2v0tanθ 分解位移，构建位移三角形，确定时间，进一步确定速度 1、如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0拋出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是(　B　) A．夹角α将变大 B．夹角α与初速度大小无关 C．小球在空中的运动时间不变 D．PQ间距是原来间距的3倍 2、(多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经历的时间为t，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　AB　) A．若小球以最小位移到达斜面，则t＝ B．若小球垂直击中斜面，则t＝ C．若小球恰能击中斜面中点，则t＝ D．无论小球怎样到达斜面，运动时间均相等 　[过抛出点C作斜面的垂线CD，如图所示，当小球落在斜面上的D点时，位移最小，水平方向上有x＝v0t，竖直方向上有y＝gt2，根据几何关系有tan θ＝＝＝， 解得t＝，选项A正确；小球垂直击中斜面时，末速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝，解得t＝，选项B正确；若小球恰能击中斜面中点，则由几何关系可得tan θ＝＝＝，解得t＝，选项C错误；由以上分析可知，小球到达斜面方式不同，运动的时间不同，选项D错误。] 3、(多选)如图所示，长木板OA的倾角θ＝30°，在O点正上方的P处水平抛出一个小球，结果小球恰好垂直打在板面上距离O点为L的B点。重力加速度大小为g，空气阻力忽略不计。下列说法正确的是(　BD　) A．小球在空中运动的时间为 B．小球被抛出时的初速度大小为 C．小球打到B点前瞬间的速度大小为 D．O、P两点间的距离为 由几何关系可知，小球在水平方向上的位移大小为x＝Lcos 30°＝L，小球在B点的速度关系满足tan 60°＝，又因为x＝v0t，以上各式联立解得v0＝，t＝，选项A错误，B正确；由几何关系知，小球打在B点前的瞬时速度大小满足v＝＝，选项C错误；O、P两点间的距离为h＝gt2＋Lsin 30°＝， 4、(多选)如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力．下列说法正确的是( AD ) A．小球从抛出到落在斜面上的运动时间为 B．小球从抛出到落在斜面上的运动时间为 C．小球抛出时距斜面底端的高度为 D．小球抛出时距斜面底端的高度为 5、如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)(　D　) A．v0tanθ　 B． C． D． [解析]　如图所示，要使小球到达斜面的位移最小，则小球落点与抛出点的连线应与斜面垂直，所以有tanθ＝，而x＝v0t，y＝gt2，解得t＝。D正确。 6、如图所示，某一运动员从弧形雪坡上沿水平方向飞出后，又落回到斜面雪坡上，若斜面雪坡的倾角为θ，运动员飞出时的速度大小为v0，不计空气阻力，运动员飞出后在空中的姿势保持不变，重力加速度为g，则(　B　) A．如果v0不同，则该运动员落到雪坡时的速度方向也就不同 B．不论v0多大，该运动员落到雪坡时的速度方向都是相同的 C．运动员落到雪坡时的速度大小是 D．运动员在空中经历的时间是 7、(多选)如图(a)所示，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v­t图象如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则(　BD　) 　　　　 图(a)　　　　　　　　　　图(b) A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小 B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大 C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大 D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大 [第二次滑翔过程中在竖直方向的位移比第一次的大，又运动员每次滑翔过程中竖直位移与水平位移的比值相同(等于倾斜雪道与水平面夹角的正切值)，故第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大，选项B正确；竖直方向上的速度大小为v1时，根据v­t图线的斜率表示加速度可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的加速度比第一次的小，由牛顿第二定律有mg－f＝ma，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上所受阻力比第一次的大，选项D正确。] 8、 A、D 分别是斜面的顶端、底端，B、C 是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E 点在 D点的正上方，与 A 等高，从 E 点水平抛出质量相等的两个小球，球 1 落在 B 点，球 2 落在C 点，忽略空气阻力。关于球 1 和球 2 从抛出到落在斜面上的运动过程( D ) A.球 1 和球 2 运动的时间之比为 2∶1 B.球 1 和球 2 运动的时间之比为 1∶2 C.球 1 和球 2 抛出时初速度之比为 2∶1 D.球 1 和球 2 运动时单位时间内速度变化量之比为 1∶1 9、如图所示，两个高度相同的斜面，倾角分别为30°和60°，小球A、B分别由斜面顶端以相同大小的水平速度v0抛出，若两球均落在斜面上，不计空气阻力，则A、B两球平抛运动过程(　A　) A．飞行的时间之比为1∶3 B．水平位移大小之比为1∶9 C．竖直下落高度之比为1∶3 D．落至斜面时速度大小之比为1∶3 10、(多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则(　ACD　) A．落于B点的小球飞行时间为t B．v2＝gt C．落于C点的小球的水平位移为gt2 D．A点距水平面MN的高度为gt2 [解析]　落于C点的小球速度垂直QO，则分解速度，如图，则v1＝gt， 水平位移x＝v1t＝gt2，故C正确；落于B点的小球位移为AB，则分解位移如图， 其中，BC在同一平面，故飞行时间都为t 有：tan45°＝＝ 得v2＝，故A正确，B错误； 设C点距地面为h，由几何关系知x＝2h＋v2t，得h＝gt2 ，故A点距水平面高度H＝h＋gt2＝gt2，故D正确。 11、如图，两小球P、Q从同一高度分别以v1和v2的初速度水平抛出，都落在了倾角θ＝53°的斜面上的A点，其中小球P垂直打到斜面上，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.则v1、v2大小之比为(　D　) A．2∶1 B．3∶2 C．9∶16 D．32∶9 解析　两小球抛出后都做平抛运动，两球从同一高度抛出落到同一点，两小球在竖直方向上的位移相等，小球在竖直方向上都做自由落体运动，由t＝可知，两球的运动时间相等，对Q球，tan 53°＝＝＝，解得v2＝，球P垂直打在斜面上，则有v1＝vytan 53°＝gttan 53°＝，所以＝，A、B、C错误，D正确． 12、从足够长的光滑斜面顶端以v0水平抛出一个弹性小球，小球在斜面上经多次弹性碰撞反弹后，运动轨迹如图所示。则下列四个选项中与实际符合最好的是( B )。（垂直于斜面的分运动相同，最大高度相等） 13、如图所示，一小球从平台上抛出，恰好无碰撞地落在临近平台的一倾角为α＝53°的光滑斜面上并下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m。(g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求： (1)小球水平抛出的初速度v0是多大？ (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？ [解析]　(1)由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，所以 vy＝v0tan 53° v＝2gh 代入数据，得vy＝4 m/s，v0＝3 m/s，故小球水平抛出的初速度为3 m/s。 (2)由vy＝gt1得t1＝0.4 s s＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m。 [答案]　(1)3 m/s　(2)1.2 m 14、用如图甲所示的水平—斜面装置研究平抛运动。一物块(可视为质点)置于粗糙水平面上的O点，O点与斜面顶端P点的距离为s。每次用水平拉力F，将物块由O点从静止开始拉动，当物块运动到P点时撤去拉力F。实验时获得物块在不同拉力作用下落在斜面上的不同水平射程，作出了如图乙所示的图象。若物块与水平面间的动摩擦因数为0.5，斜面与水平地面之间的夹角θ＝45°，g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求O、P间的距离s。(保留两位有效数字) 甲　　　　　　　　　乙 [解析]　根据牛顿第二定律，在OP段有F－μmg＝ma， 又2as＝v， 由平抛运动规律和几何关系有 物块的水平射程x＝vPt， 物块的竖直位移y＝gt2， 由几何关系有y＝xtan θ， 联立以上各式可以得到x＝， 解得F＝x＋μmg， 由题图乙知μmg＝5，＝10， 代入数据解得s＝0.25 m。 [答案]　0.25 m 15、如图所示，挡板OM与竖直方向所夹的锐角为θ，一小球（视为质点）从O点正下方的A点以速度水平抛出，小球运动过程中恰好不和挡板碰撞（小球轨迹所在平面与挡板垂直）．重力加速度大小为g，求O、A间的距离． 2.2、“曲面”约束的平抛运动--落在圆弧面上的平抛运动 如图所示，由半径和几何关系制约时间t： h＝gt2　R±＝v0t，联立两方程可求t。 1、如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　A　) A. B. C. D. 2、如图所示，科考队员站在半径为10 m的半圆形陨石坑(直径水平)边，沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点)，石子在坑中的落点P与圆心O的连线与水平方向的夹角为37°，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2 m．取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力．则石子抛出时的速度大小为(　C　) A．9 m/s B．12 m/s C．15 m/s D．18 m/s 3.如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为四分之一圆弧ab，半径为R，O点为圆心，c点为圆弧的中点。若在O点以某一初速度v沿Oa方向抛出一个小球，小球落在坑中。忽略空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　C　) A．当小球的初速度为时，恰好能打到c点 B．小球的初速度v越大，在空中运动的时间就越长 C．小球的初速度v越大，落到坑上时速度的偏转角越小 D．小球的初速度v越大，落到坑上时的动能就越大 　[设合位移方向与水平方向夹角为α，平抛运动时间为t，则有：Rsin α＝gt2 ① Rcos α＝vt ② 恰好能打到c点时， α＝45°，①②联立解得：v＝，故A错误；小球的初速度越大，落点越靠上，即下落高度就越小，运动时间就越短，位移偏转角越小，则落到坑上时速度的偏转角越小，故B错误，C正确；小球的初速度越大，落点越靠上，即下落高度就越小，重力做的功就越小，故小球的初速度越大，落到坑上时的动能不一定越大，故D错误。] 4、如图所示，水平路面出现了一个大坑，其竖直截面为半圆，AB为沿水平方向的直径。一辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以速度v1、v2从A点沿AB方向水平飞出，分别落于C、D两点，C、D两点距水平路面分别为圆半径的0.6倍和1倍。则v1︰v2的值为(　C　) A．　 B．　 C．　 D． [解析]　设圆弧的半径为R，依平抛运动规律得x1＝v1t1，x2＝v2t2 联立得＝＝＝ 时间由竖直方向做自由落体运动来比较，y1＝gt，y2＝gt 由两式相比得＝ 其中y1＝R，y2＝R 则有＝，代入速度公式得＝，C正确。 5、如图所示，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为(　C　) A．tan α B．cos α C．tan α D．cos α [设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2。对球1：Rsin α＝v1t1，Rcos α＝gt，对球2：Rcos α＝v2t2，Rsin α＝gt，联立可得＝tan α，C正确。] 6、如图所示，竖直平面内平抛的小球恰好与光滑半圆轨道相切于B点，已知抛出点在半圆轨道左端点(A点)的正上方，半圆轨道半径为R，直线OB与水平面成60°角，重力加速度为g，则下列关于小球在空中的运动的分析正确的是(　B　) A．小球到达B点飞行的时间为 B．小球平抛的初速度大小为 C．小球到达B点时水平位移为 D．小球到达B点时竖直位移为 [小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，经过B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，则tan 30°＝，小球在B点时的位移方向与水平方向的夹角α的正切值tan α＝tan 30°＝，又知x＝R＋Rcos 60°＝R，v＝2gy，联立解得y＝R，vy＝，v0＝，小球到达B点飞行的时间为t＝＝，选项A、C、D错误，B正确。] 7、如图所示,半球形容器固定在水平地面上,开口向上,AD为球的水平直径,O是球心,B是AO的中点,C是OD的中点。让一个小球先后从A、B、O、C四点沿AD方向水平向右抛出,则小球从哪一点抛出可能垂直打在容器内壁上(　B　) A.从A点抛出 B.从B点抛出 C.从O点抛出 D.从C点抛出 解析 如果小球抛出后能垂直打在容器内壁上,则打在容器内壁上时小球速度的反向延长线必过O点,因此O点应为水平位移的中点,故小球只有从B点抛出且落到C点正下方的容器内壁上时,才有可能垂直打在容器内壁上。故选B。 8、(多选)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心O等高且在同一竖直平面内．现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力．则下列说法中正确的是(　AB　) A．两球抛出的速率之比为1∶3 B．若仅增大v1，则两球将在落在坑壁之前相撞 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中 解析　由于两球抛出的高度相等，则运动时间相等，x1＝v1t，x2＝v2t，由几何关系可知x2＝3x1，所以两球抛出的速率之比为1∶3，故A正确；由2R＝(v1＋v2)t可知，若仅增大v1，时间减小，所以两球将在落在坑壁之前相撞，故B正确；要使两小球落在坑中的同一点，必须满足v1与v2之和与时间的乘积等于半球形坑的直径，即(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以两球抛出的速度之和不是定值，故C错误；由平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可知，若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中，故D错误． 2.3、抛物面约束的平抛运动--落在抛物面上的平抛运动 1(多选)如图所示，一个质量为0.4kg的小物块从高h＝0.05m的坡面顶端由静止释放，滑到水平台上，滑行一段距离后，从边缘O点水平飞出，击中平台右下侧挡板上的P点。现以O为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板的形状满足方程y＝x2－6(单位：m)，不计一切摩擦和空气阻力，g取10m/s2，则下列说法正确的是(BC) A．小物块从O点运动到P点的水平位移为2m B．小物块从O点运动到P点的时间为1s C．小物块刚到P点时速度方向与水平方向夹角的正切值等于10 D．小物块刚到P点时速度的大小为10m/s [解析]对小物块，从释放至到达O点的过程中，由动能定理得mgh＝mv－0，代入数据解得v0＝＝m/s＝1m/s。小物块从O点水平抛出做平抛运动，竖直方向y＝－gt2，水平方向x＝v0t，解得v＝－5x2；又有y＝x2－6，联立解得x＝1m，y＝－5m，根据y＝－gt2，解得t＝＝s＝1s，故A错误，B正确；竖直方向的速度大小vy＝gt＝10×1m/s＝10m/s，设刚到P点时速度方向与水平方方向夹角为θ，则有tanθ＝＝＝10，故C正确；根据速度的合成法则，小物块刚到P点时速度的大小为v＝＝m/s＝m/s，故D错误。 考点3、 平抛运动的临界和极值问题 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形： (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向． 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题． 专题训练3 3.1、平抛运动的临界问题 1、如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d ＝0.4 m，某人在距离墙壁L＝1.4 m、距窗子上沿h ＝0.2 m 处的 P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10 m/s2.则可以实现上述要求的速度大小是(　B) A．2 m/s B．4 m/s C．8 m/s D．10 m/s 解析　小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最大．此时有：L＝vmaxt1, h＝gt12， 代入数据解得：vmax＝7 m/s， 小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小，则有：L＋d＝vmint2，H＋h＝gt22， 代入数据解得：vmin＝3 m/s，故v的取值范围是3 m/s≤v≤7 m/s，故B正确，A、C、D错误． 2、(多选)飞镖运动于15世纪兴起于英格兰，20世纪初，成为人们日常休闲的必备活动。一般投飞镖的靶上共标有10环，第10环的半径最小。现有一靶的第10环的半径为1 cm，第9环的半径为2 cm，……以此类推，若靶的半径为10 cm，在进行飞镖训练时，若人离靶的距离为5 m，将飞镖对准第10环中心以水平速度v投出，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是(　BD　) A．当v≥50 m/s时，飞镖将射中第8环的线内 B．当v＝50 m/s时，飞镖将射中第6环线 C．若要击中第10环的线内，飞镖的速度v至少为50 m/s D．若要击中靶子，飞镖的速度v至少为25 m/s [当v＝50 m/s时，运动的时间t＝＝0.1 s，则飞镖在竖直方向上的位移y＝gt2＝0.05 m＝5 cm，将射中第6环线，当v≥50 m/s时，飞镖将射中第6环线以内，A错误，B正确；若要击中第10环的线内，飞镖下降的最大高度为0.01 m，根据h＝gt2得t1＝ s，则飞镖的最小初速度vm1＝＝50 m/s，C错误；若要击中靶子，飞镖下降的高度不能超过0.1 m，根据h＝gt2，得t2＝ s，则飞镖的最小速度vm2＝＝25 m/s，D正确。] 　求解平抛运动临界问题的一般思路 (1)找出临界状态对应的临界条件。 (2)分解速度或位移。 (3)若有必要，画出临界轨迹。 3.2、平抛运动的极值问题 1、某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平．现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为(　C　) A．0 B．0.1 m C．0.2 m D．0.3 m 解析　小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒，有mg(H－h)＝mv2，从右端出口飞出后小球做平抛运动，有x＝vt，h＝gt2，联立解得x＝2，根据数学知识知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正确． 2、海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤(贝类动物)后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳．一只海鸥叼着质量m＝0.1 kg的鸟蛤，在H＝20 m的高度、以v0＝15 m/s的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上．取重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力． (1)若鸟蛤与地面的碰撞时间Δt＝0.005 s，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大小F；(碰撞过程中不计重力) (2)在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度L＝6 m的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系．若海鸥水平飞行的高度仍为20 m，速度大小在15 m/s～17 m/s之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围． 答案　(1)500 N (2)[34 m,36 m] 解析　(1)设平抛运动的时间为t，鸟蛤落地前瞬间的速度大小为v.竖直方向分速度大小为vy，得H＝gt2，vy＝gt，v＝ 在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度v的方向为正方向，由动量定理得－FΔt＝0－mv 联立解得F＝500 N. (2)若释放鸟蛤的初速度为v1＝15 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x轴坐标值为x1，击中右端时，释放点的x轴坐标值为x2，得x1＝v1t，x2＝x1＋L 联立解得x1＝30 m，x2＝36 m 若释放鸟蛤的初速度为v2＝17 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x轴坐标值为x1′，击中右端时，释放点的x轴坐标值为x2′， 得x1′＝v2t，x2′＝x1′＋L 联立解得x1′＝34 m，x2′＝40 m 综上得x坐标区间为[34 m,36 m]。 在乒乓球、排球、网球等运动中，都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，球速往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点。 3、一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示，水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　D　) A.<v<L1 B.<v< C.<v< D.<v< 解析　当速度最小时，球沿中线，恰好过网，设速度为v1，则有3h－h＝gt12，＝v1t1，解得v1＝；当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，设速度为v2，则3h＝ gt22，＝v2t2，解得v2＝，因此v的最大取值范围是<v<，选项D正确． 4、国际女子排球队比赛，球网高度为，球半场长为，若某运动员从线处竖直跃起扣球时手离地面的高度为。当她将排球水平扣出，让排球既不出线，又不触网，则排球运动的初速度范围是什么（取）？ 答案：（，） 考点4 斜抛运动 1、斜抛运动中的极值 在最高点，vy＝0，得到t＝ ， 物体的射高ym＝， 总时间t总＝⑦ 得物体的射程xm＝，当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大． 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大． 2、逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题． 专题讲练4 2、一小球从水平地面斜向上抛出，最后又落回同一水平面，不计空气阻力，在下图中能正确表示速度矢量变化过程的是(　C　) 3.如图所示,从地面上同一位置抛出两小球、,分别落在地面上的、点,两球运动的最大高度相同。 空气阻力不计,则（ CD ）（多选） A．的加速度比的大 B．的飞行时间比的长 C．在最高点的速度比在最高点的大 D．在落地时的速度比在落地时的大 4、以不同的抛射角抛出三个小球A、B、C，三球在空中的运动轨迹如图所示，下列说法中正确的是( C ) A．A、B、C三球在运动过程中加速度不相同 B．B球的射程最远，所以最迟落地 C．A球的射高最大，所以最迟落地 D．A、C两球的水平位移相等，所以两球的水平速度分量相等 5、（多选）如图所示，从水平地面上同一位置先后抛出的两个质量相等的小球P、Q，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同，不计空气阻力，则下列说法正确的是( AD ) A．P、Q的飞行时间相等 B．P与Q在空中不可能相遇 C．P、Q落地时的动能相等 D．P、Q落地时重力的瞬时功率相等 6、某同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于这两次篮球从抛出到撞击篮板的过程( C ) A．两次在空中运动的时间相等 B．两次抛出时的速度相等 C．第1次抛出时速度的水平分量小 D．第2次抛出时速度的竖直分量大 解析　将篮球的运动反向处理，即为平抛运动．由题图可知，第2次运动过程中的高度较小，所以运动时间较短，故A错误．平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，第2次运动过程中的高度较小，故第2次抛出时速度的竖直分量较小，故D错误．平抛运动在水平方向是匀速直线运动，水平射程相等，由x＝v0t可知，第2次抛出时水平分速度较大，第1次抛出时水平分速度较小，故C正确．水平分速度第2次大，竖直分速度第1次大，根据速度的合成可知，两次抛出时的速度大小关系不能确定，故B错误． 7、如图所示，一小球(视为质点)以速度v从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出，落到斜面上的M点且速度水平向右．现将该小球以2v的速度从斜面底端朝同样方向抛出，落在斜面上的N点．下列说法正确的是(　C　) A．落到M和N两点时间之比大于1∶2 B．落到M和N两点速度之比大于1∶2 C．落到N点时速度方向水平向右 D．M和N两点距离斜面底端的高度之比为1∶2 解析　由于落到斜面上M点时速度水平向右，故可把小球在空中的运动逆向看成从M点向左的平抛运动，设在M点的速度大小为vx，把质点在斜面底端的速度v分解为水平速度vx和竖直速度vy，则x＝vxt，y＝gt2，位移间的关系tan θ＝，解得在空中飞行时间t＝，vy＝gt＝2vxtan θ，v和水平方向夹角的正切值tan α＝＝2tan θ，为定值，即落到N点时速度方向水平向右，故C正确；速度为v＝＝vx，即v与vx成正比，故落到M和N两点速度之比为1∶2，故B错误；由t＝知，落到M和N两点时间之比为1∶2，故A错误；竖直高度为y＝gt2＝，y与vx2成正比，M和N两点距离斜面底端的高度之比为1∶4，故D错误． 8、某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等．若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度．下列说法正确的是(　A　) A．相邻位置运动员重心的速度变化相同 B．运动员在A、D位置时重心的速度相同 C．运动员从A到B和从C到D的时间相同 D．运动员重心位置的最高点位于B和C中间 9、在投掷游戏中，甲同学从A点将某个玩具水平抛出，玩具沿轨迹①落到了地面上的D点；乙同学从位于A点正下方地面上的B点斜向上将另一个同样的玩具抛出，玩具沿轨迹②也恰好落到了D点；C点为轨迹最高点,A、C高度相同，不计空气阻力，下列说法正确的是(　C　) A.两过程的水平速度相同 B.两过程中玩具在空中的运动时间相等 C.沿轨迹①落到D点的玩具落地速度大 D.两个过程中重力的冲量相等 解析 从A点抛出的玩具做平抛运动,竖直方向由h=gt2得,玩具在空中飞行的时间t1=,从B点抛出的玩具做斜上抛运动,根据竖直方向运动的对称性知,从B点抛出的玩具在空中飞行的时间为2t1,两玩具水平方向均做匀速直线运动,由x=vt知,从A点抛出的玩具的水平初速度为从B点抛出的玩具的两倍,A、B错误;重力的冲量I=Gt,从B点抛出的玩具的重力的冲量为从A点抛出的玩具的两倍,D错误;将落地速度分解,则v=,竖直方向分速度相同,而水平方向从A点抛出的玩具的速度为从B点抛出的玩具的两倍,故从A抛出的玩具落地速度大,C正确。 10、三级跳远是速度、力量和平衡能力的结合。设运动员在空中运动过程只受重力和沿跳远方向恒定的水平风力作用，地面水平、无杂物、无障碍，运动员每次起跳姿势不变且与地面的作用时间不计，假设人着地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变方向相反，运动员从A点开始起跳到D点的整个过程中均在竖直平面内运动，则下列说法中正确的是( C )。 A．每次运动到最高点时速度为0 B．每次起跳速度方向与水平方向的夹角相等 C．运动员在空中时的加速度恒定 D．从起跳到着地三段运动水平方向速度变化量越来越大 11、在倾角为α的斜坡上，沿着与水平线成α角的方向斜向上方抛出一石块，如图所示设石块落在斜坡上的位置离抛出点的距离为L，则石块抛出的初速度为( B ) 培优专题1、类平抛运动 1.受力特点：物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。 2．运动特点：在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。 3．求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。 培优训练1 1、如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求： (1)物块由P运动到Q所用的时间t； (2)物块由P点水平射入时的初速度v0； (3)物块离开Q点时速度的大小v。 [答案]　(1)物块受重力和支持力两个力，合力为重力沿斜面方向的分力。 (2)物块做类平抛运动，水平方向做v0的匀速直线运动，沿斜面方向做初速度为0的匀加速直线运动。 [解析]　(1)沿斜面向下的方向有mgsinθ＝ma，l＝at2 联立解得t＝ (2)沿水平方向有b＝v0t v0＝＝b (3)物块离开Q点时的速度大小v＝＝ [答案]　(1) (2)b (3) 规律总结：(1)类平抛运动与平抛运动的处理方法相同，但要搞清楚其加速度的大小和方向。 (2)需注意的是，类平抛运动的初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向不一定是竖直方向，一般情况下加速度a≠g。 2、如图所示，质量为m，电荷量为e的粒子从A点以v0的速度沿垂直电场线方向的直线AO方向射入匀强电场，由B点飞出电场时速度方向与AO方向成450，已知AO的水平距离为d（不计重力）．求： (1)从A点到B点用的时间； (2)匀强电场的电场强度大小． 3、如图所示，竖直放置的两金属板之间加一电压U1，在其右侧有两个水平正对放置的平行金属极板，板长为L，相距为d，两极板间电压为U2，从左极板静止释放一带负电粒子，经加速后进入偏转电场，粒子轨迹如图，已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子的重力．求： (1)粒子穿越加速电场获得的速度v1； (2)粒子在偏转电场发生的侧位移y； (3)粒子射出偏转电场时偏转角的正切值tanθ 培优专题2、平抛运动与圆周运动的综合问题 平抛运动与圆周运动的综合问题是高考的重点，主要有两种类型：一是平抛运动与水平面内圆周运动的综合，二是平抛运动与竖直面内圆周运动的综合。在此类问题中，除了应用平抛和圆周运动相关规律，通常还要结合能量关系分析求解，解题的关键是求解平抛与圆周运动衔接点的速度。 1、平抛运动与水平面内圆周运动的综合 此类问题往往是物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，解题思路是： (1)分析物体做匀速圆周运动的受力，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。 (2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。 (3)两种运动衔接点的速度是联系前后两个过程的关键物理量。 2、平抛运动与竖直面内圆周运动的综合 此类问题有两种类型：一是先做平抛后做圆周运动；二是先做圆周后做平抛运动，解题的关键是： (1)除了应用平抛和圆周运动相关规律，通常还要结合能量关系分析求解。 (2)竖直面内的圆周运动要明确是“轻绳模型”还是“轻杆模型”，注意应用物体到达圆周最高点的临界条件。 (3)两种运动衔接点处的速度是联系前后两个过程的关键物理量，注意速度方向与圆周的几何关系。 培优训练2 1．(多选)如图所示，BC是半径为R＝1m的竖直面内的圆弧轨道，轨道末端C在圆心O的正下方，∠BOC＝60°，将质量为m＝1kg的小球，从与O等高的A点水平抛出，小球恰好从B点沿圆弧切线方向进入轨道，由于小球与圆弧之间有摩擦，能够使小球从B到C做匀速圆周运动，重力加速度大小g取10m/s2，则下列说法正确的是(　BC　) A．从B到C，小球与轨道之间的动摩擦因数可能保持不变 B．从B到C，小球克服摩擦力做功为5J C．A、B两点间的距离为m D．小球从B到C的全过程中，小球对轨道的压力不变 [解析]　小球从A到B做平抛运动，在B点，小球速度方向偏转角θ＝60°， 则tan60°＝，vy＝gt，竖直方向的位移y＝Rcos60°＝gt2，水平方向的位移x＝vAt， 解得x＝m，则A、B两点间的距离xAB＝＝m，C正确； 在B点时小球的速度大小v＝＝m/s，小球从B到C做匀速圆周运动，则由能量守恒定律可知，小球克服摩擦力做的功等于重力做的功，即Wf＝WG＝mg(R－Rcos60°)＝mgR＝5J，B正确；从B到C，小球对轨道的压力变大，而小球重力沿轨道切向上的分力变小，小球做匀速圆周运动，沿轨道切线方向受力平衡，则所受摩擦力变小，则小球与轨道之间的动摩擦因数变小，A、D错误。 2、如图所示，餐桌中心是一个半径为r＝1.5m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数为μ1＝0.6，与餐桌间的动摩擦因数为μ2＝0.225，餐桌离地面的高度为h＝0.8m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。 (1)为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？ (2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面上，餐桌半径R的最小值为多大？ (3)若餐桌的半径R′＝r，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L为多少？ [答案]　(1)2rad/s　(2)2.5m　(3)2.1m [解析]　(1)由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，所以随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时，小物体即将滑落，此时圆盘的角速度达到最大，有fm＝μ1N＝mω2r N＝mg 联立两式可得ω＝＝2rad/s (2)由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应的餐桌半径取最小值。设物体在餐桌上滑动的位移为s，物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a，则：a＝，f＝μ2mg，得a＝μ2g＝2.25m/s2 物体在餐桌上滑动的初速度v0＝ωr＝3m/s 由运动学公式得0－v＝－2as，可得s＝2m 由几何关系可得餐桌半径的最小值为R＝＝2.5m (3)当物体滑离餐桌时，开始做平抛运动，平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度v′t， 由题意可得v′－v＝－2as′ 由于餐桌半径为R′＝r，所以s′＝r＝1.5m 可得v′t＝1.5m/s 物体做平抛运动的时间为t，则h＝gt2 解得t＝＝0.4s 物体做平抛运动的水平位移为sx＝v′tt＝0.6m 由题意可得L＝s′＋sx＝2.1m 3、如图所示，半径R＝1.0m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°。将一个质量m＝1.0kg的物体(视为质点)从A点左侧高h＝0.8m处的P点水平抛出，恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道。已知物体与轨道CD间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求： (1)物体水平抛出时的初速度v0； (2)物体经过B点时受圆弧轨道的支持力FN； (3)物体在轨道CD上向上运动的最大距离x。 [答案]　(1)3m/s　(2)43N　(3)1.45m [解析]　(1)物体抛出后在竖直方向上做自由落体运动，则vy＝＝4m/s 物体恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道，则＝tan53° 解得v0＝＝3m/s (2)物体到达A点的速度v＝＝5m/s，A到B的过程中机械能守恒，则mv2＋mgR(1－cos53°)＝mv 物体在B点受到的支持力与重力的合力提供向心力，则FN－mg＝m 解得FN＝43N (3)B到C的过程中机械能守恒，得mv＋mgR(1－cos37°)＝mv 物体在斜面CD上受到的摩擦力Ff＝μmgcos37°＝4N 设物体在轨道CD上运动的距离x，则－Ffx－mgx·sin37°＝0－mv 联立解得x＝1.45m 4、如图所示为某电视台正在策划的“快乐向前冲”节目的场地设施。AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人(人可看成质点)运动，下方水面上漂浮着一个半径R＝1m、匀速转动的铺有海绵垫的转盘，转盘轴心离平台的水平距离为L，平台边缘与转盘平面的高度差H＝3.2m。选手抓住悬挂器后，按动开关，在电动机的带动下从A点沿轨道做初速度为零、加速度a＝2m/s2的匀加速直线运动，起动后2s悬挂器脱落。已知人与转盘间的动摩擦因数μ＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求人随悬挂器水平运动的位移大小和悬挂器脱落时人的速率； (2)若选手恰好落到转盘的圆心上，求L的大小； (3)假设选手落到转盘上相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度ω应限制在什么范围？ [答案]　(1)4m；4m/s　(2)7.2m　(3)ω≤rad/s [解析]　(1)匀加速过程中选手的位移x1＝at＝4m ，悬挂器脱落时选手的速度v1＝at1＝4m/s (2)悬挂器脱落后选手做平抛运动，竖直方向有H＝gt ，水平方向有x2＝v1t2 ，解得x2＝3.2m 故转盘轴心离平台的水平距离L＝x1＋x2＝7.2m (3)临界情况下，人落在转盘边缘处不致被甩下且最大静摩擦力提供向心力，有μmg＝mω2R 解得ω＝＝rad/s 所以转盘的角速度必须满足ω≤rad/s。 5、如图所示，高H＝0.8m的桌面上固定一半径R＝0.45m的四分之一光滑圆弧轨道AB，轨道末端B与桌面边缘水平相切，地面上的C点位于B点的正下方。将一质量m＝0.04kg的小球由轨道顶端A处由静止释放，g取10m/s2。求：(1)小球运动到B点时对轨道的压力大小； (2)小球落地点距C点的距离； (3)若加上如图所示的恒定水平风力，将小球由A处静止释放，要使小球恰落在C点，作用在小球上的风力应为多大？ [答案]　(1)1.2N　(2)1.2m　(3)0.3N [解析]　(1)小球由A点运动到B点，由机械能守恒定律，有mgR＝mv， 在B点由牛顿第二定律，有FN－mg＝ 根据牛顿第三定律，小球运动到B点时对轨道的压力大小F′N＝FN 解得F′N＝1.2N (2)小球从B点飞出做平抛运动， 竖直方向有H＝gt2，水平方向有x＝v0t，解得x＝1.2m (3)设风力大小为F，小球从A点运动到B点，由动能定理，有mgR－FR＝mv 小球从B点运动到C点，水平位移x1＝0，x1＝v1t－a1t2 水平方向有F＝ma1，解得F＝0.3 1 物理学习的核心在于思维 最基本的知识、方法才是最重要的； 30%兴趣+30%信心+30%方法+10%勤奋+l%天赋>100%成功 学科网（北京）股份有限公司 $