2026届高三物理一轮复习讲义：第3讲 圆周运动

新教材高三一轮复习资料-力学5--曲线运动-第3讲　圆周运动--教师版 新教材高三一轮复习资料-力学5--曲线运动-第3讲　圆周运动 自测 知识点1　描述圆周运动的物理量及其相互关系 1、描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表 意义、方向 公式、单位 线速度 (1)描述做圆周运动的物体运动快慢 的物理量(v) (2)方向与半径垂直，和圆周相切 (1)v＝＝ (2)单位：m/s 角速度 (1)描述物体绕圆心转动快慢 的物理量(ω) (2)中学不研究其方向 (1)ω＝＝ (2)单位：rad/s 周期和转速 (1)周期是物体沿圆周运动一圈的时间(T) (2)转速是物体在单位时间内转过的圈数 (n)，也叫频率(f) (3)周期与频率的关系为T＝ (1)T＝；单位：s (2)n的单位r/s，r/min (3)f的单位：Hz 向心加速度 (1)描述速度方向 变化快慢的物理量(an) (2)方向指向圆心 (1)an＝ ＝ω2r ＝vω (2)单位：m/s2 向心力 (1)作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的方向 ，不改变线速度的大小 (2)方向指向圆心 (1)Fn＝mω2r＝m＝mr (2)单位：N 2、各物理量之间的相互关系 (1)v＝ωr＝＝2πrf。 (2)an＝＝ω2r＝ωv＝＝4π2f 2r。 (3)Fn＝m＝mω2r＝m＝mωv＝m4π2f 2r。 3、匀速圆周运动 3.1、做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等 ，就是做匀速圆周运动。 3.2、性质：向心加速度大小 不变 ，方向 总是指向圆心 的变加速运动． 3.3、质点做匀速圆周运动的条件：合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向 圆心 ． 知识点2 匀速圆周运动和非匀速圆周运动的比较 项目 匀速圆周运动 非匀速圆周运动 运动性质 是速度大小不变 而方向时刻变化 的变速曲线运动，是加速度大小不变 、方向变化 的变加速曲线运动 是速度大小和方向都变化 的变速曲线运动，是加速度大小、方向都变化 的变加速曲线运动 加速度 方向与速度垂直，即只存在向心加速度，没有切向加速度 由于速度大小和方向都变化，所以不仅存在向心加速度，而且存在切向加速度，合加速度的方向不指向圆心 向心力 知识点3 圆周运动中的动力学分析 1、向心力的作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向 ，不改变速度的大小 。 2、向心力的来源：向心力是按力的作用效果命名的，可以由一个力提供，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以由几个力的合力 提供，还可以由一个力的分力 提供，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． 3、向心力的向心力的确定 3.1、确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置． 3.2、分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力． 4、向心力的公式：F＝m＝mω2r ＝ mr ＝mωv＝4π2mf2r 。 5、解决圆周运动问题的主要步骤 （1）审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环； （2）分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等； （3）分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源； （4）根据牛顿运动定律及向心力公式列方程． 6、向心力公式是牛顿第二定律对圆周运动的应用，求解圆周运动的动力学问题与应用牛顿第二定律的解题思路相同，但要注意几个特点： 6.1．向心力是沿半径方向的合力，是效果力，不是实际受力。 6.2．向心力公式有多种形式：F＝m＝mω2r＝mr，要根据已知条件选用。 6.3．正交分解时，要注意圆心的位置，沿半径方向和切线方向分解。（切记：沿圆周半径指向圆心为正方向） 6.4．对涉及圆周运动的系统，要用隔离法分析，不要用整体法。 知识点4　离心运动 1．定义：做 圆周运动 的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需 向心力 的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。 2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的 惯性 ，总有沿着圆周 切线方向 飞出去的倾向。 3．受力特点 ①当Fn＝mω2r时，物体做 圆周 运动。 ②当Fn＝0时，物体沿 切线 方向飞出。 ③当Fn<mω2r时，物体逐渐 远离 圆心，做离心运动。 ④当Fn>mω2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。 思考：如图所示，圆盘上的物体随圆盘一起匀速转动，在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动。 (1)它们运动所需要的向心力分别由什么力提供？ (2)要计算漏斗内壁上小球的角速度时还需要哪些信息？ [答案]　(1)圆盘上的物体是静摩擦力提供向心力，漏斗内壁的物体由重力和支持力的合力提供向心力。 (2)小球做圆周运动的半径和漏斗内壁的倾角。 自测巩固 1、思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)匀速圆周运动是匀加速曲线运动。 (×) (2)做匀速圆周运动的物体的向心加速度与半径成反比。 (×) (3)做匀速圆周运动的物体所受合外力为变力。 (√) (4)做圆周运动的物体所受到的合外力不一定等于向心力。 (√) (5)做离心运动的物体是由于受到离心力的作用。 (×) (6)赛车转弯时冲出赛道是因为沿转弯半径向内的静摩擦力不足以提供向心力。 (√) 2、汽车轮胎竖放于水平地面上，O为其中心，A为轮胎与地面的接触点，现使其在地面上向右滚动。某一时刻地面上的观察者看来，关于轮箍最大圆周上的B、C两点的说法正确的是(　A　) A．B点的线速度比A点的大 B．B点的角速度比A点的小 C．B、C两点均绕O点做圆周运动 D．B、C两点线速度大小相等 3、A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相等时间内通过的弧长之比sA︰sB＝4︰3，转过的圆心角之比θA︰θB＝3︰2，则下列说法中正确的是(　A　) A．它们的线速度之比vA︰vB＝4︰3 B．它们的角速度之比ωA︰ωB＝2︰3 C．它们的周期之比TA︰TB＝3︰2 D．它们的向心加速度之比aA︰aB＝3︰2 4、如图所示为“感受向心力”的实验，一根轻绳的一端拴着一个小球，在光滑桌面上抡动细绳，使小球做圆周运动，通过拉力来感受向心力。下列说法正确的是(　C　) A．只减小旋转角速度，拉力增大 B．只增大旋转速度，拉力减小 C．只更换一个质量较大的小球，拉力增大 D．突然松开绳子，小球仍做曲线运动 5、如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是(　C　) A．重力、支持力 B．重力、向心力 C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力 D．重力、支持力、向心力、摩擦力 6、(多选)如图为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图线，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线。由图象可以知道(　AD　) A．甲球运动时，线速度的大小保持不变 B．甲球运动时，角速度的大小保持不变 C．乙球运动时，线速度的大小保持不变 D．乙球运动时，角速度的大小保持不变 7、(多选)如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　CD　) A．A、B球受到的支持力之比为∶3 B．A、B球的向心力之比为∶1 C．A、B球运动的角速度之比为3∶1 D．A、B球运动的线速度之比为1∶1 [设小球受到的支持力为FN，向心力为F，则有FNsin θ＝mg，FNA∶FNB＝∶1，选项A错误；F＝，FA∶FB＝3∶1，选项B错误；小球运动轨道高度相同，则半径R＝htan θ，RA∶RB＝1∶3，由F＝mω2R得ωA∶ωB＝3∶1，选项C正确；由v＝ωR得vA∶vB＝1∶1，选项D正确。] 8、如图所示的装置可测量子弹的飞行速度，在一根轴上相隔s＝1m处安装两个平行的薄圆盘，使轴带动两圆盘以n＝3000r/min匀速转动，飞行的子弹平行于轴沿一直线穿过两圆盘，即在盘上留下两个孔，现测得两小孔所在半径间的夹角为30°，子弹飞行速度大小可能是 （ B ） A．500m/s B．600m/s C．700m/s D．800m/s 核心考点突破 考点1　圆周运动中的运动学分析 1．圆周运动各物理量间的关系 2．常见的三种传动方式及特点 类型 模型 模型解读 皮带 传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB 摩擦(或齿 轮)传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB 同轴 传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比 3、圆周运动中的追及问题 如图所示，两个质点A 和B 都围绕0点做匀速圆周运动的，角速度分别为 ωA和ωB,t=0 时刻， A、B 和O 三点共线，经过时间t后三者再次共线，则： 3.1、当AB在O点同侧时，ωAt-ωBt＝2 或者 3.2、当AB在O点两侧时，ωAt-ωBt＝ 或者 4、周期性引起的多解 作匀速圆周运动的物体，经过一个周期运动到原来位置，并且具有相同的速度，匀速圆周运动的周期性往往使问题出现多解性，匀速圆周运动与其他运动关联的问题，时间相等是解题的关键． 5、变速圆周运动 如果一个作圆周运动的物体所受合外力并不始终指向圆心的情况下，该物体将作变速圆周运动．变速圆周运动的速度方向仍然指向切线方向， 专题讲练1 1.1、圆周运动物理量的分析和计算 1、(多选)如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图．已知质量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0 m，B点的转弯半径为4.0 m，则学员和教练员(均可视为质点)(　AD　) A．线速度大小之比为5∶4 B．周期之比为5∶4 C．向心加速度大小之比为4∶5 D．受到的合力大小之比为15∶14 2、汽车后备厢盖一般都配有可伸缩的液压杆,如图所示,可伸缩液压杆上端固定于后盖上A点,下端固定于箱内O'点,B为后盖上一点,后盖可绕过O点的固定铰链转动。在合上后备厢盖的过程中(　C　) A.A点相对O'点做圆周运动 B.A点与B点相对于O点转动的线速度大小相等 C.A点与B点相对于O点转动的角速度大小相等 D.A点与B点相对于O点转动的向心加速度大小相等 3、未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示．当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是(　B　) A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大 B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小 C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大 D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小 1.2、圆周传动问题 1、如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦力作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的(　D　) A．线速度大小之比为3∶2∶2 B．角速度之比为3∶3∶2 C．转速之比为2∶3∶2 D．向心加速度大小之比为9∶6∶4 2、某机器的齿轮系统如图所示，中间的轮叫作太阳轮，它是主动轮。从动轮称为行星轮，主动轮、行星轮与最外面的大轮彼此密切啮合在一起，如果太阳轮一周的齿数为n1，行星轮一周的齿数为n2，当太阳轮转动的角速度为ω时，最外面的大轮转动的角速度为(　A　) A．ω B．ω C．ω D．ω 3、(多选)在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6，当齿轮转动的时候，关于小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点，下列说法正确的是(　AC　) A．A点和B点的线速度大小之比为1∶1 B．A点和B点的角速度之比为1∶1 C．A点和B点的角速度之比为3∶1 D．A点和B点的线速度大小之比为1∶3 4、(多选)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑。则(　BD　) A．A点与C点的角速度大小相等 B．A点与C点的线速度大小相等 C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1 D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4 5、如图是自行车传动装置的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为 （ D ） A． B． C． D． 提示： 且 6、如图所示为某一皮带传动装置．M是主动轮，其半径为r1，M′半径也为r1，M′和N在同一轴上，N和N′的半径都为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．则下列说法正确的是 （BC ）（多选） A．N′轮做的是逆时针转动 B．N′轮做的是顺时针转动 C．N′轮的转速为（）2n D．N′轮的转速为（）2n 【提示】皮带与轮边缘接触处的速度相等，所以2πnr1＝2πn2r2，得N（或M′）轮的转速为n2＝，同理2πn2r1＝2πn′2r2，得N′轮转速n′2＝（）2n。C正确，D错误． 7、变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度档，下图是某一种变速自行车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿。那么该车可变换__4____种不同档位；当A与D轮组合时，两轮的角速度之比A:D＝___1：4___。 半径之比=齿数比， 所以： 8、如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0＝1.0 cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边沿接触．当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力．自行车车轮的半径R1＝35.0 cm，小齿轮的半径R2＝4.0 cm，大齿轮的半径R3＝10.0 cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比．（假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动） 【答案】2∶175 且 所以 1.3、圆周运动的多解问题 1、如图所示为一个半径为5 m的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在其圆心正上方20 m的高度有一个小球正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，要使得小球正好落在A点，则(　A　) A．小球平抛的初速度一定是2.5 m/s B．小球平抛的初速度可能是2.5 m/s C．圆盘转动的角速度一定是π rad/s D．圆盘转动的加速度可能是π2 m/s2 2、如图所示，电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角，当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇的转速可能是（ACD ）（多选） A．600 r/min B．900 r/min C．1200 r/min D．3000 r/min 解： , , 联立解之得 【思考】如果转动时感觉有六个叶片，则其转速为多大？ 【答案】n＝300（2k+1）r/min（k＝0、1、2、……） 在一个闪光间隔内，扇叶转过的奇数倍， , , 联立解之得n＝300（2k+1） 3、如图所示，在光滑的水平面上的两个小球A和B，A球用长L的线拴着绕O点做匀速圆周运动，B做匀速直线运动。在t0时刻A、B位于MN直线上，并且有相同的速度v0，这时对B施加一个恒力，使B开始做匀变速直线运动。为了使两质点在某时刻速度又相同，B的加速度应满足什么条件？ 【难度】★★【答案】（n＝0，1，2，3……） (B物体一定做匀减速直线运动) 对A有 对B有 4、子弹以初速度v0水平向右射出，沿水平直线穿过一个正在沿逆时针方向转动的薄壁圆筒，在圆筒上只留下一个弹孔（从A位置射入，B位置射出，如图所示）。OA、OB之间的夹角为，已知圆筒半径R＝0.5m，子弹始终以v0＝60m/s的速度沿水平方向运动（不考虑重力的作用），则圆筒的转速可能是 （ C）A B O R ω v0 A．20r/s B．60r/s C．100r/s D．140r/s , , R= 联立解之得n= 5、某机器内有两个围绕各自固定轴匀速转动的铝盘A、B，A盘固定一个信号发射装置P，能持续沿半径向外发射红外线，P到圆心的距离为28 cm。B盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置Q，Q到圆心的距离为16 cm.P、Q转动的线速度均为4π m/s.当P、Q正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口，如图所示，则Q每隔一定时间就能接收到红外线信号，这个时间的最小值为（B） A．0.42 s B．0.56 s C．0.70 s D．0.84 s 【解析】P的周期TP＝＝ s＝0.14 s，同理Q的周期TQ＝＝ s＝0.08 s，而经过的时间应是它们周期的整数倍，因此B项正确． (PQ周期的最小公倍数) 6、如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，半径为r，当球Q运动到与O在同一水平线上时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落．要使两球在圆周最高点处相碰，Q球的角速度ω应满足什么条件？ 【答案】（n＝0，1，2，3……）; , 7、如图所示，质点P以O为圆心、r为半径作匀速圆周运动，周期为T，当质点P经过图中位置A时，另一质量为m、初速度为零的质点Q受到沿OA方向的拉力F作用从静止开始在光滑水平面上作直线运动，为使P、Q在某时刻速度相同，拉力F必须满足条件是 【答案】 （n＝0，1，2，3……） 8.(多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动．一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，重力加速度为g，则(　ACD　) A．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝d B．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2d C．圆筒转动的角速度可能为ω＝π D．圆筒转动的角速度可能为ω＝3π 9、（多选题）电风扇在闪光灯下转动，灯每秒闪光30次，风扇有三个均匀分布的叶片，如果转动时观察到有六个叶片，则其转速可能为（ BD ） A．10 r/s B．15 r/s C．20 r/s D．25 r/s 【分析】在闪光灯发光时间内，扇叶转过六分之一周的奇数倍时，人们均觉得扇叶有六个叶片，这时风扇的转速：，（N=1，2，3，…） 所以当N=1时转速取最小值5r/s；当N=2时转速取最小值15r/s；N=3时转速取最小值25r/s，故选项BD正确，AC错误． 考点2 水平面内的圆周运动的动力学分析 1．向心力的确定--受力特点是合力沿水平方向指向轨迹内侧， (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。 (2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。 2.“一、二、三、四”求解圆周运动问题 3、六种常见的向心力实例 运动模型 ①飞机水平转弯 ②火车转弯 ③圆锥摆 向心力的 来源图示 运动模型 ④飞车走壁 ⑤汽车在水平路面转弯 ⑥光滑水平转台 向心力的 来源图示 3、匀速圆周运动的实例分析 3.1、圆锥摆问题 3.1.1问题概述：如图所示为圆锥摆模型。向心力F向＝mgtanθ＝m＝mω2r，且r＝Lsinθ， 解得v＝， ω＝ 。 3.1.2几类问题 ①摆线的拉力，分析摆线的拉力F有两种基本思路： a．当θ角已知时，F＝； b．当θ角未知时，F＝＝mω2L＝mL＝m(2πf)2L。 ②周期的计算：设悬点到圆心的距离为h，根据牛顿第二定律有F合＝mgtanθ＝mLsinθ 可得T＝2π ＝2π 由此可知，当g不变时，圆锥摆的周期只与h有关，与m、L、θ无关。 ③动态分析 a．根据F向＝mgtanθ＝mω2Lsinθ得cosθ＝，故当角速度ω增大时，θ增大，向心力增大，半径增大，周期变小。 b．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝和向心力也越大。 3.2、圆锥筒类问题 （1）问题概述：如图所示为圆锥筒模型。筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即F向＝＝m＝mω2r=m，解得v＝ ，ω＝ ， =。 （2）几点规律 ①稳定状态下，小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω就越小，线速度v就越大。 ②小球受到的支持力FN＝ 和向心力F向＝，并不随位置的变化而变化。 ③小球做匀速圆周运动的向心加速度大小不变（与小球的质量、位置无关） 3.3、火车拐弯问题 设火车车轨间距为L，两轨高度差为h，火车转弯半径为R，火车质量为M，如图所示． 因为θ角很小，所以sin θ≈tan θ，故＝，所以向心力Fn＝Mg。又因为Fn＝Mv2/R， 所以车速v＝ 3.4、汽车转弯类问题 汽车（或自行车）在水平路面上转弯如图所示，路面对汽车（或自行车）的静摩擦力提供向心力．若动摩擦因数为μ，则由μmg＝m得汽车（或自行车）安全转弯的最大速度为v＝. 专题讲练2 2.1、圆周运动的动力学问题 1、如图所示，一个圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的竖直轴匀速转动，角速度为ω，盘面上有一质量为m的物块随圆盘一起做匀速圆周运动，已知物块到转轴的距离为r，下列说法正确的是(　C　) A．物块受重力、弹力、向心力作用，合力大小为mω2r B．物块受重力、弹力、摩擦力、向心力作用，合力大小为mω2r C．物块受重力、弹力、摩擦力作用，合力大小为mω2r D．物块只受重力、弹力作用，合力大小为零 2、如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ AC ）（多选） A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝是b开始滑动的临界角速度 D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg 3、(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(　ABD　) A ．当ω> 时，A、B相对于转盘会滑动 B．当ω> 时，绳子一定有弹力 C．ω在 <ω< 范围内增大时，B所受摩擦力变大 D．ω在0<ω< 范围内增大时，A所受摩擦力一直变大 4、如图所示，小木块a、b和c(可视为质点)放在水平圆盘上，a、b的质量均为m，c的质量为，a与转轴OO′的距离为l，b、c与转轴OO′的距离为2l且均处于水平圆盘的边缘．木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法中正确的是(　B　) A．b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落 B．当a、b和c均未滑落时，a、c所受摩擦力的大小相等 C．b和c均未滑落时线速度一定相同 D．b开始滑动时的角速度是 5、（多选题）如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以下说法正确的是（ BC ） A．B对A的摩擦力一定为3μmg B．B对A的摩擦力一定为3mω2rr ω B A C 1.5r C．转台的角速度一定满足 D．转台的角速度一定满足 6、如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动.三个物体与圆盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.三个物体与轴O共线且OA＝OB＝BC＝r，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无拉力。当圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，则对于这个过程，下列说法正确的是（ BCD ）（多选）提示：A的静摩擦力先向右（），再向左。 A．A、B两个物体同时达到最大静摩擦力 B．B、C两个物体的静摩擦力先增大后不变，A物体所受的静摩擦力先增大后减小再增大 C．当ω2>时整体会发生滑动 D．当<ω<时，在ω增大的过程中B、C间的拉力不断增大 7、如图所示，一光滑轻杆沿水平方向放置，左端O处连接在竖直的转动轴上，a、b为两个可视为质点的小球，穿在杆上，并用细线分别连接Oa和ab，且Oa＝ab，已知b球质量为a球质量的3倍。当轻杆绕O轴在水平面内匀速转动时，Oa和ab两线的拉力之比为 （ D ） A．1∶3 B．1∶6 C．4∶3 D．7∶6 8、如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算该女运动员（　C　） A．受到的拉力为 B．受到的合力为2G C．向心加速度为g D．向心加速度为2g 9、如图所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它随杆转动，若转动角速度为ω，则 （ AC ）（多选） A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力 B．绳子BP的拉力随ω的增大而不变 C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力 D．当ω增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力 10、如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程中OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是（ B ） A．OB绳的拉力范围为0～mg B．OB绳的拉力范围为mg～mg C．AB绳的拉力范围为mg～mg D．AB绳的拉力范围为0～mg 11、质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为la、lb，如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动，则 （ BC）（多选） A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动 B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大 C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动 D．绳b未被烧断时，绳a的拉力大于mg，绳b的拉力为mω2lb 12、如图所示，一质量为m的小方块（可视为质点），系在一伸直的轻绳一端，绳的另一端固定在粗糙水平面上，绳长为r．给小方块一沿垂直轻绳的初速度vo，小方块将在该水平面上以绳长为半径做圆周运动，运动一周后，其速率变为，则以下说法正确的是( BCD ) （多选） A. 如果初速度较小，绳的拉力可能为0 B．绳拉力的大小随小方块转过的角度均匀减小 C．小方块运动一周的时间为 D．小方块运动一周克服摩擦力做的功为 13、如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m.赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短（发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14），则赛车（ AB）（多选） A．在绕过小圆弧弯道后加速 B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2 D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s 14、(多选)如图所示，两个质量均为m的小球A、B套在半径为R的圆环上，圆环可绕竖直方向的直径转动，两小球随圆环一起转动且相对圆环静止。已知OA与竖直方向的夹角θ＝53°，OA与OB垂直，小球B与圆环间恰好没有摩擦力，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。下列说法正确的是(　AD　) A．圆环转动的角速度的大小为 B．圆环转动的角速度的大小为 C．小球A与圆环间摩擦力的大小为mg D．小球A与圆环间摩擦力的大小为mg 小球B与圆环间恰好没有摩擦力，由支持力和重力的合力提供向心力，有mgtan37°＝mω2Rsin37°，解得ω＝，故A正确，B错误；对小球A进行受力分析，水平方向有Nsinθ－fcosθ＝mω2Rsinθ，竖直方向有Ncosθ＋fsinθ－mg＝0，联立解得f＝mg，故C错D正确。 15、如图所示，内壁光滑的竖直圆筒绕中轴线做匀速圆周运动。一质量为 m 的小物块(可视为质点)用一端固定在 O 点的细绳拴接，细绳的长度为 L。小物块紧贴圆筒内壁随圆筒一起做匀速圆周运动。已知重力加速度为 g，则( C ) A.圆筒转动的角速度 ω 越大，细绳上的张力越大 B.继续增加圆筒转动的角速度 ω，物块会相对圆筒内壁上滑 C.当圆筒转动角速度小于 时，物块会脱离圆筒内壁 D.当圆筒转动角速度等于时，圆筒内壁对小物块的弹力大小为 2mgtan θ 2.2、圆锥摆模型 1、四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动．如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长)；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同(连接D球的绳较长)，则下列说法错误的是(　B　) A．小球A、B角速度相等 B．小球A、B线速度大小相同 C．小球C、D向心加速度大小相同 D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等 2、如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　C　) A．a、b 两小球都是所受合外力充当向心力 B．a、b两小球圆周运动的半径之比为tan θ C．b小球受到的绳子拉力为 D．a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为 3、如图所示，一根细线下端拴一个金属小球Q，细线穿过小孔(小孔光滑)另一端连接在金属块P上，P始终静止在水平桌面上，若不计空气阻力，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．实际上，小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用．因阻力作用，小球Q的运动轨道发生缓慢的变化(可视为一系列半径不同的圆周运动)．下列判断正确的是(　B　) A．小球Q的位置越来越高 B．细线的拉力变小 C．小球Q运动的角速度变大 D．P受到桌面的静摩擦力变大 4、如图所示,光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔,用一细绳穿过小孔连接质量分别为m1、m2的小球A和B。让两小球同时做圆周运动,连接B球的细绳与竖直方向的夹角为θ,A球在光滑的圆盘面上绕圆盘中心O做匀速圆周运动,两球做圆周运动的角速度相同,O点到两球的绳长相等,则两球的质量之比为(　A　) A.1∶1 B.1∶sin θ C.1∶cos θ D.1∶tan θ 5、小球a、b分别通过长度相等的轻绳拴在O点，给a、b适当的速度，使两小球分别在不同水平面内做匀速圆周运动，Oa与竖直方向夹角为60°，Ob与竖直方向夹角为30°，则a做圆周运动的周期与b做圆周运动的周期之比为(　B　) A. B. C. D. 6.(多选)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转．一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2)．设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则(　AC　) A．两球运动的周期相等 B．两球的向心加速度大小相等 C．球A、B到P的距离之比等于m2∶m1 D．球A、B到P的距离之比等于m1∶m2 7、如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），两次金属块Q都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下列说法中正确的是（ BC ）（多选） A．Q受到桌面的支持力变大 B．Q受到桌面的静摩擦力变大 C．小球P运动的角速度变大 D．小球P运动的周期变大 8、用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为FT，则FT随ω2变化的图象是选项中的 （ C ） 9、如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，在其内壁上有两个质量相同的小球（可视为质点）A和B，在两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α=530和β=370，以最低点C所在的水平面为重力势能的参考平面，sin 370=0.6，cos 370=0.8，则 ( C ) A．A、B两球角速度大小之比为4:3 B．A、B两球角速度大小之比为3:4 C．A、B两球所受支持力之比为4:3 D．A、B两球所受支持力之比为3:4 2.3、圆锥筒模型 1、如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方．则(　B　) A．球甲的角速度一定大于球乙的角速度 B．球甲的线速度一定大于球乙的线速度 C．球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期 D．球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力 2、“飞车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技演员驾驶摩托车，简化后的模型如图所示，表演者沿表演台的侧壁做匀速圆周运动．若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离地面的高度为H，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中正确的是 （ B ） A．摩托车做圆周运动的H越高，向心力越大 B．摩托车做圆周运动的H越高，线速度越大 C．摩托车做圆周运动的H越高，向心力做功越多 D．摩托车对侧壁的压力随高度H变大而减小 3、如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是（ B ） A．A球的角速度等于B球的角速度 B．A球的线速度大于B球的线速度 C．A球的运动周期小于B球的运动周期 D．A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力 4、如图为表演杂技“飞车走壁”的示意图。演员骑摩托车在一个圆桶形结构的内壁上飞驰，做匀速圆周运动。图中、两个虚线圆表示同一位演员骑同一辆摩托，在离地面不同高度处进行表演的运动轨迹。不考虑车轮受到的侧向摩擦，下列说法中正确的是（ B ） A．在轨道上运动时角速度较大 B．在轨道上运动时线速度较大 C．在轨道上运动时摩托车对侧壁的压力较大 D．在轨道上运动时摩托车和运动员所受的向心力较大 5、(多选)如图所示,双手端着半球形的玻璃碗,碗内放有三个相同的小玻璃球。双手晃动玻璃碗,当碗静止后碗口在同一水平面内,三小球沿碗的内壁在不同的水平面内做匀速圆周运动。不考虑摩擦作用,下列说法正确的是(　BC　) A.三个小球受到的合力大小相等 B.距碗口最近的小球线速度最大 C.距碗底最近的小球向心加速度最小 D.处于中间位置的小球周期最小 2.4、生活中的圆周运动 1、列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为tan α≈sin α)，重力加速度为g，下列说法正确的是( B ) A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用 B．列车过转弯处的速度v＝时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨 C．列车过转弯处的速度v<时，列车轮缘会挤压外轨 D．若减小α角，可提高列车安全过转弯处的速度 2、如图所示，汽车正在水平路面上沿圆轨道匀速率转弯，且没有发生侧滑．下列说法正确的是(　A　) A．汽车转弯时由车轮和路面间的静摩擦力提供向心力 B．汽车转弯时由汽车受到的重力与支持力的合力提供向心力 C．汽车转弯时由车轮和路面间的滑动摩擦力提供向心力 D．汽车转弯半径不变，速度减小时，汽车受到的静摩擦力可能不变 3、(多选)飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼倾斜(如图所示)，以保证重力和机翼升力的合力提供向心力．设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成θ角，飞行周期为T.则下列说法正确的是(　CD　) A．若飞行速率v不变，θ增大，则半径R增大 B．若飞行速率v不变，θ增大，则周期T增大 C．若θ不变，飞行速率v增大，则半径R增大 D．若飞行速率v增大，θ增大，则周期T可能不变 4、如图所示为室内场地自行车赛的比赛情景，运动员以速度v在倾角为θ的粗糙倾斜赛道上做匀速圆周运动．已知运动员质量为m，圆周运动的半径为R，重力加速度为g，将运动员视为质点．则运动员( C ) A．所受合力方向沿赛道面向下 B．所受自行车的作用力方向竖直向上 C．合力大小为m D．速度不能超过 考点3、水平面内圆周运动的临界问题 1．运动特点 (1)运动轨迹是水平面内的圆． (2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动． 2．临界特征 2.1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明过程中存在着临界点。 2.2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。 2.3若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。 3．方法突破 (1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力． (2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零． (3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等． 4、解题关键：分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 专题训练3 3.1、静摩擦力临界 1、如图所示，两个由相同材料制成的水平摩擦轮A和B，两轮半径关系为RA＝2RB，A为主动轮。当A匀速转动时，在A轮边缘处放置的小木块恰能相对静止在A轮的边缘上，若将小木块放在B轮上使其静止，木块离B轮轴的最大距离为(　B　) A．　 B．　 C．RB　 D． 2、如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ AC ）（多选） A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝是b开始滑动的临界角速度 D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg 3、如图所示，放置在水平转盘上的物体A、B、C能随转盘一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为m、2m、3m，它们与水平转盘间的动摩擦因数均为μ，离转盘中心的距离分别为0.5r、r、1.5r，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则转盘的角速度应满足的条件是 （ B ） A．ω≤ B．ω≤ C．ω≤ D．≤ω≤ 4、(多选)如图所示,放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω匀速转动,A、B、C的质量分别为3m、2m、m,B与转台、C与转台、A与B间的动摩擦因数都为μ,B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,以下说法正确的是(　AC　) A. B对A的摩擦力有可能为2μmg B. C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力 C. 转台的角速度有可能恰好等于 D. 若角速度在题干所述基础上缓慢增大,A将最先发生相对滑动 5、(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　AC　) A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝是b开始滑动的临界角速度 D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg 6、(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的水平细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(重力加速度为g)(　ABD　) A．当ω>时，A、B会相对于转盘滑动 B．当ω>，绳子一定有弹力 C．ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大 D．ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大 7、摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑.今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（ABC）（多选） A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3 B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为aA∶aB＝2∶9 C．转速增加后滑块B先发生滑动 D．转速增加后两滑块一起发生滑动 8、如图所示，水平转盘上的、、三处，有三块可视为质点的由同一种材料做成的正立方体物块；、处物块的质量相等且为，处物块的质量为；点、与轴的距离相等且为，点到轴的距离为，转盘以某一角速度匀速转动时，、、处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是（ A C ）（多选） A．处物块的向心加速度最大 B．处物块受到的静摩擦力最小 C．当转速增大时，最先滑动起来的是处的物块 D．当转速继续增大时，最后滑动起来的是处的物块 9、如图所示，两物块、套在水平粗糙的杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过中点的轴转动，已知两物块质量相等，杆对物块、的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块到轴的距离为物块到轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块、即将滑动的过程中，下列说法正确的是（ A ） A．受到的合外力一直在增大 B．受到的静摩擦力是先增大后减小 C．受到的静摩擦力是先增大后减小 D．受到的静摩擦力一直增大 10．水平转盘上距转轴1.2 m处放置一个10 kg的物体(可视为质点)，物体与转盘间的动摩擦因数为0.13.当转盘转动后，可使物体以0.5 m/s2的切向加速度做加速圆周运动，经过多长时间物体和转盘发生相对滑动？(滑动摩擦力等于最大静摩擦力，g＝10 m/s2) 答案　2.4 s 解析　物体做加速圆周运动，所以静摩擦力不指向圆心，(如图)把静摩擦力分解， 可知Ff1＝ma Ff2＝m 当物体恰好滑动时：(μmg)2＝Ff12＋Ff22 联立以上三式，解得v＝1.2 m/s 物体沿圆周做加速运动，所以t＝＝2.4 s. 11、如图所示，水平光滑圆盘中心有一个光滑小孔O，一根细线穿过小孔，一端连接盘面上可视为质点的物块A，一端悬挂小球B。给物块A一个垂直于OA方向、大小为2m/s的水平初速度，结果物块A恰好能在盘面上做匀速圆周运动。盘面的半径为0.5m，盘面离地面的高度为5m，已知物块与小球的质量相等，不计空气阻力，重力加速度大小g取10m/s2，求： (1)OA间的距离； (2)某时刻剪断细线，则剪断细线后，物块经多长时间落地？落地时的速度是多大？ (3)若换一个表面粗糙的圆盘，物块A与盘面间的动摩擦因数为0.6，物块A与盘面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，保持OA间的距离为(1)问中的距离，要使物块A不滑动，物块随圆盘一起做匀速圆周运动的角速度应在什么范围？ [答案]　(1)0.4m　(2)1.15s　2m/s (3)rad/s≤ω≤2rad/s [解析]　(1)物块A在光滑的圆盘上做匀速圆周运动时，细线的拉力提供向心力，有mg＝m 解得L＝＝0.4m (2)剪断细线后，物块先做匀速直线运动，后做平抛运动， 由几何关系可知在盘面上运动的距离x＝＝0.3m 物块在盘面上运动的时间t1＝＝0.15s 之后做平抛运动，运动的时间t2＝＝1s 因此剪断细线后，物块落地前运动的时间t＝t1＋t2＝1.15s 根据动能定理得mgh＝mv′2－mv2 求得物块落地时的速度v′＝2m/s (3)如果物块随圆盘一起做匀速圆周运动，当物块刚好不向内滑时，mg－μmg＝mωL，解得ω1＝rad/s 当物块刚好不向外滑动时，mg＋μmg＝mωL，解得ω2＝2rad/s 因此角速度的范围为rad/s≤ω≤2rad/s 12、如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g （1）若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0 （2）若ω＝（1±k）ω0，且0<k<1，求小物块受到的摩擦力大小和方向 【答案】（1）ω0＝ （2）当ω＝（1＋k）ω0时，f沿罐壁切线向下，大小为mg； 当ω＝（1－k）ω0时，f沿罐壁切线向上，大小为mg 【解析】（1）对小物块受力分析可知： FNcos 60°＝mg FNsin 60°＝mR′ω R′＝Rsin 60° 联立解得：ω0＝. （2）由于0＜k＜1， 当ω＝（1＋k）ω0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向下．由受力分析可知： FN′cos 60°＝mg＋fcos 30° FN′sin 60°＋fsin 30°＝mR′ω2 R′＝Rsin 60° 联立解得：f＝mg 当ω＝（1－k）ω0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向上．由受力分析和几何关系知： FN″cos 60°＋f′sin 60°＝mg FN″sin 60°－f′cos 60°＝mR′ω2 R′＝Rsin 60° 联立解得：f′＝mg. 3.2、弹力临界 1、如图所示，放于竖直面内的光滑金属圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点．当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球受三个力作用．则ω可能是 （ AB ）（多选） A． B． C． D． 2、细绳一端系住一个质量为m的小球，另一端固定在光滑水平桌面上方h高度处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重力加速度为g.若要小球不离开桌面，其转速不得超过(　D　) A. B．2π C. D. 3、(多选)如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则( BC ) A．小球受重力、支持力、拉力和向心力 B．小球可能只受拉力和重力 C．当ω0＝ rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零 D．当ω＝2 rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用 4.如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，绳a长为L，与水平方向成θ角时绳b恰好在水平方向伸直．当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a、b绳均拉直．重力加速度为g，则(　C　) A．a绳的拉力可能为零 B．a绳的拉力随角速度的增大而增大 C．当角速度ω>时，b绳中拉力不为零 D．当角速度ω>时，若a绳突然被剪断，则b绳仍可保持水平 5、(多选)如图所示，竖直平面内有一半径为R＝0.35 m的内壁光滑的圆形轨道，轨道底端与光滑水平面相切，一小球(可视为质点)以v0＝3.5 m/s的初速度进入轨道，g＝10 m/s2，则(BCD) A．小球不会脱离圆轨道运动 B．小球会脱离圆轨道运动 C．小球脱离轨道时的速度为 m/s D．小球脱离轨道的位置与圆心连线和水平方向间的夹角为30° 考点4、竖直面内圆周运动的“轻绳”和“轻杆”模型 1、运动特点 1.1、竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动． 1.2、只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒． 1.3、竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周的最高点的速度． 1.4、一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形． 2、变速圆周运动的向心力 如图所示，当小球在竖直面内摆动时，半径方向的合力提供向心力，FT－mgcos θ＝m，如图所示． 3、竖直面内圆周运动两类常见模型 一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等），称为“绳（环）约束模型”， 二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管）约束模型” 4、竖直平面内圆周运动最高点临界的两种模型特点及求解方法 物理情景 最高点无支撑 最高点有支撑 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力 特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 受力 示意图 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg 过最高点的条件 在最高点的速度v≥ 在最高点的速度v≥0 模型归纳 轻绳模型 轻杆模型 讨论分析 （1）过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN （2）不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 （1）当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 （2）当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 （3）当v＝时，FN＝0 （4）当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 补充：1、凸形桥最高点 2、竖直面最低点（两种模型一样）动力学方程 5、规律总结：分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 专题讲练4 4.1、竖直平面内的“轻绳”模型 1、如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为(重力加速度为g)(　C　) A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg 2、“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为细绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图所示，已知绳长为l，重力加速度为g，则 （ CD ）（多选） A．小球运动到最低点Q时，处于失重状态 B．小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大 C．当v0>时，小球一定能通过最高点P D．当v0<时，细绳始终处于绷紧状态 3、如图所示，由倾角45°光滑斜面和半径R的光滑圆周组成的轨道固定在竖直平面内，斜面和圆周之间有小圆弧平滑连接。一小球以一定的初速度释放，始终贴着轨道内侧顺时针转动，则其通过斜面的时间最长可能是（D ） A． B． C． D． 4、如图所示，一竖直平面内光滑圆形轨道半径为R，小球以速度v0经过最低点B沿轨道上滑，并恰能通过轨道最高点A．以下说法正确的是 （ BCD ）（多选）A B R O v0 A．v0应等于2，小球到A点时速度为零 B．v0应等于，小球到A点时速度和加速度都不为零 C．小球在B点时加速度最大，在A点时加速度最小 D．小球从B点到A点，其速度的增量为（1+） 5、如图所示，竖直光滑圆弧轨道A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，A、B的质量均为m，现有另一质量也为m的小球C自一定高度h自由落下，恰好与圆弧轨道竖直相切进入轨道，沿圆弧内侧轨道运动，为保证小球能通过轨道的最高点，且不会使轨道在竖直方向上跳起，小球释放点距离木板上表面的高度必须满足（ A ） A．≤h≤ B．≤h≤ C．≤h≤ D．≤h≤ 6、如图所示是“过山车”玩具模型．当小球以速度v经过圆形轨道最高点时，小球与轨道间的作用力为F，多次改变小球初始下落的高度h，就能得出F与v的函数关系，关于F与v之间关系有可能正确的是 （ C ） 7、如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T－v2图像如图乙所示，则 （ D ） A．轻质绳长为m B．当地的重力加速度为 C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为＋a D．只要v2≥b，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a 8、如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m。现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起（不计小球与环的摩擦阻力），瞬时速度必须满足（ CD ）（多选） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 9、如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度为g)(　B　) A．　 B． C．　 D． [解析]　设轨道半径为R，小物块从轨道上端飞出时的速度为v1，由于轨道光滑，根据机械能守恒定律有mg×2R＝mv2－mv，小物块从轨道上端飞出后做平抛运动，对运动分解有：x＝v1t,2R＝gt2，求得x＝，因此当R－＝0，即R＝时，x取得最大值，B项正确，A、C、D项错误。 10、如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F。小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动。整个过程中，物块在夹子中没有滑动。小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是(　D　) A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F B．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2F C．物块上升的最大高度为 D．速度v不能超过 4.2、竖直平面内轻“杆”模型 1、如图所示，长为L的轻杆一端连接在O点，另一端固定一质量为m的小球，现让小球在竖直平面内以O点为圆心做圆周运动，P为圆周的最高点，小球运动到最低点时速率为，不计一切阻力，则（ D ） A．小球不能到达P点 B．小球到达P点时速度小于 C．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力 D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆的弹力为0 2、如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击，使其在瞬间得到一个水平初速度v0，若v0大小不同，则小球能够上升的最大高度(距离底部)也不同。下列说法中不正确的是(　C　) A．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度等于 B．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度小于 C．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度等于2R D．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度等于2R 规律总结：竖直面内圆周运动类问题的解题技巧 (1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。 (2)确定临界点：抓住轻绳模型中最高点v≥及轻杆模型中v≥0这两个临界条件。 (3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。 (4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合＝F向。 (5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。 3、(多选)如图所示光滑管形圆轨道半径为R(管径远小于R)，小球a、b大小相同，质量相等，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动。两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是(　AC　) A．当v＝时，小球b在轨道最高点对轨道无压力 B．当小球b在最高点对轨道无压力时，在最低点的小球a比在最高点的小球b所需向心力大6mg C．速度v至少为2，才能使两球在管内做圆周运动 D．只要v>，小球对轨道最低点的压力比小球对轨道最高点的压力都大5mg 4.如图甲所示,轻杆一端固定在O点,另一端固定一小球,现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时,受到的弹力为F,速度大小为v,其F-v2图像如图乙所示,则(　D　) A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为 C.v2=c时,小球对杆的弹力方向向下 D.v2=2b时,小球受到的弹力与重力大小相等 解析由题图乙可知,当v2=b时,杆对球的弹力恰好为零,此时只受重力,重力提供向心力,mg=m=m,即重力加速度g=,故B错误;当v2=0时,向心力为零,杆对球的弹力恰好与球的重力等大反向,F=mg=a,即小球的质量m=,故A错误;根据圆周运动的规律,当v2=b时杆对球的弹力为零,当v2<b时,mg-F=m,杆对球的弹力方向向上,当v2>b时,mg+F=m,杆对球的弹力方向向下,v2=c时,杆对小球的弹力方向向下,根据牛顿第三定律,小球对杆的弹力方向向上,故C错误;当v2=2b时,mg+F=m=m,则F=m-mg=mg,故D正确。 5、如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力.忽略空气阻力.则球B在最高点时 （ C ） A．球B的速度为零 B．球A的速度大小为 C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 6、如图所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环（可视为质点），从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g。当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为 （ C ） A．Mg－5mg B．Mg＋mg C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg 7、如图所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端固定在转轴O，现使小球在竖直平面内做圆周运动，P为圆周的最高点，若小球通过圆周最低点时的速度大小为，忽略摩擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是 （ C ） A．小球不能到达P点 B．小球到达P点时的速度大于 C．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力 D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向下的弹力 8、（多选）如图甲所示，轻杆一端与质量为1kg、可视为质点的小球相连，另一端可绕光滑固定轴在竖直平面内自由转动．现使小球在竖直平面内做圆周运动，经最高点开始计是，取水平向右为正方向，小球的水平分速度v随时间t的变化关系如图乙所示，A、B、C三点分别是图线与纵轴、横轴的交点、图线上第一周期内的最低点，该三点的纵坐标分别是1、0、－5。g取10m/s2，不计空气阻力．下列说法中正确的是（ AB） A．轻杆的长度为0.6m B．小球经最高点时，杆对它的作用力方向竖直向上 C．B点对应时刻小球的速度为3m/s D．曲线AB段与坐标轴所围图形的面积为0.5m 9.如图所示，在竖直放置的光滑半圆形绝缘细管的圆心处放一点电荷，将一个质量为、电荷量为的小球从半圆形管的水平直径端点由静止释放，小球沿细管滑到最低点时，对管壁恰好无压力，则置于圆心处的点电荷在点产生电场强度的大小为（ C ） A． B． C． D． 10、如图，轻杆长2l，中点装在水平轴O上，两端分别固定着小球A和B，A球质量为m，B球质量为2m，重力加速度为g，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动． (1)若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度大小； (2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时O轴的受力大小、方向； (3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，求出此时A、B球的速度大小． 答案　(1)　(2)2mg，方向竖直向下　(3)能；当A、B球的速度大小为时O轴不受力 解析　(1)A在最高点时，对A根据牛顿第二定律得mg＝m 解得vA＝ 因为A、B球的角速度相等，半径相等，则vB＝vA＝ (2)B在最高点时，对B根据牛顿第二定律得2mg＋FTOB′＝2m 代入(1)中的vB，可得FTOB′＝0 对A有FTOA′－mg＝m 可得FTOA′＝2mg 根据牛顿第三定律，O轴所受的力的大小为2mg，方向竖直向下 (3)要使O轴不受力，根据B的质量大于A的质量，设A、B的速度为v，可判断B球应在最高点 对B有FTOB″＋2mg＝2m 对A有FTOA″－mg＝m 轴O不受力时FTOA″＝FTOB″ 可得v＝ 所以当A、B球的速度大小为时O轴不受力． 4.3、凸形桥的临界 1．一汽车通过拱形桥顶时速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在该桥顶对桥面恰好没有压力，车速为(　B　) A．15 m/s B．20 m/s C．25 m/s D．30 m/s 2、如图所示，横截面半径为的圆柱体固定在水平地面上。一个质量为的小滑块从截面最高点处以滑下。不计任何摩擦阻力。 ⑴ 试对小滑块从离开点至落地的运动过程做出定性分析； ⑵ 计算小滑块落地时的瞬时速率。 【答案】 ⑴ 物块先沿着圆柱面加速下滑，然后离开圆柱面做斜下抛运动。 ⑵ 由，解得 4.4、竖直面最低点与其他任意位置 1、如图所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用细线拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中，支架始终不动，以下说法正确的是 （ BD ）（多选） A．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为（m＋M）g B．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为Mg C．摆球到达最低点时，支架对地面的压力为（m＋M）g D．摆球到达最低点时，支架对地面的压力为（3m＋M）g 2、如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v。若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是（ CD ）（多选） A．受到的向心力为mg＋m B．受到的摩擦力为μm C．受到的摩擦力为μ D．受到的合力方向斜向左上方 3、图甲、乙为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块P连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点，则 ( AC) A．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为 B．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为 C．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 4、如图所示，物体A放在粗糙板上随板一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，且板始终保持水平，位置Ⅰ、Ⅱ在同一水平高度上，则 （ B ） A．物体在位置Ⅰ、Ⅱ时受到的弹力都大于重力 B．物体在位置Ⅰ、Ⅱ时受到的弹力都小于重力 C．物体在位置Ⅰ时受到的弹力小于重力，位置Ⅱ时受到的弹力都大于重力 D．物体在位置Ⅰ时受到的弹力大于重力，位置Ⅱ时受到的弹力都小于重力 5、如图所示，长为L的轻杆，一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个质量为m的小球。现让杆绕转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，重力加速度为g。某时刻杆对球的作用力方向恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ满足(　A　) A．sinθ＝ B．tanθ＝ C．sinθ＝ D．tanθ＝ [解析]　小球所受重力和杆的作用力的合力提供向心力，受力如图所示。根据牛顿第二定律有mgsinθ＝mLω2，解得sinθ＝，故A正确，B、C、D错误。 考点5 斜面上圆周运动的临界问题 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化． 1、(多选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是(　CD　) A．小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用 B．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大 C．小物体受到的摩擦力可能背离圆心 D．ω的最大值是1.0 rad/s 解析　当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，合力提供向心力，故A错误；当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故B错误；当物体在最高点时，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，即可能指向圆心，也可能背离圆心，故C正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，转盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力FN＝mgcos θ，摩擦力Ff＝μFN＝μmgcos θ，又μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2R，解得ω＝1.0 rad/s，故D正确． 2、如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止.物体与盘面间的动摩擦因数为，（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是 （ C ） A．rad/s B．rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s 1 物理学习的核心在于思维 最基本的知识、方法才是最重要的； 30%兴趣+30%信心+30%方法+10%勤奋+l%天赋>100%成功 学科网（北京）股份有限公司 $新教材高三一轮复习资料-力学5--曲线运动-第3讲　圆周运动--学生版 新教材高三一轮复习资料-力学5--曲线运动-第3讲　圆周运动 自测 知识点1　描述圆周运动的物理量及其相互关系 1、描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表 意义、方向 公式、单位 线速度 (1)描述做圆周运动的物体运动 的物理量(v) (2)方向与半径垂直，和圆周 (1)v＝＝ (2)单位：m/s 角速度 (1)描述物体绕圆心 的物理量(ω) (2)中学不研究其方向 (1)ω＝＝ (2)单位：rad/s 周期和转速 (1)周期是物体沿圆周运动一圈的时间(T) (2)转速是物体在单位时间内转过的 (n)，也叫频率(f) (3)周期与频率的关系为T＝ (1)T＝；单位：s (2)n的单位r/s，r/min (3)f的单位： 向心加速度 (1)描述速度 变化快慢的物理量(an) (2)方向指向圆心 (1)an＝ ＝ ＝ (2)单位：m/s2 向心力 (1)作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的 ，不改变线速度的 (2)方向指向圆心 (1)Fn＝mω2r＝m＝mr (2)单位：N 2、各物理量之间的相互关系 (1)v＝ωr＝＝2πrf。 (2)an＝＝ω2r＝ωv＝＝4π2f 2r。 (3)Fn＝m＝mω2r＝m＝mωv＝m4π2f 2r。 3、匀速圆周运动 3.1、做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长 ，就是做匀速圆周运动。 3.2、性质：向心加速度大小 ，方向 的变加速运动． 3.3、质点做匀速圆周运动的条件：合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向 ． 知识点2 匀速圆周运动和非匀速圆周运动的比较 项目 匀速圆周运动 非匀速圆周运动 运动性质 是速度大小 而方向时刻 的变速曲线运动，是加速度大小 、方向 的变加速曲线运动 是速度大小和方向都 的变速曲线运动，是加速度大小、方向都 的变加速曲线运动 加速度 方向与速度垂直，即只存在向心加速度，没有切向加速度 由于速度大小和方向都变化，所以不仅存在向心加速度，而且存在切向加速度，合加速度的方向不指向圆心 向心力 知识点3 圆周运动中的动力学分析 1、向心力的作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的 ，不改变速度的 。 2、向心力的来源：向心力是按力的作用效果命名的，可以由一个力提供，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以由几个力的 提供，还可以由一个力的 提供，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． 3、向心力的向心力的确定 3.1、确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置． 3.2、分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力． 4、向心力的公式：F＝m＝ ＝ ＝mωv＝ 。 5、解决圆周运动问题的主要步骤 （1）审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环； （2）分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等； （3）分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源； （4）根据牛顿运动定律及向心力公式列方程． 6、向心力公式是牛顿第二定律对圆周运动的应用，求解圆周运动的动力学问题与应用牛顿第二定律的解题思路相同，但要注意几个特点： 6.1．向心力是沿半径方向的合力，是效果力，不是实际受力。 6.2．向心力公式有多种形式：F＝m＝mω2r＝mr，要根据已知条件选用。 6.3．正交分解时，要注意圆心的位置，沿半径方向和切线方向分解。（切记：沿圆周半径指向圆心为正方向） 6.4．对涉及圆周运动的系统，要用隔离法分析，不要用整体法。 知识点4　离心运动 1．定义：做 的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需 的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。 2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的 ，总有沿着圆周 飞出去的倾向。 3．受力特点 ①当Fn＝mω2r时，物体做 运动。 ②当Fn＝0时，物体沿 方向飞出。 ③当Fn<mω2r时，物体逐渐 圆心，做离心运动。 ④当Fn>mω2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。 思考：如图所示，圆盘上的物体随圆盘一起匀速转动，在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动。 (1)它们运动所需要的向心力分别由什么力提供？ (2)要计算漏斗内壁上小球的角速度时还需要哪些信息？ 自测巩固 1、思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)匀速圆周运动是匀加速曲线运动。 ( ) (2)做匀速圆周运动的物体的向心加速度与半径成反比。 ( ) (3)做匀速圆周运动的物体所受合外力为变力。 ( ) (4)做圆周运动的物体所受到的合外力不一定等于向心力。 ( ) (5)做离心运动的物体是由于受到离心力的作用。 ( ) (6)赛车转弯时冲出赛道是因为沿转弯半径向内的静摩擦力不足以提供向心力。 ( ) 2、汽车轮胎竖放于水平地面上，O为其中心，A为轮胎与地面的接触点，现使其在地面上向右滚动。某一时刻地面上的观察者看来，关于轮箍最大圆周上的B、C两点的说法正确的是(　 ) A．B点的线速度比A点的大 B．B点的角速度比A点的小 C．B、C两点均绕O点做圆周运动 D．B、C两点线速度大小相等 3、A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相等时间内通过的弧长之比sA︰sB＝4︰3，转过的圆心角之比θA︰θB＝3︰2，则下列说法中正确的是(　 ) A．它们的线速度之比vA︰vB＝4︰3 B．它们的角速度之比ωA︰ωB＝2︰3 C．它们的周期之比TA︰TB＝3︰2 D．它们的向心加速度之比aA︰aB＝3︰2 4、如图所示为“感受向心力”的实验，一根轻绳的一端拴着一个小球，在光滑桌面上抡动细绳，使小球做圆周运动，通过拉力来感受向心力。下列说法正确的是(　 ) A．只减小旋转角速度，拉力增大 B．只增大旋转速度，拉力减小 C．只更换一个质量较大的小球，拉力增大 D．突然松开绳子，小球仍做曲线运动 5、如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是(　 　) A．重力、支持力 B．重力、向心力 C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力 D．重力、支持力、向心力、摩擦力 6、(多选)如图为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图线，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线。由图象可以知道(　 ) A．甲球运动时，线速度的大小保持不变 B．甲球运动时，角速度的大小保持不变 C．乙球运动时，线速度的大小保持不变 D．乙球运动时，角速度的大小保持不变 7、(多选)如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　 ) A．A、B球受到的支持力之比为∶3 B．A、B球的向心力之比为∶1 C．A、B球运动的角速度之比为3∶1 D．A、B球运动的线速度之比为1∶1 8、如图所示的装置可测量子弹的飞行速度，在一根轴上相隔s＝1m处安装两个平行的薄圆盘，使轴带动两圆盘以n＝3000r/min匀速转动，飞行的子弹平行于轴沿一直线穿过两圆盘，即在盘上留下两个孔，现测得两小孔所在半径间的夹角为30°，子弹飞行速度大小可能是 （ ） A．500m/s B．600m/s C．700m/s D．800m/s 核心考点突破 考点1　圆周运动中的运动学分析 1．圆周运动各物理量间的关系 2．常见的三种传动方式及特点 类型 模型 模型解读 皮带 传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB 摩擦(或齿 轮)传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB 同轴 传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比 3、圆周运动中的追及问题 如图所示，两个质点A 和B 都围绕0点做匀速圆周运动的，角速度分别为ωA和ωB， t=0 时刻， A、B 和O 三点共线，经过时间t后三者再次共线，则： 3.1、当AB在O点同侧时，ωAt-ωBt＝2 或者 3.2、当AB在O点两侧时，ωAt-ωBt＝ 或者 4、周期性引起的多解 作匀速圆周运动的物体，经过一个周期运动到原来位置，并且具有相同的速度，匀速圆周运动的周期性往往使问题出现多解性，匀速圆周运动与其他运动关联的问题，时间相等是解题的关键． 5、变速圆周运动 如果一个作圆周运动的物体所受合外力并不始终指向圆心的情况下，该物体将作变速圆周运动．变速圆周运动的速度方向仍然指向切线方向， 专题讲练1 1.1、圆周运动物理量的分析和计算 1、(多选)如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图．已知质量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0 m，B点的转弯半径为4.0 m，则学员和教练员(均可视为质点)(　 　) A．线速度大小之比为5∶4 B．周期之比为5∶4 C．向心加速度大小之比为4∶5 D．受到的合力大小之比为15∶14 2、汽车后备厢盖一般都配有可伸缩的液压杆,如图所示,可伸缩液压杆上端固定于后盖上A点,下端固定于箱内O'点,B为后盖上一点,后盖可绕过O点的固定铰链转动。在合上后备厢盖的过程中( ) A.A点相对O'点做圆周运动 B.A点与B点相对于O点转动的线速度大小相等 C.A点与B点相对于O点转动的角速度大小相等 D.A点与B点相对于O点转动的向心加速度大小相等 3、未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示．当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是(　 　) A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大 B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小 C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大 D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小 1.2、圆周传动问题 1、如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦力作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的(　 ) A．线速度大小之比为3∶2∶2 B．角速度之比为3∶3∶2 C．转速之比为2∶3∶2 D．向心加速度大小之比为9∶6∶4 2、某机器的齿轮系统如图所示，中间的轮叫作太阳轮，它是主动轮。从动轮称为行星轮，主动轮、行星轮与最外面的大轮彼此密切啮合在一起，如果太阳轮一周的齿数为n1，行星轮一周的齿数为n2，当太阳轮转动的角速度为ω时，最外面的大轮转动的角速度为(　 ) A．ω B．ω C．ω D．ω 3、(多选)在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6，当齿轮转动的时候，关于小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点，下列说法正确的是(　 　) A．A点和B点的线速度大小之比为1∶1 B．A点和B点的角速度之比为1∶1 C．A点和B点的角速度之比为3∶1 D．A点和B点的线速度大小之比为1∶3 4、(多选)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑。则(　 　) A．A点与C点的角速度大小相等 B．A点与C点的线速度大小相等 C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1 D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4 5、如图是自行车传动装置的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为 （ ） A． B． C． D． 6、如图所示为某一皮带传动装置．M是主动轮，其半径为r1，M′半径也为r1，M′和N在同一轴上，N和N′的半径都为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．则下列说法正确的是 （ ）（多选） A．N′轮做的是逆时针转动 B．N′轮做的是顺时针转动 C．N′轮的转速为（）2n D．N′轮的转速为（）2n 7、变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度档，下图是某一种变速自行车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿。那么该车可变换______种不同档位；当A与D轮组合时，两轮的角速度之比A:D＝ 。 8、如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0＝1.0 cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边沿接触．当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力．自行车车轮的半径R1＝35.0 cm，小齿轮的半径R2＝4.0 cm，大齿轮的半径R3＝10.0 cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比．（假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动） 1.3、圆周运动的多解问题 1、如图所示为一个半径为5 m的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在其圆心正上方20 m的高度有一个小球正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，要使得小球正好落在A点，则(　 　) A．小球平抛的初速度一定是2.5 m/s B．小球平抛的初速度可能是2.5 m/s C．圆盘转动的角速度一定是π rad/s D．圆盘转动的加速度可能是π2 m/s2 2、如图所示，电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角，当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇的转速可能是（ ）（多选） A．600 r/min B．900 r/min C．1200 r/min D．3000 r/min 【思考】如果转动时感觉有六个叶片，则其转速为多大？ 3、如图所示，在光滑的水平面上的两个小球A和B，A球用长L的线拴着绕O点做匀速圆周运动，B做匀速直线运动。在t0时刻A、B位于MN直线上，并且有相同的速度v0，这时对B施加一个恒力，使B开始做匀变速直线运动。为了使两质点在某时刻速度又相同，B的加速度应满足什么条件？ 4、子弹以初速度v0水平向右射出，沿水平直线穿过一个正在沿逆时针方向转动的薄壁圆筒，在圆筒上只留下一个弹孔（从A位置射入，B位置射出，如图所示）。OA、OB之间的夹角为，已知圆筒半径R＝0.5m，子弹始终以v0＝60m/s的速度沿水平方向运动（不考虑重力的作用），则圆筒的转速可能是 （ ）A B O R ω v0 A．20r/s B．60r/s C．100r/s D．140r/s 5、某机器内有两个围绕各自固定轴匀速转动的铝盘A、B，A盘固定一个信号发射装置P，能持续沿半径向外发射红外线，P到圆心的距离为28 cm。B盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置Q，Q到圆心的距离为16 cm.P、Q转动的线速度均为4π m/s.当P、Q正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口，如图所示，则Q每隔一定时间就能接收到红外线信号，这个时间的最小值为（ ） A．0.42 s B．0.56 s C．0.70 s D．0.84 s 6、如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，半径为r，当球Q运动到与O在同一水平线上时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落．要使两球在圆周最高点处相碰，Q球的角速度ω应满足什么条件？ 7、如图所示，质点P以O为圆心、r为半径作匀速圆周运动，周期为T，当质点P经过图中位置A时，另一质量为m、初速度为零的质点Q受到沿OA方向的拉力F作用从静止开始在光滑水平面上作直线运动，为使P、Q在某时刻速度相同，拉力F必须满足条件是 8.(多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动．一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，重力加速度为g，则(　 ) A．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝d B．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2d C．圆筒转动的角速度可能为ω＝π D．圆筒转动的角速度可能为ω＝3π 9、（多选题）电风扇在闪光灯下转动，灯每秒闪光30次，风扇有三个均匀分布的叶片，如果转动时观察到有六个叶片，则其转速可能为（ ） A．10 r/s B．15 r/s C．20 r/s D．25 r/s 考点2 水平面内的圆周运动的动力学分析 1．向心力的确定--受力特点是合力沿水平方向指向轨迹内侧， (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。 (2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。 2.“一、二、三、四”求解圆周运动问题 3、六种常见的向心力实例 运动模型 ①飞机水平转弯 ②火车转弯 ③圆锥摆 向心力的 来源图示 运动模型 ④飞车走壁 ⑤汽车在水平路面转弯 ⑥光滑水平转台 向心力的 来源图示 3、匀速圆周运动的实例分析 3.1、圆锥摆问题 3.1.1问题概述：如图所示为圆锥摆模型。向心力F向＝mgtanθ＝m＝mω2r，且r＝Lsinθ， 解得v＝， ω＝ 。 3.1.2几类问题 ①摆线的拉力，分析摆线的拉力F有两种基本思路： a．当θ角已知时，F＝； b．当θ角未知时，F＝＝mω2L＝mL＝m(2πf)2L。 ②周期的计算：设悬点到圆心的距离为h，根据牛顿第二定律有F合＝mgtanθ＝mLsinθ 可得T＝2π ＝2π 由此可知，当g不变时，圆锥摆的周期只与h有关，与m、L、θ无关。 ③动态分析 a．根据F向＝mgtanθ＝mω2Lsinθ得cosθ＝，故当角速度ω增大时，θ增大，向心力增大，半径增大，周期变小。 b．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝和向心力也越大。 3.2、圆锥筒类问题 （1）问题概述：如图所示为圆锥筒模型。筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即F向＝＝m＝mω2r=m，解得v＝ ，ω＝ ， =。 （2）几点规律 ①稳定状态下，小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω就越小，线速度v就越大。 ②小球受到的支持力FN＝ 和向心力F向＝，并不随位置的变化而变化。 ③小球做匀速圆周运动的向心加速度大小不变（与小球的质量、位置无关） 3.3、火车拐弯问题 设火车车轨间距为L，两轨高度差为h，火车转弯半径为R，火车质量为M，如图所示． 因为θ角很小，所以sin θ≈tan θ，故＝，所以向心力Fn＝Mg。又因为Fn＝Mv2/R， 所以车速v＝ 3.4、汽车转弯类问题 汽车（或自行车）在水平路面上转弯如图所示，路面对汽车（或自行车）的静摩擦力提供向心力．若动摩擦因数为μ，则由μmg＝m得汽车（或自行车）安全转弯的最大速度为v＝. 专题讲练2 2.1、圆周运动的动力学问题 1、如图所示，一个圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的竖直轴匀速转动，角速度为ω，盘面上有一质量为m的物块随圆盘一起做匀速圆周运动，已知物块到转轴的距离为r，下列说法正确的是(　 　) A．物块受重力、弹力、向心力作用，合力大小为mω2r B．物块受重力、弹力、摩擦力、向心力作用，合力大小为mω2r C．物块受重力、弹力、摩擦力作用，合力大小为mω2r D．物块只受重力、弹力作用，合力大小为零 2、如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 （ ）（多选） A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝是b开始滑动的临界角速度 D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg 3、(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(　 　) A ．当ω> 时，A、B相对于转盘会滑动 B．当ω> 时，绳子一定有弹力 C．ω在 <ω< 范围内增大时，B所受摩擦力变大 D．ω在0<ω< 范围内增大时，A所受摩擦力一直变大 4、如图所示，小木块a、b和c(可视为质点)放在水平圆盘上，a、b的质量均为m，c的质量为，a与转轴OO′的距离为l，b、c与转轴OO′的距离为2l且均处于水平圆盘的边缘．木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法中正确的是(　 　) A．b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落 B．当a、b和c均未滑落时，a、c所受摩擦力的大小相等 C．b和c均未滑落时线速度一定相同 D．b开始滑动时的角速度是 5、（多选题）如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以下说法正确的是（ ） r ω B A C 1.5r A．B对A的摩擦力一定为3μmg B．B对A的摩擦力一定为3mω2r C．转台的角速度一定满足 D．转台的角速度一定满足 6、如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动.三个物体与圆盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.三个物体与轴O共线且OA＝OB＝BC＝r，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无拉力。当圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，则对于这个过程，下列说法正确的是（ BCD ）（多选） A．A、B两个物体同时达到最大静摩擦力 B．B、C两个物体的静摩擦力先增大后不变，A物体所受的静摩擦力先增大后减小再增大 C．当ω2>时整体会发生滑动 D．当<ω<时，在ω增大的过程中B、C间的拉力不断增大 7、如图所示，一光滑轻杆沿水平方向放置，左端O处连接在竖直的转动轴上，a、b为两个可视为质点的小球，穿在杆上，并用细线分别连接Oa和ab，且Oa＝ab，已知b球质量为a球质量的3倍。当轻杆绕O轴在水平面内匀速转动时，Oa和ab两线的拉力之比为 （ ） A．1∶3 B．1∶6 C．4∶3 D．7∶6 8、如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算该女运动员（　 　） A．受到的拉力为 B．受到的合力为2G C．向心加速度为g D．向心加速度为2g 9、如图所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它随杆转动，若转动角速度为ω，则 （ ）（多选） A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力 B．绳子BP的拉力随ω的增大而不变 C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力 D．当ω增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力 10、如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程中OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是（ ） A．OB绳的拉力范围为0～mg B．OB绳的拉力范围为mg～mg C．AB绳的拉力范围为mg～mg D．AB绳的拉力范围为0～mg 11、质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为la、lb，如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动，则 （ ）（多选） A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动 B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大 C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动 D．绳b未被烧断时，绳a的拉力大于mg，绳b的拉力为mω2lb 12、如图所示，一质量为m的小方块（可视为质点），系在一伸直的轻绳一端，绳的另一端固定在粗糙水平面上，绳长为r．给小方块一沿垂直轻绳的初速度vo，小方块将在该水平面上以绳长为半径做圆周运动，运动一周后，其速率变为，则以下说法正确的是( ) （多选） A. 如果初速度较小，绳的拉力可能为0 B．绳拉力的大小随小方块转过的角度均匀减小 C．小方块运动一周的时间为 D．小方块运动一周克服摩擦力做的功为 13、如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m.赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短（发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14），则赛车（ ）（多选） A．在绕过小圆弧弯道后加速 B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2 D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s 14、(多选)如图所示，两个质量均为m的小球A、B套在半径为R的圆环上，圆环可绕竖直方向的直径转动，两小球随圆环一起转动且相对圆环静止。已知OA与竖直方向的夹角θ＝53°，OA与OB垂直，小球B与圆环间恰好没有摩擦力，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。下列说法正确的是(　 　) A．圆环转动的角速度的大小为 B．圆环转动的角速度的大小为 C．小球A与圆环间摩擦力的大小为mg D．小球A与圆环间摩擦力的大小为mg 15、如图所示，内壁光滑的竖直圆筒绕中轴线做匀速圆周运动。一质量为 m 的小物块(可视为质点)用一端固定在 O 点的细绳拴接，细绳的长度为 L。小物块紧贴圆筒内壁随圆筒一起做匀速圆周运动。已知重力加速度为 g，则( ) A.圆筒转动的角速度 ω 越大，细绳上的张力越大 B.继续增加圆筒转动的角速度 ω，物块会相对圆筒内壁上滑 C.当圆筒转动角速度小于 时，物块会脱离圆筒内壁 D.当圆筒转动角速度等于时，圆筒内壁对小物块的弹力大小为 2mgtan θ 2.2、圆锥摆模型 1、四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动．如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长)；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同(连接D球的绳较长)，则下列说法错误的是(　 　) A．小球A、B角速度相等 B．小球A、B线速度大小相同 C．小球C、D向心加速度大小相同 D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等 2、如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　 ) A．a、b 两小球都是所受合外力充当向心力 B．a、b两小球圆周运动的半径之比为tan θ C．b小球受到的绳子拉力为 D．a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为 3、如图所示，一根细线下端拴一个金属小球Q，细线穿过小孔(小孔光滑)另一端连接在金属块P上，P始终静止在水平桌面上，若不计空气阻力，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．实际上，小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用．因阻力作用，小球Q的运动轨道发生缓慢的变化(可视为一系列半径不同的圆周运动)．下列判断正确的是(　 ) A．小球Q的位置越来越高 B．细线的拉力变小 C．小球Q运动的角速度变大 D．P受到桌面的静摩擦力变大 4、如图所示,光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔,用一细绳穿过小孔连接质量分别为m1、m2的小球A和B。让两小球同时做圆周运动,连接B球的细绳与竖直方向的夹角为θ,A球在光滑的圆盘面上绕圆盘中心O做匀速圆周运动,两球做圆周运动的角速度相同,O点到两球的绳长相等,则两球的质量之比为(　 ) A.1∶1 B.1∶sin θ C.1∶cos θ D.1∶tan θ 5、小球a、b分别通过长度相等的轻绳拴在O点，给a、b适当的速度，使两小球分别在不同水平面内做匀速圆周运动，Oa与竖直方向夹角为60°，Ob与竖直方向夹角为30°，则a做圆周运动的周期与b做圆周运动的周期之比为(　 　) A. B. C. D. 6.(多选)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转．一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2)．设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则(　 　) A．两球运动的周期相等 B．两球的向心加速度大小相等 C．球A、B到P的距离之比等于m2∶m1 D．球A、B到P的距离之比等于m1∶m2 7、如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），两次金属块Q都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下列说法中正确的是（ ）（多选） A．Q受到桌面的支持力变大 B．Q受到桌面的静摩擦力变大 C．小球P运动的角速度变大 D．小球P运动的周期变大 8、用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为FT，则FT随ω2变化的图象是选项中的 （ ） 9、如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，在其内壁上有两个质量相同的小球（可视为质点）A和B，在两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α=530和β=370，以最低点C所在的水平面为重力势能的参考平面，sin 370=0.6，cos 370=0.8，则 ( ) A．A、B两球角速度大小之比为4:3 B．A、B两球角速度大小之比为3:4 C．A、B两球所受支持力之比为4:3 D．A、B两球所受支持力之比为3:4 2.3、圆锥筒模型 1、如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方．则(　 　) A．球甲的角速度一定大于球乙的角速度 B．球甲的线速度一定大于球乙的线速度 C．球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期 D．球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力 2、“飞车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技演员驾驶摩托车，简化后的模型如图所示，表演者沿表演台的侧壁做匀速圆周运动．若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离地面的高度为H，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中正确的是 （ ） A．摩托车做圆周运动的H越高，向心力越大 B．摩托车做圆周运动的H越高，线速度越大 C．摩托车做圆周运动的H越高，向心力做功越多 D．摩托车对侧壁的压力随高度H变大而减小 3、如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是 （ ） A．A球的角速度等于B球的角速度 B．A球的线速度大于B球的线速度 C．A球的运动周期小于B球的运动周期 D．A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力 4、如图为表演杂技“飞车走壁”的示意图。演员骑摩托车在一个圆桶形结构的内壁上飞驰，做匀速圆周运动。图中、两个虚线圆表示同一位演员骑同一辆摩托，在离地面不同高度处进行表演的运动轨迹。不考虑车轮受到的侧向摩擦，下列说法中正确的是（ ） A．在轨道上运动时角速度较大 B．在轨道上运动时线速度较大 C．在轨道上运动时摩托车对侧壁的压力较大 D．在轨道上运动时摩托车和运动员所受的向心力较大 5、(多选)如图所示,双手端着半球形的玻璃碗,碗内放有三个相同的小玻璃球。双手晃动玻璃碗,当碗静止后碗口在同一水平面内,三小球沿碗的内壁在不同的水平面内做匀速圆周运动。不考虑摩擦作用,下列说法正确的是(　 　) A.三个小球受到的合力大小相等 B.距碗口最近的小球线速度最大 C.距碗底最近的小球向心加速度最小 D.处于中间位置的小球周期最小 2.4、生活中的圆周运动 1、列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为tan α≈sin α)，重力加速度为g，下列说法正确的是( ) A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用 B．列车过转弯处的速度v＝时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨 C．列车过转弯处的速度v<时，列车轮缘会挤压外轨 D．若减小α角，可提高列车安全过转弯处的速度 2、如图所示，汽车正在水平路面上沿圆轨道匀速率转弯，且没有发生侧滑．下列说法正确的是(　 　) A．汽车转弯时由车轮和路面间的静摩擦力提供向心力 B．汽车转弯时由汽车受到的重力与支持力的合力提供向心力 C．汽车转弯时由车轮和路面间的滑动摩擦力提供向心力 D．汽车转弯半径不变，速度减小时，汽车受到的静摩擦力可能不变 3、(多选)飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼倾斜(如图所示)，以保证重力和机翼升力的合力提供向心力．设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成θ角，飞行周期为T.则下列说法正确的是(　 　) A．若飞行速率v不变，θ增大，则半径R增大 B．若飞行速率v不变，θ增大，则周期T增大 C．若θ不变，飞行速率v增大，则半径R增大 D．若飞行速率v增大，θ增大，则周期T可能不变 4、如图所示为室内场地自行车赛的比赛情景，运动员以速度v在倾角为θ的粗糙倾斜赛道上做匀速圆周运动．已知运动员质量为m，圆周运动的半径为R，重力加速度为g，将运动员视为质点．则运动员( ) A．所受合力方向沿赛道面向下 B．所受自行车的作用力方向竖直向上 C．合力大小为m D．速度不能超过 考点3、水平面内圆周运动的临界问题 1．运动特点 (1)运动轨迹是水平面内的圆． (2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动． 2．临界特征 2.1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明过程中存在着临界点。 2.2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。 2.3若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。 3．方法突破 (1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力． (2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零． (3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等． 4、解题关键：分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 专题训练3 3.1、静摩擦力临界 1、如图所示，两个由相同材料制成的水平摩擦轮A和B，两轮半径关系为RA＝2RB，A为主动轮。当A匀速转动时，在A轮边缘处放置的小木块恰能相对静止在A轮的边缘上，若将小木块放在B轮上使其静止，木块离B轮轴的最大距离为(　 　) A．　 B．　 C．RB　 D． 2、如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）（多选） A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝是b开始滑动的临界角速度 D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg 3、如图所示，放置在水平转盘上的物体A、B、C能随转盘一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为m、2m、3m，它们与水平转盘间的动摩擦因数均为μ，离转盘中心的距离分别为0.5r、r、1.5r，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则转盘的角速度应满足的条件是 （ ） A．ω≤ B．ω≤ C．ω≤ D．≤ω≤ 4、(多选)如图所示,放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω匀速转动,A、B、C的质量分别为3m、2m、m,B与转台、C与转台、A与B间的动摩擦因数都为μ,B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,以下说法正确的是(　 　) A. B对A的摩擦力有可能为2μmg B. C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力 C. 转台的角速度有可能恰好等于 D. 若角速度在题干所述基础上缓慢增大,A将最先发生相对滑动 5、(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　 　) A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝是b开始滑动的临界角速度 D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg 6、(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的水平细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(重力加速度为g)(　 ) A．当ω>时，A、B会相对于转盘滑动 B．当ω>，绳子一定有弹力 C．ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大 D．ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大 7、摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑.今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（ ）（多选） A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3 B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为aA∶aB＝2∶9 C．转速增加后滑块B先发生滑动 D．转速增加后两滑块一起发生滑动 8、如图所示，水平转盘上的、、三处，有三块可视为质点的由同一种材料做成的正立方体物块；、处物块的质量相等且为，处物块的质量为；点、与轴的距离相等且为，点到轴的距离为，转盘以某一角速度匀速转动时，、、处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是（ ）（多选） A．处物块的向心加速度最大 B．处物块受到的静摩擦力最小 C．当转速增大时，最先滑动起来的是处的物块 D．当转速继续增大时，最后滑动起来的是处的物块 9、如图所示，两物块、套在水平粗糙的杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过中点的轴转动，已知两物块质量相等，杆对物块、的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块到轴的距离为物块到轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块、即将滑动的过程中，下列说法正确的是（ ） A．受到的合外力一直在增大 B．受到的静摩擦力是先增大后减小 C．受到的静摩擦力是先增大后减小 D．受到的静摩擦力一直增大 10．水平转盘上距转轴1.2 m处放置一个10 kg的物体(可视为质点)，物体与转盘间的动摩擦因数为0.13.当转盘转动后，可使物体以0.5 m/s2的切向加速度做加速圆周运动，经过多长时间物体和转盘发生相对滑动？(滑动摩擦力等于最大静摩擦力，g＝10 m/s2) 11、如图所示，水平光滑圆盘中心有一个光滑小孔O，一根细线穿过小孔，一端连接盘面上可视为质点的物块A，一端悬挂小球B。给物块A一个垂直于OA方向、大小为2m/s的水平初速度，结果物块A恰好能在盘面上做匀速圆周运动。盘面的半径为0.5m，盘面离地面的高度为5m，已知物块与小球的质量相等，不计空气阻力，重力加速度大小g取10m/s2，求： (1)OA间的距离； (2)某时刻剪断细线，则剪断细线后，物块经多长时间落地？落地时的速度是多大？ (3)若换一个表面粗糙的圆盘，物块A与盘面间的动摩擦因数为0.6，物块A与盘面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，保持OA间的距离为(1)问中的距离，要使物块A不滑动，物块随圆盘一起做匀速圆周运动的角速度应在什么范围？ 12、如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g （1）若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0 （2）若ω＝（1±k）ω0，且0<k<1，求小物块受到的摩擦力大小和方向 3.2、弹力临界 1、如图所示，放于竖直面内的光滑金属圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点．当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球受三个力作用．则ω可能是 （ ）（多选） A． B． C． D． 2、细绳一端系住一个质量为m的小球，另一端固定在光滑水平桌面上方h高度处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重力加速度为g.若要小球不离开桌面，其转速不得超过(　 　) A. B．2π C. D. 3、(多选)如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则( ) A．小球受重力、支持力、拉力和向心力 B．小球可能只受拉力和重力 C．当ω0＝ rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零 D．当ω＝2 rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用 4.如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，绳a长为L，与水平方向成θ角时绳b恰好在水平方向伸直．当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a、b绳均拉直．重力加速度为g，则(　 ) A．a绳的拉力可能为零 B．a绳的拉力随角速度的增大而增大 C．当角速度ω>时，b绳中拉力不为零 D．当角速度ω>时，若a绳突然被剪断，则b绳仍可保持水平 5、(多选)如图所示，竖直平面内有一半径为R＝0.35 m的内壁光滑的圆形轨道，轨道底端与光滑水平面相切，一小球(可视为质点)以v0＝3.5 m/s的初速度进入轨道，g＝10 m/s2，则( ) A．小球不会脱离圆轨道运动 B．小球会脱离圆轨道运动 C．小球脱离轨道时的速度为 m/s D．小球脱离轨道的位置与圆心连线和水平方向间的夹角为30° 考点4、竖直面内圆周运动的“轻绳”和“轻杆”模型 1、运动特点 1.1、竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动． 1.2、只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒． 1.3、竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周的最高点的速度． 1.4、一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形． 2、变速圆周运动的向心力 如图所示，当小球在竖直面内摆动时，半径方向的合力提供向心力，FT－mgcos θ＝m， 3、竖直面内圆周运动两类常见模型 一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等），称为“绳（环）约束模型”， 二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管）约束模型” 4、竖直平面内圆周运动最高点临界的两种模型特点及求解方法 物理情景 最高点无支撑 最高点有支撑 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力 特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 受力 示意图 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg 过最高点的条件 在最高点的速度v≥ 在最高点的速度v≥0 模型归纳 轻绳模型 轻杆模型 讨论分析 （1）过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN （2）不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 （1）当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 （2）当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 （3）当v＝时，FN＝0 （4）当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 补充：1、凸形桥最高点 2、竖直面最低点（两种模型一样）动力学方程 5、规律总结：分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 专题讲练4 4.1、竖直平面内的“轻绳”模型 1、如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为(重力加速度为g)(　 　) A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg 2、“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为细绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图所示，已知绳长为l，重力加速度为g，则 （ ）（多选） A．小球运动到最低点Q时，处于失重状态 B．小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大 C．当v0>时，小球一定能通过最高点P D．当v0<时，细绳始终处于绷紧状态 3、如图所示，由倾角45°光滑斜面和半径R的光滑圆周组成的轨道固定在竖直平面内，斜面和圆周之间有小圆弧平滑连接。一小球以一定的初速度释放，始终贴着轨道内侧顺时针转动，则其通过斜面的时间最长可能是（ ） A． B． C． D． 4、如图所示，一竖直平面内光滑圆形轨道半径为R，小球以速度v0经过最低点B沿轨道上滑，并恰能通过轨道最高点A．以下说法正确的是 （ ）（多选）A B R O v0 A．v0应等于2，小球到A点时速度为零 B．v0应等于，小球到A点时速度和加速度都不为零 C．小球在B点时加速度最大，在A点时加速度最小 D．小球从B点到A点，其速度的增量为（1+） 5、如图所示，竖直光滑圆弧轨道A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，A、B的质量均为m，现有另一质量也为m的小球C自一定高度h自由落下，恰好与圆弧轨道竖直相切进入轨道，沿圆弧内侧轨道运动，为保证小球能通过轨道的最高点，且不会使轨道在竖直方向上跳起，小球释放点距离木板上表面的高度必须满足（ ） A．≤h≤ B．≤h≤ C．≤h≤ D．≤h≤ 6、如图所示是“过山车”玩具模型．当小球以速度v经过圆形轨道最高点时，小球与轨道间的作用力为F，多次改变小球初始下落的高度h，就能得出F与v的函数关系，关于F与v之间关系有可能正确的是 （ ） 7、如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T－v2图像如图乙所示，则（ ） A．轻质绳长为m B．当地的重力加速度为 C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为＋a D．只要v2≥b，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a 8、如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m。现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起（不计小球与环的摩擦阻力），瞬时速度必须满足（ ）（多选） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 9、如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度为g)(　 　) A．　 B． C．　 D． 10、如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F。小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动。整个过程中，物块在夹子中没有滑动。小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是(　 　) A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F B．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2F C．物块上升的最大高度为 D．速度v不能超过 4.2、竖直平面内轻“杆”模型 1、如图所示，长为L的轻杆一端连接在O点，另一端固定一质量为m的小球，现让小球在竖直平面内以O点为圆心做圆周运动，P为圆周的最高点，小球运动到最低点时速率为，不计一切阻力，则（ ） A．小球不能到达P点 B．小球到达P点时速度小于 C．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力 D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆的弹力为0 2、如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击，使其在瞬间得到一个水平初速度v0，若v0大小不同，则小球能够上升的最大高度(距离底部)也不同。下列说法中不正确的是(　 　) A．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度等于 B．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度小于 C．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度等于2R D．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度等于2R 3、(多选)如图所示光滑管形圆轨道半径为R(管径远小于R)，小球a、b大小相同，质量相等，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动。两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是(　 　) A．当v＝时，小球b在轨道最高点对轨道无压力 B．当小球b在最高点对轨道无压力时，在最低点的小球a比在最高点的小球b所需向心力大6mg C．速度v至少为2，才能使两球在管内做圆周运动 D．只要v>，小球对轨道最低点的压力比小球对轨道最高点的压力都大5mg 4.如图甲所示,轻杆一端固定在O点,另一端固定一小球,现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时,受到的弹力为F,速度大小为v,其F-v2图像如图乙所示,则(　 　) A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为 C.v2=c时,小球对杆的弹力方向向下 D.v2=2b时,小球受到的弹力与重力大小相等 5、如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力.忽略空气阻力.则球B在最高点时 （ ） A．球B的速度为零 B．球A的速度大小为 C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 6、如图所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环（可视为质点），从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g。当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为 （ ） A．Mg－5mg B．Mg＋mg C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg 7、如图所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端固定在转轴O，现使小球在竖直平面内做圆周运动，P为圆周的最高点，若小球通过圆周最低点时的速度大小为，忽略摩擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是 （ ） A．小球不能到达P点 B．小球到达P点时的速度大于 C．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力 D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向下的弹力 8、如图甲所示，轻杆一端与质量为1kg、可视为质点的小球相连，另一端可绕光滑固定轴在竖直平面内自由转动．现使小球在竖直平面内做圆周运动，经最高点开始计是，取水平向右为正方向，小球的水平分速度v随时间t的变化关系如图乙所示，A、B、C三点分别是图线与纵轴、横轴的交点、图线上第一周期内的最低点，该三点的纵坐标分别是1、0、－5。g取10m/s2，不计空气阻力．下列说法中正确的是（ ）（多选） A．轻杆的长度为0.6m B．小球经最高点时，杆对它的作用力方向竖直向上 C．B点对应时刻小球的速度为3m/s D．曲线AB段与坐标轴所围图形的面积为0.5m 9.如图所示，在竖直放置的光滑半圆形绝缘细管的圆心处放一点电荷，将一个质量为、电荷量为的小球从半圆形管的水平直径端点由静止释放，小球沿细管滑到最低点时，对管壁恰好无压力，则置于圆心处的点电荷在点产生电场强度的大小为（ ） A． B． C． D． 10、如图，轻杆长2l，中点装在水平轴O上，两端分别固定着小球A和B，A球质量为m，B球质量为2m，重力加速度为g，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动． (1)若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度大小； (2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时O轴的受力大小、方向； (3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，求出此时A、B球的速度大小． 4.3、凸形桥的临界 1．一汽车通过拱形桥顶时速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在该桥顶对桥面恰好没有压力，车速为(　 　) A．15 m/s B．20 m/s C．25 m/s D．30 m/s 2、如图所示，横截面半径为的圆柱体固定在水平地面上。一个质量为的小滑块从截面最高点处以滑下。不计任何摩擦阻力。 ⑴ 试对小滑块从离开点至落地的运动过程做出定性分析； ⑵ 计算小滑块落地时的瞬时速率。 4.4、竖直面最低点与其他任意位置 1、如图所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用细线拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中，支架始终不动，以下说法正确的是 （ ）（多选） A．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为（m＋M）g B．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为Mg C．摆球到达最低点时，支架对地面的压力为（m＋M）g D．摆球到达最低点时，支架对地面的压力为（3m＋M）g 2、（多选）如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v。若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是（ ） A．受到的向心力为mg＋m B．受到的摩擦力为μm C．受到的摩擦力为μ D．受到的合力方向斜向左上方 3、图甲、乙为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块P连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点，则 ( ) A．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为 B．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为 C．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 4、如图所示，物体A放在粗糙板上随板一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，且板始终保持水平，位置Ⅰ、Ⅱ在同一水平高度上，则 （ ） A．物体在位置Ⅰ、Ⅱ时受到的弹力都大于重力 B．物体在位置Ⅰ、Ⅱ时受到的弹力都小于重力 C．物体在位置Ⅰ时受到的弹力小于重力，位置Ⅱ时受到的弹力都大于重力 D．物体在位置Ⅰ时受到的弹力大于重力，位置Ⅱ时受到的弹力都小于重力 5、如图所示，长为L的轻杆，一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个质量为m的小球。现让杆绕转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，重力加速度为g。某时刻杆对球的作用力方向恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ满足( 　 ) A．sinθ＝ B．tanθ＝ C．sinθ＝ D．tanθ＝ 考点5 斜面上圆周运动的临界问题 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化． 1、(多选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是(　 　) A．小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用 B．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大 C．小物体受到的摩擦力可能背离圆心 D．ω的最大值是1.0 rad/s 2、如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止.物体与盘面间的动摩擦因数为，（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是 （ ） A．rad/s B．rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s 1 物理学习的核心在于思维 最基本的知识、方法才是最重要的； 30%兴趣+30%信心+30%方法+10%勤奋+l%天赋>100%成功 学科网（北京）股份有限公司 $