精品解析：江苏省扬州市宝应实验初中数学学科2022年中考考前辅导

宝应实验初中数学学科2022年中考考前辅导 【试卷题型】 1.2022年中考数学试卷难度占比：60%左右的容易题（难度系数0.7以上），30%左右的中档题（难度系数0.4—0.7），10%左右的较难题（难度系数0.4以下）．几何：45%，代数：55%． 2.2022年扬州中考数学试卷命制方向——稳定 传承 创新 做好2022年中考命题工作，减少记忆性试题，增加探究性、开放性、综合性试题，坚决防止偏题怪题，促进有效考查学生综合素质． 3．常见专题类型 （1）图表信息型 （2）方案设计型 （3）应用型题型 （4）阅读理解型 （5）探索创新型 （6）动态几何 （7）数形结合 （8）图形变换 （9）开放性问题 （10）分类讨论 （11）规律探索 （12）最值问题 扬州市的中考命题是有历史传承的，主干知识核心内容是中考命题永恒的主题．针对扬州中考试卷的特点，我们要加强相对固定问题的专项教学与训练． 【核心内容】 19．数与式的计算 20．解方程（组）与不等式（组） 21．统计（统计图表、统计量） 22．概率计算（列表或画树状图） 23．分式方程应用 24．三角形全等（特殊四边形的性质和判定） 25．圆的说理与计算 26．现场学习题（新定义，新方法） 27．动态几何题（纯几何，几何代数综合） 28．函数综合题（函数建模应用） 24－27备用： 锐角三角函数的应用 作图应用题 一次、反比例函数应用 【往年分析】 近10年中，有理数相关概念（相反数3，绝对值1，倒数3，数的大小比较2）一般都要考一题；近10年中，解不等式组几乎每年都要考一题；近10年中，运算部分：实数幂的运算考了6次；整式整体思想求值考了3次，其它以“单乘多+完”“多乘多+平”“平+完”形式考；因式分解中“提公因式+平方差（完全平方）”考了8次，只有2014年，2016年未考；分式的计算只有2013年，2018年未考，考的形式是“化简”“化简求值”“分式变形”“混合运算”． 【心理辅导】 数学学科一向是扬州中考难度较大和拉开差距的学科．遇到新题型要认真思考、抓住重点、套用模型，基础题和中档题要尽量拿全分、多拿分，8、18、27、28要有抢分意识，不留空白，尽量作答．考前复习应抓住纠错基础题，树立自信心，不要再做大量做难题、怪题． 【最后一练】（请重点关注2013、2016、2020扬州中考真题） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 下列运算中，结果是a的是（ ） A. a·a B. a÷a C. （a） D. （-a） 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 小明同学利用计算机软件绘制函数（a、b为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，矩形纸片中，.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（ ） A. 6 B. 3 C. 2.5 D. 2 7. 已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　） A. M＜N B. M=N C. M＞N D. 不能确定 8. 方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根x0所在的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 2022年12月，四年一届的世界杯将在卡塔尔举行．揭幕战的门票现已预售完毕．据统计，全球共有超过人参与预售抢票，数据用科学记数法表示为_____． 10. 分解因式：_____． 11. 代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有________条鱼． 13. 在中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC=_______． 14. 如图，在梯形中，，则梯形的周长为 ________． 15. 如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则的长为____． 16. 如图，是的外接圆，直径，，则长为________． 17. 点A在函数的图象上，且OA=4，过点A作AB⊥轴于点B，则△ABO的周长为_______． 18. “地摊经济”一时兴起， 小明计划在夜市销售一款产品， 进价40元/件， 售价110 元/件， 每天可以销售 20 件，每销售一件需缴纳摊位管理费用元． 未来 30 天，这款产品将开展 “每天降价1元”的夏日大促活动， 即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现， 该产品单价每降1元， 每天销量增加4件． 在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数（为正整数）的增大而增大，的取值范围应为___． 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣2b）2，其中a＝2，b＝﹣1． 20. 解不等式组，并写出它的最大负整数解． 21. 端午节期间，扬州某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”、“20元”、“30元”、“40元”的字样（如图）．规定：同一日内，顾客在本商场每消费满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费240元，转了两次转盘． （1）该顾客最少可得 元购物券，最多可得 元购物券； （2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 22. 小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去董志城南绿地游玩． （1）小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率； （2）他们三人在同一个半天去游玩的概率． 23. 如图，为矩形的对角线，将矩形分别沿折叠，使点B落在上的点M处、点D落在上的点N处． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 24. 动车的开通为扬州市民的出行带来了方便．从扬州到合肥，路程为360 km，某趟动车的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少1小时，求该趟动车的平均速度． 25. 如图1，△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D. （1）求证：. （2）由（1）中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即 ，如T(60°)=1. ①理解巩固：T(90°)= ________，T(120°)=_________，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是_____________________； ②学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ=8，一只蚂蚁从点这沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）. （参考数据：T(160°)≈1.97，T(80°)≈1.29，T(40°)≈0.68） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝应实验初中数学学科2022年中考考前辅导 【试卷题型】 1.2022年中考数学试卷难度占比：60%左右的容易题（难度系数0.7以上），30%左右的中档题（难度系数0.4—0.7），10%左右的较难题（难度系数0.4以下）．几何：45%，代数：55%． 2.2022年扬州中考数学试卷命制方向——稳定 传承 创新 做好2022年中考命题工作，减少记忆性试题，增加探究性、开放性、综合性试题，坚决防止偏题怪题，促进有效考查学生综合素质． 3．常见专题类型 （1）图表信息型 （2）方案设计型 （3）应用型题型 （4）阅读理解型 （5）探索创新型 （6）动态几何 （7）数形结合 （8）图形变换 （9）开放性问题 （10）分类讨论 （11）规律探索 （12）最值问题 扬州市的中考命题是有历史传承的，主干知识核心内容是中考命题永恒的主题．针对扬州中考试卷的特点，我们要加强相对固定问题的专项教学与训练． 【核心内容】 19．数与式的计算 20．解方程（组）与不等式（组） 21．统计（统计图表、统计量） 22．概率计算（列表或画树状图） 23．分式方程应用 24．三角形全等（特殊四边形的性质和判定） 25．圆的说理与计算 26．现场学习题（新定义，新方法） 27．动态几何题（纯几何，几何代数综合） 28．函数综合题（函数建模应用） 24－27备用： 锐角三角函数的应用 作图应用题 一次、反比例函数应用 【往年分析】 近10年中，有理数相关概念（相反数3，绝对值1，倒数3，数的大小比较2）一般都要考一题；近10年中，解不等式组几乎每年都要考一题；近10年中，运算部分：实数幂的运算考了6次；整式整体思想求值考了3次，其它以“单乘多+完”“多乘多+平”“平+完”形式考；因式分解中“提公因式+平方差（完全平方）”考了8次，只有2014年，2016年未考；分式的计算只有2013年，2018年未考，考的形式是“化简”“化简求值”“分式变形”“混合运算”． 【心理辅导】 数学学科一向是扬州中考难度较大和拉开差距的学科．遇到新题型要认真思考、抓住重点、套用模型，基础题和中档题要尽量拿全分、多拿分，8、18、27、28要有抢分意识，不留空白，尽量作答．考前复习应抓住纠错基础题，树立自信心，不要再做大量做难题、怪题． 【最后一练】（请重点关注2013、2016、2020扬州中考真题） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 下列运算中，结果是a的是（ ） A. a·a B. a÷a C. （a） D. （-a） 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：a·a，故A选项不符合题意； a÷a，故B选项不符合题意； （a），故C选项不符合题意； （-a），故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的知识；解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的性质，从而完成求解． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案． 【详解】∵x2＋2＞0， ∴点P（x2＋2，−3）所在的象限是第四象限． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键． 4. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，属于基础概念题型，熟知轴对称图形的概念是解题关键． 5. 小明同学利用计算机软件绘制函数（a、b为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像过二、四象限可判断a的取值，根据x在负半轴的图像，可判断b的取值． 【详解】∵图像过二、四象限 ∴a＜0， ∵x=-b时，函数值不存在，结合图象可知： b＞0 故选C． 【点睛】此题主要考查函数图像的综合判断，解题的关键是熟知函数图像与变量之间的关系． 6. 如图，矩形纸片中，.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（ ） A. 6 B. 3 C. 2.5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形和矩形的性质； 以为边作等腰直角三角形，延长交于F，得是等腰直角三角形，作于G，得是等腰直角三角形，在矩形中剪去得到四边形，此时剩余部分面积的最小 【详解】解：如图以为边作等腰直角三角形，延长交于F，得是等腰直角三角形，作于G，得是等腰直角三角形， 在矩形中剪去得到四边形，此时剩余部分面积的最小． 故选C． 7. 已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　） A. M＜N B. M=N C. M＞N D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】∵M=，N=（a为任意实数），∴N-M==，∴N＞M，即M＜N， 故选A． 8. 方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根x0所在的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意推断方程x3+2x-1=0的实根是函数y=x2+2与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x3+2x-1=0的实根x所在范围． 【详解】解：依题意得方程的实根是函数与的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限． 当x=时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程的实根x0所在范围为：． 故选C． 【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 9. 2022年12月，四年一届的世界杯将在卡塔尔举行．揭幕战的门票现已预售完毕．据统计，全球共有超过人参与预售抢票，数据用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解． 【详解】解：． 11. 代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性计算即可得到结果． 【详解】由题可得：， 即， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，准确理解非负性的含义是解题的关键． 12. 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有________条鱼． 【答案】1200 【解析】 【详解】试题分析：先打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，求出有标记的鱼占的百分比，再根据共有30条鱼做上标记，即可得出答案． 解：∵打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条， ∴有标记的鱼占×100%=2.5%， ∵共有30条鱼做上标记， ∴鱼塘中估计有30÷2.5%=1200（条）． 故答案为1200． 考点：用样本估计总体． 13. 在中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC=_______． 【答案】6 【解析】 【详解】解：过点A作AD⊥BC于D， ∵AB=AC，∴BD=CD． 在Rt△ABD中，∵， ∴AD=5×0.8=4． ∴． ∴BC=BD+CD=3+3=6． 14. 如图，在梯形中，，则梯形的周长为 ________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，作辅助线构造平行四边形是关键； 首先过A作交于E，易证得四边形是平行四边形，是等边三角形，继而求得答案． 【详解】解：过A作交于E， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵． ， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴梯形的周长是． 故答案为：30 15. 如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问题）．如图，连接．根据折叠的性质、圆的性质推知是等边三角形，则易求；然后根据弧长公式弧长的公式计算求解． 【详解】解：如图，连接， 根据折叠的性质知，， 又， ，即是等边三角形． ． ， ． ∴的长为． 故答案为：． 16. 如图，是的外接圆，直径，，则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先连结CD，由同弧所对的圆周角相等得出∠ABC=∠ADC，又由于∠ABC=∠DAC，所以∠DAC=∠ADC=45°，所以AC＝CD，接下来利用等腰三角形的性质以及勾股定理即可求出AC的长. 【详解】如图，连结CD，∵AD是直径，∴∠ACD=90°，∵∠ABC=∠DAC，∠ABC=∠ADC，∴∠DAC=∠ADC=45°，∴AC=CD.在Rt△ADC中，AC2+CD2=AD2，2AC2=42，解得AC=2. 【点睛】本题是在圆中求线段长度的题目，需要利用圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理得知识进行解答. 17. 点A在函数的图象上，且OA=4，过点A作AB⊥轴于点B，则△ABO的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由点A在反比例函数的图象上，设出点A的坐标，结合勾股定理可以得出，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出AB•OB的值，然后变形求出(AB+OB)²，由此即可得出AB+OB的值，结合三角形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：如图所示：当x>0时， ∵点A在函数y=(x>0)的图象上， ∴设点A的坐标为(n,)(n>0) 在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=4， ∴， 又∵AB⋅OB=⋅n=4， ∴(AB+OB)²=AB²+OB²+2AB⋅OB=4²+2×4=24， ∴AB+OB=2或AB+OB=−2(舍去) ∴=AB+OB+OA=2+4， 同理当x<0时，得出=2+4， 故答案为：2+4． 【点睛】题目主要考查反比例函数与三角形周长问题，理解题意，熟练掌握反比例函数的基本性质是解题关键． 18. “地摊经济”一时兴起， 小明计划在夜市销售一款产品， 进价40元/件， 售价110 元/件， 每天可以销售 20 件，每销售一件需缴纳摊位管理费用元． 未来 30 天，这款产品将开展 “每天降价1元”的夏日大促活动， 即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现， 该产品单价每降1元， 每天销量增加4件． 在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数（为正整数）的增大而增大，的取值范围应为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，注意为正整数所包含的意义，找出所求问题需要的条件．根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：设未来30天每天获得的利润为y， 化简，得 ∵，当时，随着的增大而增大， ∴ 解得，， 又∵， 即a的取值范围是：． 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣2b）2，其中a＝2，b＝﹣1． 【答案】（1）9+;(2) 4ab﹣5b2，-13 【解析】 【分析】(1)按顺序先分别进行负指数幂运算、二次根式的化简、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可； (2)根据完全平方公式和平方差公式化简，然后把a、b的值代入计算即可． 【详解】(1) ＝9﹣2+6× ＝9﹣2+3 ＝9+； (2)(a+b)(a﹣b)﹣(a﹣2b)2 ＝a2﹣b2﹣a2+4ab﹣4b2 ＝4ab﹣5b2， 当a＝2，b＝﹣1时，原式＝4×2×(﹣1)﹣5×1＝﹣13． 【点睛】本题考查了实数的运算，整式的混合运算，涉及了负整数指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、完全平方公式、平方差公式等知识，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 20. 解不等式组，并写出它的最大负整数解． 【答案】不等式组的解集为x≤−5；最大负整数解为-5 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小确定不等式组的解集，从而得出答案． 【详解】解不等式x＋5≤0，得x≤−5， 解不等式，得：x≤−3， 则不等式组的解集为x≤−5， 所以不等式组的最大负整数解为−5． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21. 端午节期间，扬州某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”、“20元”、“30元”、“40元”的字样（如图）．规定：同一日内，顾客在本商场每消费满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费240元，转了两次转盘． （1）该顾客最少可得 元购物券，最多可得 元购物券； （2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 【答案】（1）20，80；（2）． 【解析】 【分析】（1）若两次都转向“10元”，该顾客最少可得20元购物券，若两次都转向“40元”，最多可得80元购物券． （2）画树状图或列表即可求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券金额不低于50元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：（1）画树状图得： 则该顾客最少可得20元购物券，最多可得80元购物券； 故答案为：20，80； （2）画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于50元的有10种情况， ∴该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去董志城南绿地游玩． （1）小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率； （2）他们三人在同一个半天去游玩的概率． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，画树状图列出三人随机选择上午或下午去游玩的所有等可能结果，找到小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果，根据概率公式计算可得； （2）由（1）中树状图，找到三人在同一个半天去游玩的结果，根据概率公式计算可得． 【详解】（1）根据题意，画树状图如图， 由树状图可知，三人随机选择本周日的上午或下午去游玩共有8种等可能结果， 其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果有（上，上，上）、（上，上，下）2种， ∴小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为； （2）由（1）中树状图可知，他们三人在同一个半天去游玩的结果有（上，上，上）、（下，下，下）这2种， ∴他们三人在同一个半天去游玩的概率为 答：他们三人在同一个半天去游玩的概率是． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 23. 如图，为矩形的对角线，将矩形分别沿折叠，使点B落在上的点M处、点D落在上的点N处． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，， ， 根据折叠的性质可知，， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知，所以可证，根据角平分线的性质可证，从而可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立； 根据勾股定理可求，设，则，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，即为，可知，利用平行四边形的面积公式可求结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ∴， ，， ， 设，则， ∴由折叠知：，，， ， 在中，， ， 解得：， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 24. 动车的开通为扬州市民的出行带来了方便．从扬州到合肥，路程为360 km，某趟动车的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少1小时，求该趟动车的平均速度． 【答案】该趟动车的平均速度为km/h 【解析】 【分析】根据等量关系：时间=路程÷速度和动车所需时间+1=普通列车所需时间列出分式方程，解之即可解答． 【详解】解：设普通列车的平均速度为km/h， 由题意得：， 解得，， 经检验，是所列分式方程的根， 故动车的平均速度为（km/h）， 答：该趟动车的平均速度为km/h． 【点睛】本题考查分式方程的应用、解分式方程，读懂题意，找到等量关系，正确列出分式方程是解答的关键． 25. 如图1，△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D. （1）求证：. （2）由（1）中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即 ，如T(60°)=1. ①理解巩固：T(90°)= ________，T(120°)=_________，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是_____________________； ②学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ=8，一只蚂蚁从点这沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）. （参考数据：T(160°)≈1.97，T(80°)≈1.29，T(40°)≈0.68） 【答案】 ①. ②. ③. 0＜T（α）＜2 【解析】 【详解】试题分析：（1）证明△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质解答即可； （2）①根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； ②根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，得到扇形的圆心角，根据T（A）的定义解答即可． （1）∵AB=AC，DE=DF，∴，又∵∠A=∠D，∴△ABC∽△DEF，∴； （2）①如图1，∠A=90°，AB=AC，则=，∴T（90°）=，如图2，∠A=90°，AB=AC，作AD⊥BC于D，则∠B=60°，∴BD=AB，∴BC=AB，∴T（120°）=； ∵AB﹣AC＜BC＜AB+AC，∴0＜T（α）＜2，故答案为；；0＜T（α）＜2； ②∵圆锥的底面直径PQ=8，∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，设扇形的圆心角为n°，则=8π，解得，n=160，∵T（160°）≈1.97，∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.97×9≈17.73． 点睛：本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及T（A）的定义，正确理解T（A）的定义、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $