1.3专题1带电粒子在匀强磁场中的临界和多解问题 讲义-2025-2026学年高二下学期物理人教版（2019）选择性必修第二册

第07课时　带电粒子在匀强磁场中的临界和多解问题 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 1 考点二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 2 考点三　带电粒子在磁场中运动的立体空间问题 4 巩固训练·提升能力 5 第07课时　带电粒子在匀强磁场中的临界和多解问题 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 关键能力·规律方法 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 (1)刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。 (3)比荷相同的带电粒子以不同的速率v进入磁场时，圆心角越大，运动时间越长。 (4)在圆形磁场中，当带电粒子运动轨迹的半径大于磁场的半径，且入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大(所有弦长中直径最长)。 例题分析·考点题型 【例题1】如图所示为有理想边界的匀强磁场，磁感应强度，磁场边界为直角三角形，，，。点有一粒子源，沿方向射出不同速度的带正电粒子到磁场内，粒子的比荷为，不计粒子的重力。求： 在磁场中运动时间最长且速度最大的粒子，在磁场运动的过程中与之间的最大距离； 在磁场中运动时间最长粒子的最大速度。 【变式训练1】（多选）如图，真空中光屏下方存在磁感应强度大小为、垂直于纸面向里的匀强磁场，纸面内距光屏的距离为处，有一个粒子源，粒子源可朝纸面内各个方向均匀发射质量均为、电荷量均为、速度的大小均为的带正电粒子。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，光屏足够长，下列说法正确的是(    ) A. 打到光屏上的粒子中，运动的最短时间为 B. 打到光屏上的粒子中，运动的最长时间为 C. 光屏上被粒子打中的区域长度为 D. 粒子源发射的粒子中，有的粒子能打到光屏上 【变式训练2】如图所示，直角坐标系的第一象限存在沿轴负方向的匀强电场，在第二象限内在处固定一个平行轴且足够长的挡板，且在第二象限中存在垂直平面向外的匀强磁场图中未画出。在处有一粒子源，能沿轴负方向以的速度发射质量为、电荷量为的粒子，粒子经过电场偏转后通过 的 点进入匀强磁场，忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力。 求电场强度的大小 求粒子进入磁场的速度大小和方向 要使粒子不打到板上，求磁感应强度的取值范围。 考点二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 关键能力·规律方法 1.带电粒子电性不确定形成多解。如图甲中做匀速圆周运动的粒子可能带正电，也可能带负电，因带电性质不确定，轨迹不确定，形成多解。 甲 2.磁场方向不确定带来多解。如描述的磁场垂直于纸面，需分垂直纸面向外、垂直纸面向里两种情况进行讨论。 3.临界状态不唯一形成多解。如图乙中带电粒子不打在下极板上，粒子的速度有两种情况：v≤v1或v≥v2。 4.运动的周期性带来多解。如带电粒子在如图丙所示电磁组合场中会做周期性运动，从而形成多解。 　 乙　　　　　　　　　丙 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图，和为两条相距的平行虚线，两线之间是无磁场区域，左侧和右侧都是范围足够大、磁感应强度大小为的匀强磁场。、两点都在上未画出。质量为、带电量为的带电粒子从点以初速度与成角斜向右上方射出，一段时间后经过点，且经过点时速度方向与初速度方向相同，不计重力。下列说法错误的是(    ) A. 、相距其中、、、 B. 若将粒子在点时的初速度变大方向不变，则粒子仍经过点 C. 若将粒子在点时的初速度方向改为与夹角斜向右上方，则粒子不一定经过点 D. 若将粒子换成质量为带电量为的粒子初速度不变，则粒子仍经过点 【变式训练1】（多选）如图所示，在坐标系中，第一象限内充满着两个匀强磁场和，为分界线，在磁场中，磁感应强度为，方向垂直于纸面向里；在磁场中，磁感应强度为，方向垂直于纸面向外，点坐标为。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点沿轴负方向射入磁场，经过一段时间后，粒子恰能经过原点，不计粒子重力，。则下列说法正确的是(    ) A. 粒子一定沿轴负方向经过点 B. 粒子从到经历的路程与粒子的速度大小无关 C. 粒子运动的速度可能为 D. 粒子从点运动到点的最短时间为 【变式训练2】（多选）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，磁感应强度为，筒上点开有一个小孔，过的横截面是以为圆心的圆，圆的半径为。如图所示，一质量为、电荷量为的粒子从点沿方向射入，与筒壁发生碰撞后反弹。假设粒子每次碰撞前、后动能不变，碰撞时间极短，电荷量不变，重力不计。下列说法正确的是(    ) A. 射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 B. 粒子能从小孔射出的最短时间为 C. 调节射入小孔时粒子速度大小，粒子运动轨迹可能通过圆心 D. 从小孔射出的粒子的速度大小可能超过 考点三　带电粒子在磁场中运动的立体空间问题 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）如图，立方体区域在匀强磁场中．带电粒子以一定初速度从点沿方向垂直磁场进入该区域，粒子仅受磁场力，且能通过点，则该匀强磁场方向可能(    ) A. 由指向 B. 由指向 C. 由指向 D. 由指向 【变式训练1】如图所示，、两金属圆筒是直线加速器的一部分，与的电势差为；边长为的立方体区域内有竖直向上的匀强磁场一质量为，电量为的粒子，以初速度水平进入圆筒左侧的小孔粒子在每个筒内均做匀速直线运动，在两筒间做匀加速直线运动粒子自圆筒出来后，从正方形的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形中心垂直飞出磁场区域，忽略粒子受到的重力求： 粒子进入磁场区域时的速率。 磁感应强度的大小。 【变式训练2】（单选）如图所示，空间中匀强磁场的方向与轴平行。不计重力的带电粒子以初速度进入磁场时的速度方向与磁场不垂直，而是与磁场成的锐角，如图所示，这种情况下，带电粒子在匀强磁场中的轨迹就是一条等距的螺旋线。若要同时使螺旋线的螺距增大、半径减小，下列措施可行的是(    ) A. 仅减小初速度 B. 仅减小角度 C. 仅增大角度 D. 仅增大磁感应强度 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，在的区域存在垂直平面向外的匀强磁场，坐标原点处有一粒子源，可向轴和轴上方的各个方向均匀地发射速度大小均为、质量为、带电荷量为的同种带电粒子。在轴上距离原点处垂直于轴放置一个长度为、厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板粒子一旦打在金属板上，其速度立即变为。现观察到沿轴正方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，且速度方向与轴平行。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力，则下列说法正确的是(    ) A. 磁感应强度 B. 磁感应强度 C. 打在薄金属板左侧面的粒子数目占总数的 D. 打在薄金属板右侧面的粒子数目占总数的 2.如图所示是两个横截面分别为圆和正方形但磁感应强度均相同的匀强磁场，圆的直径等于正方形的边长，两个电子分别以相同的速度飞入两个磁场区域，速度方向均与磁场方向垂直，进入圆形磁场区域的速度方向对准了圆心，进入正方形磁场区域的方向是沿一边的中点且垂直于边界线，则下列判断正确的是 A. 两电子在两磁场中运动时，其半径不一定相同 B. 两电子在两磁场中运动的时间一定不相同 C. 进入圆形磁场区域的电子一定先飞离磁场 D. 进入圆形磁场区域的电子一定不会后飞出磁场 3.如图所示，在直角三角形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，，，边长，粒子源在点将带负电的粒子以大小、方向不同的速度射入磁场，已知粒子质量为，电荷量为，则在磁场中运动时间最长的粒子中，速度最大值是(    ) A. B. C. D. 4.如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板，板面与磁场方向平行，在距的距离处有一个点状的放射源，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷为的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足。不计重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是 A. 击中板的粒子运动的最长时间为 B. 击中板的粒子运动的最短时间为 C. 上被粒子打中的区域的长度为 D. 放射源发射的粒子中有的粒子可以击中板 5.光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上点开有一个小孔，过的横截面是以为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从点沿射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是(    ) A. 粒子的运动轨迹可能通过圆心 B. 最少经次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C. 射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D. 每次碰撞后瞬间，粒子速度方向不一定平行于碰撞点与圆心的连线 6.如图所示空间内有一垂直于轴的足够大的平面，将的区域分成Ⅰ、Ⅱ两部分，分别填充磁感应强度大小为，方向相反且平行于轴的匀强磁场，平面内有一带电粒子从点以速度射入Ⅰ区的匀强磁场中，速度方向与轴正向成，粒子在Ⅰ、Ⅱ两区域内运动后会经过轴上的点，其中，不计带电粒子的重力，。则该粒子的比荷为(    ) A. B. C. D. 二、多选题。 7.如图，长方体区域中处的粒子源可在范围内朝各个方向发射速率相等的同种粒子．该区域仅存在由指向的匀强电场时，粒子均落在矩形范围内；该区域仅存在由指向的匀强磁场时，粒子均通过边．不计重力及粒子间的相互作用，则其中某个粒子在该区域运动过程中(    ) A. 仅存在上述电场时，可能通过的中点 B. 仅存在上述电场时，最大位移可能为 C. 仅存在上述磁场时，可能通过的中点 D. 仅存在上述磁场时，运动的最大半径可能为 8.如图所示，为边长为的正方形，在四分之一圆区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。一个质量为、电荷量为的带正电粒子从点沿方向以初速度大小未知射入磁场，粒子仅能从正方形边含、两点射出正方形区域，该粒子在磁场中运动时间为，不计粒子的重力，则(    ) A. B. C. D. 9.如图所示，以直角三角形为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为，，，在点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子，粒子的比荷为，发射速度大小都为，且满足，发射方向由图中的角度表示，对于粒子进入磁场后的运动不计重力作用，下列说法正确的是(    ) A. 粒子有可能打到点 B. 以飞入的粒子在磁场中运动时间最短 C. 以飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等 D. 在边界上只有一半区域有粒子射出 10.如图所示的矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一比荷为的带负电粒子由点射入矩形区域，速度大小为，速度方向与边的夹角，粒子在磁场中的运动轨迹刚好与边相切，L、，忽略粒子的重力下列说法正确的是(    ) A. 磁感应强度大小为 B. 粒子在磁场中运动的时间为 C. 仅将粒子的速度改为，粒子在磁场中运动的轨道半径为 D. 仅将粒子的速度改为，粒子在磁场中运动的时间为 11.如图所示，竖直平面内半径为的圆形区域内存在磁感应强度为的匀强磁场，方向垂直纸面向里。为圆形区域水平直径，为圆形区域竖直半径，点到直径的距离。一束质量为、电荷量为的带电粒子沿平行于的方向以不同速率从点进入匀强磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是(    ) A. 若粒子恰好能经过点，则其入射速度 B. 若粒子恰好能从点射出，则粒子在磁场中运动时间 C. 若粒子恰好能从点射出，则粒子在磁场中运动半径为 D. 若粒子恰好能从点射出，则粒子的速度偏转角为 12.如图所示，位于点的一个质子源，该质子源在纸面内向各个方向均匀地发射质子，共计个在点下方水平放置有长度，以为中点的探测板，点离探测板的垂直距离为在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为的匀强磁场已知质子电量为，发射的质子的动量大小均为质子打到探测板上的计数率为即打到探测板上质子数与总质子数的比值，则下列说法正确的是(    ) A. 质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 B. 质子打在探测板上的长度为 C. 质子计数率为 D. 当时，可通过调节的大小使计数率不变，则磁感应强度大小满足 三、计算题。 13.如图所示，在直角三角形含边界区域内，存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。一束带正电粒子从边中点以不同初速度沿平行于方向射入该磁场区域，部分粒子能从边射出磁场，且这些粒子在磁场中运动的时间均为。已知边长为，，不计粒子间的相互作用力及粒子所受的重力。求： 该带电粒子的比荷 能从边射出磁场的粒子，其速度大小的取值范围。 14.人们通常利用带电粒子在电场和磁场中会受到场力的作用特点，来控制带电粒子的运动，或对带粒子进行分析，如回旋加速器、质谱仪等。如图所示，在平面直角坐标系的第一、四象限内存在磁感应强度大小为、方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第二象限内存在沿轴正方向的匀强电场。一带电量为，质量为的粒子从轴上的点沿轴正方向以初速度进入第二象限，经电场偏转后从轴上的点进入第一象限，然后从轴上的点进入第四象限。为了对带电粒子的有效控制，在实际应用中我们只需要一个比较小的磁场区域即可实现，如把原磁场撤去，在第一象限某区域只需要加一磁感应强度为的圆形磁场，即可以使带电粒子与轴正方向成角向下经过点。不计带电粒子的重力和其他阻力。求： 匀强电场的场强大小 匀强磁场的磁感应强度大小 磁感应强度为的圆形磁场的最小面积。 15.如图所示的平面内，在区域存在沿轴负方向的匀强电场，场强大小为；在区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，在区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小相等。质量为，电荷量为的带电粒子，时刻从电场中的点，以的初速度沿轴正方向射入匀强电场，并从点第一次回到电场。不计粒子的重力，求： 粒子第一次离开电场时的侧移； 匀强磁场的磁感应强度大小及第二次离开电场的时刻； 粒子从磁场进入电场时的位置坐标。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07课时　带电粒子在匀强磁场中的临界和多解问题 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 1 考点二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 2 考点三　带电粒子在磁场中运动的立体空间问题 4 巩固训练·提升能力 5 第07课时　带电粒子在匀强磁场中的临界和多解问题 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 例题分析·考点题型 【例题1】如图所示为有理想边界的匀强磁场，磁感应强度，磁场边界为直角三角形，，，。点有一粒子源，沿方向射出不同速度的带正电粒子到磁场内，粒子的比荷为，不计粒子的重力。求： 在磁场中运动时间最长且速度最大的粒子，在磁场运动的过程中与之间的最大距离； 在磁场中运动时间最长粒子的最大速度。 【变式训练1】（多选）如图，真空中光屏下方存在磁感应强度大小为、垂直于纸面向里的匀强磁场，纸面内距光屏的距离为处，有一个粒子源，粒子源可朝纸面内各个方向均匀发射质量均为、电荷量均为、速度的大小均为的带正电粒子。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，光屏足够长，下列说法正确的是(    ) A. 打到光屏上的粒子中，运动的最短时间为 B. 打到光屏上的粒子中，运动的最长时间为 C. 光屏上被粒子打中的区域长度为 D. 粒子源发射的粒子中，有的粒子能打到光屏上 【变式训练2】如图所示，直角坐标系的第一象限存在沿轴负方向的匀强电场，在第二象限内在处固定一个平行轴且足够长的挡板，且在第二象限中存在垂直平面向外的匀强磁场图中未画出。在处有一粒子源，能沿轴负方向以的速度发射质量为、电荷量为的粒子，粒子经过电场偏转后通过 的 点进入匀强磁场，忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力。 求电场强度的大小 求粒子进入磁场的速度大小和方向 要使粒子不打到板上，求磁感应强度的取值范围。 考点二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图，和为两条相距的平行虚线，两线之间是无磁场区域，左侧和右侧都是范围足够大、磁感应强度大小为的匀强磁场。、两点都在上未画出。质量为、带电量为的带电粒子从点以初速度与成角斜向右上方射出，一段时间后经过点，且经过点时速度方向与初速度方向相同，不计重力。下列说法错误的是(    ) A. 、相距其中、、、 B. 若将粒子在点时的初速度变大方向不变，则粒子仍经过点 C. 若将粒子在点时的初速度方向改为与夹角斜向右上方，则粒子不一定经过点 D. 若将粒子换成质量为带电量为的粒子初速度不变，则粒子仍经过点 【变式训练1】（多选）如图所示，在坐标系中，第一象限内充满着两个匀强磁场和，为分界线，在磁场中，磁感应强度为，方向垂直于纸面向里；在磁场中，磁感应强度为，方向垂直于纸面向外，点坐标为。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点沿轴负方向射入磁场，经过一段时间后，粒子恰能经过原点，不计粒子重力，。则下列说法正确的是(    ) A. 粒子一定沿轴负方向经过点 B. 粒子从到经历的路程与粒子的速度大小无关 C. 粒子运动的速度可能为 D. 粒子从点运动到点的最短时间为 【变式训练2】（多选）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，磁感应强度为，筒上点开有一个小孔，过的横截面是以为圆心的圆，圆的半径为。如图所示，一质量为、电荷量为的粒子从点沿方向射入，与筒壁发生碰撞后反弹。假设粒子每次碰撞前、后动能不变，碰撞时间极短，电荷量不变，重力不计。下列说法正确的是(    ) A. 射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 B. 粒子能从小孔射出的最短时间为 C. 调节射入小孔时粒子速度大小，粒子运动轨迹可能通过圆心 D. 从小孔射出的粒子的速度大小可能超过 考点三　带电粒子在磁场中运动的立体空间问题 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）如图，立方体区域在匀强磁场中．带电粒子以一定初速度从点沿方向垂直磁场进入该区域，粒子仅受磁场力，且能通过点，则该匀强磁场方向可能(    ) A. 由指向 B. 由指向 C. 由指向 D. 由指向 【变式训练1】如图所示，、两金属圆筒是直线加速器的一部分，与的电势差为；边长为的立方体区域内有竖直向上的匀强磁场一质量为，电量为的粒子，以初速度水平进入圆筒左侧的小孔粒子在每个筒内均做匀速直线运动，在两筒间做匀加速直线运动粒子自圆筒出来后，从正方形的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形中心垂直飞出磁场区域，忽略粒子受到的重力求： 粒子进入磁场区域时的速率。 磁感应强度的大小。 【变式训练2】（单选）如图所示，空间中匀强磁场的方向与轴平行。不计重力的带电粒子以初速度进入磁场时的速度方向与磁场不垂直，而是与磁场成的锐角，如图所示，这种情况下，带电粒子在匀强磁场中的轨迹就是一条等距的螺旋线。若要同时使螺旋线的螺距增大、半径减小，下列措施可行的是(    ) A. 仅减小初速度 B. 仅减小角度 C. 仅增大角度 D. 仅增大磁感应强度 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，在的区域存在垂直平面向外的匀强磁场，坐标原点处有一粒子源，可向轴和轴上方的各个方向均匀地发射速度大小均为、质量为、带电荷量为的同种带电粒子。在轴上距离原点处垂直于轴放置一个长度为、厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板粒子一旦打在金属板上，其速度立即变为。现观察到沿轴正方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，且速度方向与轴平行。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力，则下列说法正确的是(    ) A. 磁感应强度 B. 磁感应强度 C. 打在薄金属板左侧面的粒子数目占总数的 D. 打在薄金属板右侧面的粒子数目占总数的 2.如图所示是两个横截面分别为圆和正方形但磁感应强度均相同的匀强磁场，圆的直径等于正方形的边长，两个电子分别以相同的速度飞入两个磁场区域，速度方向均与磁场方向垂直，进入圆形磁场区域的速度方向对准了圆心，进入正方形磁场区域的方向是沿一边的中点且垂直于边界线，则下列判断正确的是 A. 两电子在两磁场中运动时，其半径不一定相同 B. 两电子在两磁场中运动的时间一定不相同 C. 进入圆形磁场区域的电子一定先飞离磁场 D. 进入圆形磁场区域的电子一定不会后飞出磁场 3.如图所示，在直角三角形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，，，边长，粒子源在点将带负电的粒子以大小、方向不同的速度射入磁场，已知粒子质量为，电荷量为，则在磁场中运动时间最长的粒子中，速度最大值是(    ) A. B. C. D. 4.如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板，板面与磁场方向平行，在距的距离处有一个点状的放射源，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷为的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足。不计重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是 A. 击中板的粒子运动的最长时间为 B. 击中板的粒子运动的最短时间为 C. 上被粒子打中的区域的长度为 D. 放射源发射的粒子中有的粒子可以击中板 5.光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上点开有一个小孔，过的横截面是以为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从点沿射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是(    ) A. 粒子的运动轨迹可能通过圆心 B. 最少经次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C. 射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D. 每次碰撞后瞬间，粒子速度方向不一定平行于碰撞点与圆心的连线 6.如图所示空间内有一垂直于轴的足够大的平面，将的区域分成Ⅰ、Ⅱ两部分，分别填充磁感应强度大小为，方向相反且平行于轴的匀强磁场，平面内有一带电粒子从点以速度射入Ⅰ区的匀强磁场中，速度方向与轴正向成，粒子在Ⅰ、Ⅱ两区域内运动后会经过轴上的点，其中，不计带电粒子的重力，。则该粒子的比荷为(    ) A. B. C. D. 二、多选题。 7.如图，长方体区域中处的粒子源可在范围内朝各个方向发射速率相等的同种粒子．该区域仅存在由指向的匀强电场时，粒子均落在矩形范围内；该区域仅存在由指向的匀强磁场时，粒子均通过边．不计重力及粒子间的相互作用，则其中某个粒子在该区域运动过程中(    ) A. 仅存在上述电场时，可能通过的中点 B. 仅存在上述电场时，最大位移可能为 C. 仅存在上述磁场时，可能通过的中点 D. 仅存在上述磁场时，运动的最大半径可能为 8.如图所示，为边长为的正方形，在四分之一圆区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。一个质量为、电荷量为的带正电粒子从点沿方向以初速度大小未知射入磁场，粒子仅能从正方形边含、两点射出正方形区域，该粒子在磁场中运动时间为，不计粒子的重力，则(    ) A. B. C. D. 9.如图所示，以直角三角形为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为，，，在点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子，粒子的比荷为，发射速度大小都为，且满足，发射方向由图中的角度表示，对于粒子进入磁场后的运动不计重力作用，下列说法正确的是(    ) A. 粒子有可能打到点 B. 以飞入的粒子在磁场中运动时间最短 C. 以飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等 D. 在边界上只有一半区域有粒子射出 10.如图所示的矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一比荷为的带负电粒子由点射入矩形区域，速度大小为，速度方向与边的夹角，粒子在磁场中的运动轨迹刚好与边相切，L、，忽略粒子的重力下列说法正确的是(    ) A. 磁感应强度大小为 B. 粒子在磁场中运动的时间为 C. 仅将粒子的速度改为，粒子在磁场中运动的轨道半径为 D. 仅将粒子的速度改为，粒子在磁场中运动的时间为 11.如图所示，竖直平面内半径为的圆形区域内存在磁感应强度为的匀强磁场，方向垂直纸面向里。为圆形区域水平直径，为圆形区域竖直半径，点到直径的距离。一束质量为、电荷量为的带电粒子沿平行于的方向以不同速率从点进入匀强磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是(    ) A. 若粒子恰好能经过点，则其入射速度 B. 若粒子恰好能从点射出，则粒子在磁场中运动时间 C. 若粒子恰好能从点射出，则粒子在磁场中运动半径为 D. 若粒子恰好能从点射出，则粒子的速度偏转角为 12.如图所示，位于点的一个质子源，该质子源在纸面内向各个方向均匀地发射质子，共计个在点下方水平放置有长度，以为中点的探测板，点离探测板的垂直距离为在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为的匀强磁场已知质子电量为，发射的质子的动量大小均为质子打到探测板上的计数率为即打到探测板上质子数与总质子数的比值，则下列说法正确的是(    ) A. 质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 B. 质子打在探测板上的长度为 C. 质子计数率为 D. 当时，可通过调节的大小使计数率不变，则磁感应强度大小满足 三、计算题。 13.如图所示，在直角三角形含边界区域内，存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。一束带正电粒子从边中点以不同初速度沿平行于方向射入该磁场区域，部分粒子能从边射出磁场，且这些粒子在磁场中运动的时间均为。已知边长为，，不计粒子间的相互作用力及粒子所受的重力。求： 该带电粒子的比荷 能从边射出磁场的粒子，其速度大小的取值范围。 14.人们通常利用带电粒子在电场和磁场中会受到场力的作用特点，来控制带电粒子的运动，或对带粒子进行分析，如回旋加速器、质谱仪等。如图所示，在平面直角坐标系的第一、四象限内存在磁感应强度大小为、方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第二象限内存在沿轴正方向的匀强电场。一带电量为，质量为的粒子从轴上的点沿轴正方向以初速度进入第二象限，经电场偏转后从轴上的点进入第一象限，然后从轴上的点进入第四象限。为了对带电粒子的有效控制，在实际应用中我们只需要一个比较小的磁场区域即可实现，如把原磁场撤去，在第一象限某区域只需要加一磁感应强度为的圆形磁场，即可以使带电粒子与轴正方向成角向下经过点。不计带电粒子的重力和其他阻力。求： 匀强电场的场强大小 匀强磁场的磁感应强度大小 磁感应强度为的圆形磁场的最小面积。 15.如图所示的平面内，在区域存在沿轴负方向的匀强电场，场强大小为；在区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，在区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小相等。质量为，电荷量为的带电粒子，时刻从电场中的点，以的初速度沿轴正方向射入匀强电场，并从点第一次回到电场。不计粒子的重力，求： 粒子第一次离开电场时的侧移； 匀强磁场的磁感应强度大小及第二次离开电场的时刻； 粒子从磁场进入电场时的位置坐标。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07课时　带电粒子在匀强磁场中的临界和多解问题 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 1 考点二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 4 考点三　带电粒子在磁场中运动的立体空间问题 8 巩固训练·提升能力 10 第07课时　带电粒子在匀强磁场中的临界和多解问题 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 关键能力·规律方法 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 (1)刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。 (3)比荷相同的带电粒子以不同的速率v进入磁场时，圆心角越大，运动时间越长。 (4)在圆形磁场中，当带电粒子运动轨迹的半径大于磁场的半径，且入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大(所有弦长中直径最长)。 例题分析·考点题型 【例题1】如图所示为有理想边界的匀强磁场，磁感应强度，磁场边界为直角三角形，，，。点有一粒子源，沿方向射出不同速度的带正电粒子到磁场内，粒子的比荷为，不计粒子的重力。求： 在磁场中运动时间最长且速度最大的粒子，在磁场运动的过程中与之间的最大距离； 在磁场中运动时间最长粒子的最大速度。 【答案】由粒子在磁场中的运动特点，可知运动时间最长即圆心角最大；速度最大即其半径也最大； 即运动时间最长且速度最大粒子的轨迹如图： 由图可知，当粒子运动到点时，其与的距离最大； 由圆周运动的特点，即三角形的特点，可知：， 最大距离：， 化简得：，； 由洛伦兹力提供向心力可知：， 解得：。 答：粒子与的最大距离为； 粒子的最大速度为。  【变式训练1】（多选）如图，真空中光屏下方存在磁感应强度大小为、垂直于纸面向里的匀强磁场，纸面内距光屏的距离为处，有一个粒子源，粒子源可朝纸面内各个方向均匀发射质量均为、电荷量均为、速度的大小均为的带正电粒子。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，光屏足够长，下列说法正确的是(    ) A. 打到光屏上的粒子中，运动的最短时间为 B. 打到光屏上的粒子中，运动的最长时间为 C. 光屏上被粒子打中的区域长度为 D. 粒子源发射的粒子中，有的粒子能打到光屏上 【答案】BD  【解析】打到光屏上的粒子中，运动的最短时间，是粒子与竖直方向成向上运动，轨迹圆的弦长最短，此时粒子在磁场中运动时间最短，轨迹圆的弧长为周长，所用时长，运动的最长时间，是粒子竖直向下运动，轨迹圆与相切，轨迹圆的弧长为周长，所用时长，项错误，项正确 根据，解得，轨迹如图所示，光屏上被粒子打中的区域长度为，项错误 沿竖直向上方向射出粒子与屏相切粒子走过的弧长为周长的，沿竖直向下方向射出粒子与屏相切粒子走过的弧长为周长的，二者夹角为，粒子源发射的粒子中，有的粒子能打到光屏上，项正确。 【变式训练2】如图所示，直角坐标系的第一象限存在沿轴负方向的匀强电场，在第二象限内在处固定一个平行轴且足够长的挡板，且在第二象限中存在垂直平面向外的匀强磁场图中未画出。在处有一粒子源，能沿轴负方向以的速度发射质量为、电荷量为的粒子，粒子经过电场偏转后通过 的 点进入匀强磁场，忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力。 求电场强度的大小 求粒子进入磁场的速度大小和方向 要使粒子不打到板上，求磁感应强度的取值范围。 【答案】解：设粒子在电场中做类平抛运动的时间为，加速度大小为，则沿轴负方向有， 沿轴负方向有，， 联立解得电场强度的大小； 设粒子到达轴时速度方向与轴负方向的夹角为， 则有，，，可得， 故粒子进入磁场的速度大小为，方向与轴负方向的夹角为； 粒子恰好打到挡板上，如图所示 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，由洛伦兹力提供向心力可得， 粒子不打到挡板上，根据几何关系有， 联立解得。 考点二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 关键能力·规律方法 1.带电粒子电性不确定形成多解。如图甲中做匀速圆周运动的粒子可能带正电，也可能带负电，因带电性质不确定，轨迹不确定，形成多解。 甲 2.磁场方向不确定带来多解。如描述的磁场垂直于纸面，需分垂直纸面向外、垂直纸面向里两种情况进行讨论。 3.临界状态不唯一形成多解。如图乙中带电粒子不打在下极板上，粒子的速度有两种情况：v≤v1或v≥v2。 4.运动的周期性带来多解。如带电粒子在如图丙所示电磁组合场中会做周期性运动，从而形成多解。 　 乙　　　　　　　　　丙 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图，和为两条相距的平行虚线，两线之间是无磁场区域，左侧和右侧都是范围足够大、磁感应强度大小为的匀强磁场。、两点都在上未画出。质量为、带电量为的带电粒子从点以初速度与成角斜向右上方射出，一段时间后经过点，且经过点时速度方向与初速度方向相同，不计重力。下列说法错误的是(    ) A. 、相距其中、、、 B. 若将粒子在点时的初速度变大方向不变，则粒子仍经过点 C. 若将粒子在点时的初速度方向改为与夹角斜向右上方，则粒子不一定经过点 D. 若将粒子换成质量为带电量为的粒子初速度不变，则粒子仍经过点 【答案】C  【解析】由题意，若粒子运动一个周期恰好过点，可画出粒子一个周期内的运动轨迹如图所示 设粒子初速度方向与的夹角为，由几何关系和周期性可知，、两点间的距离应等于 A.当粒子初速度方向与的夹角为时，可得点必在点上方处其中、、、，故A正确； B.由前面分析可知，粒子能否通过点与粒子的初速度大小无关。若将粒子在点时的初速度变大，只会改变粒子在磁场中运动的轨迹半径，每完成一次周期运动，粒子就会经过点上方距离点的点，因此粒子仍经过点，故B正确； C.若将粒子初速度方向改为与夹角斜向右上方，可得 可知带电粒子此时运动一个周期的偏移量是角度为时带电粒子运动一个周期的偏移量的，则粒子必定经过点上方距离点的所有点其中、、、，这些点包括点，故粒子一定经过点，故C错误； D.若将粒子换成带电量为的粒子初速度不变，则粒子在磁场中的旋向变化，但是每完成一次周期运动，就会经过点上方距离点的点，因此粒子仍经过点，故D正确。 由于本题选择错误的，故选C。 【变式训练1】（多选）如图所示，在坐标系中，第一象限内充满着两个匀强磁场和，为分界线，在磁场中，磁感应强度为，方向垂直于纸面向里；在磁场中，磁感应强度为，方向垂直于纸面向外，点坐标为。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点沿轴负方向射入磁场，经过一段时间后，粒子恰能经过原点，不计粒子重力，。则下列说法正确的是(    ) A. 粒子一定沿轴负方向经过点 B. 粒子从到经历的路程与粒子的速度大小无关 C. 粒子运动的速度可能为 D. 粒子从点运动到点的最短时间为 【答案】ABC  【解答】 画出粒子的运动轨迹如图： 根据几何知识得，故，图为一个周期的情况故粒子不可能从磁场中运动经过点，只能从磁场中经过点，由对称性可知，A正确； D.设粒子的入射速度为，用、、、分别表示粒子在磁场中和磁场中运动的轨道半径和周期，则有：，，，，当粒子先在区域中运动，后进入区域中运动，然后从点射出时，粒子从点运动到点所用的时间最短，如图所示，粒子在区域和区域中运动的时间分别为，，故最短时间：，D错误； C.由几何关系可知，，解得：，由表达式可知，当时，粒子运动的速度为：，故C正确； B.当速度为时，时间，故路程，与无关，故B正确。 故选ABC。 【变式训练2】（多选）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，磁感应强度为，筒上点开有一个小孔，过的横截面是以为圆心的圆，圆的半径为。如图所示，一质量为、电荷量为的粒子从点沿方向射入，与筒壁发生碰撞后反弹。假设粒子每次碰撞前、后动能不变，碰撞时间极短，电荷量不变，重力不计。下列说法正确的是(    ) A. 射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 B. 粒子能从小孔射出的最短时间为 C. 调节射入小孔时粒子速度大小，粒子运动轨迹可能通过圆心 D. 从小孔射出的粒子的速度大小可能超过 【答案】BD  【解析】A.速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不一定减少，故A错误； B.如图所示： ； 由题意可知粒子射出磁场以后的圆心组成的多边形应该为以筒壁为内接圆的多边形，最少应该为三角形，如上图所示，最少经过次碰撞，粒子就可能从小孔射出，由周期公式知： 则运动时间为，故B正确； C.假设粒子运动过程过点，则过点的速度的垂线和连线的中垂线是平行的，不能交于一点确定圆心，由圆形对称性，撞击筒壁以后的点的速度垂线和连线的中垂线依旧平行，不能确定圆心，则粒子不可能过圆心，故C错误； D.如图所示： ； 当速度为时 由几何关系知，半径越大，粒子轨迹越接近点，，解得： 当小于时，从小孔射出的粒子的速度大小可能超过，故D正确。 考点三　带电粒子在磁场中运动的立体空间问题 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）如图，立方体区域在匀强磁场中．带电粒子以一定初速度从点沿方向垂直磁场进入该区域，粒子仅受磁场力，且能通过点，则该匀强磁场方向可能(    ) A. 由指向 B. 由指向 C. 由指向 D. 由指向 【答案】CD  【解答】带电粒子以一定初速度从点沿方向垂直磁场进入该区域，粒子仅受磁场力，且能通过点，可知带电粒子在平面内做匀速圆周运动，则磁场方向应垂直于平面，粒子电性未知，根据左手定则可知该匀强磁场方向可能由指向，也可能由指向。 故选CD。 【变式训练1】如图所示，、两金属圆筒是直线加速器的一部分，与的电势差为；边长为的立方体区域内有竖直向上的匀强磁场一质量为，电量为的粒子，以初速度水平进入圆筒左侧的小孔粒子在每个筒内均做匀速直线运动，在两筒间做匀加速直线运动粒子自圆筒出来后，从正方形的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形中心垂直飞出磁场区域，忽略粒子受到的重力求： 粒子进入磁场区域时的速率。 磁感应强度的大小。 【答案】解：粒子在直线加速器中加速，根据动能定理 ， 解得粒子进入磁场的速率； 带电粒子在磁场中偏转得轨迹圆的半径， 在磁场中洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律： ， 解得磁感应强度大小。 【变式训练2】（单选）如图所示，空间中匀强磁场的方向与轴平行。不计重力的带电粒子以初速度进入磁场时的速度方向与磁场不垂直，而是与磁场成的锐角，如图所示，这种情况下，带电粒子在匀强磁场中的轨迹就是一条等距的螺旋线。若要同时使螺旋线的螺距增大、半径减小，下列措施可行的是(    ) A. 仅减小初速度 B. 仅减小角度 C. 仅增大角度 D. 仅增大磁感应强度 【答案】B  【解析】A.将速度沿轴正方向与轴正方向分解为  、  ，粒子沿轴正方向做匀速直线运动，垂直于轴方向做匀速圆周运动，则有  ， ，解得  ， ，螺旋线的螺距 ，当仅减小初速度  时，螺距、半径均减小，故A错误； B.结合上述可知，仅减小角度  ，螺距增大、半径减小，故B正确； C.结合上述可知，仅增大角度  ，螺距减小、半径增大，故C错误； D.结合上述可知，仅增大磁感应强度  ，螺距、半径均减小，故D错误。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，在的区域存在垂直平面向外的匀强磁场，坐标原点处有一粒子源，可向轴和轴上方的各个方向均匀地发射速度大小均为、质量为、带电荷量为的同种带电粒子。在轴上距离原点处垂直于轴放置一个长度为、厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板粒子一旦打在金属板上，其速度立即变为。现观察到沿轴正方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，且速度方向与轴平行。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力，则下列说法正确的是(    ) A. 磁感应强度 B. 磁感应强度 C. 打在薄金属板左侧面的粒子数目占总数的 D. 打在薄金属板右侧面的粒子数目占总数的 【答案】D  【解析】题意知观察到沿轴正方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，且速度方向与轴平行，几何关系可知粒子轨迹圆半径  ，根据 ， 联立解得 ，故AB错误； C.当带电粒子打在金属板左侧面的两个临界点，如图所示 圆心  与坐标原点和薄金属板下端构成正三角形，带电粒子速度方向和轴正方向成角，可知沿与正方向夹角范围为角发射的粒子打在薄金属板的左侧面上，打在薄金属板左侧面的粒子数目占总数的 ，故C错误； D.当打在右侧下端的临界点，如图所示 圆心  与坐标原点和薄金属板下端构成正三角形，带电粒子速度方向和轴正方向成角，结合选项中图可知，沿与方向夹角范围为角发射的粒子打在薄金属板的右侧面上，故打在薄金属板右侧面的粒子数目占总数的 ，故D正确。 2.如图所示是两个横截面分别为圆和正方形但磁感应强度均相同的匀强磁场，圆的直径等于正方形的边长，两个电子分别以相同的速度飞入两个磁场区域，速度方向均与磁场方向垂直，进入圆形磁场区域的速度方向对准了圆心，进入正方形磁场区域的方向是沿一边的中点且垂直于边界线，则下列判断正确的是 A. 两电子在两磁场中运动时，其半径不一定相同 B. 两电子在两磁场中运动的时间一定不相同 C. 进入圆形磁场区域的电子一定先飞离磁场 D. 进入圆形磁场区域的电子一定不会后飞出磁场 【答案】D  【解析】解：、电子在磁场中只受洛伦兹力作用，故粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力做向心力，那么，两粒子的轨道半径相同，故A错误； 、电子做匀速圆周运动的周期相等； 当轨道半径时，在圆形磁场区域中转过的中心角小于在正方向磁场区域中转过的中心角，故进入圆形磁场区域的电子先飞离磁场； 当轨道半径时，在圆形磁场区域中转过的中心角和在正方向磁场区域中转过的中心角都为，故两电子在两磁场中运动的时间相同；故BC错误，D正确。 3.如图所示，在直角三角形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，，，边长，粒子源在点将带负电的粒子以大小、方向不同的速度射入磁场，已知粒子质量为，电荷量为，则在磁场中运动时间最长的粒子中，速度最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解答】由左手定则和题意知，沿方向射出的粒子在三角形磁场区域内转半周，运动时间最长，速度最大的轨迹恰与相切，轨迹如图所示，由几何关系可得最大半径： 由洛伦兹力提供向心力 从而求得最大速度： 所以ABC错误，D正确。 故选D。 4.如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板，板面与磁场方向平行，在距的距离处有一个点状的放射源，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷为的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足。不计重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是 A. 击中板的粒子运动的最长时间为 B. 击中板的粒子运动的最短时间为 C. 上被粒子打中的区域的长度为 D. 放射源发射的粒子中有的粒子可以击中板 【答案】C  【解析】A、击中板的粒子中运动最长时间，则使粒子竖直向下运动，轨迹圆与相切，轨迹圆的弧长为周长，所用时长 ，A错误 B、最短的时间应使粒子与竖直方向成向上运动，轨迹圆的弦长最短，此时粒子在磁场中运动的时间最短，轨迹圆的弧长为周长，所用时长，B错误 C、由牛顿第二定律得，解得，轨迹如图， 上被粒子打中的区域的长度，C正确 D、沿竖直向上方向射出粒子与屏相切粒子走过的弧长为周长的，沿竖直向下方向射出粒子与屏相切粒子走过的弧长为周长的，二者夹角为，即射出在点右侧的粒子可以打在平面感光板上，各个方向均匀发射的粒子中有占比的粒子可以击中板，D错误。 故选C。 5.光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上点开有一个小孔，过的横截面是以为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从点沿射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是(    ) A. 粒子的运动轨迹可能通过圆心 B. 最少经次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C. 射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D. 每次碰撞后瞬间，粒子速度方向不一定平行于碰撞点与圆心的连线 【答案】B  【解析】【解答】 假设粒子带负电，如下图所示为粒子从点射入后到第一次与圆筒发生碰撞的运动轨迹，  为圆周运动轨迹的圆心，点为第一次的碰撞位置。根据几何关系可知    ，即粒子到达点时的速度方向与过点的切线垂直，所以碰撞前粒子的速度在碰撞点的切线方向的分量为零，又因为法线方向的速度分量大小不变，方向相反，所以在点碰撞后的速度方向沿着方向，速度大小不变，以此类推，接下来粒子与圆筒碰撞后的速度方向都沿着碰撞点与点的连线方向，即平行于碰撞点与圆心的连线；假设粒子的运动轨迹通过点，则碰撞点与的连线为轨迹上的弦，而碰撞点与点的连线方向又为粒子在碰撞点的速度方向，所以不符合曲线运动的速度特征，故AD错误。   B.根据题意可知，粒子在磁场中每段运动轨迹的圆心的连线所构成的多边形应该是以圆筒为内接圆的多边形，若碰撞次数越少，则多边形的边数越少，最少的情况为三角形，每条边与圆筒相切的位置为碰撞点，即粒子与圆筒碰撞次，故B正确。   C.若粒子速度越大，则粒子做圆周运动的半径越大，粒子与圆筒碰撞的次数可能会增多，粒子运动时间不一定越少，所以 C错误。 6.如图所示空间内有一垂直于轴的足够大的平面，将的区域分成Ⅰ、Ⅱ两部分，分别填充磁感应强度大小为，方向相反且平行于轴的匀强磁场，平面内有一带电粒子从点以速度射入Ⅰ区的匀强磁场中，速度方向与轴正向成，粒子在Ⅰ、Ⅱ两区域内运动后会经过轴上的点，其中，不计带电粒子的重力，。则该粒子的比荷为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】将粒子的入射速度沿水平方向与竖直方向分解，则有 ， ，粒子水平方向的分运动为匀速圆周运动，竖直方向的分运动为匀速直线运动，假设粒子带正电，Ⅰ、Ⅱ两部分磁场方向分别沿轴负方向与轴正方向，作出粒子水平方向运动的俯视图如图所示， 粒子在水平方向中做匀速圆周运动，则有，粒子匀速圆周运动的周期，解得 ， ，粒子在左右磁场中圆周运动的半径相等，则有，粒子在水平方向圆周运动的时间，粒子在竖直方向做匀速直线运动的时间，根据分运动的等时性有，解得。 故选A。 二、多选题。 7.如图，长方体区域中处的粒子源可在范围内朝各个方向发射速率相等的同种粒子．该区域仅存在由指向的匀强电场时，粒子均落在矩形范围内；该区域仅存在由指向的匀强磁场时，粒子均通过边．不计重力及粒子间的相互作用，则其中某个粒子在该区域运动过程中(    ) A. 仅存在上述电场时，可能通过的中点 B. 仅存在上述电场时，最大位移可能为 C. 仅存在上述磁场时，可能通过的中点 D. 仅存在上述磁场时，运动的最大半径可能为 【答案】BCD  【解析】仅存在上述电场时，设电场强度为，加速度为，运动时间为，则有： 沿方向：根据受力分析结合牛顿第二定律可知：， 根据匀变速直线运动规律有： ， 沿初速度方向有：， 联立两式可解得： ， 可知：粒子落在矩形范围内会形成一个以为圆心，半径为的圆弧， 由题知：， 由几何知识可知：的中点到的距离为：， 所以可知：仅存在上述电场时，不可能通过的中点，故A错误； 仅存在上述电场时，粒子的位移为：，故B正确； 仅存在上述磁场时，粒子在面内做匀速圆周运动，粒子均通过边，说明最大半径不超过图中橙色圆，故 D正确； 易知圆与交点与点距离大于，如图，根据旋转圆，可知粒子完全有可能通过的中点，故C正确。 ； 所以本题选BCD 。 8.如图所示，为边长为的正方形，在四分之一圆区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。一个质量为、电荷量为的带正电粒子从点沿方向以初速度大小未知射入磁场，粒子仅能从正方形边含、两点射出正方形区域，该粒子在磁场中运动时间为，不计粒子的重力，则(    ) A. B. C. D. 【答案】AB  【解析】解：粒子在磁场中圆周运动周期： 洛伦兹力提供向心力： 联立解得： 、如果粒子从点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图， 根据几何关系，射出磁场时的速度反向延长线通过点，磁场的边长为，设粒子的轨道半径为，由几何关系得： 由洛伦兹力提供向心力得： 联立解得： 如果粒子从点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，根据几何关系： 由洛伦兹力提供向心力得： 联立解得： 粒子仅能从正方形边含、两点射出正方形区域，所以：，故D错误，B正确。 、如果粒子从点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图， 可知粒子圆周运动的圆周角为： 所用时间为： 如果粒子从点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，可知粒子圆周运动的圆周角为，所用时间为： 综上所述粒子运动时间满足：，故A正确，C错误。 9.如图所示，以直角三角形为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为，，，在点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子，粒子的比荷为，发射速度大小都为，且满足，发射方向由图中的角度表示，对于粒子进入磁场后的运动不计重力作用，下列说法正确的是(    ) A. 粒子有可能打到点 B. 以飞入的粒子在磁场中运动时间最短 C. 以飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等 D. 在边界上只有一半区域有粒子射出 【答案】AD  【解答】A、根据，可知粒子的运动半径，因此当入射时，粒子恰好从点飞出，故A正确； B、当飞入的粒子在磁场中运动时间恰好是周期，是在磁场中运动时间最长，故B错误； C、当飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从中点飞出，在磁场中运动时间也恰好是，从到在磁场中运动时间先减小后增大，故C错误； D、当飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从中点飞出，因此在 边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确； 10.如图所示的矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一比荷为的带负电粒子由点射入矩形区域，速度大小为，速度方向与边的夹角，粒子在磁场中的运动轨迹刚好与边相切，L、，忽略粒子的重力下列说法正确的是(    ) A. 磁感应强度大小为 B. 粒子在磁场中运动的时间为 C. 仅将粒子的速度改为，粒子在磁场中运动的轨道半径为 D. 仅将粒子的速度改为，粒子在磁场中运动的时间为 【答案】AB  【解析】设粒子的质量为，电荷量为，粒子在磁场中运动的半径为，根据几何关系可得，解得，根据，解得，故A正确； 粒子最终从边射出，粒子由运动至刚好与相切时转过的角度为，粒子从相切点到从射出时的夹角为，由几何关系可知，即粒子在磁场中运动对应圆心角为，粒子在磁场中运动的时间为，故B正确； C.仅将粒子的速度改为，根据，解得，故C错误； D.仅将粒子的速度改为，，粒子从边射出，根据几何关系可知粒子运动对应的圆心角为，粒子在磁场中运动的时间为，故D错误。 11.如图所示，竖直平面内半径为的圆形区域内存在磁感应强度为的匀强磁场，方向垂直纸面向里。为圆形区域水平直径，为圆形区域竖直半径，点到直径的距离。一束质量为、电荷量为的带电粒子沿平行于的方向以不同速率从点进入匀强磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是(    ) A. 若粒子恰好能经过点，则其入射速度 B. 若粒子恰好能从点射出，则粒子在磁场中运动时间 C. 若粒子恰好能从点射出，则粒子在磁场中运动半径为 D. 若粒子恰好能从点射出，则粒子的速度偏转角为 【答案】CD  【解析】令与水平方向夹角为，则有，解得，若粒子恰好能经过点，令轨道半径为，根据几何关系有，解得，由于，解得，故A错误 若粒子恰好能从点射出，令粒子轨迹在点位置的半径与竖直方向夹角为，根据几何关系有，，解得，，粒子做匀速圆周运动有，，解得，则粒子在磁场中运动时间，故B错误 若粒子恰好能从点射出，令粒子轨迹在点位置的半径与竖直方向夹角为，根据几何关系有，，解得，，故C正确 若粒子恰好能从点射出，令粒子的速度偏转角为，轨迹半径为，根据几何关系有，，解得，故D正确。 故选CD。 12.如图所示，位于点的一个质子源，该质子源在纸面内向各个方向均匀地发射质子，共计个在点下方水平放置有长度，以为中点的探测板，点离探测板的垂直距离为在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为的匀强磁场已知质子电量为，发射的质子的动量大小均为质子打到探测板上的计数率为即打到探测板上质子数与总质子数的比值，则下列说法正确的是(    ) A. 质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 B. 质子打在探测板上的长度为 C. 质子计数率为 D. 当时，可通过调节的大小使计数率不变，则磁感应强度大小满足 【答案】AC  【解析】根据可得质子做圆周运动半径，故A对 质子打在探测板上的最左侧点与点连线为轨迹的直径，左端点到点的距离为， 最右侧点对应的轨迹与探测板相切，右端点到点的长度为，则总长度为，故B错 竖直向上与竖直向下发射的质子对应的轨迹恰好与边界相切，入射方向在竖直方向左侧的质子均可以打到探测板上，则质子计数率为，故C对 在确保计数率为的情况下，质子做圆周运动半径与相等，则由可得磁感应强度和的关系满足， 当时，质子左边圆弧的弦长恰好为直径时对应临界条件，即，即故D错。 三、计算题。 13.如图所示，在直角三角形含边界区域内，存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。一束带正电粒子从边中点以不同初速度沿平行于方向射入该磁场区域，部分粒子能从边射出磁场，且这些粒子在磁场中运动的时间均为。已知边长为，，不计粒子间的相互作用力及粒子所受的重力。求： 该带电粒子的比荷 能从边射出磁场的粒子，其速度大小的取值范围。 【答案】解：如图甲所示，粒子从边射出磁场，则在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角为，运动时间均相等。 设其周期为，则由题意可知： 可得，粒子的比荷为 由图乙可知，当粒子的轨迹与边相切时，半径为 由图丙可知当粒子的轨迹与边相切，轨迹半径为 故从边射出的粒子在磁场内运动的速度大小范围为。  14.人们通常利用带电粒子在电场和磁场中会受到场力的作用特点，来控制带电粒子的运动，或对带粒子进行分析，如回旋加速器、质谱仪等。如图所示，在平面直角坐标系的第一、四象限内存在磁感应强度大小为、方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第二象限内存在沿轴正方向的匀强电场。一带电量为，质量为的粒子从轴上的点沿轴正方向以初速度进入第二象限，经电场偏转后从轴上的点进入第一象限，然后从轴上的点进入第四象限。为了对带电粒子的有效控制，在实际应用中我们只需要一个比较小的磁场区域即可实现，如把原磁场撤去，在第一象限某区域只需要加一磁感应强度为的圆形磁场，即可以使带电粒子与轴正方向成角向下经过点。不计带电粒子的重力和其他阻力。求： 匀强电场的场强大小 匀强磁场的磁感应强度大小 磁感应强度为的圆形磁场的最小面积。 【答案】粒子从到的过程，由类平抛运动：方向匀加速：， ， 方向匀速：， 联立解得。 由题意，画出粒子运动轨迹如图： 在电场中，对粒子由动能定理得：， 解得粒子进入磁场时的速度大小：， 速度方向与轴正方向成，， 设粒子在磁场中做匀速圆周的半径为， 由几何关系得，解得， 在磁场中洛伦兹力提供向心力， 解得。 由题可知带电粒子在磁场中偏转了，运动轨迹如图 粒子的轨迹半径为， 圆形磁场的最小直径， 故圆形磁场的最小面积。  15.如图所示的平面内，在区域存在沿轴负方向的匀强电场，场强大小为；在区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，在区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小相等。质量为，电荷量为的带电粒子，时刻从电场中的点，以的初速度沿轴正方向射入匀强电场，并从点第一次回到电场。不计粒子的重力，求： 粒子第一次离开电场时的侧移； 匀强磁场的磁感应强度大小及第二次离开电场的时刻； 粒子从磁场进入电场时的位置坐标。 【答案】解：根据题意，画出带电粒子在电场和磁场中的轨迹如图所示， ， 带电粒子在电场中偏转的距离：， 根据牛顿第二定律有：， 水平方向做匀速直线运动：， 可以求得； 由几何关系知粒子在磁场中运动的轨道半径， 而， 根据， 解得， 粒子在电场中运动时间， 在磁场中运动时间， 故； 带电粒子每次在磁场中沿  轴负方向偏转的距离， 带电粒子每次在电场中沿  轴负方向偏转的距离， 所以第  次回到电场时沿  轴多方向偏转的距漓， 故当  为奇数时，坐标为  ， 当  为偶数时，坐标为 。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $