精品解析：江西省南昌市第十九中学2020-2021学年九年级第四次月考数学试题

2020-2021学年第二学期第一次月考数学试题卷 说明：1． 全卷满分120分，考试时间120分钟． 2． 请将答案写在答题卡上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 在实数1，0，，中，最小的实数是（ ） A. B. C. 1 D. 0 2. 如图是一种健身器材——哑铃的实物图，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 抗击新冠肺炎疫情期间，为了避免人员大量聚集，某公司复工后采取分时段上、下班方式，以错开高峰．小刘为了解本公司员工上下班情况，将考勤表中某天的相关数据制成条形统计图，已知该公司员工上下班各时段分别为：，，，，由图可知，下列说法错误的是（ ） A. 统计图反映了该公司员工上下班各时段内的人数情况 B. 该公司共有870人 C. 该公司员工上下班在时段内的人数占总人数的 D. 该公司员工上下班在时段内的人数比时段内的人数多1倍 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则下列结论正确的是（ ） A. 点B的坐标为 B. 在同一平面直角坐标系中，直线可能是的函数图象的一条对称轴 C. 点一定在一次函数图象上 D. 一次函数与反比例函数均随x的增大而增大 6. 如图，是一块长为2，宽为1的矩形纸板，先将矩形纸板沿对角线剪开，再将得到的两部分重新拼接，则拼接后能得到不同形状的四边形（不含矩形）有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：_____________________． 8. 为保证疫情期间中小学停课不停学，我省某市组织中小学生通过有线电视、互联网电视、“赣教云”和“空中课堂”等平台开展线上学习，2月10日起，共有86.6万名中小学生通过线上教学平台听老师授课．将数86.6万用科学记数法表示应为________． 9. 如图，在正方形中，，将正方形绕点B顺时针旋转，当点落在正方形的对称轴上时，的长为________ ． 10. 若是一元二次方程的两个根，则________． 11. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载了这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余两辆车，若每两人共乘一车，最终剩余九个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有人乘车，依题意，可列出方程为________． 12. 已知直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，点C是直线上的点，已知是直角三角形，则点C的坐标为____________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在菱形中，，的垂线交于点P，交的延长线于点E．求证：． 14. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 15. 已知正方形和中，，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中作的中点； （2）在图2中作的三等分点． 16. 由于要上物理实验课，物理老师要求物理学习委员在上课前打开物理实验室的门，并给学习委员一串带有5把钥匙（外形材质无差别）的钥匙扣，其中只有两把钥匙能打开物理实验室的门． （1）学习委员“试第一把钥匙就打开物理实验室门”是________事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；学习委员“试第一把钥匙未打开物理实验室门”的概率是________； （2）若学习委员随机抽取两把钥匙开实验室的门，请用画树状图或列表的方法表示出所有可能结果，并求出学习委员试第二把钥匙时才打开实验室门的概率． 17. 如图，双曲线与分别经过的顶点，且的面积为12，顶点，点的横坐标为2． （1）求出的值； （2）设双曲线与交于点，求出点的坐标． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为做好新冠肺炎疫情防控工作，某街道办组织社区志愿者开展新冠肺炎疫情排查与宣传教育服务活动，为了了解志愿者的年龄情况，工作人员随机抽取了其中的名志愿者进行调查，并将收集到的数据制成了如下尚不完整的统计图表： 组别 年龄段 频数(人数) 频率 年龄为岁的志愿者人数扇形统计图 （1）请直接写出____，____； （2）志愿者的年龄的中位数落在________组； （3）若抽取的名志愿者中年龄为岁的人数占社区志愿者总人数比例如扇形统计图所示，请估计该社区志愿者共有多少人？ （4）一些果农、菜农自发踊跃捐助了一车的水果和蔬菜(共吨)慰问社区志愿者，助力社区疫情防控，其中定向捐助每个志愿者的水果与蔬菜之比是，且这批果蔬恰好分完，则该社区每个志愿者将分别得到多少千克的水果与蔬菜？ 19. 已知点是菱形对角线上的点，以点为圆心，为半径的圆与相切于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，求菱形的边长． 20. 为了给广大游客提供干净文明、方便舒适的游览环境，某景区工作人员在景区门口设置了一块如图所示的游客攻略宣传栏，图是它的左视图（忽略厚度），经测量，宣传栏高米，支架米，顶盖玻璃圆弧跨度米，到顶盖的高为米． （1）求弧跨度所对圆心角的度数； （2）若大雨天的雨水与地面的倾斜角为，试判断雨水是否会淋湿宣传版面，请说明理由．（参考数据：，，，） 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出当和时，y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？ （3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克，经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值． 22. （1）【操作发现】 如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接； ②在①中所画图形中，＝　　°． （2）【问题解决】 如图2，在中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数． （3）【拓展延伸】 如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）． 六、（本大题共12分） 23. 将抛物线经过若干次平移后得到抛物线，且过点，，过点，，过点，，…，过点，，…，设抛物线的顶点分别为，，，…，，…． （1）求的解析式和顶点的坐标； （2），的坐标分别为________，________；抛物线的顶点的坐标为__________（用含n的式子表示），顶点坐标满足的函数关系式为______________； （3）探究下列结论： ①求出线段及的长； ②是否存在经过点的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年第二学期第一次月考数学试题卷 说明：1． 全卷满分120分，考试时间120分钟． 2． 请将答案写在答题卡上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 在实数1，0，，中，最小的实数是（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据正数负数，负数绝对值大的反而小，即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小的实数是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握正数负数，负数绝对值大的反而小． 2. 如图是一种健身器材——哑铃的实物图，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从左边看到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看，中间是宽度较小的矩形，它的左右两边分别连接着一个矩形，且两个矩形的内部分别有两条横向的虚线， 故选：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看到的图形是左视图． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，整式的乘除及公式法依次进行计算判断即可． 【详解】、与不是同类项，不可以合并，此选项计算错误，排除； 、，此选项计算错误，排除； 、，此选项计算正确； 、，此选项计算错误，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了合并同类项，整式的乘除及公式法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 4. 抗击新冠肺炎疫情期间，为了避免人员大量聚集，某公司复工后采取分时段上、下班方式，以错开高峰．小刘为了解本公司员工上下班情况，将考勤表中某天的相关数据制成条形统计图，已知该公司员工上下班各时段分别为：，，，，由图可知，下列说法错误的是（ ） A. 统计图反映了该公司员工上下班各时段内的人数情况 B. 该公司共有870人 C. 该公司员工上下班在时段内的人数占总人数的 D. 该公司员工上下班在时段内的人数比时段内的人数多1倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据条形统计图所反映的信息逐项进行判断即可． 【详解】解：这个条形统计图反映的是该公司员工上下班各时段内的人数情况，因此选项A不符合题意； 该公司的员工人数为180+360+240+90＝870（人），因此选项B不符合题意； 该公司员工上下班在时段C内的人数占总人数的，因此选项C符合题意； 该公司员工上下班在时段B内的人数是360人，在时段A内的人数是180人，所以在时段B内的人数比时段A内的人数多1倍，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查条形统计图，理解条形统计图的意义是正确判断的前提． 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则下列结论正确的是（ ） A. 点B的坐标为 B. 在同一平面直角坐标系中，直线可能是的函数图象的一条对称轴 C. 点一定在一次函数图象上 D. 一次函数与反比例函数均随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】把代入可得，再把代入可得B的坐标，可判断A，再把，代入，可得一次函数的解析式，再结合反比例函数与一次函数的性质可判断B，C，D． 【详解】解：∵过， ∴，即， ∵过， ∴，即，故A不符合题意； ∵一次函数过，， ∴，解得：， ∴， ∴不是的对称轴，故B不符合题意； 当时，， ∴点一定在一次函数图象上，故C符合题意； 一次函数的函数值随x的增大而增大，反比例函数在每一象限内，函数值随x的增大而减小；故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，熟记一次函数与反比例函数的图象与性质是解本题的关键． 6. 如图，是一块长为2，宽为1的矩形纸板，先将矩形纸板沿对角线剪开，再将得到的两部分重新拼接，则拼接后能得到不同形状的四边形（不含矩形）有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】B 【解析】 【分析】由图知，两三角形全等，将对应相等的边重合，其中，不同形状的四边形有三个． 【详解】解：将对应相等的边重合，知可得到三个不同形状的四边形，分别形如：，，． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形，矩形的性质，图形的变换，理解图形变换的主要形式是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：_____________________． 【答案】-##-0.5 【解析】 【分析】直接利用负整数指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算，解题关键是牢记公式． 8. 为保证疫情期间中小学停课不停学，我省某市组织中小学生通过有线电视、互联网电视、“赣教云”和“空中课堂”等平台开展线上学习，2月10日起，共有86.6万名中小学生通过线上教学平台听老师授课．将数86.6万用科学记数法表示应为________． 【答案】 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数且比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：86.6万． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题关键． 9. 如图，在正方形中，，将正方形绕点B顺时针旋转，当点落在正方形的对称轴上时，的长为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，再利用勾股定理求得的长，即可解答． 【详解】解：将正方形绕点B顺时针旋转， ， 是正方形的对称轴， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，灵活运用上述性质是解题的关键． 10. 若是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得，然后把变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于常考题型，正确变形、熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 11. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载了这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余两辆车，若每两人共乘一车，最终剩余九个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有人乘车，依题意，可列出方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列一元一次方程，读懂题意，找准等量关系是解决问题的关键．设有人乘车，由总人数始终不变建立等量关系列方程即可得到答案． 【详解】解：设有人乘车， 依题意，可列出方程为， 故答案为：． 12. 已知直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，点C是直线上的点，已知是直角三角形，则点C的坐标为____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论：当时， 证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，即可得出点的坐标；当，证明，求出，可得点C的坐标；当，作，证明，求出，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，当时，是直角三角形， 当时，， ∴点． 当时，， ∴点， ∴，，． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴点； 当，是直角三角形，，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点； 如图所示，当，是直角三角形，，， ∴． 过点A作，于点D， ∴，． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在菱形中，，的垂线交于点P，交的延长线于点E．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先将绝对值，0次幂，负整数幂化简，再进行计算即可； （2）连接，通过证明为等边三角形，得出，再证明，即可求证． 【详解】（1）解： ； （2）证明：连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握实数混合运算顺序和运算法则，掌握菱形四条边都相等，对边互相平行，以及等边三角形三线合一． 14. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15. 已知正方形和中，，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中作的中点； （2）在图2中作的三等分点． 【答案】（1） 点即为所求: （2） 点即为所求： 【解析】 【分析】（1）连接交于点，由正方形性质可得，再结合，连接，由垂直平分线的判定与性质可得，从而得到答案； （2）连接交于点，作直线交于点，交于点，连接交于点，连接交于点，作直线交于点，由平行线分线段成比例可知点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图−复杂作图，涉及线段的垂直平分线的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16. 由于要上物理实验课，物理老师要求物理学习委员在上课前打开物理实验室的门，并给学习委员一串带有5把钥匙（外形材质无差别）的钥匙扣，其中只有两把钥匙能打开物理实验室的门． （1）学习委员“试第一把钥匙就打开物理实验室门”是________事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；学习委员“试第一把钥匙未打开物理实验室门”的概率是________； （2）若学习委员随机抽取两把钥匙开实验室的门，请用画树状图或列表的方法表示出所有可能结果，并求出学习委员试第二把钥匙时才打开实验室门的概率． 【答案】（1）随机， （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据事件的分类，以及概率公式即可进行解答； （2）根据题意，画出树状图，数出所有符合条件的情况数和总情况数，用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵试第一把钥匙有可能打开物理实验室门，也有可能打不开物理实验室门， ∴“试第一把钥匙就打开物理实验室门”是随机事件， ∵一共有5把钥匙（外形材质无差别），其中只有两把钥匙能打开物理实验室的门， ∴“试第一把钥匙未打开物理实验室门”的概率是， 故答案为：随机，； 【小问2详解】 记5把钥匙分别为A、B、C、D、E，其中能打开的为A、B两把钥匙，画树状图如解图： 由树状图可知，共有20种等可能情况，其中试第二把钥匙时才打开实验室门有6种情况， ∴． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17. 如图，双曲线与分别经过的顶点，且的面积为12，顶点，点的横坐标为2． （1）求出的值； （2）设双曲线与交于点，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）由的面积列式求解即可得出点的坐标，将点的坐标代入解析式即可求出，由的横坐标可知轴，由此可得点的坐标，进而求出； （2）过点作轴于点，则，即，设，则点的坐标为，代入反比例函数表达式即可求出，进而求出的坐标． 【小问1详解】 解：∵，点的横坐标为2， ， ∵在中，， ∴点的横坐标为， 连接，则轴，如图所示： ∵的面积为12， ，解得， ， ∵双曲线与分别经过的顶点， ∴； 【小问2详解】 解：过点作轴于点，如图所示： 由（1）得轴， 则，即， 设， 则点的坐标为， ， ∴， ∵点在的图象上， ∴，解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数综合，涉及反比例函数图象上点坐标的特征、平行四边形性质、平行四边形的面积公式、正切三角函数值定义等知识，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为做好新冠肺炎疫情防控工作，某街道办组织社区志愿者开展新冠肺炎疫情排查与宣传教育服务活动，为了了解志愿者的年龄情况，工作人员随机抽取了其中的名志愿者进行调查，并将收集到的数据制成了如下尚不完整的统计图表： 组别 年龄段 频数(人数) 频率 年龄为岁的志愿者人数扇形统计图 （1）请直接写出____，____； （2）志愿者的年龄的中位数落在________组； （3）若抽取的名志愿者中年龄为岁的人数占社区志愿者总人数比例如扇形统计图所示，请估计该社区志愿者共有多少人？ （4）一些果农、菜农自发踊跃捐助了一车的水果和蔬菜(共吨)慰问社区志愿者，助力社区疫情防控，其中定向捐助每个志愿者的水果与蔬菜之比是，且这批果蔬恰好分完，则该社区每个志愿者将分别得到多少千克的水果与蔬菜？ 【答案】（1），； （2）； （3）人； （4）千克的水果，千克的蔬菜． 【解析】 【分析】（1）根据总人数，求出组人数，根据百分比的定义求解即可； （2）根据中位数的定义判断即可； （3）求出年龄为岁的有人，可求出总人数； （4）按比例分配，分别求出每个人获得的水果质量． 【小问1详解】 ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 通过观察表格信息可知：志愿者的年龄的中位数落在组， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵抽取的名志愿者中，年龄为岁的有(人)， ∴志愿者共有(人)， 答：该社区志愿者共有人． 【小问4详解】 吨＝千克， 每个志愿者得到的水果数量：(千克)， 每个志愿者得到的蔬菜数量：(千克)， 答：该社区每个志愿者将分别得到千克的水果和千克的蔬菜． 【点睛】此题考查了扇形统计图，频数分布表，中位数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 已知点是菱形对角线上的点，以点为圆心，为半径的圆与相切于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，求菱形的边长． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ∵为的切线， ， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）菱形的边长为 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，从而得到结论； （2）设对角线与相交于点，连接，如图所示，由直径所对的圆周角为直角得到，结合切线性质、菱形性质，利用全等三角形的判定与性质得到是等边三角形，在中，由正切函数值定义列式求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设对角线与相交于点，连接，如图所示： ∵为的直径， ， 为的切线， ， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，的半径为6， ， ， 即菱形的边长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、正切函数定义等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20. 为了给广大游客提供干净文明、方便舒适的游览环境，某景区工作人员在景区门口设置了一块如图所示的游客攻略宣传栏，图是它的左视图（忽略厚度），经测量，宣传栏高米，支架米，顶盖玻璃圆弧跨度米，到顶盖的高为米． （1）求弧跨度所对圆心角的度数； （2）若大雨天的雨水与地面的倾斜角为，试判断雨水是否会淋湿宣传版面，请说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】（1）弧跨度所对圆心角的度数是 （2）不会．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据垂径定理求出，设圆弧的半径为，根据勾股定理列出方程，求出半径，根据正切的定义求出所对圆心角的度数； （2）根据正切的定义求出，比较大小，证明结论． 【小问1详解】 解：如图所示，设弧跨度所在圆的圆心为，圆弧的半径为，连接，， 由题意得，则米，米， 在中，， 解得， （米）， 在中，， ， ， 弧跨度所对圆心角的度数是； 【小问2详解】 解：不会．理由如下： 如图所示，大雨天的雨水与地面的倾斜角为，可知， ， （米）． 宣传栏高米<米， 雨水不会淋湿宣传版面． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出当和时，y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？ （3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克，经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值． 【答案】（1）；（2）甲进40千克，乙进60千克付款总金额最少；（3）千克． 【解析】 【分析】（1）根据函数图像利用选定系数法即可求出y与x之间的函数关系式． （2）甲进x千克，则乙进（100－x）千克，根据甲水果进货量的取值范围，第一，当40≤x≤50时，甲水果进货量x与付款y的关系式为，结合乙水果花费的金额，表示出w关于x的一次函数关系式，根据x取值范围求出w的最小值；第二，当50＜x≤60时，甲水果进货量x与付款y的关系式为，同样加上乙水果花费金额，表示出w函数关系式，再根据x的取值范围求出w最小值，比较w谁最小，从而确定甲乙两种水果进货量． （3）通过甲，乙两种水果购进量的分配比例，用a表示出甲乙进货量，分类讨论甲不同的进货量得出不同的进货价格，表示出利润不低于1650元的不等式，从而求出a的最小值． 【详解】（1）当时，设y=kx， 将（50，1500）代入得1500=50k， 解得k=30， 所以； 当时，设y=k1x+b， 将（50，1500）、（70，1980）分别代入得 ， 解得：， 所以； 综上； （2）甲进货x千克，则乙进货（100－x）千克 ①40≤x≤50 w=30x+（100－x）×25 =5x+2500 ∵k＞0 ∴当x=40时，w有最小值为2700； ②50＜x≤60， w=24x+300+（100－x）×25， =﹣x+2800， ∵k＜0， ∴当x=60时w有最小值为2740， ∵2700＜2740， ∴当甲进40千克，乙进60千克时付款总金额最少； （3）由题可设甲为 ，乙为； 当0≤≤50时，即0≤a≤125 则甲的进货价为30元/千克， ×（40－30）＋×（36－25）≥1650， ∴a≥ ＞125， 与0≤a≤125矛盾，故舍去， 当＞50时，即a＞125， 则甲种水果的进货总成本是( 9.6a+300 )元 ×40－(×24+300)+×（36－25）≥1650， ∴a≥150 ， ∴a的最小值为150 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式应用，解题关键在于理解题意，通过一次函数的性质和一元一次不等式，运用数形结合思想进行解题． 22. （1）【操作发现】 如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接； ②在①中所画图形中，＝　　°． （2）【问题解决】 如图2，在中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数． （3）【拓展延伸】 如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）． 【答案】（1）①如图，△AB′C′即为所求． ②45； （2）135°； （3） 【解析】 【分析】（1）①根据旋转角，旋转方向画出图形即可． ②只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可． （2）如图2，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．证明△ABC≌△EAH（AAS）即可解决问题． （3）如图3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，只要证明∠GDC＝90°，可得CG＝，由此即可解决问题． 【详解】解：（1）①略 ②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形， ∴∠AB′B＝45°， 故答案为45． （2）如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H． ∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°， ∴∠B＝∠EAH， ∵AB＝AE， ∴△ABC≌△EAH（AAS）， ∴BC＝AH，EH＝AC， ∵BC＝CD， ∴CD＝AH， ∴DH＝AC＝EH， ∴∠EDH＝45°， ∴∠ADE＝135°． （3）如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC， ∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG， ∵∠BAD＝∠CAG， ∴∠BAC＝∠DAG， ∵AB＝AC，AD＝AG， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD， ∴△ABC∽△ADG， ∵AD＝kAB， ∴DG＝kBC＝2k， ∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC， ∴∠ADG+∠ADC＝90°， ∴∠GDC＝90°， ∴CG＝＝． ∴BD＝CG＝． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 六、（本大题共12分） 23. 将抛物线经过若干次平移后得到抛物线，且过点，，过点，，过点，，…，过点，，…，设抛物线的顶点分别为，，，…，，…． （1）求的解析式和顶点的坐标； （2），的坐标分别为________，________；抛物线的顶点的坐标为__________（用含n的式子表示），顶点坐标满足的函数关系式为______________； （3）探究下列结论： ①求出线段及的长； ②是否存在经过点的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点的坐标为 （2），，， （3）①；；②存在直线的解析式为 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线的对称轴为直线，可设抛物线的解析式为，待定系数法求出抛物线的解析式为，顶点；同理可得，抛物线的解析式为，顶点，由此可得规律即可； （3）①由勾股定理计算即可得出的长；求出，，再由勾股定理计算即可得解；②由题可设直线的解析式为，由①可得抛物线的解析式为，由题可联立方程组，得，可设此一元二次方程的两个根分别为，，则，，求出，结合题意求出，即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设抛物线的解析式为，将点代入抛物线中得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设抛物线的解析式为，将点代入抛物线中得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点； 同理可得，抛物线的解析式为，顶点， ∴由此可得规律抛物线的顶点坐标，横纵坐标间满足的关系式为． 【小问3详解】 解：①∵，， ∴； 又∵， ∴，， ∴； ②存在． 由题可设直线的解析式为， 由①可得抛物线的解析式为， 由题可联立方程组，得， 由题可得此一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴可设此一元二次方程的两个根分别为，， ∴，， ∴， 又∵被每一条抛物线截得的线段的长度都相等， ∴两交点的距离恒相等，与n没有关系， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，二次函数与一元二次方程，一次函数的应用，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $