山东省淄博市第十一中学2025-2026学年高二上学期数学周测（9月13日）

2025年9月13日高二上-淄博市第十一中学周测数学（概率空间向量部分） 一、单选题 1.下列说法正确的是 A.对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 B.事件A,B同时发生的概率一定比A,B恰有一个发生的概率小 C.若P(AUB)=1,则事件A与B是对立事件 D.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大 2.己知空间向量ā=(3,2，-1)，则向量a在坐标平面Oxy上的投影向量是() A.1,-2,3) B.(0,2,-1) C.(3,2,0) D.(3,0,-1) 3.如图所示，在平行六面体ABCD-AB,CD中，AB=,AD=b,AA=c,M是AD的中点，点N是CA1上的点， 且CN:4=1:4,用ā，b,c表示向量M示的结果是() A M D B A A. 2a+6+c B. 55 c】 105 .五-86- 105 4.若事件A,B相互独立，它们发生的概率分别为乃，P2,则事件A,B都不发生的概率为( A.1-p P B.1-2)0-p2) C.1-(+p) D.1-1-p)1-p2) 5.己知在直三棱柱ABC-A,BC中，∠ABC=135°，AB=√2，BC=1,BB=2,则异面直线AB与BC所成角的 余弦值为（) A.30 B.5 c.6 6 5 D.3 2 6.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一， 左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆 为15.如图，若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使得这三个数之和等于15的概率是() 9 1 A. B.1 10 5 c D 试卷第1页，共5页 7.现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按 一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不 放回依次抽取两球：方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为p1,p2,p3,则() A.p1>p2>p3 B.p3>p2>p1 C.p3>p1=p2 D.p1=p2=P3 8.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，P为其内一点，A(1,1,2),B(-2,1,0),平面PAB⊥平面OAB,则平面PAB 的一个法向量可以为：() A.（-5,24,21)B.(-6,10,9) C.（-7,11,13) D.（-8,13,12) 二、多选题 9.已知空间向量a=(1,2,1),b=(3,-2,1),c=(4,4,-),则( A.团=V6 B.a,b,可以为空间的一组基底 C.alb D.(a+b)c=10 10.已知三个随机事件A,B,C,概率均不为0，下列说法正确的有() A.若ACB,则P(AB)=P(A) B.若A,B互斥，P(AUB)=0.6,P(B)=0.2,则P(A=0.6 C.若P(AUC)=P(BUC),则P(A)=P(B) D.若P(AB)=P(AB),则P(A)=P(B) 11.给出下列命题，其中正确的有() A.空间中任意两个向量一定共面 B.若{a,b,c}是空间的一个基底，则a,6,a中任意两个向量不共线 C.若空间向量=(2,2，-3)，b=(1,1,1),则a与6的夹角为钝角 D.若{ā，b,c是空间的一个基底，则{ā，b,c-a}也是空间的一个基底 三、填空题 12.己知向量D在基底{a,b,c下的坐标为(2,3,4)，则D在基底{ā+b,b+c,c}下的坐标为 13.向量a=(1,1,0),6=（1,0,2)且(a+b)11(2a+b),则实数k=一 试卷第2页，共5页 14.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设 甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为号，且各次投篮互不影响。若甲先投，则甲获胜的概率为一 四、解答题 15.如图，正四棱锥S-ABCD,SA=2,AB=√2，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD (1)求证：AC⊥SD: (2)求异面直线S4与CP所成角的余弦值. 16.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球. (1)若这5个球分别标有数字1,2,3,4,5，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两 个小球所标数字之和为3的倍数的概率： (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率. 试卷第3页，共5页 17.计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者， 则计算机考试“合格，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为：，，，在实际探作 考试中“合格”的概率依次为，3，，所有考试是否合格相互之间没有影响 (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率」 18.如图1，△ABC是底边为2的等腰三角形，且BA=BC=√3，△DAC为等腰直角三角形，∠CDA=90°，将△DAC 沿AC翻折到△PAC的位置，且点P不在平面ABC内（如图2），点F为线段PB的中点. ◇ B 44--- B (图1) (图2) (1)证明：AC⊥PB: (2)当平面PAC⊥平面ACB时，求平面ACF的法向量； (B)若直线PC与AB所成角的余弦值为√5时，求平面PAC的法向量. 4 试卷第4页，共5页 19.如图，圆台O,O,的一个轴截面为等腰梯形AACC,AC=2A4=2AC=4,B为底面圆周上异于A、C的点. 02. (1)(理)若P是线段BC的中点，求证：直线CP/1平面AAB; (文)求平面AAB的法向量； (3)(选做)若AB=BC,设直线I为平面AAB与平面CCB的交线，设I∩平面AACC=D,点Q在线段BD的中点 求平面QAC的法向量. 试卷第5页，共5页 《2025年9月13日高二上-淄博市第十一中学周测数学（概率空间向量部分）》参考答案 题号 1 2 3 4 6 个 8 9 10 答案 A O C B A 心 D D AC ABD 题号 11 答案 ABD 1.A 【解析】根据对立事件和互斥事件概念，可判断A正确，其余选项举反例即可. 【详解】根据对立事件和互斥事件的概念，可知对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件但不一定对立事件， 则A正确； 设事件A发生的概率为0.5，事件B发生的概率为0.6，同时发生的概率为0.4，则恰有一个发生的概率为0.3，则B错： 若P(AUB)=1,事件A与事件B不一定互斥，则不是对立事件，则C错： 当事件A与事件B互斥时，则事件A,B中至少有一个发生的概率与A,B中恰有一个发生的概率相等，则D错： 故选：A. 【点睛】本题考查对立事件和互斥事件概率的辨析，属于基础题， 2.C 【分析】根据投影向量的定义可得结果 【详解】根根据空间中点的坐标确定方法知， 在空间中，点(3,2，-1)在坐标平面Oxy上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变 所以空间向量ā=(3,2，-1)在坐标平面Oxy上的投影向量是：(3,2,0). 故选：C 3.C 【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘运算，将MN用空间的基底，b,c表示即可. 【详解】由图可得：=4V-4W=44C- 5 40-号c-0号而 m而44-85 5 故选：C M D B B 4.B 【分析】由独立事件与对立事件的概率公式计算. 【详解】由事件A与事件B相互独立，可得A与B相互独立， 答案第1页，共11页 所以P(AB)=P(A.B)=P(A④·P(B)=(1-P)1-P2) 故选：B 5.A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两异面直线夹角的余弦值， 【详解】在直三棱柱中以B为顶点，BA为x轴，在平面ABC内过点B作垂直于AB的直线为y轴，BB,为z轴建立 空间直角坐标系如图所示： ⊙ aw5a0a0c(-5号m4 Eo2).FI00z,c-票亭2) 22 B A AB=（-V2,0,2, 设异面直线AB与BC所成角为O, 则cos0=cos(AB,BC AB·BC 530 AB·BC 306 故选：A 6.B 【分析】根据已知条件先求出基本事件总数，利用列举法求出能使这三个数之和等于15包含的基本事件个数，再 利用古典概型即可求出概率 【详解】从5个阳数1,3,5,7,9中随机抽取3个数，基本事件总数为C=10种取法， 能使这三个数之和等于15的基本事件有：1,5,9}，{3,5,7}，共2种， ~能使得这三个数之和等于15的概率：P=2=1, l05: 故选：B. 7.D 【详解】解：根据题意，按方式①进行抽取，由于有放回依次抽取两球，抽球的总方法数为6×6=36， 其中标号之和大于4有：红2红3，红2绿3，红3红2，红3红3，红3绿2，红3绿3，绿2绿3，绿2红3， 绿3绿2，绿3红2，绿3红3，绿3绿3，共12种抽球方法， 121 则p1=36= 答案第2页，共11页 方式②进行抽取，由于不放回依次抽取两球，抽球的总方法数为6×5=30， 其中标号之和大于4有：红2红3，红2绿3，红3红2，红3绿2，红3绿3，绿2绿3，绿2红3，绿3绿2， 绿3红2，绿3红3，共10种抽球方法， 则=38-3 方式③进行抽取，由于按颜色等比例分层抽取两球.即红、绿各取一个，抽球的总方法数为3×3=9， 其中标号之和大于4有：红2绿3，红3绿2，红3绿3，共3种抽球方法， p,-号- 所以p1=p2=p3. 故选：D 8.D 【分析】设OO=OA+uOB,OO为平面PAB的法向量，由面面垂直的性质定理得OQ⊥AB,列式求出，u得解. 【详解】设Q为空间内一点，且O9=OA+uOB=(2-2μ，1+4,21)， 由于平面PAB⊥平面OAB,所以平面PAB的法向量垂直AB且平行平面OAB(或在平面OAB内部)， 故不妨取O0为其法向量，则OQ⊥AB,AB=(-3,0,-2), 所以00·AB=0→6l=71,取元=6，u=7代入00得到00=(-8,13,12)，故D正确. 故选：D 9.AC 【分析】A选项，利用空间向量模长的坐标计算出A正确；B选项，求出a=3b+2c,所以a,b,c共面，B错误； C选项，计算出ā.b=3-4+1=0,C正确：D选项，利用空间向量数量积运算法则得到D错误. 【详解】对于A,同=V+2+P=V6,故A项正确： 1=3m-4n 对于B,设a=b+nc,即2=-2m+4n,解得m=3,n=2, 1=m-n 即a=3b+2c,所以a,五，c共面，a,b,c}不能作为空间的一组基底，B错误： 对于C,a.b=3-4+1=0,所以a⊥b,故C项正确： 对于D,(a+b)c=(4,0,2)(-4,4,-1)=-18≠10，故D错误. 故选：AC. 10.ABD 【详解】解：对于A,,A二B,事件AB发生就相当于事件A发生， 答案第3页，共11页 ∴.P(AB)=P(A),故A正确： 对于B,A,B是互斥事件， .P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6, .P(A)=0.4,P(A=1-P(A=0.6,故B正确： 对于C,如抛掷一枚骰子，统计抛得的点数， 记事件C=2={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={1,3, 满足P(AUC)=P(BUC), :P(A=7>P(B)=3故C错误： 对于D,A=AB+AB,B=BA+BA,AB,AB互斥，BA,BA互斥， .P(A)=P(AB)+P(AB),P(B)=P(BA)+P(BA), .P(AB)=P(AB),∴P(A)=P(B),故D正确. 故选：ABD 11.ABD 【分析】根据向量的性质可判断A；利用空间向量坐标计算cos(ā，b),即可判断C错误；根据空间基底的性质及定 义，可判定B和D正确. 【详解】对于选项A,因为空间中任意两个向量都可以平移至起点重合，成为同一个平面的两个向量，故选项A正 确， 对于选项B,基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，故选项B正确， 好c外-前点t 故选项C不正确， 对于选项D,由{a,b,c是空间的一个基底，设c-a=xa+b,显然不存在实数x,y使得c-a=xa+b成立， 所以a,b,c-a一定不共面，则{a,b,c-a}也是空间的一个基底，故选项D正确， 故选：ABD. 12.(2,1,3) 【分析】根据空间向量的线性运算的坐标表示，可得答案。 【详解】由题意可得p=2a+3i+4c,设p=x(a+b)+y(6+e)+c=xa+(x+y)b+(y+)c, x=2 x=2 则x+y=3,解得y=1,所以坐标为(2,1,3) y+2=4 {s=3 故答案为：(2,1,3). 答案第4页，共11页