22.3实际问题与二次函数 利润问题 知识点梳理+专题练习+优化提高+历年真题训练 2025-2026学年人教版九年级上册

学生姓名		年级	初三	学科	数学
课题	实际问题与二次函数
教学目标	1、应用之利润问题 2、理解并运用二次函数一般式或顶点式求取最大、最小值 3、理解并运用利润公式，罗列函数解析式 4、理解并运用x取值范围，求取二次函数最值

知识网络：

 

 

 

 

 

实际问题与二次函数

利润问题

知识精讲：

 

 利用二次函数解决实际问题

利用二次函数解决实际问题，要学会建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、所对应的函数图象等相等关系，罗列二次函数关系式，再利用二次函数的图象及性质去研究问题。在研究实际问题时要注意自变量的取值范围以及其具有的实际意义。

利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

（1）建立适当的平面直角坐标系；

（2）把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；

（3）用待定系数法求出抛物线的关系式；

（4）利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题

 

要点诠释：

常见的问题：求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等。解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式。

 

利润

利润 = 售价 - 进价（或成本）

例如：小明以60元的价格购得一个书包，又以80元的价格售出

则获得的利润为80 - 60 = 20元.

总价 = 单价×数量

例如：一斤苹果5元，则6斤苹果的总价为5×6 = 30元.

 

问题定位

例1 题类： 已知二次函数解析式，求取最大值

童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系y = - (x - 25)² + 125，若要想获得最大利润，则销售单价x为（      ）

 

1. 25             B . 20             C. 30             D. 40

 

 

例2 题类：根据实际问题列函数关系式

2025年是农历乙已蛇年，商场为准备新的一年的商品，购进一批单价为70元的“迎新蛇”公仔，并以每个125元售出，此时每天可售出75个。市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个。如果设销售单价降低x元，每天所获销售利润y元，请列出y关于x的函数表达式                      .

 

 

例3 题类： 根据实际问题列函数关系式；二次函数：利润问题

将进货价为70元每件的某种商品按零售价100元每件出售时，每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内进行降价处理，每降价1元，其日销售量就增加1件。为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为              元，每日的销售量为             件，每日的利润y=                元，所以每件降价           元时，每日获得的利润最大为              元。