2..2.1有理数的乘法（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版七年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 2..2.1有理数的乘法（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 有理数的乘法法则 1.有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零； 2.(1)若同号,则; (2)若异号,则; 3.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定. (1)当负因数有奇数个时，积为负；(2)当负因数有偶数个时，积为正。 4.几个数相乘,如果其中有因数为0，积等于0。 要点诠释： 避免与加法法则混淆，如“同号取正”仅适用于两数相乘。 多数因数相乘时，优先处理0因数以简化计算 题型1有理数乘法法则辨析 例1．下列说法中正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．若两个数的和为正数，则这两个数一定都是正数 C．小数都可以改写成分数 D．任何数与0的乘积都等于0 【变式1-1】．下列说法中正确的是（   ） A．两数相乘，积比每一个因数都大 B．两数相乘，如果积为0，那么这两个因数异号 C．两数相乘，如果积为0，那么这两个因数中至少有一个为0 D．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数都为正数 【变式1-2】．若两个有理数的积为负数，则这两个有理数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．没有零 【变式1-3】．两数之和为负，积也为负，则这两个数是（    ） A．同为负数 B．同为正数 C．一正一负 D．无法确定 题型2利用有理数乘法法则辨别符号 例2．如果，那么（   ） A．一定为0 B．一定为0 C．、一定均为0 D．、中一定至少有一个为0 【变式2-1】．数轴上的两点所表示的数分别为a，b，且满足，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．如果，那么下列式子中一定正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．如果，，那么是（   ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 知识点2 有理数的乘法运算 有理数乘法的运算步骤: (1)先确定积的符号 ; (2)再确定积的绝对值; 要点诠释： 计算两个有理数相乘的一般思路： 1. 若有零因数，则积为0；2.若有小数或带分数的因数，一般先化为分数或假分数；3.计算时先确定积的符号，再求两个因数绝对值的积。 计算多个有理数相乘的一般思路 几个不为0的因数相乘，先看负因数的个数确定积的符号，再确定积的绝对值，如果其中有因数为0，则积为0。 题型3 有理数乘法运算 例3．计算：． 【变式3-1】．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．计算： (1)； (2)． 【变式3-3】．计算： (1)； (2)； (3)． 知识点3 倒数 乘积是1的两个数互为倒数。注：(倒数同正同负) 要点诠释： 用字母表示乘数时,“x”号可以写成“·”或省略, 如axb可以写成a.b或ab. 题型3 题型4求一个数的倒数 例4．与的关系是（    ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．乘积为 【变式4-1】．数轴上的点A，B所表示的数是互为倒数的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】．下列结论正确的是（   ） A．与互为相反数 B．的相反数是 C．与互为倒数 D．的相反数是 【变式4-3】．的相反数是 ，的相反数的倒数是 ，的绝对值是 题型5 有理数乘法运算律 例5．计算： （ ）（ ）（利用乘法交换律） （ ）（ ）（利用乘法结合律） （ ）（ ） ． 【变式5-1】．计算： ． 【变式5-2】．【乘法分配律】计算： ． 【变式5-3】．用乘法运算律简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型6有理数乘法的实际应用 例6．某粮库一周内进出粮食的记录如下（运进为正，运出为负，单位：吨）： (1)通过计算说明这一周粮库的粮食是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)若粮库原有粮食 1000 吨，则现在粮库有粮食多少吨？ (3)若每吨粮食的运费为 20 元，则这一周共需运费多少元？ 【变式6-1】．某食品厂计划每天生产500袋方便面，实际一周生产情况如下表（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（袋） (1)星期五生产方便面多少袋？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少袋？ (3)若每袋方便面的成本为2元，售价为3元，求这一周的利润（利润总售价总成本）． 【变式6-2】．某食堂购进10袋大米，每袋以20千克为标准，超过的部分记为正，不足的部分记为负，称重记录如表： 与标准重量的差（单位：千克） 0 2 3 袋数 2 3 1 3 1 (1)这10袋大米的总重量与标准总重量相比，多或少多少千克？ (2)若大米的单价是每千克5元，则食堂购进大米总共花多少钱？ 【变式6-3】．有20筐白菜、以每筐20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差 袋数 2 3 2 5 5 3 (1)20筐白菜中，最轻的一筐比最重的一筐少 千克． (2)每筐白菜的平均重量是多少？ (3)若白菜每千克售价4元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 题型7 利用有理数乘法运算律简便运算 例7．计算：． 【变式7-1】．计算与解释． 在用简便算法计算“”时，轩轩、露露和晨晨三人分别用了三种不同的简算方法（如下面方框所示）． (1)请思考轩轩的方法，分析他用了下面哪个运算定律，并将序号填在括号里．（　　） 轩轩： A．乘法分配律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 (2)请你思考露露和晨晨的方法，根据他们第2步的计算结果，推理出两人第1步的想法，并补充完整． 露露： =_ 晨晨： =（_÷_）×（_×_） 露露： 晨晨： 【变式7-2】．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-3】．运用运算律简便计算． (1)； (2)． 题型8 有理数乘法运算中的新定义 例8．定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值． (2)请你定义一种新运算“”，使其中含有乘法运算，且． 【变式8-1】．在学习完《有理数》后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．（a、b不相等） (1) ； (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 【变式8-2】．若定义一种新运算“*”，规定：有理数，如：． (1)求的值． (2)求的值． 【变式8-3】．若定义一种新的运算“⊙”，规定有理数，如．求： (1)的值． (2)的值． 题型9有理数乘法运算中的规律问题 例9．【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【变式9-1】．观察下列等式．第一个等式：；第二个等式：；第三等式：；第四个等式：；……；按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第五个等式：________； (2)简便计算：． 【变式9-2】．有一列数，第一个数用表示，第二个数用表示，…，第n个数用表示，n为正整数；已知 ， ， ， ，……． (1)利用以上运算的规律，直接写出=　 ，= ，=　 　； (2)计算：…的值． 【变式9-3】．先观察：，… (1)根据上面算式请写出 ： 探究规律填空：_______×_______； (2)计算： 例10．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【变式10-1】．阅读下列材料： ， ， ， 读完以上材料，请你完成下列问题： (1)根据以上材料，第四个等式是：_______， 第个等式是：_______； (2)计算：；（用含的式子表示） (3)计算：． 【变式10-2】．我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决． (1)计算： (2)由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算过程 解：原式的倒数为： ． 故原式 请你根据对小明的方法的理解，计算 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．的倒数是（   ） A． B．2025 C． D． 2．这里没有用到的运算律是（   ） A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．乘法分配律 D．不确定 3．下列各式运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知五个有理数中至少有一个是正数，若这五个有理数的积是负数，那么这五个数中，负数的个数是（    ） A．1 B．1或3 C．2或4 D．5 5．下面的式子中应用了乘法结合律的是（   ） A． B． C． D． 6．在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 7．如果，那么（ ） A． B． C． D．无法确定 8．已知．若a为负数，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．与a的取值有关 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．计算： ． 10．如果，那么 11．若定义一种新的运算：，请利用此定义计算： ． 12．若，互为倒数，则 ；若没有倒数，的倒数是它本身，则 ． 13．如果规定符号“☆”为选择两数中的较大数，“△”为选择两数中的较小数，例如：，，那么 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．计算： (1)． (2)． 15．写出，，，，的倒数． 16．简便运算： (1)； (2)． 17．已知a，b为有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求值； (2)求的值． 18．阅读与思考 下面是小雨同学一篇数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 利用运算律解释“负负得正”今天上课时，我知道了：两个非零有理数相乘，可以分为“正数正数”“负数正数”“正数负数”与“负数负数”四种类型．对于前三种乘法法则的探索过程，我都理解，但是对于“负负得正”的结论，仍然存在疑问．通过重新梳理探索的过程，我理解了“负负得正”的道理，进一步体会到运算律在探索法则中的作用． 探索1：对于“正数正数”和“负数正数”，可根据乘法与加法的关系进行． 例如：；① ．② 探索2：对于“正数负数”，可以转化为“负数正数”得出结论． 例如： （依据1：________） ． 即．③ 综合①与②，①与③的关系可以发现：两个正有理数相乘，如果其中一个因数不变，另一个因数变为其相反数时，乘积也与原来的积互为相反数．【结论】 例如：，而与的结果都是-30，也符合上述结论． 探索3：对于“负数负数”，受“探索2”中所得结论的启发，我的思考如下： 以为例，猜想的积与的积也互为相反数． 对于这一猜想，我分析如下： （依据2：________） ． 所以，，即的积与的积互为相反数．因为，所以，即两个负数的乘积是一个正数． …… 任务： (1)写出上述探索过程中的两个依据：依据1：________；依据2：________； (2)仿照“探索3”的思路，说明“”． 19．综合与实践 玉露香梨为山西特产水果，地理标志农产品．新农人小李利用网络收售玉露香梨，推广家乡农产品，为乡村振兴做出贡献．某一天保鲜基地进出香梨的数量（运进基地用正数记录，运出基地用负数记录）统计如下： 进出香梨数量/吨 4 2 3 进出次数 3 1 3 2 2 表中一处统计数据因破损而无法识别，破损数据为进出香梨数量最大值的相反数． (1)破损数据为 ． (2)若进货较多，则第二天应拓宽销路；若出货较多，则第二天应拓宽进货渠道．根据该天进出香梨的数量统计，通过计算说明小李第二天是应拓宽销路还是进货渠道． (3)若每吨香梨运进的费用为200元，运出为100元，求这天运送香梨的总费用． 20．【问题背景】 七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本第69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？” 【解决方法】小薇同学采用“配对法”，将这12个数分成6组：，，，，，，通过添加正负号让其中三组中各数的和都为1，另外三组中各数的和都为； 小娟同学采用“奇偶法”，将这12个数按奇偶性分成两组：，，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再使所有的偶数的和也为0，这样就可以使这12个数的和为0了； （1）小薇、小娟两位同学的办法中______办法是可行的． 【变式探究】 （2）在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果，如果不能，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在1，2，3，4，…，2006，2007共2007个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为2024，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果，如果不能，请说明理由． B 抓核心 三大题型提升练 C 促拓展 能力强化拓展练 达标检测 A 夯基础 六大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 2..2.1有理数的乘法（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 有理数的乘法法则 1.有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零； 2.(1)若同号,则; (2)若异号,则; 3.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定. (1)当负因数有奇数个时，积为负；(2)当负因数有偶数个时，积为正。 4.几个数相乘,如果其中有因数为0，积等于0。 要点诠释： 避免与加法法则混淆，如“同号取正”仅适用于两数相乘。 多数因数相乘时，优先处理0因数以简化计算 题型1有理数乘法法则辨析 例1．下列说法中正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．若两个数的和为正数，则这两个数一定都是正数 C．小数都可以改写成分数 D．任何数与0的乘积都等于0 【答案】D 【知识点】有理数的分类、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的分类、有理数的加法、有理数的乘法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据有理数的分类、有理数的加法、有理数的乘法，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、一个数不是正数就是负数或0，故此选项说法错误，不符合题意； B、若两个数的和为正数，则这两个数不一定都是正数，故此选项说法错误，不符合题意； C、无限不循环小数不可以改写成分数，故此选项说法错误，不符合题意； D、任何数与0的乘积都等于0，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】．下列说法中正确的是（   ） A．两数相乘，积比每一个因数都大 B．两数相乘，如果积为0，那么这两个因数异号 C．两数相乘，如果积为0，那么这两个因数中至少有一个为0 D．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数都为正数 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数乘法的符号法则．掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0．根据有理数的乘法法则依次判定即可解答. 【详解】解：A．一个数与0相乘或者异号两数相乘时，积不一定大于每一个因数，故选项A错误； B．两个因数异号，则积为负数，两数相乘得0，则两个因数可能有一个为0，也可能两个同时为0，故选项B错误； C．两数相乘得0，则两个因数可能有一个为0，也可能两个同时为0，故选项C正确； D．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数一个为正数，另一个为负数，故选项D错误． 故选：C． 【变式1-2】．若两个有理数的积为负数，则这两个有理数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．没有零 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，异号相乘，积为负，即可得出结果． 【详解】解：若两个有理数的积为负数，则这两个有理数一正一负； 故选：C． 【变式1-3】．两数之和为负，积也为负，则这两个数是（    ） A．同为负数 B．同为正数 C．一正一负 D．无法确定 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数加法和乘法运算法则，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则；在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”；“两个有理数相乘，同号得正，异号得负，任何数与零相乘都等于零”．根据有理数的乘法法则进行判断即可． 【详解】解：因为两数的积为负，所以这两个数一定异号，即这两个数一正一负，故C正确． 故选：C． 题型2利用有理数乘法法则辨别符号 例2．如果，那么（   ） A．一定为0 B．一定为0 C．、一定均为0 D．、中一定至少有一个为0 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了两个数的乘法运算，根据“0的特性：0乘任何数都等于0”进行判断即可． 【详解】解：如果，那么a、b中至少有一个为0． 故选：D． 【变式2-1】．数轴上的两点所表示的数分别为a，b，且满足，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法、有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则、有理数的加法法则进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴a，b同号， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2-2】．如果，那么下列式子中一定正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的概念；熟练掌握有理数的相反数的性质是解题的关键．由已知可知、互为相反数．据此即可判断选项是否正确． 【详解】解：∵， ∴、互为相反数， ∴，， 故选：B． 【变式2-3】．如果，，那么是（   ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 【答案】B 【知识点】正负数的定义、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，由题意可得、同号，、异号，从而得出、异号，即可得解，熟练掌握有理数的乘法法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴、同号，、异号， ∴、异号， ∴， 故选：B． 知识点2 有理数的乘法运算 有理数乘法的运算步骤: (1)先确定积的符号 ; (2)再确定积的绝对值; 要点诠释： 计算两个有理数相乘的一般思路： 1. 若有零因数，则积为0；2.若有小数或带分数的因数，一般先化为分数或假分数；3.计算时先确定积的符号，再求两个因数绝对值的积。 计算多个有理数相乘的一般思路 几个不为0的因数相乘，先看负因数的个数确定积的符号，再确定积的绝对值，如果其中有因数为0，则积为0。 题型3 有理数乘法运算 例3．计算：． 【答案】4 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，掌握算理是解决问题的关键．先确定结果的符号，再把绝对值相乘即可． 【详解】解：原式． 【变式3-1】．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题分别对每个选项进行有理数乘法运算，根据运算结果判断该选项是否正确即可．本题主要考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数乘法法则（两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；多个有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负，当负因数的个数为偶数时，积为正，再把绝对值相乘）是解题的关键． 【详解】解： ，故选项A运算正确，不符合题意． ，故选项B运算错误，符合题意． ，故选项C运算正确，不符合题意． ，故选项D运算正确，不符合题意． 故选：B． 【变式3-2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)80 (2)0 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可得； （2）几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0，由此即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 【变式3-3】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)11 (2) (3)0 【知识点】有理数加法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法，再计算加法； （2）根据有理数乘法运算法则计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 知识点3 倒数 乘积是1的两个数互为倒数。注：(倒数同正同负) 要点诠释： 用字母表示乘数时,“x”号可以写成“·”或省略, 如axb可以写成a.b或ab. 题型3 题型4求一个数的倒数 例4．与的关系是（    ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．乘积为 【答案】C 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查了倒数的知识，理解倒数的定义是解题关键．乘积为1的两数互为倒数，据此即可获得答案． 【详解】解：因为， 所以，与的关系是互为倒数． 故选：C． 【变式4-1】．数轴上的点A，B所表示的数是互为倒数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数、倒数 【分析】本题考查了数轴、倒数，关键是计算出数轴上A，B所表示的数的乘积的取值情况．乘积是1的两数互为倒数，依此即可求解． 【详解】A项：点A，B所表示的数的乘积可以是1，故可以是一对倒数，符合题意； B项：点A，B所表示的数的乘积是负数，故不可以是一对倒数，不符合题意； C项：点A，B所表示的数的乘积小于1，故不可以是一对倒数，不符合题意； D项：点A，B所表示的数的乘积大于1，故不可以是一对倒数，不符合题意； 故选：A． 【变式4-2】．下列结论正确的是（   ） A．与互为相反数 B．的相反数是 C．与互为倒数 D．的相反数是 【答案】D 【知识点】相反数的定义、倒数 【分析】本题考查相反数，倒数． 根据相反数和倒数的概念，逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：A．，原结论错误，不符合题意； B．的相反数是，原结论错误，不符合题意； C．与互为倒数，原结论错误，不符合题意； D．的相反数是，原结论正确，符合题意． 故选：D ． 【变式4-3】．的相反数是 ，的相反数的倒数是 ，的绝对值是 【答案】 【知识点】相反数的定义、化简多重符号、求一个数的绝对值、倒数 【分析】本题考查的是相反数，倒数，绝对值的含义，化简多重符号，根据相反数，倒数，绝对值的含义分别求解即可． 【详解】解：的相反数是，的相反数的倒数是， ∵， ∴的绝对值是． 故答案为：，， 题型5 有理数乘法运算律 例5．计算： （ ）（ ）（利用乘法交换律） （ ）（ ）（利用乘法结合律） （ ）（ ） ． 【答案】 8 【知识点】有理数乘法运算律、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用乘法交换律进行交换，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：；；；；；8； 【变式5-1】．计算： ． 【答案】0 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则. 利用乘法分配律简便运算. 【详解】 解：原式 故答案为：0． 【变式5-2】．【乘法分配律】计算： ． 【答案】1 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数乘法运算律，利用乘法分配律进行简便计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：1． 【变式5-3】．用乘法运算律简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3500 (2)12 (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查有理数的运算，关键是使用运算律可使运算简便． （1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的分配律计算； （3）利用乘法的交换律计算即可； （4）逆用乘法的分配律计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型6有理数乘法的实际应用 例6．某粮库一周内进出粮食的记录如下（运进为正，运出为负，单位：吨）： (1)通过计算说明这一周粮库的粮食是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)若粮库原有粮食 1000 吨，则现在粮库有粮食多少吨？ (3)若每吨粮食的运费为 20 元，则这一周共需运费多少元？ 【答案】(1)这一周粮库的粮食增多了，增多了吨 (2)现在粮库有粮食 1010 吨 (3)这一周共需运费 3000 元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查正负号的应用，有理数加法运算的实际应用，理解正负号表示的意义是解题的关键． （1）将记录数据相加即可； （2）原有粮食数量，结合（1）中结论，即可求解； （3）记录数据的绝对值相加，乘以单位重量运费，即可求解． 【详解】（1）解： （吨） 答：这一周粮库的粮食增多了，增多了10吨． （2）解：（吨） 答：现在粮库有粮食1010吨． （3）解： （吨）， （元） 答：这一周共需运费 3000 元． 【变式6-1】．某食品厂计划每天生产500袋方便面，实际一周生产情况如下表（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（袋） (1)星期五生产方便面多少袋？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少袋？ (3)若每袋方便面的成本为2元，售价为3元，求这一周的利润（利润总售价总成本）． 【答案】(1)星期五生产490袋 (2)多生产30袋 (3)3518元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，根据正数和负数的实际意义列得正确的算式是解题的关键． （1）结合表格数据，根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）由表格中数据求得最高产量及最低产量，然后作差即可； （3）计算出这周生产的方便面总量，按照利润总售价总成本即可． 【详解】（1）解：计划每天生产500袋，星期五减产10袋， 所以星期五生产（袋）. （2）解：产量最多的是星期六，超产20袋，产量为（袋）； 产量最少的是星期五，减产10袋，产量为490袋， 多生产（袋）. （3）解：一周总增减量：（袋）， 总生产量：（袋）， 利润：（元）． 【变式6-2】．某食堂购进10袋大米，每袋以20千克为标准，超过的部分记为正，不足的部分记为负，称重记录如表： 与标准重量的差（单位：千克） 0 2 3 袋数 2 3 1 3 1 (1)这10袋大米的总重量与标准总重量相比，多或少多少千克？ (2)若大米的单价是每千克5元，则食堂购进大米总共花多少钱？ 【答案】(1)多2千克 (2)1010元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】此题考查有理数的混合运算以及正数和负数，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）求出偏差的和，依据和的正负判断即可； （2）根据10袋大米的总重量乘上单价，即可得到总费用． 【详解】（1）解：（千克）， 答：这10袋大米的总重量与标准总重量相比，多2千克； （2）这10袋大米的总重量是：（千克）， （元）， 答：食堂购进大米总共花1010元． 【变式6-3】．有20筐白菜、以每筐20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差 袋数 2 3 2 5 5 3 (1)20筐白菜中，最轻的一筐比最重的一筐少 千克． (2)每筐白菜的平均重量是多少？ (3)若白菜每千克售价4元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1) (2)千克 (3)元 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】此题考查了有理数混合运算的实际应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据最大数减去最小数，可得最重的一筐比最轻的一筐要重多少千克； （2）根据题意把20筐白菜的重量与标准质量的差加起来求出平均偏差，再加上标准重即可求解； （3）根据（2）中数据求出的20筐白菜的总重量乘以每千克的售价求解即可． 【详解】（1）解：（千克）， 最重的一筐比最轻的一筐要重千克； （2）解： 每筐白菜的平均重量（千克） 每筐白菜的平均重量是千克； （3）解：（元）， 答：出售这20筐白菜可卖元． 题型7 利用有理数乘法运算律简便运算 例7．计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键，利用乘法分配律和乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答． 【详解】解：． ． 【变式7-1】．计算与解释． 在用简便算法计算“”时，轩轩、露露和晨晨三人分别用了三种不同的简算方法（如下面方框所示）． (1)请思考轩轩的方法，分析他用了下面哪个运算定律，并将序号填在括号里．（　　） 轩轩： A．乘法分配律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 (2)请你思考露露和晨晨的方法，根据他们第2步的计算结果，推理出两人第1步的想法，并补充完整． 露露： =_ 晨晨： =（_÷_）×（_×_） 露露： 晨晨： 【答案】(1)A (2)；8.8；8；12.5；8 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了数的简便运算． （1）轩轩的方法是把分解成，然后8和分别与相乘，再把相乘的积相加，这符合乘法分配律； （2）露露的方法是把分解成，然后根据乘法交换律，把和的位置进行交换；晨晨的方法是根据积不变的规律，一个因数乘几（0除外），另一个因数除以相同的数，积不变进行求解，为了计算简便把除以8，乘8即可． 【详解】（1）解：由计算过程可知轩轩是使用了乘法分配律进行简便运算； 故选：A； （2）解：补充如下： 露露： 晨晨： 故答案为：；；；；8． 【变式7-2】．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的简便运算，解题的关键是灵活运用乘法分配律、加法交换律与结合律、乘法交换律与结合律，以及拆分带分数简化计算． （1）利用乘法分配律，将括号内各项分别与相乘再求和； （2）将带分数拆分为整数与分数的和，再用乘法分配律计算； （3）拆分带分数为整数和分数部分，分别对整数和分数运用加法交换律与结合律凑整计算； （4）运用乘法交换律与结合律，将便于计算的数结合相乘． 【详解】（1）原式； （2）原式． （3）原式 ． （4）解：原式； 【变式7-3】．运用运算律简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律 【分析】此题考查了有理数的加减法和乘法运算，利用乘法分配律进行计算是关键． （1）根据有理数的加减运算，进行计算即可求解； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8 有理数乘法运算中的新定义 例8．定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值． (2)请你定义一种新运算“”，使其中含有乘法运算，且． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是理解新运算，熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据新定义运算进而代入求出即可． （2）根据题意确定出所求新运算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ． （2）解：示例：定义新运算， 则． 【变式8-1】．在学习完《有理数》后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．（a、b不相等） (1) ； (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 【答案】(1)0 (2) (3)不满足，理由见解析 【知识点】有理数加法运算、有理数乘法运算律、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了新定义下的有理数的乘法、加法运算，乘法运算律．理解运算的运算法则是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2），根据，计算求解即可； （3）由，，，判断作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：0； （2）解：由题意知，， ∴， ∴的值为； （3）解：不满足，理由如下； ， ， ∵， ∴新定义的运算“⊕”不满足交换律． 【变式8-2】．若定义一种新运算“*”，规定：有理数，如：． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，掌握新定义的运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算法则结合有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则结合有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 【变式8-3】．若定义一种新的运算“⊙”，规定有理数，如．求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】多个有理数的乘法运算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，根据题目定义的新运算转化为有理数运算是解题的关键. （1）根据，把转化为常规运算计算即可； （2）根据，先算，再算即可. 【详解】（1）解： （2）解： 题型9有理数乘法运算中的规律问题 例9．【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【答案】（1）  （2）   （3） 【知识点】有理数的加减混合运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据题干所给方法求解即可； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）根据（1）中所给结论可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ； （3）解： ． 【变式9-1】．观察下列等式．第一个等式：；第二个等式：；第三等式：；第四个等式：；……；按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第五个等式：________； (2)简便计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】多个有理数的乘法运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及规律型—数字的变化类，解题的关键是探索出式子的一般规律，第n个式子为：； （1）根据题意，找出规律，即可， （2）根据所找出的规律，进行化简求值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 【变式9-2】．有一列数，第一个数用表示，第二个数用表示，…，第n个数用表示，n为正整数；已知 ， ， ， ，……． (1)利用以上运算的规律，直接写出=　 ，= ，=　 　； (2)计算：…的值． 【答案】(1)，，； (2)66． 【知识点】多个有理数的乘法运算、数字类规律探索 【分析】（1）观察可得第个式子等于，据此即可求解； （2）根据规律得出， ， ， ，……，，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ，……． ∴，， 故答案为：，，； （2）∵， ， ， ，……， ∴… ． 【点睛】本题考查了有理数的运算规律问题，解题关键是根据题意发现规律，利用规律进行求解计算． 【变式9-3】．先观察：，… (1)根据上面算式请写出 ： 探究规律填空：_______×_______； (2)计算： 【答案】(1)， (2) 【知识点】多个有理数的乘法运算、用代数式表示数、图形的规律 【分析】（1）观察三个等式的分子分母的规律即可得； （2）利用（1）的规律将每个括号化简，再计算有理数的乘法即可得． 【详解】（1）解：观察可知，， ， ， 归纳类推得：， 故答案为：，． （2）解： ． 【点睛】本题考查了数字类规律探索、有理数的乘法，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 例10．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45 (2)1574元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：，解答即可． （2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 【变式10-1】．阅读下列材料： ， ， ， 读完以上材料，请你完成下列问题： (1)根据以上材料，第四个等式是：_______， 第个等式是：_______； (2)计算：；（用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3)29070 【知识点】有理数乘法运算律、数字类规律探索 【分析】（1）根据题中规律即可写出； （2）根据（1）中得到规律进行计算即可； （3）根据（1）中规律进行拓展并计算即可 【详解】（1）， ； （2）解：原式 （3）解：原式 ， 【点睛】本题主要考查有理数乘法运算律的应用、数字类规律的应用，正确理解题中规律是解题的关键． 【变式10-2】．我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决． (1)计算： (2)由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算过程 解：原式的倒数为： ． 故原式 请你根据对小明的方法的理解，计算 【答案】(1)5 (2) 【知识点】倒数、有理数乘法运算律 【分析】（1）直接利用乘法对加法的分配律计算即可； （2）先计算的倒数，把除法化为乘法，利用乘法分配律计算，最后把计算的结果求倒数即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式的倒数为： ， 故原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的灵活运用是解题的关键． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．的倒数是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】D 【知识点】倒数 【分析】本题考查的是倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义求解即可. 【详解】解：的倒数是， 故选：D 2．这里没有用到的运算律是（   ） A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．乘法分配律 D．不确定 【答案】C 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了整数乘法运算定律推广到分数乘法、分数的连乘运算、分数乘分数，解题的关键是掌握乘法运算律． 乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，积不变； 乘法结合律是指三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，也可以先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，结果不变，由此进行解答即可． 【详解】解：，是把和交换位置，再把和相结合，运用了乘法交换律和结合律，这里没有用到的运算律是乘法分配律． 故答案为：C． 3．下列各式运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 4．已知五个有理数中至少有一个是正数，若这五个有理数的积是负数，那么这五个数中，负数的个数是（    ） A．1 B．1或3 C．2或4 D．5 【答案】B 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数的个数为奇数，积为负；当负因数的个数为偶数，积为正．根据有理数的乘法运算法则判断即可 【详解】解：∵其中至少有一个正数的5个有理数的积是负数， ∴这五个因数中负因数的个数肯定为奇数，即1或3个． 故选：B． 5．下面的式子中应用了乘法结合律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】此题考查的目的是理解掌握乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的意义及应用， 根据乘法交换律的意义，，乘法分配律的意义，，乘法结合律的意义，，据此解答即可． 【详解】解：A、，应用的是乘法交换律，故本选项不符合题意； B、，应用的是减法运算律，故本选项不符合题意； C、，应用的是乘法分配律，故本选项不符合题意； D、，应用的是乘法结合律，故本选项符合题意； 故选：D． 6．在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数混合运算和乘法分配律的应用，解题的关键是准确识别并运用乘法分配律对式子进行变形． 根据乘法分配律直接计算即可． 【详解】解： ； 故选：A． 7．如果，那么（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】有理数大小比较、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，设，，得出，，根据，即可得出． 【详解】解：设，， 则， ， 因为，所以， 所以． 故选：B． 8．已知．若a为负数，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．与a的取值有关 【答案】A 【知识点】有理数的减法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】根据几个非零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为偶数个时，积为正；当负因数的个数为奇数个时，积为负，判断出、的符号，再根据有理数的减法法则判断符号即可． 【详解】解：，为负数， ， ， ， ， 故选：A. 【点睛】本题考查了有理数的乘法、减法，熟练掌握有理数的乘法及减法法则是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．计算： ． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 10．如果，那么 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了新定义下的有理数的混合运算，解决本题的关键是理解已知信息． 根据已知信息的计算规则，列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： ． 11．若定义一种新的运算：，请利用此定义计算： ． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查的是有理数的乘法运算法则，属于基础题型．明确新运算的计算法则是解决这个问题的关键．根据新运算的运算法则首先求出的值，然后再计算后面的值，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴原式． 故答案为： 12．若，互为倒数，则 ；若没有倒数，的倒数是它本身，则 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，解题的关键是理解乘积为的两个数互为倒数，没有倒数． 【详解】解：若，互为倒数，则， 所以； 若没有倒数，的倒数是它本身， 则，或， 所以或， 故答案为：，． 13．如果规定符号“☆”为选择两数中的较大数，“△”为选择两数中的较小数，例如：，，那么 ． 【答案】48 【知识点】有理数大小比较、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的大小比较和乘法运算，根据符号“☆”为选择两数中的较大数，“△”为选择两数中的较小数计算即可； 【详解】解：由题意． 故答案为：48． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数乘法运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数乘法运算法则. （1）先确定符号，根据负负得正，结果为正，再将小数化成分数，从左向右依次计算. （2）先确定符号，三个负号，所以结果为负，再从左向右依次运算. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 15．写出，，，，的倒数． 【答案】 ，，，， 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握“乘积为的两个数互为倒数”是解题的关键. 【详解】解： 的倒数为， 的倒数为， 的倒数为， 的倒数为， ∴的倒数为； 故答案为：． 16．简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律， （1）先根据乘法分配律去括号，然后计算乘法，最后计算加法即可得到答案； （2）将变形为，再利用乘法分配律进行简便计算即可得答案. 【详解】（1）解： ． （2） 17．已知a，b为有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是根据题意把新定义题目转化为常规有理数的计算． （1）根据题目中的新运算，可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的新运算，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 18．阅读与思考 下面是小雨同学一篇数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 利用运算律解释“负负得正”今天上课时，我知道了：两个非零有理数相乘，可以分为“正数正数”“负数正数”“正数负数”与“负数负数”四种类型．对于前三种乘法法则的探索过程，我都理解，但是对于“负负得正”的结论，仍然存在疑问．通过重新梳理探索的过程，我理解了“负负得正”的道理，进一步体会到运算律在探索法则中的作用． 探索1：对于“正数正数”和“负数正数”，可根据乘法与加法的关系进行． 例如：；① ．② 探索2：对于“正数负数”，可以转化为“负数正数”得出结论． 例如： （依据1：________） ． 即．③ 综合①与②，①与③的关系可以发现：两个正有理数相乘，如果其中一个因数不变，另一个因数变为其相反数时，乘积也与原来的积互为相反数．【结论】 例如：，而与的结果都是-30，也符合上述结论． 探索3：对于“负数负数”，受“探索2”中所得结论的启发，我的思考如下： 以为例，猜想的积与的积也互为相反数． 对于这一猜想，我分析如下： （依据2：________） ． 所以，，即的积与的积互为相反数．因为，所以，即两个负数的乘积是一个正数． …… 任务： (1)写出上述探索过程中的两个依据：依据1：________；依据2：________； (2)仿照“探索3”的思路，说明“”． 【答案】(1)乘法交换律，乘法分配律 (2)见详解 【知识点】有理数乘法运算律、两个有理数的乘法运算 【分析】（1）根据解答过程可知依据1是运用了乘法交换律，依据2 是运用了乘法结合律． （2）仿照“探索3”的思路，解答即可． 本题主要考查了运用运算律解释“负负得正”，理解阅读内容是解题的关键． 【详解】（1）解： （依据1：乘法交换律） ． （依据2：乘法分配律） ． 故答案为：乘法交换律，乘法分配律． （2）解： （乘法分配律） ． 所以，， 即的积与的积互为相反数． 因为， 所以． 19．综合与实践 玉露香梨为山西特产水果，地理标志农产品．新农人小李利用网络收售玉露香梨，推广家乡农产品，为乡村振兴做出贡献．某一天保鲜基地进出香梨的数量（运进基地用正数记录，运出基地用负数记录）统计如下： 进出香梨数量/吨 4 2 3 进出次数 3 1 3 2 2 表中一处统计数据因破损而无法识别，破损数据为进出香梨数量最大值的相反数． (1)破损数据为 ． (2)若进货较多，则第二天应拓宽销路；若出货较多，则第二天应拓宽进货渠道．根据该天进出香梨的数量统计，通过计算说明小李第二天是应拓宽销路还是进货渠道． (3)若每吨香梨运进的费用为200元，运出为100元，求这天运送香梨的总费用． 【答案】(1) (2)应拓宽进货渠道 (3)4300元 【知识点】正负数的实际应用、相反数的定义、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用、相反数、有理数乘法的应用，理解题意是解题的关键． （1）由表格可得，进出香梨数量最大值为4，再根据相反数的定义即可求解； （2）分别求出运进香梨数量和运出香梨数量，比较二者的大小即可得出结论； （3）分别求出运进香梨数量的总费用，运出香梨数量的总费用，再将两者相加即可解答． 【详解】（1）解：由表格可得，进出香梨数量最大值为4， ∵破损数据为进出香梨数量最大值的相反数， ∴破损数据为， 故答案为：； （2）解：运进香梨数量为（吨）， 运出香梨数量为（吨）， ∵， ∴出货较多， ∴第二天应拓宽进货渠道； （3）解：（元）， 答：这天运送香梨的总费用为4300元． 20．【问题背景】 七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本第69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？” 【解决方法】小薇同学采用“配对法”，将这12个数分成6组：，，，，，，通过添加正负号让其中三组中各数的和都为1，另外三组中各数的和都为； 小娟同学采用“奇偶法”，将这12个数按奇偶性分成两组：，，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再使所有的偶数的和也为0，这样就可以使这12个数的和为0了； （1）小薇、小娟两位同学的办法中______办法是可行的． 【变式探究】 （2）在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果，如果不能，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在1，2，3，4，…，2006，2007共2007个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为2024，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）小微的方法可行，小娟的方法不可行，理由见解析；（2）能，理由见解析；（2）能，理由见解析 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据小薇的方法，适当添加正负号，即可解答；根据几个偶数的和不可能等于奇数，即可判断小娟的方法． （2）仿照小微的方法，适当添加正负号，即可解答； （3）将1，2，3，4，…，2026分为1013组，分别为……，，，使其中503组结果为，剩下510组结果为1，即可解得． 【详解】解：（1）小薇：， ∴小微的方法可行， 小娟：∵， ∴要是6个偶数和为0，则要使其中一部分偶数和为21， ∵偶数的和仍为偶数， ∴小娟的方法不可行； （2）将这12个数分成6组：，，，，，，通过添加正负号让其中五组中各数的和都为1，另外一组中各数的和都为， 即； （3）在1，2，3，4，…，2026，2027共个， ∴将1，2，3，4，…，2026分为1013组，分别为……，，， 使其中508组结果为，剩下505组结果为1， ∴这2026个数的和为， ∴则这2027个数的和为． B 抓核心 三大题型提升练 A 夯基础 六大题型提分练 C 促拓展 能力强化拓展练 达标检测 学科网（北京）股份有限公司 $