轨迹方程问题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学专项练习：轨迹方程问题

一、轨迹与轨迹方程

1、轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了.

(1)求轨迹方程的实质是将形”转化为数”,将曲线“转化为方程”,通过对方程的研究来认识曲线的性质；

(2)求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想.

2、解轨迹问题注意：

(1)求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.

(2)要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.

3.求曲线方程的一般步骤：

求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.

 

[类型突破]

题型一：直译法

如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的建义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x,y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

 

1.己知A,B两点的坐标分别是(-1,0), (1,0),直线AM, BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么?为什么?

 

2.M是一个动点，MA与直线y=x垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线y=－x垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB(O为原点)的面积为3,求动点M的轨迹方程.

3.已知圆心在y轴上移动的圆经过点A(0,5),且与x轴、y轴分别交于B(x,0), C(0,y)两个动点，求点M(x,y)的轨迹方程.

 

4.已知A,B两点的坐标分别是(-1,0), (1,0), 直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2, 求点M的轨迹方程.

 

5.设A,B的坐标分别为(-5,0), (5,0).直线AM, BM交于点M, 且它们的斜率之积为,则点M的轨迹方程为        .

 

6.已知A,B两点的坐标分别是(-6,0), (6,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是.求点M的轨迹方程.

 

7.已知A,B两点的坐标分别是(-1,0), (1,0). 直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之和是2, 求点M的轨迹方程.

 

题型二：定义法

如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

 

8.(多选)已知圆C1:(x+3)²+y²=1, C2:(x-3)²+y²=81,动圆C与C₁, C₂都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为(     )

 A.       B.      C.      D.

 

9.动圆M过点A(2,0),且与圆C: x²+y²+4x+3=0外切，则动圆圆心M的轨迹方程是       .

10.点M(x,y)与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2, 求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

 

11.一动圆与圆x²+y²+6x+5=0外切，同时与圆x²+y²－6x－91=0内切；求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?

 

题型三：相关点法

如果动点P的运动是由另外某一点P′的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该点坐标满足某已知曲线方程),则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点P′的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

 

12.在圆x²+y²=9的上任取一点P, 过P作x轴的垂线段PD,垂足为D,并延长DP至M,使得,则点M的轨迹方程是(    )

 A.       B.      C.      D.

 

13.已知圆C:x²+y²=4.

(1)直线l过点P(1,3)且与圆C交于A、B两点，若|AB|=,求直线1的方程；

(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m,设m与y轴的交点为N,若向量，求动点Q的轨迹方程.

 

 

 

 

 

题型四：参数法

如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的为参变数，分别建立P点坐标x,y与该参数t的函数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)=0.