21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 讲义 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

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1、公式默写

平方差公式：       完全平方公式：

 

2、已知实数m、n满足（m2+2n2﹣2）（m2+2n2+3）＝6，则m2+2n2的值为（　　）

A．﹣4 B．3 C．4 D．3或﹣4

 

3、当m为何值时，关于x的方程为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解

 

 

 

 

4、已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，求k的值及另一个根．

 

 

 

 

5、已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．

（Ⅰ）当m＝0时，求方程的实数根．

（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

 

 

 

 

6、用合适的方法解方程

（1）x2﹣6x+1＝0       （2）x2+3x﹣5＝0   

 

 

 

（3）x（3x﹣2）＝2x2+48     （4）

 

 

模块一：方程的根

一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．

 

【基础练】已知x＝﹣1是一元二次方程（m﹣1）x2+m2x+1＝0的一个根．求m的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式．

 

 

 

 

 

【例1】已知x＝a是一元二次方程x2﹣2025x﹣3＝0的一个根，求的值．

 

 

 

 

 

【练1】已知a是方程x2﹣2025x+1＝0的一个根，求a2﹣2024a的值．

 

 

 

 

 

【例2】已知m为方程x2+3x﹣2025＝0的根，求m3+2m2﹣2028m+2025的值．

 

 

 

 

 

 

【练2】已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．