精品解析：河北省 石家庄第二十八中学2025-2026学年九年级上学期开学考数学试卷

九年级上学期开学第一练试卷 亲爱的同学们，本次阶段练习旨在检测暑假学习成果，找准新学期起点，以清醒饱满的状态开启新学期的征程．在此提醒同学们将答案填涂或写在答题卡对应题号处，答在试卷上无效．题同学们平心静气，从审题开始，勾画关键词，准确提取信息，并科学规范作答，合理使用草稿纸，把会做的题目一次性做对，做到零失误，发挥出自己应有的水平就是成功！ 一、选择题 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出方程根的判别式，再根据其符号判断根的情况． 【详解】解：， ，，， ， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 2. 古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可得出答案，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵，支撑点是靠近点的一个黄金分割点， ∴， 故选：C． 3. 某科技公司计划用两年时间使年生产总值增加到目前的4倍，并且使第二年的增长率是第一年增长率的2倍，设第一年的增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由增长率间的关系，可得出第二年增长率为，设该工厂原产值为a，则两年后产值为，利用两年后产值=原产值第一年增长率第二年增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵第二年增长率是第一年增长率的2倍，且第一年增长率为x， ∴第二年增长率为， 设该工厂原产值为a，则两年后产值为， 根据题意得：， 即． 故选：D． 4. 如图，DE∥BC，，那么△ADE与△ABC的相似比为 ( ) A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的值，再由相似三角形的对应边的比等于相似比即可得出结论． 【详解】解：∵AD：DB=2：1， ． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴△ADE与△ABC的相似比； 故选B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比是解答此题的关键． 5. 如图，已知中，D为边上一点，P为边上一点，，，，当的长度为（　　）时，和相似． A. 9 B. 6 C. 4或9 D. 6或9 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解决问题的关键． 分别根据当时，，当时，，求出的长即可． 【详解】解：， 当时，， ，，， ， ； 当时，， ， ， 的长度为4或9时，和相似． 故选：C． 6. 在中，为直角，，，那么以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案．本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【详解】解：∵在中，为直角，，， ∴ 如图： 那么，则A符合题意； 则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：A 7. 若函数是反比例函数，则的值为(　　) A. 4 B. C. 4或 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据自变量的指数等于1，且系数不等于0列式求解即可 【详解】解：由题意得， ，且， 解得：． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义．一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 二、填空题 8. 如图所示，矩形是一个花园，长为、宽为，现要在花园中修建等宽的小道．剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度是______． 【答案】##米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设小道进出口的宽度为x米，根据题意建立一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设小道进出口的宽度为x米， 依题意得， 整理，得． 解得，． ∵(不合题意，舍去)， ∴． 答：小道进出口的宽度应为2米， 故答案为：． 9. 已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的应用以及代数式的化简求值，求解出的值是解决本题的关键． 将代入方程可整理得到的值，再整理代数式，为，由此可求． 【详解】解：已知是方程的根， 将代入方程可得：，即， 整理可得， ∴， ∴代数式的值为4． 故答案为：4． 10. 如图，与是位似图形，位似中心是点．若，的周长为9，则的周长为________．     【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，解决本题的关键是利用相似比与周长的关系来求解的周长． 先根据位似图形的性质得出相似比，再利用相似三角形周长的比等于相似比这一性质来计算的周长． 【详解】解：与是位似图形，点是位似中心， ， ， ， ， 的周长为， 的周长为． 故答案为：36． 11. 如图，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为，留在墙上的影长，则旗杆的高度为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，相似三角形的应用中的高度与影长的关系，过作交于，结合矩形的性质，由影长与高度之间的关系得，即可求解． 【详解】解：过作交于， 四边形是矩形， ， ， 长的竹竿竖直放置时影长， ， ， 解得， （）， 故答案为：． 12. 如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正切函数的定义． 根据正切函数的定义，结合点的坐标来求解的值． 【详解】解：已知点在第一象限，过点作轴于点， 则在中，， 所以，， 在中，， 将，代入可得：． 故答案为：． 13. 如图所示的是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：读图可知：三个反比例函数的图象在第二象限，故； ，在第一象限；且的图象距原点较远，故有：； 综合可得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 14. 如图，菱形的顶点的坐标为顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点B，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，由菱形的顶点的坐标为，可求得，继而求得点的坐标，然后由待定系数法即可求得的值，注意根据菱形的性质求得点的坐标是关键． 【详解】解：∵点的坐标为顶点在轴的正半轴上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过顶点B， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）将方程化为，用直接开平方法求解即可； （2），，，用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了特殊三角函数值的混合计算，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键． 17. 如图，用一段80米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，左右两个长方形都有一个1米的门通往中间长方形，中间的长方形有一个1米的门通往外面，墙的最大可用长度为50米． （1）如果羊圈的总面积为345平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为480平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）边AB的长为15米； （2）羊圈的总面积不能为480平方米．理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． （1）设边AB的长为x，则米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案． 【小问1详解】 设边的长为x，依题意得： 整理得： 解得：，， 当时，，不合题意 答：边的长为15米； 【小问2详解】 设边的长为x，依题意得： 整理得： ∴此方程无解，故羊圈的总面积不能为480平方米． 18. 电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆． （1）求该品牌电动车销售量的月平均增长率； （2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元． 【答案】（1）20％；（2）273000． 【解析】 【分析】（1）设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，2月份该品牌电动车销售量为150(1＋x)，则3月份该品牌电动车销售量为150(1＋x) (1＋x) ＝150(1＋x)2. 据此列出方程求解. （2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案． 【详解】解：（1）设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意得 150（1+x）2=216， 解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去） 答：该品牌电动车销售量的月平均增长率为20％． （2）由（1）得该品牌电动车销售量的月平均增长率为20％， ∴2月份的销售量为150×（1+20％）=180 ∴则1-3月份的销售总量为150+180+216=546（辆） ∴（元） 答：该经销商1月至3月共盈利273000元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用及有理数的乘法的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 19. 如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． （1）当为何值时，的面积为？ （2）是否存在t使为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，的面积为． （2）不存在t使为等腰三角形，理由： 由题意可得：，，， ∴， ∵为钝角三角形；且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程无解， ∴不存在t使为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）由四边形为矩形，，，可得，，，结合，再解方程并检验即可； （2）由题意可得：，，，可得，由为钝角三角形；且为等腰三角形，可得，建立方程，再利用方程根的判别式可得答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：，， ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， 解得：或； ∵， ∴不符合题意，则， ∴当时，的面积为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的应用，利用图形面积与等腰三角形的性质建立方程求解是解本题的关键． 20. 如图，在中，是边上的一点，，，，，在上找一点，连结，使与相似． （1）请画出一种符合题意的图形； （2）根据你画出的图形，计算的长度． 【答案】（1）作图见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了作垂线，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （）过作交于点，则与相似． （）证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：如图所示，与相似， 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得． 21. 如图，为了测量风景区中一座塔的高度，某数学兴趣小组在斜坡上的点处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，用皮尺测得坡的长15米，已知坡的坡比为，请你帮助该数学兴趣小组计算这座塔的高度． 【答案】这座塔的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点分别作地面和的垂线，垂足分别为，证明四边形是矩形，利用坡比的定义结合勾股定理求得，，在中，利用正切函数的定义即可求解． 【详解】解：过点分别作地面和的垂线，垂足分别为，如图， ∵，∴四边形是矩形， ∴，， ∵坡的坡比为， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∵的长15米， ∴，解得， ∴，， 在中，，， ∴， ∴（米）， 答：这座塔的高度为米． 22. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出使一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考虑一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数与反比例函数解析式的求解，一次函数与不等式之间的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）先将点A代入反比例函数解析式，即可求解反比例函数解析式，再根据反比例函数解析式将点B代入，即可求解点B，再将点A与点B代入一次函数解析式中即可求解． （2）先求解出直线与轴交点坐标，再利用三角形面积公式求解的面积． （3）根据函数图象确定一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围． 【小问1详解】 解：把点代入反比例函数中， 即，解得， ∴反比例函数解析式为， 把点代入反比例函数中， 即，解得． ∴点， 把点、点代入中， 得：，解得：， ∴一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，一次函数解析式为． 令，即，解得， ∴记直线与轴交点坐标为， ． 【小问3详解】 解：一次函数值大于反比例函数值时， 其对应一次函数图象在反比例函数图象上方部分， 即或． 23. 在平面直角坐标系中，点，，，点在反比例函数的图像上，点A，，，能构成矩形，且该矩形的面积为4． （1）求的值； （2）求反比例函数的表达式． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数解析式的求解，矩形的性质，解决本题的关键是使用分类讨论的思想求解反比例函数解析式． （1）可根据三角形面积公式求出的值． （2）分类讨论a的值，再结合矩形的性质求出反比例函数的表达式． 【小问1详解】 解：由题可知，， ， 得：． 【小问2详解】 解：（i）当时，则， ． 矩形的面积为4， ． 过点作轴的垂线，垂足为， ， ． 点的坐标为， 又点在反比例函数图像上， ． 反比例函数的表达式为． （ii）当时，则， 同理得：点的坐标为， 将点代入反比例函数表达式中，得． 反比例函数的表达式为． 综上，反比例函数的表达式为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期开学第一练试卷 亲爱的同学们，本次阶段练习旨在检测暑假学习成果，找准新学期起点，以清醒饱满的状态开启新学期的征程．在此提醒同学们将答案填涂或写在答题卡对应题号处，答在试卷上无效．题同学们平心静气，从审题开始，勾画关键词，准确提取信息，并科学规范作答，合理使用草稿纸，把会做的题目一次性做对，做到零失误，发挥出自己应有的水平就是成功！ 一、选择题 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 2. 古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 3. 某科技公司计划用两年时间使年生产总值增加到目前的4倍，并且使第二年的增长率是第一年增长率的2倍，设第一年的增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，DE∥BC，，那么△ADE与△ABC的相似比为 ( ) A. B. C. D. 2 5. 如图，已知中，D为边上一点，P为边上一点，，，，当的长度为（　　）时，和相似． A. 9 B. 6 C. 4或9 D. 6或9 6. 在中，为直角，，，那么以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是反比例函数，则的值为(　　) A. 4 B. C. 4或 D. 0 二、填空题 8. 如图所示，矩形是一个花园，长为、宽为，现要在花园中修建等宽的小道．剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度是______． 9. 已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为________． 10. 如图，与是位似图形，位似中心是点．若，的周长为9，则的周长为________．     11. 如图，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为，留在墙上的影长，则旗杆的高度为________． 12. 如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，则的值是_______． 13. 如图所示的是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为________． 14. 如图，菱形的顶点的坐标为顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点B，则的值为______． 三、解答题 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 计算： 17. 如图，用一段80米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，左右两个长方形都有一个1米的门通往中间长方形，中间的长方形有一个1米的门通往外面，墙的最大可用长度为50米． （1）如果羊圈的总面积为345平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为480平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 18. 电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆． （1）求该品牌电动车销售量的月平均增长率； （2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元． 19. 如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． （1）当为何值时，的面积为？ （2）是否存在t使为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 20. 如图，在中，是边上的一点，，，，，在上找一点，连结，使与相似． （1）请画出一种符合题意的图形； （2）根据你画出的图形，计算的长度． 21. 如图，为了测量风景区中一座塔的高度，某数学兴趣小组在斜坡上的点处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，用皮尺测得坡的长15米，已知坡的坡比为，请你帮助该数学兴趣小组计算这座塔的高度． 22. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出使一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围． 23. 在平面直角坐标系中，点，，，点在反比例函数的图像上，点A，，，能构成矩形，且该矩形的面积为4． （1）求的值； （2）求反比例函数的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $