4.4.3 不同函数增长的差异课件学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《4.4.3不同函数增长的差异》学案 学习目标： （1） 结合对具体函数的分析，借助信息技术，探索并归纳出一次函数、指数函数、对数函数的增长差异和增长特征，体会数形结合的思想，培养直观想象核心素养． （2） 通过不同函数的增长差异的学习，会根据不同的现实情境、函数图象、表格选择恰当的函数模型，培养数学建模核心素养. （3）通过选择具体函数进行研究和类比研究，体会由特殊到一般、由具体到抽象以及类比的思想． 环节一、复习旧知，明确方向 问题1 回顾一下三种常见的函数模型，一次函数、指数函数、对数函数，什么时候它们单调递增？你能画出相应的图象吗？ 函数 参数范围 图象 问题2 在过去研究函数性质的过程中，我们一般采用怎样的策略和方法？ 环节二、对比差异，总结特征 探究1 以函数和为例，探索指数函数和一次函数在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？ 探究1-1 用描点法，在同一坐标系中作出函数和的图象.回答下列问题. （1）两函数的交点是什么？ （2）比较两个函数值的大小. （3）思考为什么函数大小会发生多次改变？ 探究1-2 借助多媒体，在更大的范围内，观察两个函数的增长情况，回答问题. （1） 函数与函数的增长速度是怎么变化的？ （2） 当非常大时，函数值与的大小关系如何？ 探究1-3 一般地，对于指数函数与一次函数是否有相同的结论?利用ggb软件，探索一般情况. 函数 图象 增长速度 增长结果 探究1-4你能从代数的角度上解释“增速不变”、“越增越快”吗？ x y=2x x y=2x 0 0 0 1 0.5 1 0.5 1 2 0.5 1.414 0.5 0.414 0.828 1 2 0.5 1 1 2 0.5 0.586 1.172 1.5 3 0.5 1 1.5 2.828 0.5 0.828 1.656 2 4 0.5 1 2 4 0.5 1.172 2.344 2.5 5 0.5 1 2.5 5.657 0.5 1.657 3.314 3 6 0.5 1 3 8 0.5 2.343 4.686 … … … … … … … … … … 探究2 以函数与为例，探索对数函数、一次函数在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？ 探究2-1 观察数表和图象，类比指数函数与一次函数的探究过程，总结结论. 结论1：虽然函数与都_______，但增长速度______. 结论2：随着的增大，函数的增长速度_______，而函数的增长速度________. 结论3：尽管在的一定变化范围内，会大于，但由于的增长最终会慢于的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有____. 探究2-2 你能从代数的角度上解释“增速不变”，“越增越慢”吗？ x x 0 0 0 不存在 10 1 10 1 10 1 20 2 10 1 20 1.301 10 0.301 0.0301 30 3 10 1 30 1.477 10 0.176 0.0176 40 4 10 1 40 1.602 10 0.125 0.0125 50 5 10 1 50 1.699 10 0.097 0.0097 60 6 10 1 60 1.778 10 0.079 0.0079 … … … … … … … … … … 探究2-3 如果将缩小至1000倍，再对函数与的增长情况进行比较，仍有上述规律吗？对于任意的与对数函数呢？总结规律，完成表格. 函数 图象 增长速度 增长结果 探究3 再次类比，整体研究 探究3-1 一次函数，指数函数和对数函数的增长有何差异？猜测并利用信息技术验证.完成表格. 函数 图象 增长速度 增长结果 探究3-2 根据今天的探究学习，你如何理解“直线上升”、“对数增长”、“指数爆炸”.(可从增长速度和函数图象两方面进行描述) 答：直线上升：_____________________________ 对数增长：_____________________________ 指数爆炸：_____________________________ 环节三、学以致用，判断模型 练习1、你能列举出生活中类似“指数爆炸”和“对数增长”的实例吗？ 练习2、三个变量随着变量的变化情况如表： 则与x呈对数型函数、指数型函数、一次函数模型变化的变量依次是（ ） A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2 练习3、函数，的图象如图所示. （1）试根据函数的增长差异指出曲线分别对应的函数； （2）比较的大小. 环节四、课堂小结 （1） 回顾本节课的内容，谈谈你的收获. （2） 掌心中的函数. 五、作业布置：教材139页，1-4题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnullnullnull创设情境——国王赏麦 从前有个国王，十分喜欢国际象棋，他打算奖赏国际象棋的发明人。发明人说：“我只需要一些麦子。请您按照我的要求，在棋盘(64格)上摆好我所需要的麦子。” 方式一、第1格放2粒，第2格放4粒，第3格放8粒……以此类推，每一格都是前一格的2倍。则第格放________粒. 方式二、第1格放1000粒麦子，第2格放2000粒麦子，第3格放3000粒麦子…以此类推，每一格都比前面多放1000粒麦子。则第格放_________粒. 这两个函数都是增函数，它们的增长方式相同吗？ 1 第四章 指数函数与对数函数 4.4.3 不同函数增长的差异 一、复习旧知，明确方向 问题1　回顾一下三种常见的函数模型，一次函数、指数函数、对数函数，什么时候它们单调递增？你能画出相应的图象吗？ 函数 图象 研究对象——一次函数、指数函数、对数函数 一、复习旧知，明确方向 问题2　在过去研究函数性质的过程中，我们一般采用怎样的方法？ 数形结合 由特殊到一般 由具体到抽象 二、对比差异，总结特征——探究1 以函数 与 为例，探索指数函数、一次函数在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？ 探究1 二、对比差异，总结特征——探究1 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 … … … 用描点法，在同一坐标系中作出函数和的图象.回答问题. 1-1 （1）两函数的交点是什么？ （2）比较两个函数值的大小. （3）为什么两函数的大小关系会发生多次改变？ 二、对比差异，总结特征——探究1 回答： 函数 与 有两个交点， 1 在区间上，函数的图象位于 的图象之上， . 2 在区间上，函数的图象位于的图象之下， . 3 在区间上，函数的图象位于的图象之上， . 4 虽然这两个函数在上都单调递增，但它们的增长速度不同. 二、对比差异，总结特征——探究1 （1）增长速度分别是怎么变化的？ （2）当非常大时，函数值的大小关系如何？ 函数 的增长速度固定不变 函数的增长速度越来越快 存在一个，当时，恒有 借助多媒体，在更大的范围内，观察两个函数的增长情况，回答问题. 1-2 增长差异 增长结果 二、对比差异，总结特征——探究1 一般地，对于指数函数与一次函数是否有相同的结论呢？ 1-3 二、对比差异，总结特征——探究1 推广 函数 图象 增长速度 增长结果 指数函数与一次函数的增长差异 固定不变 越来越快 存在一个，当时，恒有. 二、对比差异，总结特征——探究1 0 1 0.5 1.414 0.5 0.414 0.828 1 2 0.5 0.586 1.172 1.5 2.828 0.5 0.828 1.656 2 4 0.5 1.172 2.344 2.5 5.657 0.5 1.657 3.314 3 8 0.5 2.343 4.686 … … … … … 越来越大 固定不变 你能从代数的角度上解释 “增速不变”、“越增越快”吗？ 1-4 0 0 0.5 1 0.5 1 2 1 2 0.5 1 1.5 3 0.5 1 2 4 0.5 1 2.5 5 0.5 1 3 6 0.5 1 … … … … … 二、对比差异，总结特征——探究1 指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长. 指数爆炸 国王赏麦：你会选择哪种放麦方式呢？ 二、对比差异，总结特征——探究2 以函数 与 为例，探索对数函数、一次函数在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？ 探究2 二、对比差异，总结特征——探究2 观察数表和图象，类比指数函数与一次函数的探究过程，总结结论. 0 不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 … … … 2-1 二、对比差异，总结特征——探究2 结论： 虽然函数 与 都_______， 但增长速度______. 1 随着的增大，函数的增长速度_______，而函数 的增长速度________. 2 尽管在的一定变化范围内，会大于，但由于的增长最终会慢于的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有. 3 单调递增 不同 不变 越来越慢 二、对比差异，总结特征——探究2 0 不存在 10 1 20 1.301 10 0.301 0.0301 30 1.477 10 0.176 0.0176 40 1.602 10 0.125 0.0125 50 1.699 10 0.097 0.0097 60 1.778 10 0.079 0.0079 … … … … … 越来越小 固定不变 你能从代数的角度上解释 “增速不变”,“越增越慢” 吗？ 2-2 0 0 10 1 10 1 20 2 10 1 30 3 10 1 40 4 10 1 50 5 10 1 60 6 10 1 … … … 二、对比差异，总结特征——探究2 如果将缩小1000倍，再对函数与 的增长情况进行比较，仍有上述规律吗？ 对于任意的一次函数与对数函数呢？ 2-3 二、对比差异，总结特征——探究2 推广 函数 图象 增长速度 增长结果 一次函数与对数函数的增长差异 固定不变 越来越慢 存在一个，当时，恒有. 二、对比差异，总结特征——探究3 一次函数 ，指数函数 对数函数的增长有何差异？ 探究3-1 二、对比差异，总结特征——探究3 二、对比差异，总结特征——探究3 一次函数、指数函数、对数函数的增长差异 函数 图象 增长速度 增长结果 固定不变 越来越快 越来越慢 结论 存在一个，当时，恒有 二、对比差异，总结特征——探究3 通过今天的探究学习，你如何理解“直线上升”、“对数增长”、“指数爆炸”？ 探究3-2 直线上升 对数增长 指数爆炸 增长速度固定不变，函数图象匀速上升. 增长速度越来越慢，函数图象越来越缓. 增长速度越来越快，函数图象越来越陡. 增长速度 函数图象 1、你能列举出生活中类似“指数爆炸”和“对数增长”的实例吗？ 三、学以致用，判断模型 （1）十年寒窗无人问，一举成名天下知. （2）生活中很多技能都是学会容易学好难，入门容易精通难，例如烹饪、跳舞、体育项目等……通过练习达到一定水平后很难再提高。 指数爆炸 对数增长 2、三个变量随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 13 21 28 37 45 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、一次函数模型变化的变量依次是（ ） A. B. C. D. √ 三、学以致用，判断模型 【解析】 由表中数据可知，y1均匀增长，是一次函数， y2越增越快，是对数函数， y3越增越慢是对数函数。也可画出散点图进行判断。 三、学以致用，判断模型 3、函数，的图象如图所示. （1）试根据函数的增长差异指出曲线 ， 分别对应的函数； （2）比较，的函数值大小. （1） 对应的函数为 ， 对应的函数为 . 【解析】 （2）当时， ， 当时， ， 当时， ， 当或时，. 四、课堂小结 三类函数增长的差异，直线上升、指数爆炸、对数增长 知识 思想和素养 方法 根据增长差异、图象判断函数模型 数学思想：数形结合、类比、由具体到抽象、由特殊到一般 核心素养：直观想象、数学建模 回顾本节课的内容，谈谈你的收获. 对数增长——入门容易精通难 指数爆炸——厚积薄发，一鸣惊人 直线上升——芝麻开花节节高 y y y 四、课堂小结 感谢聆听 作业：教材139页，1-4题 $