第八讲 函数的定义及三要素题型归纳讲义-2026届高三艺术生数学一轮复习

2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第八讲函数的定义及三要素题型归纳 知识再现 函数的概念 一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个 概念 数X,按照某种确定的对应关系￡，在集合B中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 对应关系 y=fx),x∈A 三要素 定义域 ⅹ的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)川xEA} 函数的概念与表示方法归纳 1.函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域 (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数. 常见函数定义域的求法： (1)分式的分母不为零； (2)偶次方根的被开方数大于或等于零： (3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零； (5)三角函数中的正切y=mx的定义我是{eR业x≠+号ke☑ (6)已知f(x)的定义域求解fg(x)]的定义域，或已知fgx门的定义域求f(x)的 定义域，遵循两，点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括芳内式子 的范围相同； (7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函 数的定义域 2.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法， 函数解析式的求法 (1)配凑法.（2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法 3.基本初等函数的值域 第1页共11页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是R. ②=F+br+ea￥0)的位波是：当a>0时。值装为W2之C }；当a<0时， 值域为y≥4ac-b 4a (3)y=k≠0)的值战是≠0 (4)y=a(a>0且a≠1)的值域是(0，+o). (5)y=log。x(a>0且a≠1)的值域是R. 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函 数称为分段函数、 题型一函数概念的辨析 例1.（多选）设集合P={x|0≤x≤4,2={y0≤y≤4，则下列图象能表示集合P到集合Q 的函数关系的有() 24 例2.已知集合M={1,2,3}，N={1,2,3}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其 中能构成从M到N的函数的是() M M >N M 例3.下列变量x与y的关系式中，不能构成y是x的函数关系的是() 第2页共11页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 A.x-y=1 B.x2-y=1 C.x-2y2=1 D.√-2y=1 变式训练 1.如图，可以表示函数f(x)的图象的是（) 头 2.(多选)下列对应关系∫：A→B是集合A到集合B的函数关系的是（) A.A={x|-2≤x≤2}，B={,f:x→y,y=1B.A=R,B={y|y>0},f:x→y, y=x2 C.A=Z,B=Z,f:xy,y=x D.A=xlx>0,B=R,f:x-y,y2=x 3.(多选)以下y与x的关系中，其中y是关于x的函数的有() :x→y B x1234 C.y2=xD y2433 3 第3页共11页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 题型二求函数的定义域 例4.fx)=V4-无+，x的定义城为() 2-x A.[-2,+0】 B.「-2,2) C.（-2,2 D.（-0,2] 例5.函数y= =x的定义城为(） lgx A.(0, B.(0,1 C.(1,+0) D.0,1U1,+0 例6.已知西教y=f的定义城为-8，，则函教g=2x+的定义战是（) x+2 A.(-m,-2U(-2B.【-8-2(-2别 c[32].[9220 创7巴知函数=卫2的定义城为L3函教82的 的定义域为() A.(2,3U(3,5] B.（2,5) C.[2,3)U(3,5] D.(3,5] 第4页共11页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例8若函数f()m-x+2 的定义域为R,则实数m的取值范围是() s.g+）c(g 例9.函数f(x)=log23ax2-4ax+2的定义域为全体实数，则a∈() A.R B.（0,+0） 变式训练 1.函数f(x)=ln(2-x)的定义域是（) A.(0,2) B.(2,+0) C.（-0,2) D.(-0,2)U(2,+0) 2函教f(x=Vr++6+国的定义战为() x-1 A.（-0,-2][3,+0）B.[-3,1U(1,2]C.【-2,1U13]D.(-2,1U(1,3) 第5页共11页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 3.已知函数y=f的定义城为-8，，则函数g=2x+的定义城是（） x+2 A.-0,-2)U(-2,3] B.「-8，-2)（-2,1 c[32 n[92(2q 4.若函数f(x)=Var2-2ar+4的定义域为R,则实数a的取值范围是一· 5.若函数y=l0g2ax2+2x+1的定义域为R,则a的范围为 第6页共11页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 题型三：同一函数的判断 例10.下列四组函数中，表示同一函数的是（) A.f(x)=Vx2,g(x)=x B.f()=x,g(x) C.f(x)=x,g(x)=x D.f(x)=l0g:2',g(x)= 例11.下列各组函数中，表示同一个函数的是（). A.f(x)=Igx2,g(x)=21gx R.✉=，81到-sx+-e- c.f--.f-,g= 变式训练 1.下列各组函数是同一个函数的是（) A.y=+与y=xR.y=x-与y=-1C.y=与y=xD.y=与y=1 x2+1 2.下列函数中，表示同一函数的是() A.f(x)=x,g(x)=vx B.f(x)=lgx2,g(x)=21gx C.f(x)=Ine",g(x)=x D.f=i.(=cosx+》 题型四：函数解析式的求法 第7页共11页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例12.求下列函数的解析式 (1)∫x)是一次函数，且满足3∫x+1-∫x=2x+9,求f(x)的解析式： (2)已知函数f(x+2)=2x2-7,求函数f(x的解析式. (3)已知fVF+1=x+2F,求f(x)； (④已知8因-g)42,来8到的每折式 变式训练 (1)已知f(x是一次函数，且ff(x)=16x-25,求f(x; (2)已知f1-sinx)=cos2x,求f(x的解析式； (0已知*》+片，家1的每折支 (4)已知fx)满足2f(x+∫-x=3x,求f(x)的解析式. 题型五求函数的值域 第8页共11页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例13.求下列函数的值域。 0f到=2+3，cl,7:四f-2r+4-5,e-3:o=周， Rv-(=y>0r--T⑧ x-1 f)=x-2-lx-3到(9)f)- 例14.已知函数f(x)=lnax2+2x+1,若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是() 第9页共11页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 A.[0, B.0,1 C.(1,+0 D.0,+0 变式训练 1.求下列函数的值域. (仞y=5r+4 x-1 ②y=x--2xO)y=2-Vx2+4x.(4)y=x+2+3 0-9@:0-25 x2+x+1 2.若函数f(x)=√2x2-mx+3的值域为[0，+o),则实数m的取值范围是(). A.（-∞，-2W6]B.(-0,-26]U[26,+∞)C.[-26,2w6]D.[26,+o) 题型六分段函数 第10页共11页2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第八讲 函数的定义及三要素题型归纳 知识再现 函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 函数的概念与表示方法归纳 1．函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 常见函数定义域的求法： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 函数解析式的求法 （1）配凑法．（2）待定系数法．（3）换元法．（4）解方程组法． 3.基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 题型一 函数概念的辨析 例1.（多选）设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　） A．      B．   C．   D． 解析：对于A：由图象可知定义域不是，不满足； 对于B：定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，满足； 对于C：集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，不满足； 对于D： 由函数定义可知D满足． 故选：BD． 例2.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．B．C． D． 解析：根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应， 选项A中集合中2对应的数有两个，故错误； 选项B中集合中3没有对应的数，故错误； 选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误； 选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确，故选：D 例3.下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 解析：对A，由得是函数关系； 对B，由，得是函数关系； 对C，由，得，此时值不唯一，不是函数关系； 对D，由，得是函数关系， 故选：C 变式训练 1.如图，可以表示函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 解析：根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求 故选：D 2.（多选）下列对应关系：是集合到集合的函数关系的是（    ） A．，，，B．，，， C．，，， D．，，， 解析：对于A中，集合，，可得为多对一对应， 所以是函数关系，符合题意； 对于B中，集合，可得集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不是函数关系，不符合题意； 对于C中，集合，，可得为多对一对应， 所以是函数关系，符合题意； 对于D中，集合，，可得集合中的一个元素，在集合中有两个元素与之对应，所以不是函数关系，不符合题意. 故选：AC. 3.（多选）以下与的关系中，其中是关于的函数的有（    ） A．B．  C．D． 解析：根据函数定义，A选项，对于任意的，只有唯一确定的与其对应，满足函数定义，A正确； B选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，B正确； C选项，对于，有和与其对应，不是函数，C错误； D选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，D正确.故选：ABD 题型二 求函数的定义域 例4.的定义域为（    ） A． B． C． D． 要使函数有意义，必须满足，解得， 函数的定义域为.故选；B. 例5.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 解析：由.所以函数的定义域为故选：B 例6.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 解析：因为函数的定义域为，对于函数， 则有，解得或. 因此，函数的定义域为.故选：D. 例7.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 解析：依题意，函数的定义域为，所以，即函数的定义域为， 所以在函数中有，解得，所以的定义域为，故选：A. 例8.若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：由题意可知，函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立. 当时，当时，， 所以不等式在上恒成立显然不成立， 当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是.故选：B. 例9.函数的定义域为全体实数，则（   ） A． B． C． D． 解析：因为函数的定义域为全体实数， 则时，恒成立， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，则，解得，综上知，，故选：C. 变式训练 1.函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 解析：函数需满足，解得，所以函数的定义域为. 故选：C. 2.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 解析：由，解得：且.故选：C 3.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 解析：因为函数的定义域为，对于函数， 则有，解得或. 因此，函数的定义域为.故选：D. 4.若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 解析：由题意可知：在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是.故答案为：. 5.若函数的定义域为，则的范围为 . 解析：由于函数的定义域是， 故条件即为，这等价于对任意实数成立. 若对任意实数成立，取知，即； 若，则对任意实数都有， 故对任意实数成立.综上，的取值范围是.故答案为：. 题型三：同一函数的判断 例10.下列四组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 解析：对于A选项，，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数； 对于B选项，的定义域为，而的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一函数； 对于C选项，，的定义域为，，的定义域为，定义域和对应关系都不相同，所以两个函数不是同一函数； 对于D选项，，，定义域、值域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数.故选：D. 例11.下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 解析：对于A：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故A错误； 对于B：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故B错误； 对于C：的定义域为，的定义域为，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确； 对于D：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故D错误；故选：C 变式训练 1.下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 解析：A：函数和的定义域为R，解析式一样，故A符合题意； B：函数与的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意； C：函数的定义域为，的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意； D：函数的定义域为，的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意.故选：A 2.下列函数中，表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 解析：对于A项，，与的对应法则不同，故不是同一函数，A项错误； 对于B项，的定义域为的定义域为， 故两函数定义域不同，故与不是同一函数，B项错误； 对于C项，与的定义域相同，对应法则也相同，C项正确； 对于项，， 与的对应法则不同，故不是同一函数，D项错误.故选:C. 题型四：函数解析式的求法 例12.求下列函数的解析式 （1）是一次函数，且满足，求的解析式; （2）已知函数，求函数的解析式． （3）已知，求； （4）已知，求的解析式． 解析：（1）由已知是一次函数，设函数，， 则，即， 即，解得，所以； （2）由，则； （3）解法一（换元法）：令，，则， 所以，所以． 解法二（配凑法）：，因为，所以． （4）由已知①，，则②， 所以①②得，，所以，. 变式训练 （1）已知是一次函数，且，求； （2）已知，求的解析式； （3）已知，求的解析式； （4）已知满足，求的解析式. 解析：（1）设，则， 所以，解得或，所以或． （2）设，，则 ∵∴ ， 即， （3）∵ 由勾型函数的性质可得，其值域为 所以 （4）∵，① ∴将x用替换，得，② 由①②解得f(x)=3x. 题型五 求函数的值域 例13.求下列函数的值域． (1)，；(2)，；(3)，.(4)（5） (6)(7)（8）（9） 【答案】(1) (2)(3)(4)（5）(6)(7)（8）1（9） 【解析】（1），，在区间上单调递增，所以值域为. （2）因为，函数的定义域为, 所以在上单调递增，在上单调递减， ，又因为，，所以.所以的值域为. （3），令，则， 在上单调递减，所以，所以，的值域为. （4）的定义域是，，由于，所以， 所以值域为. （5），因为， 所以原函数的值域为. （6）因为，则，可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以函数的值域为. （7）令，则，可得， 当时，等号成立，所以函数的值域为. （8） 因为；易得：当且仅当时取最大值1.故答案为1 （9）；时，；时，； 时，取最大值；又；的值域为． 例14.已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：若函数的值域为，则要取遍所有的正数． 所以或，解得，即实数的取值范围是.故选：A． 变式训练 1.求下列函数的值域． (1) (2) (3).（4）（5） (6)；(7). 【答案】(1)(2)(3)（4），（5）(6)(7) 解析：（1）由于，且；所以可得，因此函数的值域是． （2）令，所以，即，当时，， 即函数的值域为. （3）易知需满足，即，即函数定义域为；， 由二次函数性质可得，所以的值域为． （4）由，可得函数的值域为，． （5）；；的值域为． （6）因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立.故函数的值域为. （7）由知，整理得. 当时，方程无解；当时，，即.故所求函数的值域为. 2.若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B．C． D． 解析：因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得．故选：B． 题型六 分段函数 例15.已知函数，则 （    ） A．-6 B．0 C．4 D．6 解析：由分段函数知：当时，周期， 所以， 所以．故选：A 例16.已知函数，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 解析：由，得，所以.故选：D 变式训练 1.已知函数.则的值为 . 解析：，.故答案为：. 2.设函数，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 解析：函数，，所以.故选：D 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $