3.4 二元一次方程组及其解法 导学案 2025-2026学年 沪科版初中数学七年级上册

3.4 第2课时 素养目标 1.知道二元一次方程组的解的概念,会判断一组未知数的值是不是二元一次方程组的解. 2.经历探索代入法解二元一次方程组的过程,体会消元与化归思想的作用. 3.会用代入消元法解二元一次方程组. 重点 代入消元法. 【自主预习】 预学思考 1.代入消元法解二元一次方程组时,要“消元”就是消去一个未知数,怎样才能消去一个未知数呢? 2.如何利用“二元一次方程组的解”? 自学检测 1.将方程3x+y=6写成用含x的代数式表示y的形式,正确的为 ( ) A.x=-2 B.x=2- C.y=6-3x D.y=3x-6 2.在解二元一次方程组时,我们的基本思路是“消元”,即通过“代入法”将“二元”化为“一元”,这个过程体现的数学思想是 ( ) A.类比思想 B.转化思想 C.分类讨论思想 D.数形结合思想 3.已知2y-x=4,用含y的代数式表示x= . 【合作探究】 知识生成 知识点一 根据二元一次方程用其中一个未知数表示另一个未知数 阅读课本本课时“例1”之前的内容,思考下列问题. 把二元一次方程4m-3n-5=0写成用含有m的式子表示n的形式为 . 归纳总结 方程变形的方法:用含有x的式子表示y时,应将含有y的式子放在等号的 ,其他式子放在等号的 . 对点训练 1.对于方程x-2y=5,用含y的代数式表示x是 ( ) A.y= B.x=5-2y C.x=5+2y D.y= 知识点二 用代入法解二元一次方程组 阅读课本本课时“例1”的内容,思考下列问题. 解方程组: 归纳总结 从一个方程中求出 ,再把它“代入”另一个方程,进行求解,这种方法叫作代入消元法,简称 . 代入消元法的一般步骤:①求表达式;②代入消元;③回代求解. 讨论问题:用代入法解二元一次方程组时选择哪个方程进行变形? 对点训练 2.解方程组: 知识点三 二元一次方程组的解 类比方程的解,解决下面的问题. 已知是二元一次方程组的解,则a-b的值为 . 归纳总结 将所给未知数的值代入方程或者方程组中,得到一个关于新的字母的二元一次方程组,求新二元一次方程组的解得到 . 对点训练 3.关于x,y的二元一次方程组的解是则a+b的值为 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 题型精讲 题型 看错方程组中系数问题 例　甲、乙两人解关于x,y的方程组时,甲因看错a得到方程组的解为 乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为求a,b的值. 变式训练 甲、乙两人同时解关于x,y的方程组(其中a和b代表确定数),甲看错了方程①中的a,解得乙看错了方程②中的b,解得请你求出(a-b)2 024的值. 参考答案 自主预习 预学思考 1.通过对方程组中的一个方程“变形”,用含一个未知数的代数式表示另一个未知数,然后将“变形”的方程代入到另一个方程中,从而达到消元的目的. 2.将二元一次方程组的解直接代入到原方程组中即可. 自学检测 1.C　2.B　3.2y-4 合作探究 知识生成 知识点一 n= 归纳总结　左边　右边 对点训练 1.C 知识点二 解: 由②,得x=y+3.③ 把③代入①,得3(y+3)+2y=14. 解得y=1. 把y=1代入②,得x=4, 所以方程组的解为 归纳总结　某一个未知数的表达式　代入法 讨论问题　观察方程组中的两个方程,看哪个未知数的系数的绝对值最小,就选择含有系数的绝对值最小的未知数的方程进行变形,把系数的绝对值最小的未知数用含另一个未知数的代数式表示出来. 对点训练 2.解: 知识点三 -1 归纳总结　字母的值 对点训练 3.B 题型精讲 题型　 例　解:因为甲看错a得到方程组的解为 所以3-2b=-1,解得b=2.因为乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为 所以-a+2=-5,解得a=7, 所以a=7,b=2. 变式训练　 解:将代入②,得b+4=7,解得b=3, 将代入①得-1+a=1,解得a=2, 所以(a-b)2 024=(2-3)2 024=1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 第1课时 素养目标 1.知道二元一次方程的概念,能判别二元一次方程. 2.知道二元一次方程组的概念,能判别二元一次方程组. 3.能根据实际问题中的等量关系列出二元一次方程组. 重点 列二元一次方程组. 【自主预习】 预学思考 1.什么是一元一次方程? 2.类比一元一次方程的概念,说说什么是二元一次方程. 3.什么是二元一次方程组? 自学检测 1.下列方程中,是二元一次方程的是 ( ) A.x+2y2=-3 B.xy=-2 C.3x-y=1 D.+y=1 2.判断下列方程组是不是二元一次方程组. (1)(2) (3)(4)(5) 【合作探究】 知识生成 知识点一 二元一次方程的概念 阅读课本本课时“问题1”的内容,思考下列问题. 下列方程是二元一次方程的有 . (1)2x2+y=0; (2)+3y=1; (3)x+y=0; (4)-=1. 揭示概念 含有 个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 的方程,叫作二元一次方程. 方法归纳 二元一次方程要含有两个未知数,且未知数的系数不等于0,次数为1且等号两边都是整式. 对点训练 1.若方程2xm+1-3yn-3+3=0是关于x,y的二元一次方程,则m= ,n= .  知识点二 二元一次方程组的概念 阅读课本本课时“问题1”的内容,思考下列问题. 下列方程组中,是二元一次方程组的是 ( ) A. B. C. D. 揭示概念 几个方程联立在一起,称为 .由共含有 个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫作 . 归纳总结 二元一次方程组的几个条件:①含有 未知数;②含未知数的项的次数为 ; ③是 方程. 对点训练 2.若方程组是二元一次方程组,求a的值. 题型精讲 题型 根据实际问题抽象出二元一次方程组 例　有一个两位数,其数字之和是8,个位上的数字与十位上的数字互换后所得新数比原数小36,求原数.(只列方程组) 方法归纳 本题中的相等关系有2个,十位数+个位数=8,原数-新数=36. 变式训练 为增强学生体质,舒缓学习压力,培养团队意识,增进班级凝聚力.某校九年级组织了一场拔河比赛,并为获得一等奖和二等奖的8个班级购买奖品,共花费600元,其中一等奖奖品每班100元,二等奖奖品每班60元,问获得一等奖和二等奖的班级分别有多少个?根据题意列方程组. 参考答案 自主预习 预学思考 1.只含有一个未知数,未知数的次数是1,且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程. 2.只含有两个未知数,未知数的次数都是1,且等式两边都是整式的方程叫作二元一次方程. 3.由两个一次方程组成,且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组. 自学检测 1.C 2.解:(1)是;(2)是;(3)是;(4)不是;(5)不是. 合作探究 知识生成 知识点一 (3)(4) 揭示概念　两　1 对点训练 1.0　4 知识点二 C 揭示概念　方程组　两　二元一次方程组 归纳总结　两个　1　整式 对点训练 2.解:根据题意得|a|-2=1,a-3≠0, 所以a=-3. 题型精讲 题型　例　解:设个位数字为y,十位数字为x. 由题意得 变式训练　 解:设获得一等奖和二等奖的班级分别有x个和y个, 根据题意得 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 第3课时 素养目标 1.会用加减消元法解二元一次方程组. 2.能根据方程组的特点,恰当地运用代入法和加减法解方程组. 3.进一步体会消元与化归思想的作用及其重要性. 重点 加减消元法解二元一次方程组. 【自主预习】 预学思考 1.等式的基本性质1的内容是什么? 2.等式的基本性质2的内容是什么? 自学检测 1.已知3a=b+1,则下列变形不成立的是 ( ) A.3a-1=b B.3a+3=b+4 C.6a=2b+1 D.a=b+ 2.已知解方程组由②-①消去未知数y,所得到的一元一次方程是 ( ) A.2x=9 B.2x=3 C.4x=9 D.4x=3 3.已知方程组则②-①得 ( ) A.2x=4 B.2y=4 C.4y=4 D.3y=10 【合作探究】 知识生成 知识点一 加减法解二元一次方程组 阅读课本本课时“例2”的内容,思考下列问题. 1.当方程组中两个方程的某一个未知数的系数相等时,通过 可以消去这个未知数;当方程组中两个方程的某一个未知数的系数相反时,通过 可以消去这个未知数. 2.解方程组: 归纳总结 加减法解二元一次方程组： 1.当方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数时,这时我们可以将两个方程直接相减或相加达到消元的目的. 2.当方程组中两个方程同一个未知数的系数没有相等或互为相反数时,若使用加减法解方程组,需要将方程进行变形,使某个未知数的系数变成相等或互为相反数,然后使用加减法解这个二元一次方程组. 对点训练 1.用加减消元法解方程组: (1)　　　(2) 知识点二 选择最简便的方法解二元一次方程组 阅读课本本课时“例3”的内容,思考下列问题. 解方程组①② ③④比较适宜的方法是 ( ) A.①②用代入法,③④用加减法 B.②③用代入法,①④用加减法 C.①③用代入法,②④用加减法 D.②④用代入法,①③用加减法 归纳总结 在方程组中,当某个未知数的系数比较简单时,用 可能较简便;当某个未知数的系数的绝对值相等或较易化为绝对值相等时,用 较方便. 对点训练 2.解方程组:(1)(2) 题型精讲 题型 解复杂的二元一次方程组 例　解方程组: 变式训练 解方程组: 参考答案 自主预习 预学思考 1.等式的性质1:等式的两边都加上(或减去)同一个整式,所得结果仍是等式. 2.等式的性质2:等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式. 自学检测 1.C　2.A　3.C 合作探究 知识生成 知识点一 1.相减　相加 2.解: ①+②×2,可得7x=-14, 解得x=-2, 把x=-2代入①,可得3×(-2)-2y=-2,解得y=-2, 所以原方程组的解是 对点训练 1.解:(1)①+②,得6x=6,解得x=1. 把x=1代入①,得y=-1. 所以方程组的解为 (2)②-①,得2x=-2,即x=-1. 把x=-1代入①,得-1-y=3,即y=-4, 所以方程组的解为 知识点二 C 归纳总结　代入法　加减法 对点训练 2.解:(1) 把②代入①,得5(y+3)+2y=22. 解得y=1. 把y=1代入②,得x=1+3=4, 所以方程组的解为 (2) ①×2得10x+4y=50.③ ③-②得7x=35. 解得x=5. 把x=5代入①得25+2y=25. 解得y=0, 所以方程组的解为 题型精讲 题型　 例　解:原方程组化简,得 ①×53+②,得980x=980,解得x=1. 把x=1代入①,得18+y=20,解得y=2. 所以这个方程组的解为 变式训练　 解:方程组整理得 ①+②×2得15y=15, 解得y=1. 把y=1代入①得2x+1=3, 解得x=1,所以方程组的解为 学科网（北京）股份有限公司 $