第9节 幂函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

第九节幂函数 核心基础导学 【1】C 解析：根据幂函数的定义：形如y=x“,而y=√F=x三，符合幂函数的定 义，正确.ABD在形式上都不符合幂函数定义，错误。故选：C 【2】D 解析：因为函数y=x叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数 对于A,y=x2-1是二次函数： 对于B,y=0.3x是一次函数： 对于Cy=√2=√2x克，由x前的系数不为1，故y=2不是幂函数： 对于D,y=x满足幂函数的概念，故y=x是幂函数.故选D】 【3】C 解析：由于幂函数的一般表达式为：y=x“,(α≠0)：逐一对比可知题述中 的幂函数有①y=x:⑤y=x共两个.故选：C 【4】B 解析：一般地，函数y=x“叫做幂函数，其中x是自变量，为常数， 故少=宁，y=F=为幂函数)=2x1,少=+x均不为幂函 数.故选：B 【5】f()= 解折：设幂函数)=“，则（包）=2”=5，解得：a=子，)=. 【61号 解析：设幂函数f()=产，aeR,由题意可得：2°=5=2，解得α= 则阳=5，所以付后要成答米为马 【7】)= a-1=1 a=2 解析：由题意可得： a-18=2,解得 b= ，所以)=x 3 【8】1 解析：因为函数y=(2m-m2)x3为幂函数，所以2m-m2=1,解得m=1 故答案为：1 【9】-1 解析：由幂函数的定义知，m2-2m-2=1,即m2-2m-3=0,解得m=3 或m=-1, 当m=3时，f(x)=x2在区间(0，+o)上单调递增，不符合题意 当m=-1时，f(x)=x2在区间(0，+)上单调递减，符合题意，所以 m=-1.故答案为：-1 【10】2 解析：由题意函数y=(m2-m-小r24是幂函数， 故m2-m-1=1,即m2-m-2=0, 解得m=2或m=-1, 当m=2时，y=x为反比例函数，图象不经过第二象限，符合题意： 当m=-1时，y=x2,其图象经过第二象限，不符合题意：故m=2,故答 案为：2 【11】(1,-1 解析：当x=1时，y=1-2=-1,所以定点为(1-).故答案为：(L-刂 【12】B 解析：由题意函数f()过点(0,0)，(11)，所以f(0)-f1)=0-1=-1.故 选：B. 【13】,2) 解析：令2x-1=1,得x=1y=2,故函数f(x)图象过定点P12),故答案 为：42) 【14】(4,3 “+2)=x+3,f(x)=(-2)+3,f(3)=(3-2)+3=4,所以， 函数y=f(x)的图象过定点(3,4)，又：函数y=f(x)与y=g(x)图象关 于y=x对称，因此，函数y=g(x)必过定点(4,3) 【15】D 解折：在题给坐标系中，作直线x片，分别交曲线马=1于4、、C三点 则<%<，又月-是互片 则点A在幂函数y=x图像上，点B在幂函数y=x图像上， 点C在幂函数y=x1图像上， 则曲线C99对应的指数分别为-1宁3 故选：D 【16】A 解析：因为函数y=2为增函数，所以2>2>2>22， 所以作直线x=2分别与曲线C.CC.C4相交，交点由上到下分别对应 的a值为2时片，由图可知情线C8.C,相应a值为 2222.故选：4 1o134 =2 【17】D 解析：由于在第一象限内直线x=1的右侧，幂函数y=x“的图象从上到 下相应的指数α由大变小，即“指大图高”，故幂函数y=x2在第一象限 内的图象为℃，y=x'在第一象限内的图象为C,y=x在第一象限 内的图象为C,y=x云在第一象限内的图象为C,.故选：D. 【18】答案见解析 解折：（1D==子，其定义域为(m0U0m。 又f(x)=（←x)3=-x3=-f) 故y=x3为定义域为(-n,0)U(0,+∞)的奇函数：值域为（仁n,0)U(0,+∞） 因为α=-3，所以图像在第一象限为递减，图像如下图 (2)y=x=F,其定义域为R, 又f(-x)=（x)=xi=f) 故y=x为定义域为R的偶函数.值域为[0，) 因为a= ,所以图像在第一象限为增，且为横抛，图像如下图 (3)函数y=x即y=F,其定义域是[0，∞).所以由奇函数、偶函数 的定义可知，函数y=x三既不是奇函数，也不是偶函数.值域为[0，+∞) 1 因为α=了，所以图像在第一象限为增，且为横抛，图像如下图 (4)由函数y=2即y=子可知x≠0，所以此函数的定义域是 (-n,0)U(0,+). 因为对任意的x∈R,x≠0，都有-x∈R,一x≠0，且 (←x)2=(12x2=x2，, 所以由偶函数的定义知，函数y=x2是偶函数.值域为(0，+∞) 因为α=-2，所以图像在第一象限为减，图像如下图 (5)y=x,定义域为R,关于原点对称， f(x)=(x)=x',函数为奇函数.值域为R 因为α=5，所以图像在第一象限为增，且为竖抛，图像如下图 (6)y=x=F,定义域为[0，+)，不关于原点对称， 函数为非奇非偶函数.值域为[0，+)，因为a=。,所以图像在第一象限 为增，且为横抛，图像如下图 关于原点对称，且f(-x)=f(x),函数为偶函数. 因为a=专，所以图像在第一象限为减图像如下图 1 由F0,所以值域：(m,o)U0,+): 由g(x)=一g(一x),所以g(x)为奇函数，图象关于原点对称： 因为a=；,所以图像在第一象限为藏图像如下图 【19】c 解析：y=x=F,定义域为0，+)，故A错误： y=x4_,定义域为0，+，故B错误： 5 y=x3.2,定义域为R,故C正确 2 y=六定义城为0，故D钻误，机选：C 【20】C 解析：f)=的定义域为R,又f(x)==p=f) 故f()=巨为偶函数，当x>0时，()=x,结合幂函数的图象可 知，C正确.故选：C 【21】[0,2] 解析：y=(x2+4x)=Vx2+4x 由-x2+4x≥0，解得0≤x≤4， 令4=-x2+4x=-(x-2)2+4,当x∈「0,2]时单调递增，当x∈[2,4]时单 调递减，又y=三在∈[0，+∞)时单调递增。 所以函数y=(x2+4)户的单调递增区间是[0,2] 【22】D 解折：因为函数了刊为落函数可得3对-m11,解符网：号或 m=1, 当m=号时可得了)，此时函数为奇函数符合题意： 当m=1时，可得f(x)=x°，此时函数为偶函数，不符合题意，舍去， 所以m=子故选：D, 【23】)=或=号 解析：付-仁-t+:兰是幂函数也是偶函数且在0，+网上为 增函数， [3-t+1=1 7+3-2公>0且7+-2为偶数，解得t=1或t=-1, 当=1时，f)=x, 当t=1时，)= 故答案为：)=或了闲= 重点题型专练 【24】1)1.54<1.64;2)1.51>1.6 解析：(1)1.54,1.64可看作幂函数y=x4的两个函数值.该函数在 [0,+∞)上递增，由于底数1.5<1.6，所以1.54<1.64. (2)1.51,1.61可看作幂函数y=x的两个函数值.该函数在 (0,+∞)上递减，由于底数1.5<1.6，所以1.515>1.61H 1se份日 解折：因为零商数=在[®上为数。且-。 言亏所份所以所-母 ®母-得·份品高好因数， 在（®+）上单调递塔，所以G日 【26】C 解析：对于A选项，因为y=在0，+)上单调递增，所以（弓）<（弓）， 故A错误， 对于B选项，因为y=x在(，0)上单调递减，所以（子'>(， 故B错误， 对于C选项，y=x号为奇函数，且在D,+)上单调递增，所以y=x在 (-,0)上单调递增， 因为((，又2 所以（←2.<-2.2），故C正确 对于D述项，y=x在[0，+o)上是递增函数， 又(=，所以（>，所以（白，故D错误 故选：C 【27】D 解折：因为0-0 又为，在®网上单》广 即a>e>行，所以a>c>b,故选：D, 【21(a-2 解析：函数因)归怎的定义域为x*0且在o,0.(0,+)上单调 递减，则由（红+2）<5-2x), 「x+2<0 「x+2>0 得0或050解得国-小 x+2>5-2x x+2>5-2x 所以不等式仁+)<6-2x)的解维为(2儿) 【29】(1)m=-3:(2)(-m,4) 解析：(1)解：由幂函数的定义可得m2+4m+4=1,即m2+4m+3=0 解得m=-1或m=-3. 因为f(x)在(0，+∞)上单调递减，所以m+2<0,即m<-2, 则m=-3. (2)设g(x)=,gx)是R上的增函数 由(1)可知(2a-1)<(a+3),即(2a-)<(a+3), 则2a-1<a+3,解得a<4, 即a的取值范围为(-”，4). 【30】(1)f)=x(2)[5,) 解析：(1)由于函数f(x)=(m2+3m-9)x1是幂函数，故m2+3-9=1 解得m=2或m=-5 当m=2时，f)=x在(0，+∞)上是增函数，不合题意： 当m=-5时，)=x在(0，+∞)上是减函数，符合题意， 故fx)=x (2)由(1)知m=-5,则(2-a)克>(2a-1妒 结合幂函数y=x在[0，+切)上为增函数， 「2-a≥0 得2a-1≥0 ,解得a<1,即ae宁. 2-a>2a-1 【31】(1)m=3:(2)奇函数，证明见解析：(3)[2，+∞) m2+m-11=1 解析：(1)由已知， ,解得m=3 (2)f(x)为奇函数，理由如下： 由(1)f()=F定义域为R,eR,-xER, f(x)=x=F=-6)故()为奇函数 (3):f()为奇函数， ·f(62-4-a）s-f(x-ax)=f(ax-x) :f(x)为增函数 .x2-4-a≤ar-x ∴.原条件台x∈[0,3]，x2+x-4≤a(x+1). 因为+1>0，所以a≥产+-4=在+)-4-x 4 x+1 x+1 x+1 令8()=x-4 +1re[0,3], :8)归本在[0上单调造始 ∴g()=g(3)=3-1=2, .a22,即a∈2，+∞). 【32】(1)f(x)=x3:(2)a≥2. 解析：(1)由幂函数f)=(m-2,x21在(0，+∞)上单调递增，得 91解行=2 所以f(x)的解析式为f(x)=x (2)由(1)知，f)=x3,当x>0时，不等式 2-层2-会a2-2+ x 依题意，x>0,a≥-2x2+4x,而-2x2+4x=-2(x-1)2+2≤2，当且仅当 x=1时取等号，因此a≥2， 所以实数a的取值范围是a22 【33】(1)f(x)=x2:(2)(-m,5) 解析：(1)解：因为函数fx)=（2m2-5m+3x为幂函数， 可得2m-5m+3=1,即2m2-5m+2=0,解得m=方或m=2 当m=三时，f)=三，此时函数f()的定义域为[0，+)，不符合题意： 当m=2时，fx)=x2,此时函数f(x)的定义域为R,符合题意 所以函数f)的解析式为f)=x2. (2)由不等式fx)>3x+k-1在[-1，上有解，即不等式 x2-3x+1-k>0在[-1，上有解， 令g(x)=x2-3x+1-k,只需函数y=g()在[-1刂上的最大值大于0， 因为0=-3江+1-t图象开口向上且对称轴为号 可得g(x)在[-1，]上单调递减，所以g()x=g(-1)=5-k 由5->0，解得k<5,所以实数k的取值范围是（-的，5). 综合巩固提升 1.【答案】D 解析：令x-4=0,解得x=4,当x=4时，y=a4+5=1+5=6,所以图 象恒过(4,6)，故选D. 2.【答案】C 解析：设)=×，代入点(（)得2=5，a=行f)-则 y=x-x2,令t=x,t20 选：C 3.【答案】D 解析：依题意，A),则m+n=1, 因此+上=m++凸=2+仁+”≥2+2四=4， m n m n m n Vm n 当组仅当州=8时取等号，所以当网=时时合片取得最小位4 故选：D 4.【答案】D 解析：：()为定义在R上的奇函数， 因为当x≥0时，f(x)=x+ax2-a+1, 所以f(0)=1-a=0,故a=l)=x2+x f(x)=x+x2在[0，+∞)上单调递增， 根据奇函数的性质可知(x)在R上单调递增， 因为f1)=2,所以f(-1)=-f)=-2, 由不等式f(3x+5)>-2=f(-1)可得，3x+5>-1,解得，x>-2, 故解集为(-2，∞).故选：D. 5.【答案】「0,1 解析：由函数y=单调递增， ①当a<0时，若x≤a,有F≤a<0, 而x2≥0，此时函数f)的值域不是R: ②当a20时，若x≤a,有F≤a,而x2>a2, 若函数f(x)的值域为R,必有a2≤a,可得0≤a≤1 则实数a的取值范围为「0,1 6.【答案】（-m,-2)U(2,+) 解析：设f(x)=x“,则f(2)=2=8,解得α=3，所以f(x)=x3,函数 f(x)的定义域为R且为增函数， f(-x)=(-x)'=-x3=-f(),f(x)为奇函数， 所以f(a2+1+f(5)>0,即f(a2+1)>-f(-5)=f(5) 所以a2+1>5,解得a>2或a<-2,故a的取值范围为 （-n,-2)u(2,+∞) 故答案为：（-∞，-2)U(2,+∞) 7【省1G引 解析：函数y=x在(”，上单调递增，函数值集合为（∞， 由函数y= 3a-r+2a,x>1的值域为R,得函数y=(a-1水+2a在 x3,x≤1 x>1时的取值集合包含(L+o) 当3a-1<0时，y=(3a-1)x+2a在L,+∞)上单调递减，函数值集合为 (-m,5a-1),不符合题意 当3a-1=0时，y=2a,x>1,函数值集合为{2a,不符合题意， 当3a-1>0时，=(3a-1)x+2a在L,)上单调递增，函数值集合为 (5a-1,+∞)， 由0，+oe6a-1+回，得5a-1s1,解得a≤号，由3a-l1>0,得a> 因此1 ≤号，所以。的取值范周是 12] 35 8.【答案】(1)y=fx)=x4;(2)当a=2时，为偶函数；当a=0时， 为奇函数：当a≠2且a≠0时，为非奇非偶函数.理由见解析. 解析：(1)因为幂函数y=x)=x2m3（mez)在(0，+n)是严格减 函数， 所以m2-2m-3<0,即(m-3)(m+1)<0,解得：-1<x<3, 因为m∈2，所以m=0,L2, 当m=0时，y=fx)=x3,此时y=f)为奇函数，不符合题意： 当m=1时，y=f(x)=x,此时y=(x)为偶函数，符合题意： 当m=2时，y=fx)=x3,此时y=fx)为奇函数不符合题意： 所以y=f()=x4， (2)y=ax4+(a-2)x',x=ax4+(a-2)x 令F(x)=ax4+(a-2x 当a=0时，F(x)=-2x,F(-x)=-2×(仁x)=2x=-F(x),此时是奇函数 当a=2时=2x=子，5()2(=2=二 （←下，此时是偶函数 当a≠0且a≠2时，F)=a+(a-2)=2a-2,F(1)=a-(a-2)=2, F(1)≠F(-1),F(-1)≠-F(1),此时是非奇非偶函数函数 第九节 幂函数 122 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:幂函数的概念 一般地,形如（,为常数）的函数称为幂函数. ▍知识点2:一些常用的幂函数的图像 同一平面直角坐标系中,幂函数,, ,,的图象（如图）. ▍知识点3:判断函数是否是幂函数的依据 （1）的系数为1; （2）的底数是自变量; （3）的指数为常数. 只有满足这三个条件,才是幂函数,形如等函数都不是幂函数. 图像 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递增 在上递增 在, 上递减 定点 ▍知识点4:五个常见幂函数的图象和性质 ［对应练习:基础1、基础2、基础3］ ▍知识点5:幂函数的图像规律 （1）所有的幂函数在区间上都有定义,因此在第一象限内都有图像,并且图像都通过点. （2）如果,则幂函数的图像通过原点,并且在区间上是增函数.当,图像为横抛,当,图像为竖抛.当,图像为直线. （3）如果,则幂函数在区间上是减函数,且在第一象限内:当从右边趋向于原点时,图像在轴右方且无限地逼近轴;当无限增大时,图像在轴上方且无限地逼近轴. ［对应练习:基础4、基础5］ ▍知识点6:幂函数的图像性质 形如（其中m∈N*,n∈Z,m与n互质）的幂函数（可在学习完分数指数幂后来理解此结论） （1）任何幂函数在第一象限必有图象,第四象限必无图象. （2）奇数/偶数时,函数非奇非偶,图象只在第一象限. （3）偶数/奇数时,函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于轴对称. （4）奇数/奇数时,函数是奇函数,图象在第一、三象限并关于原点对称. （5）当时,图像与轴,轴没有交点. 总结:对于上述结论,要重在理解,若理解困难,可将幂函数（,且互质）可分别化为:,根据分数指数幂的性质和结论,研究幂函数图像和性质. 例如:,因为,所以幂函数的图像通过原点,并且在区间上是增函数,并且图像为横抛,,根据根式性质,函数在有定义且为偶函数. 注意:对于人教A版本,可在学习完指数函数之后来学习理解此性质. ［对应练习:基础6］ ▶练基础 幂函数的判定 1 判断函数是否是幂函数的依据: （1）的系数为1; （2）的底数是自变量; （3）的指数为常数. 只有满足这三个条件,才是幂函数. 形如等函数都不是幂函数 【典例▪1】下列函数是幂函数的是（    ） A. B. C. D. 【练习▪2】下列函数是幂函数的是（    ） A. B. C. D. 【练习▪3】函数:①;②;③; ④;⑤,其中幂函数的个数为（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 【练习▪4】下列函数中,,,, 是幂函数的个数是（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 ▶练基础 求幂函数的解析式 2 【典例▪5】若幂函数过点,则此函数的解析式为 . 【练习▪6】已知幂函数的图象过点,则 . 【练习▪7】已知点在幂函数的图象上,则________. ▶练基础 根据幂函数求参数 3 【典例▪8】已知函数为幂函数,则m的值为 . 【变式▪9】已知幂函数在区间上单调递减,则 . 【练习▪10】已知函数是幂函数,且函数图象不经过第二象限,则实数的值为 . ▶练基础 图像过定点问题 4 【典例▪11】函数 的图象过定点________. 【变式▪12】已知定义在上的幂函数,则（    ） A.0 B. C.1 D.不确定 【练习▪13】已知函数,则函数的图象恒过的定点的坐标为________. 【练习▪14】若函数与图象关于对称,且,则必过定点______. ▶练基础 幂函数的图像规律 5 【典例▪15】图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象,则式中指数的值依次可以是（    ） A.、3、 B.、3、 C.、、3 D.、、3 【练习▪16】如图是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值,与曲线相应的依次为（    ）    A. B. C. D. 【练习▪17】幂函数,,,在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（    ）    A.,,, B.,,, C.,,, D.,,, ▶练基础 幂函数的基本性质 6 【典例▪18】分别写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性和值域并做出图像: （1）; （2）; （2）; （4）; （5）; （6）; （7）;       （8）; 【练习▪19】下列函数中定义域为的是（ ） A. B. C. D. 【练习▪20】函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【练习▪21】函数的单调递增区间是 . 【练习▪22】已知幂函数是定义域上的奇函数,则（ ） A. B. C. D. 【练习▪23】已知幂函数是偶函数,且在上为增函数,求函数的解析式. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 利用幂函数比较大小 1 利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法: （1）直接法:当幂指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较. （2）转化法:当幂指数不同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小. （3）中间量法:当底数不同且幂指数也不同时,可选取适当的中间值,比如: 0,1等,与两数分别比较. 说明:此题型可能涉及分数指数幂的换算,可在学习完相关知识后进行练习. 【典例▪24】比较下列各组中两个数的大小: （1），; （2），． 【变式▪25】比较下列各组数的大小: （1），; （2），，． 【练习▪26】下列比较大小中正确的是（    ） A. B. C. D. 【练习▪27】设,,,则a,b,c的大小顺序是（    ） A. B. B. C. D. ▍练题型 由幂函数的单调性解不等式 2 【典例▪28】不等式的解集为 . 【练习▪29】已知幂函数在上单调递减. （1）求m的值; （2）若,求a的取值范围. 【练习▪30】已知幂函数在上是减函数,. （1）求的解析式; （2）若,求的取值范围. 【练习▪31】已知幂函数的图象过原点, （1）求实数m的值; （2）判断函数的奇偶性并证明; （3）若,,求实数a的取值范围. ▍练题型 幂函数的综合应用 3 【练习▪32】已知幂函数在上单调递增,. （1）求的解析式; （2）若,求实数的取值范围 【练习▪33】已知幂函数的定义域为全体实数. （1）求的解析式; （2）若在上有解,求实数的取值范围. ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.函数的图象必经过定点（ ） A. B. C. D. 2.（2023·全国高一专题）幂函数的图象过点,则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 3.已知函数,的图象恒过定点A,若点A在一次函数的图象上,其中m,,则的最小值为（ ） A.1 B. C.2 D.4 4.（23-24广东茂名）设为定义在上的奇函数,当时,（为常数）,则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 二、填空题 5.已知函数,若函数的值域为,则实数的取值范围为 . 6.（23-24高一·江西新余·期中）已知幂函数过定点,且满足,则的范围为 . 7.已知,若函数的值域为,则的取值范围是 . 三、解答题 8.已知幂函数（）在是严格减函数,且为偶函数. （1）求的解析式; （2）讨论函数的奇偶性,并说明理由. $