精品解析：2025年山东省初中学业水平考试数学模拟试题(五)练习卷

2025年山东省初中学业水平考试 数学模拟试题（五）练习卷 本试卷共12页，满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1． 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷指定位置上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3． 不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先观察数轴，然后根据绝对值的几何意义进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，， ∴这四个实数中绝对值最小的是， 故选：B． 2. 已知点和点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得，的值，进而可得答案． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，， ， 故选：B． 3. 已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法运算，根据同底数幂的除法法则以及科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解： ； 故选：C． 4. 某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，简单几何体的三视图，根据物体及其俯视图即可求解． 【详解】解：由图形可得，它的主视图如图所示： 故选：D． 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，同底数幂的乘法，完全平方公式以及幂的乘方，运用相关知识求出各选项的结果进行判断即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 6. 直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由，得到，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 如图，六个直角边长均为1和的直角三角形围成两个正六边形，若向该图形内随意投掷一个点，则该点落在小正六边形内部的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率的计算，以及多边形的面积计算，根据正六边形的面积为六个正三角形的面积之和分别计算出外面和内部的正六边形面积，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意得外面的正六边形的面积为：， 内部的正六边形的面积为：， ∴向该图该图形内随意投掷一个点，则该点落在小正六边形内部的概率是： 故选：A． 8. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据， 由题意得，, 故选：． 9. 如图，设表示甲图阴影部分面积，表示乙图阴影部分面积，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，分式的化简，不等式的性质，解答的关键是表示出甲乙两图中的阴影部分的面积及熟悉分式的运算． 分别把甲乙两图中的阴影部分的面积表示出来，代入求值，再讨论即可求解． 【详解】解：甲图阴影部分的面积为：， 乙图阴影部分的面积为：， 则 ， ， ∴， ∴， 故选C． 10. 如图，正方形的边长为是对角线，将绕着点顺时针旋转得到交于点，连接交于点，连接．则下列结论：①四边形是菱形；②的面积是；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】依据四边形为平行四边形，以及，即可得到平行四边形是菱形；依据，即可得到的面积；依据四边形是菱形，可得；根据四边形是菱形，可得，进而得到． 【详解】解：正方形的边长为1， ，，，． 由旋转的性质可知：，，，， ，，， 和均为直角边为的等腰直角三角形， ． 在和中， ， ， ，， ， ． ，，， 且， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故①正确； ，， ， 的面积，故②正确； 四边形是菱形， ，故③不正确； 四边形是菱形， ， ，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 二、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：. 12. 若关于x，y的二元一次方程组的解是，则_____， _____． 【答案】 ①. 3 ②. 1 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键． 将代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴，， ∴，， 故答案为：3；1． 13. 如图是长，宽的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为，如果设小道进出口的宽度为米，则可列方程为__________．（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的应用，根据题意，找到等量关系，则，列出方程，进行解答，即可． 【详解】解：设小道进出口的宽度为米， 由题意得，种植花草的面积为， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交AC于点H，若H恰好为的中点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，如图所示，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示， 由题意得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定， 相似三角形的性质与判定，证明得到，进一步证明是解题的关键． 15. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了圆性质、点的对称性、平行四边形的性质等，由正方形的性质知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接、，进而求解． 【详解】解析：如图，连接，以为边作，连接， ∵的面积为， ∴， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当A，N，E三点共线时，最小，即为的最小值， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值为 故答案为：4． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，，都是平行四边形，顶点，，，，，，都在轴上，顶点，，，，，都在正比例函数的图象上，且，，，，连接，，，，，分别交射线于点，，，，，连接，，，，得到，，，，若，，，则的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和图形可先求得，，，，，，，，，，从而得，，，，利用三角形的面积公式即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴点与点的横坐标相同，，，，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形，，，，…都是平行四边形， ∴，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，，，，，， ∴，， ∴， ∵在上， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，坐标与图形，坐标规律，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题关键． 三、 解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值： ，其中x的值是不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握平方根，零指数幂，绝对值，负整数指数幂和分式的化简运算是解题的关键， （1）根据平方根，零指幂，绝对值，负指数幂的运算，计算即可求得答案； （2）根据提公因式，完全平方公式，平方差公式将分式化简，再根据x的值是不等式组的整数解，得到的值，代入即可求得答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ； 由分式的意义，可知、0、1， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解是，0，1，2，其中，0，1不符合分式的意义， ∴x只能取2． 将代入，得原式． 18. 如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． （1）请求出的长； （2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【答案】（1）2.6米 （2）该车库入口的限高数值为2.4米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； 【小问2详解】 解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为2.4米 19. 2024年12月17日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时9小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各15名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示： 成绩x/分 七年级 4 3 5 3 八年级 0 0 5 10 平均数 中位数 众数 方差 七年级 15.4 a 16 8 八年级 18.2 18 b 说明：七年级抽取的15名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，15，16．根据以上信息，解答下列问题． （1） ； ； （2） （填“”“”或“”）．你认为哪个年级同学掌握有关“航天”的知识更好？请说明理由； （3）学校从“”范围内随机抽取了4名学生，其中有3名男生和1名女生，若从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2名学生恰好是2名男生的概率． 【答案】（1）16，19 （2），八年级同学掌握有关“航天”的知识更好，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将七年级15名同学的成绩按照从小到大的顺序排列，中间第8名同学的成绩即为中位数，八年级15名同学中出现次数最多的成绩即为众数； （2）方差的计算公式：；中位数、众数越大，掌握情况越好，方差越小，越稳定，只需比较这三个数即可； （3）列表可知所有可能的情况共有n种，其中选取的2名学生恰好是两名男生的结果有m种，； 本题主要考查了中位数、众数和方差的定义与计算，列表法或树状图法求概率等知识点，熟练掌握方差的计算和列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：将七年级抽取的15名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第8名的成绩为16， ∴． 由八年级抽取的15名同学的竞赛成绩统计图可知成绩为19的人数最多， ∴． 故答案为：16，19； 【小问2详解】 由图表信息可知， ∵七年级成绩的方差为8，八年级成绩的方差为1.76， ∴． 故答案为：． 八年级同学掌握有关“航天”的知识更好． 理由：∵八年级成绩的平均数、中位数、众数都大于七年级，且八年级成绩的方差小于七年级， ∴八年级同学掌握有关“航天”的知识更好； 【小问3详解】 列表如表： 男 男 男 女 男 —— (男，男) (男，男) (男，女) 男 (男，男) —— (男，男) (男，女) 男 (男，男) (男，男) —— (男，女) 女 (女，男) (女，男) (女，男) —— 共有12种等可能结果，其中所选取的2名学生恰好是两名男生的结果有6种， ∴所选取的2名学生恰好是2名男生的概率为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，将直线向上平移2个单位长度后得到新的直线，点M在直线上，设点M的横坐标为．连接，． ①求的面积； ②当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）①4；②或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图像和性质，一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据题意求出，代入反比例函数即可求出答案； （2）①过点M作轴交直线于点N，则，根据对称性质得到，分情况计算出面积即可； ②分当时，当时两种情况分类讨论即可． 【小问1详解】 解：把代入，得 又∵直线与反比例函数的图象交于点A，B 故反比例函数的表达式为 【小问2详解】 解：①如图， 过点M作轴交直线于点N，则，由对称性可知， 当时， 当时， 综上所述，的面积为4 ②由题意可知，直线的函数表达式为，令，则；令，则 直线与x轴的交点为，与y轴的交点为 ， 点M在直线的第一象限图象上，当是直角三角形时，存在以下两种情况. （i）当时， 设，过点作一条直线平行轴，过点作垂线交直线于点，使． 根据坐标系可知，， 根据勾股定理可得，，， 由①得： ， 解得， ； （ii）当时，设，连接 是直角三角形，且点O是线段的中点， . 整理，得，解得，（舍去） 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或． 21. 如图，是的直径，点是上的一点，点是延长线上的一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若于点，，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】如图，连接,根据是的直径，可知,根据,可得,再根据,可知,故是的切线； 设,在中，,可得,易证,故,在中，由勾股定理得,即),求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接, 是的直径， , , , , , , , , 是的切线； 【小问2详解】 设,在中，, ，，， ， ， , , , , , 在中，由勾股定理得, 即,整理得, 解得(舍去), 故． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定等知识，熟练掌握其性质并能灵活运用是解题的关键. 22. 【问题背景】在数学活动课上，张老师带领同学们研究图形旋转时给出如下问题：如图1，在四边形中，，当点O为的中点时，则易证． 【类比分析】 （1）小青同学将两个等腰直角三角形卡片与（其中），拼摆成点C ，B， E共线时，如图2，连接，取的中点O，连接，请直接写出与的数量关系； （2）小阳同学在小青同学摆放的基础上，又将绕点B逆时针旋转角度α（），如图3，小阳得到的结论与小青是否相同？若相同，请写出证明过程；若不同，请说明理由； 【拓展应用】 （3）张老师带领学生在小青、小阳的基础上做进一步探究，将绕点B逆时针旋转α（），若，，当时，请求出线段的长． 【答案】（1） （2）相同，证明见解析 （3）线段的长为或3 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质：直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可； （2）设M，N分别是的中点，连接，证明，，，可得，即得； （3）当E在右侧时，设M是的中点，连接，作交的延长线于点P，求出， ，得，得，，即得；当点E在左侧时，设M是的中点，连接，作， 求出，得，，即得． 【详解】解：（1）． 理由：如图2，在和中，O是的中点， ∴， ∴； （2）小阳得到的结论与小青相同． 证明：如图3，设M，N分别是的中点，连接， ∵与都是等腰直角三角形，， ∴， ∵M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）当点E在右侧时，如图4，设M是的中点，连接，作交的延长线于点P， ∵是等腰直角三角形， ∴， 同理， 由（2）可得， 中， ∵ ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在左侧时，如图5，设M是的中点，连接，作，垂足为点P， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或3． 【点睛】本题考查等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质、旋转性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，三角形中位线的判定和性质，直角三角形斜边上中线性质，添加辅助线，是解题关键． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点． （1）若该函数图象经过点． ①直接写出抛物线与x轴的交点坐标； ②在图中画出该二次函数的图象，借助图象，求当时，自变量x的取值范围； （2）对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； （3）当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是，求n和b的值以及m的取值范围． 【答案】（1）①抛物线与x轴的交点坐标为和；②图见解析，或 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的最值问题，画二次函数图象等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出二次函数解析式，再求出函数值为0时的自变量的值即可得到答案；②先列表，再描点和连线画出对应的函数图象，再根据函数图象可得增减性，进而可得答案； （2）先求出c，再把解析式化为顶点式得到顶点坐标，进而可得答案； （3）根据题意可得直线与抛物线的两个交点为和，且直线在抛物线的下方，根据对称性结合对称轴计算公式可得b的值，进而得到二次函数解析式和顶点坐标，据此可求解． 【小问1详解】 解：①∵二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点，且二次函数的函数图象经过， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； ②列表如下： x … 1 3 4 … y … 5 0 0 5 … 画函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，或； 【小问2详解】 解：∵二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴二次函数开口向上， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， ∵对于一切实数x，函数值总成立， ∴； 小问3详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是， ∴直线与抛物线的两个交点为和，且直线在抛物线的下方， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵抛物线顶点坐标为，直线在抛物线的下方， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省初中学业水平考试 数学模拟试题（五）练习卷 本试卷共12页，满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1． 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷指定位置上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3． 不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（ ） A. a B. b C. c D. d 2. 已知点和点关于原点对称，则的值为（ ） A B. C. D. 3. 已知一个水分子直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 4. 某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，六个直角边长均为1和的直角三角形围成两个正六边形，若向该图形内随意投掷一个点，则该点落在小正六边形内部的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，设表示甲图阴影部分面积，表示乙图阴影部分面积，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为是对角线，将绕着点顺时针旋转得到交于点，连接交于点，连接．则下列结论：①四边形是菱形；②的面积是；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：_______． 12. 若关于x，y的二元一次方程组的解是，则_____， _____． 13. 如图是长，宽的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为，如果设小道进出口的宽度为米，则可列方程为__________．（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形） 14. 如图，在中，，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交AC于点H，若H恰好为的中点，则的长为__________． 15. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，，都是平行四边形，顶点，，，，，，都在轴上，顶点，，，，，都在正比例函数的图象上，且，，，，连接，，，，，分别交射线于点，，，，，连接，，，，得到，，，，若，，，则的面积为_____________． 三、 解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值： ，其中x的值是不等式组的整数解． 18. 如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． （1）请求出的长； （2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 19. 2024年12月17日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时9小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各15名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示： 成绩x/分 七年级 4 3 5 3 八年级 0 0 5 10 平均数 中位数 众数 方差 七年级 15.4 a 16 8 八年级 182 18 b 说明：七年级抽取的15名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，15，16．根据以上信息，解答下列问题． （1） ； ； （2） （填“”“”或“”）．你认为哪个年级同学掌握有关“航天”的知识更好？请说明理由； （3）学校从“”范围内随机抽取了4名学生，其中有3名男生和1名女生，若从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2名学生恰好是2名男生的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，将直线向上平移2个单位长度后得到新的直线，点M在直线上，设点M的横坐标为．连接，． ①求的面积； ②当是直角三角形时，求点M的坐标． 21. 如图，是的直径，点是上的一点，点是延长线上的一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若于点，，，求的长． 22. 【问题背景】在数学活动课上，张老师带领同学们研究图形旋转时给出如下问题：如图1，在四边形中，，当点O为的中点时，则易证． 【类比分析】 （1）小青同学将两个等腰直角三角形卡片与（其中），拼摆成点C ，B， E共线时，如图2，连接，取的中点O，连接，请直接写出与的数量关系； （2）小阳同学在小青同学摆放的基础上，又将绕点B逆时针旋转角度α（），如图3，小阳得到的结论与小青是否相同？若相同，请写出证明过程；若不同，请说明理由； 【拓展应用】 （3）张老师带领学生在小青、小阳的基础上做进一步探究，将绕点B逆时针旋转α（），若，，当时，请求出线段的长． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点． （1）若该函数图象经过点． ①直接写出抛物线与x轴的交点坐标； ②在图中画出该二次函数图象，借助图象，求当时，自变量x的取值范围； （2）对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； （3）当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是，求n和b的值以及m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $