第一章空间向量与立体几何阶段性质量检测-2025～2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025~2026学年度高二数学第一章阶段性质量检测 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 1 4. 如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A B. C. D. 6. 正方体中，点P为线段上的动点，则下列结论不正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．直线与平面所成角的取值范围为 D．直线与直线所成的角为定值 7．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8. 教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9．已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角正弦值为 11. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 已知向量，若共面，则 ． 13. 已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为______. 14. 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是__________________ 四､解答题（本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）若点在平面上，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面直角梯形，，，，平面，，． （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的平面角的余弦值． 17．如图，在直三棱柱中，，，，M、N、P分别是、、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 18. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19.如图，在四棱锥 中， 平面 是棱 的中点， . (1)证明: 平面 . (2)求点 到平面 的距离. (3)若点 在棱 上，求平面与平面所夹锐角的余弦值的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度高二数学第一章阶段性质量检测答案解析 1.【详解】对于A，设，即，解得，所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，无解，所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，设，解得，所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得，所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.故选：B. 2.【详解】因为空间向量，， 所以向量在向量上的投影向量为：， 故选：C 3.【详解】∵，∴，又平面的一个法向量为， ∴点A到平面的距离为故选：B 4.【详解】、分别是对边、的中点， ，． ，因此，．故选：D 5.【详解】因为向量在基底下的斜坐标为）， 所以可得，设，即有即可得，解得， 即，即向量在基底下的斜坐标为.故选：A. 6.【详解】对于A，在正方体中，平面，平面，则，因，平面，故平面，因平面，故，同理可得， 因平面，则平面， 又点P为线段上的动点，即平面，故，故A正确； 对于B，易证，因平面，平面，故平面， 则点到平面的距离不变，又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则， 因点P为线段上的动点，设，，则， 因，设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成角为，则， 因在上单调递减，故，故得，故C错误； 对于D，根据C项建系，可得，设直线与直线所成的角为， 则，即，故D正确. 故选：C. 7.【详解】由题意两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直. 可得， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 在平面上，直线方程为，可设， 在平面上直线方程为，设，因此得， 由得，则，所以， 当且仅当时，取得最小值，此时分别是的中点， ，，，，， 设平面的一个法向量，则，取得， 设平面的一个法向量是，则，取得， 所以，由图可知，二面角的平面角为钝角. 所以二面角的平面角的余弦值为.故选：A 8.【详解】平面的方程为， 平面的一个法向量，同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量，设平面与平面的交线的方向向量为， 则，取，则设直线与平面所成角为， 则故选：A 9.【详解】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以，则 ．故C正确； 对于D，， 所以 故．故D错误.故选：ABC 10.【详解】 ， ，故 A 正确； ， ， ，故 B 错误； ，, ， 是平面的一个法向量，故 C 正确； 与平面 所成角的正弦值为： ，故 D 正确．故选：ACD. 11.【详解】对于A，若， 又因为平面，平面， 所以，又平面，可得平面， 所以，又因为是正方形，所以，所以点一定在线段上，故A正确； 对于B，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 当为的中点时，则，，， 设三棱锥的外接球的球心为，则， 即，解得， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球表面积为，则B正确； 对于C，如图，旋转平面，使之与平面共面， 连接交于，此时最短为，大小为，故C错误， 设线段上存在点，设， 则可得，又，，， 则，设异面直线与所成角为，若正切值为，则， 即，化简得， 解得，故线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为，故D正确. 故选：ABD. 12【答案】-7 13.【答案】 14.【详解】过和分别作，， ，， ， ， ，则，即， ， ，，，二面角的余弦值为，故答案为：. 15.【详解】（1）由已知得，，， 因为，，设，则，则，. 所以，或. （2）由已知得，，，. 点在平面上，四点共面，则，，共面，则存在唯一的一组，使得成立，即，解得， 所以，. 16. 【详解】 （1）由题意，平面，，， 以A为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系 则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，3，0）， 设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z）， =(1，0，﹣1)， =(0，2，0)， =(﹣1，1，0)， 则，取x=1，得=(1，0，1)， ∴点D到平面PBC的距离． （2）由（1）可得平面PBC的一个法向量为=(1，0，1)， 设平面PCD的一个法向量为， ， =(﹣1，1，0)， 则，取，得， 设二面角的平面角为，由图得二面角为钝角 故 17.【详解】（1）在直三棱柱中，，则，，两两垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，由，则， 由，则，由，且都在平面内，则平面. （2）设平面的一个法向量，，， 所以，取，则，所以， 故与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知， 所以点到平面的距离. 18.【详解】（1）在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面， （2）由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； （3）设，则，,, 的，， 设平面的一个法向量为 CQ与平面所成角的正弦值为， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的余弦值为． 19.【详解】（1）因为 平面，且 平面，所以， 因为，且，所以，且，平面，所以平面， 因为平面，所以，因为，是棱的中点，所以， 因为，平面，且，所以平面． （2）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以，,2,，,1,，,0,， 则， 因为点在棱中点上，所以的坐标为，设平面的法向量为，则，令，得， （3）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以， 则， 因为点在棱上，所以， 则,,，故， 设平面的法向量为，则， 令，得，由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 因为，所以，所以， 即，故平面与平面夹角的余弦值的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $