第10节专题：双变量的恒成立与有解问题讲义-2026届高三数学一轮复习

如。■■■■■■■■■■■ 第十节专题：双变量的恒成立与有解问题 重点题型专练 【1】(m,3] 解折：2 1, ,,∈[13]，使得fx)≥g(x), .f(s)n≥g(s. 当x2eL,3]时，g(s)=g(0=2+a: 「1， 由对勾函数性质知：当2时6)=5,522+a, 解得：a≤3，即实数a的取值范围为(-m,3 a(劉 解析：因为对于x,e[1,3],3,e[1,3],f(s)2g(x)成立 故当x,∈[13]时，f)n≥g(sa 因为)=x+名在[]递减53]递增且 0=3,0=+号号故=间=号 而g()=-x+a在[13]递减，故g()=g(3)=a-3 所以号4-3，解得：9即的取值范用是（一9】 解析：因为x∈[0,3]，32∈L,2]使f（x)sg(x,),所以f()≤g(x), 因为x∈[0,3]时 f(x)=-x2+4x-5=-(x-2)-1≤-1，当且仅当x=2时等号成立， 由对勾函数的性质可得g(x)=x+二+a在x∈L,2习上单调递增， 所以e6以+a,所以子+a21,解得a2子 所以，实数a的取值范围为厂2+“ 【4】(-0,2] 解析：由题意，只需f()。≥g(x)s,又由函数f()在L习上单调递减 故f(x)。=f(2)=1,g(x)在[-2，-刂上单调递增， 故g(x)x=g(-1)=-1+a, 所以1≥-1+a,解得a≤2 所以a的取值范用为(-∞，2]， 【6】m≤-或m≥5 解析：由题设f(x)=x2-4x+4=x-2)2,在x∈[1,4]上f(x)e[0,4] 要使任意的x∈[14]，总存在x,∈[1,4]，使f(x)=g()成立 所以[0,4是g(x)值域的子集，显然m=0时()e5)不满足题设 m<0 「m>0 2m+5≤0或5-m≤0，可得m≤-；或m≥5 5-m≥4 2 2m+524 【6】(1)f(x)=4x2+7x+1(x∈R):(2)（-m,1 解折：(1)令宁-1，则x=+2。 “0=(2+2-22+2)-2=42++1, ∴.f(x)=4x2+7x+1(xeR). a)第间知：)=+日八君 当x∈[-2，-1]时，f(x)单调递减，f（-2)=3,f(-1)=-2 所以fx)e[-2,3] g(x)在[-13]上单调递增， 当xe[-l3]时，g)e[2a-4,2a] 因为对任意x∈[-2，-1，总存在x,∈[-1,3]，使得()≥g(s)成立 所以只需f(c)≥g()由题意，得2a-4≤-2，解得a≤1 故实数a的取值范围是（∞，1]. 【7】(1)f(x)=x2-2x-3(2)答案见解析(3)V5-2,+∞） 解析：(1)因为(2-x)(),则(x)的图象关于直线x=1对称且在 x轴上藏得的线段长为4，(x)的图象与x轴的交点分别为 -1,0),(3,0),所以设f（x)=a(x+1)(x-3)(a≠0) 该函数的图象经过点(2，-3)，解得a=1,所以f(x)=x2-2x-3. (2)因为g)=x-(a+2k-3,其对称轴方程为x=a+2 2 当<0，即a<-2时.y.=80)=-3. 当0=生2s2,即-2as2时=生)-9 2 4 当安22，即a>2时=a间=-a-3 综上所述，当a<-2时，ym=-3, 当25a≤2时=白+2-3 4 当a>2时，m=-2a-3. (3)若对于任意x∈[0,2]，总存在x∈[0,2]，使得()≥g)成立， 等价于[(1[g()1 函数=款-2(-岛号 因为ea],所以当子=号时，4（取得最小值-号 当a<-2时，[】[g】,所以子≥-3，不成立 当2≤a≤2时，[(】[g儿，所以之-a+2-3, 解得a≤-2-5或a≥5-2，所以5-2≤a≤2 当a>2时[a】[1,所以子≥2a-3,解得a音，所以 a>2综上所述，a的取值范围是[W5-2+∞) 【8】(1)a=4,f(x)的最大值为5，最小值为4：(2)[3，+m)U(-m,3]. 解析：(1)f)=1+a=5,解得：a=4, 所以6)=+4=x+4,1≤x≤4， /1-÷--+ x2 当x∈[几，2)时，f()<0,当x∈(2,4]时，f")>0, 故(x)在x=2处取得极小值，也是最小值，且f（2)=2+2=4 又f1)=f(4=1+4=5, 所以函数f(x)的最大值为5，最小值为4： (2)若对任意x,∈[，4，总存在x,∈[-2,2]，使得g()=f()成立， 只需g()=:-1在-2≤x≤2上的值域包含f()在[1,4]上的值域， 由(1)知：()在[L,4]上的值域为[4,5] 显然当=0时，g()=-1(2≤x≤2)不满足要求， 当>0时，8()&-1(-2≤≤2)单调遥增，故62》2-1≤4 g(2)=2k-1≥5 结合k>0,解得：2≥3 ,8(-2)=-2k-125 当<0时.g红-12≤x≤)单调递减，故g()-2让-1≤4' 结合k<0,解得：k≤-3，综上：实数k的取值范围为3，+∞)U(-n,-3 【9】(1)奇函数(2)证明见解析(3)（0，-4[-2,2[4，+) 解析：(1)f(x)为奇函数， 证明：因为f(x)的定义域为R 且对x,yeR,f(-y)=f(x)-f(y) 令x=y=0,则f(0)=f(0)-f(0),则f(0)=0: 令x=0,则()=fo),则f(y)=-f(y),即f(-x)=-fx) 所以函数(x)是奇函数 (2)设任意xx2∈R且x>x2,由f(x-y)=f(x)-f(y), 则f)f()=f(-x). 又当x>0时，f(x)<0,所以当x-x2>0时，有f(x-x2)<0, 所以f(s)f(s2)<0,即f(s)<f(2), 所以函数)在R上是减函数. )因为，所以付) 又在[ 上延洗所®e[四[别 所以持a[P切2+a-9相成立 等价于：a∈-l,1,-t2+6at-9≤-1恒成立， 即a∈[-l,1],6ta-t-8≤0恒成立， 设g(a)=6ta-t2-8,ae「-l1],是关于a的一次函数， 所以/3()s 「-t2-6t-8≤0 ,[t≤4或t≥-2 ,即 g(1)≤0 {-+6d-8≤0，则t≤2减≥4， 所以te(∞，-4[-2,2[4，+∞） 【10】(1)证明见解析(2)（-4,1)(3)（m,-6U[6,+∞) 解析：(1)由题意函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称， 令x=y=0,则f0+0)=f(0)+f(0)=2f(0),故f(0)=0 令y=-x,则fG-x)=f(x)+f(-x)=0,故f(-x)=-f(x) 故f)为奇函数。 (2)任取x,x2eR,且x>x2.由题意 x-x,>0,-x)<0,f)=-x2+x)=f(-x)+), 故f(x)-f（x2)=fx-x2）<0,即f(x)<f(x) 又x>x,故fx)在R上为减函数. 因为f(-1)=1,所以f)=-1,f（2)=f1+1)=-1-1=-2, 故f2+2x)-f(2-x)>-2即f(x2+2x)+f6-2)>f(2), 即x2+2x+x-2<2,化简可得x2+3x-4<0,解得x∈(-41) (3)由(2)知(x)在[-1,1上为减函数， 故f(x)在[-11]上最大值为f(-1)=1. 要使f(x)sm2-5t-5对任意的x∈[-1,1]，te「-L1]恒成立，则 m2-5mt-5≥1，即-5t+m2-6≥0对任意t∈[-1,1]恒成立. 又y=-5mt+m2-6是关于t的一次函数，故只需 」-5m×(-1)+m2-6≥0 -5m×1+m2-6≥0 即m-lm+6)上0 {m-60m+1)20,解得me(n-可]U[6,). 【[匠：a(国-y[3网 解析：(1)因为二次函数f()=x2-(a+1x+a,aeR, 所以关于x的不等式f(x)≤-1对x∈(2,3]恒成立， 转化为a(x-1)≥x2-x+1对x∈(2,3]恒成立， 即a≥-L对，3]恒成立 x-1 令y=-x+1-区-+(x-+1 x-1 x-1 141,记 因为x∈(2,3，所以t∈(1,2， 则y=t+上+1teL,2],因为y=t+上+1在te0,2习上单调递增， 似2子所以后小 (2)对x∈[0，]，3，e[-12],使不等式g()2f()成立， 转化为g(x)a≥f(x)i :g(x)=x-1x∈[0,1] “g()在[0,1]上单调递增，“g)m=g(0)=-1, e+号u, 4 ①当宁s-1,即a≤-3时.f)在[12]上单调递端， .fx)n=f(-1)=2a+2, 此时-1≥2a+2,且a≤-3，解得a≤-3： ②当a≥2，即a≥3时，)在[-12]上单调递减， 2 ∴.f(x)n=f(2)=2-a, 此时-1≥2-a,且a≥3，解得a≥3； ③当-1<牛<2，即3<a<3时，7问)在-1 2 2 上单调递减，在 [告上单诺数 ）=+2a上，此时-12a+2a-1,且-3<a<3, f=八2 4 4 解得-3<a≤-1，综上所述，实数a的取值范围为(”，-U[3,+). 【12】(1)奇函数(2)f(x)在(0，+∞)上单调递增，证明见解析 (3)(-,-3]U[6,+o). 解析：(1)函数(x)为R上的奇函数证明如下： 易知函数f()的定义域为R,令y=-1,则f(x)=f(x)f(-), 又(-)=-1，所以f(-x)=-f(x),所以函数f)为奇函数. (2)f(x)在(0，+∞)上的单调递增，证明如下： 由(1)知，)=-f(-1)=1 当0陈，0=小)小安1，所以0 从而f)=fGF)=(F0 >0.题))5安)在 - 因为2>x>0,所以f()>0,0<主<1，又当0<x<1时，f)(0,, X 防双0色}1，所以)0，所以小 故f()在(0，+o)上的单调递增。 (3)由(1)知，函数f()为R上的奇函数，所以f0)=0, 由(2)知，当x>0时，f(x)>0,且f(x)在(0，+∞)上的单调递增， 所以(x)在R上的单调递增， 所以当x∈[l,1]时，函数(x)的最大值为f)=1,最小值为 f(-1)=-1, 又任意，∈[-l1],总有2f()-f(,≤m-am-2恒成立， 所以2[f()x-f(s)min]sm2-am-2,即m2-am-6≥0， 由题意，m2-am-6≥0对ae[-l5]恒成立，令g(a)=-ma+m2-6,则 e以20，所6年得s度36 故实数m的取值范围是（∞，-3U6,+∞） 第十节 专题:双变量的恒成立与有解问题 122 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:单变量的恒成立与有解问题 常常有两种处理方法: （1）分类讨论法,利用参数的范围对函数进行分类讨论. （2）分离参数法:（分离参数法的前提是分离后系数可以与0比较大小） 通过分离参数,把参数的范围问题转化为区间上函数的最值问题. （此方法需要重点掌握） 对,恒成立; 对,恒成立; 对,有解; 对,有解; 注意:单变量的恒成立问题与第二章不等式的恒成立问题处理方式相同,故本专题不做重复练习. ▍知识点2:双变量的恒成立与有解问题 一般地,已知函数, （1）若,总有成立,故; （2）若,总有成立,故; （3）若,有成立,故; （4）若,有成立,故; （5）若,有成立,故. ▍知识点3:相等关系 记的值域为的值域为, （1）若,有成立,则有; （2）若,有成立,则有; （3）若,有成立,故; 结论不需要背,重在理解！ ▍练题型 双变量的恒成立与有解问题 1 【典例▪1】已知函数,.若,,使得,求实数的取值范围. 【典例▪2】已知,,对于,,成立,求实数a的取值范围. 【典例▪3】已知,若对于使,求实数的取值范围. 【典例▪4】已知函数,,若对任意,,都有成立,求a的取值范围. 【典例▪5】已知,,若对,,使成立,求实数m的取值范围. 【练习▪6】已知函数. （1）求函数的解析式; （2）已知.若对任意,总存在,使得成立,求实数a的取值范围. 【练习▪7】已知二次函数满足,且该函数的图象经过点,在x轴上截得的线段长为4,设. （1）求的解析式; （2）求函数在区间上的最小值; （3）设函数,若对于任意,总存在,使得成立,求a的取值范围. 【练习▪8】（2022·北京高三北师大实验中学校考）已知函数,且. （1）求实数的值,并求函数的最大值和最小值; （2）函数,若对任意,总存在,使得成立,求实数的取值范围. 【练习▪9】定义在上的函数满足:对任意的,都有,且当时,. （1）判断的奇偶性; （2）求证:函数在上是减函数; （3）若,且,, 恒成立,求实数的取值范围. 【练习▪10】已知函数的定义域为,并且满足下列条件:①;②对任意,都有;③当时,. （1）证明:为奇函数. （2）解不等式. （3）若对任意的, 恒成立,求实数m的取值范围. 【练习▪11】（2024·黑龙江高一校考期末）已知二次函数. （1）若关于的不等式对恒成立,求的取值范围; （2）已知,若对,使不等式成立,求的取值范围. 【练习▪12】定义在上的函数满足:对任意的实数,均有,且,当时,. （1）判断的奇偶性; （2）判断在上的单调性,并证明; （3）若对任意,,,总有恒成立,求的取值范围. $