第8节 函数的周期性与对称性 讲义-2026届高三数学一轮复习

第八节 专题:函数的周期性与对称性 116 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:函数的周期性 1.周期函数的定义 （1）周期:若函数对定义域内的任意满足:,则为函数的周期. （2）最小正周期:如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 注意: （1）若非零常数是的周期,则也是的周期. （2）若非零常数是的周期,则（为任意非零整数） 也是的周期. 2.周期的重要高频4条结论 （1） 一般形式为 （2） 一般形式为 （3） 一般形式为 （4） 一般形式为 3.周期的其他相关结论（基础薄弱可略作了解即可） （1） （2） （3） （4） 恒等式特征:函数值相等,左右两边的的系数相同,可联想偶函数周期定义. ▶练基础 判断函数的周期 1 【典例▪1】根据结论判断下列抽象函数的正周期: ①; ②; ③; ④; ⑤; ⑥; ⑦; ⑧; ⑨; ⑩; ⑪; ⑫; ⑬; ⑭; ⑮; ⑯. ▍知识点2:函数的对称性 1.轴对称 （1）图象关于直线对称;（或） （2）图象关于直线对称. 恒等式特征:函数值相等,左右两边的的系数相反,可联想偶函数. 2.中心对称 （1）函数图象关于点成中心对称;（或） （2）函数图象关于点成中心对称;（或） （3）函数图象关于点成中心对称. 恒等式特征:函数值的和为常数,所含的两个系数相反,可联想奇函数. ▶练基础 判断函数的对称性 2 【典例▪2】根据结论判断下列抽象函数的对称性: ①; ②; ③; ④; ⑤; ⑥; ⑦; ⑧; ⑨; ⑩; ⑪; ⑫; ⑬; ⑭. 【典例▪3】函数的对称性与周期性的辨别: ①; ②; ③; ④; ⑤; ⑥ ⑦; ⑧. ▍知识点3:函数对称性与周期性的关系 （1）若关于点对称,则是周期函数,且其中一个周期; （2）若图象有两条对称轴,则是周期函数,且其中一个周期; （3）若关于点对称,且关于对称,则是周期函数,且其中一个周期; 注意:若一个函数具有“①中心对称;②轴对称;③周期性”中的任意两个条件,则第三个也必然成立.即在①②③中可以“知二求一”.在客观题中要学会运用图象迅速观察出周期. ▶练基础 函数对称性与周期性的关系 3 【典例▪4】判断下列函数的周期并画出满足题意的简图: （1）为奇函数且满足; （2）为偶函数且满足; （3）为偶函数且满足; （4）为奇函数且满足; （5）为偶函数且满足; （6）为偶函数且满足; （7）为奇函数且满足; （8）为偶函数且. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 利用函数的周期性求值 1 【典例▪5】若偶函数满足,当时,,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪6】（2022·河南高一）已知函数的定义域为,满足,且当时,,则（    ） A.5 B.6 C.7 D.8 【练习▪7】（2023·高一专题）已知偶函数满足,则 . 【练习▪8】已知定义在R上的函数满足,且当,则＝ . 【练习▪9】（2023·广东高一专题练习）已知,函数都满足,又,则 . ▍练题型 利用函数的周期性求解析式 2 【典例▪10】（2024·长春）定义在上的奇函数满足,当时,,求当时,的解析式. 【练习▪11】（2024·甘肃）若定义在上的函数满足,当时,,求当时,求函数的表达式. 【练习▪12】函数是周期为2的周期函数,且,,求在区间上的解析式,其中. 【练习▪13】是定义在R上的奇函数,且对任意x,恒有.当时,. （1）求证:是周期函数; （2）当时,求的解析式. 【练习▪14】函数是以4为周期的周期函数,且当时,,试求当时, 的解析式. ▍练题型 周期性与对称性的综合应用 3 【练习▪15】已知定义在上的函数满足,且,则（    ） A. B.1 C. D.3 【练习▪16】（2024·贵州统考）已知定义在上的函数满足,,则下列选项不一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【练习▪17】（2024·山东省实验中学校考）已知函数为R上的奇函数,为偶函数,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪18】（多选）已知定义在上的函数满足,当时, ,则下列结论正确的是（    ） A.为周期函数,且周期 B.是的一条对称轴 C.为奇函数 D. 【练习▪19】（多选）函数的定义域为,已知是奇函数,,当时,,则下列各选项正确的是（    ） A. B.在单调递增C. D. 【练习▪20】（多选）已知函数是定义域为R的偶函数,是奇函数,则下列正确的是（   ） A. B. C.是以4为周期的函数 D.的图象关于对称 【练习▪21】（多选）已知是定义在上的偶函数,且是奇函数,当时,,则（    ） A.的值域为 B.的最小正周期为4 C.在上有3个零点 D. 【练习▪22】（多选）已知是定义在上的偶函数,满足,且在上单调递减,则下列所给结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【练习▪23】（2024·高三河南阶段练习）已知函数对任意的都有.若函数的图象关于对称,且,则（    ） A.0 B.4 C.5 D.8 【练习▪24】已知满足对任意恒成立,又函数的图象关于点对称,且则（    ） A. B. C. D. 【练习▪25】（多选）以下四个命题中图象关于直线对称有（　　） A.若,则的图象 B.与的图象 C.若为偶函数,且,则的图象 D.若为奇函数,且,则的图象 【练习▪26】（21-22高二·福建·期末）（多选）已知函数满足,又的图象关于点对称,且,则（    ） A. B. C.关于点对称 D.关于点对称 【练习▪27】（2023·沈阳联考）已知定义在上的函数满足,且函数是偶函数,当时,有,则的值为_______. 【练习▪28】（2024·安徽）已知是定义域为的奇函数,满足,若,则_________. 【练习▪29】（2024·全国模拟）已知函数的定义域为,,且为奇函数,为偶函数,则_________. 【练习▪30】奇函数的定义域为,若为偶函数,且,则 . 【练习▪31】设是定义在R上的函数,且对任意实数,恒有,当时,. （1）当时,求的解析式; （2）计算. $第八节专题：函数的周期性与对称性 核心基础导学 【1】详见解析 解析：①f(x+6)-f(x)=0等价f(x+6)=f(x),T=6-0=6 ②T=3-4=7 ③T=24-0=8 ④T=20-(-2到=4 ⑤f()+f(+7)=0等价f()=-f(+7),T=20-=4 ⑧T=22-7=10 ⑦f(-2+f(+3)=0等价f(-2)=-f(+3),T=22-3=10 ⑧T=2-0=6 ⑨T=2-(4=12 @f)/+)1等价于)7衣+可，7=20-到6 ⑩+/6+列=2等价于++到7=2-4 @T=2-0=2 ③T=2-1-3=8 ④T=20-3=6 ⑤(+2=1等价于)7+习，1=20-24 -2 f-/6+2=-2等价于-3列=7+27=2斗3-2斗10 【2】详见解析 解析：①因为(3+)=6-)，满足轴对称模型，x=3+3=3,所以函 2 数关于x=3成轴对称 ②因为+)=4-)，满足轴对称横型，x=2牛4=3，所以函数关 于x=3成轴对称 ③因为f3+x)-f(x-7)=0,等价于f(3+x)=f(x-7),满足轴对称 模型，x=3,2=-2,所以函数关于x=-2成轴对称 ④因为f1+x)-f(3-x)=0,等价于f(1+x)=f(3-x),满足轴对称模 型，x=牛3=2，所以函数关于x=2成轴对称 2 ⑤因为了4+3)=(6-3)，满足轴对称模型，x=4,5=-1,所以函 2 数关于x=-1成轴对称. ©因为2x)=f(6-2),满足轴对称模型，x=06=-3,所以函数关 2 于x=-3成轴对称 ⑦因为了4+)+4-)=0，满足点对称模型，x=4+4=4,所以函数 2 关于(4,0)成点对称 ©因为6)+2-x)=0,满足点对称模型，x=0,2=-1,所以函数 2 关于(-1,0)成点对称 ⑨因为/x)+4-2)=0,满足点对称模型，x=0+4=2,所以函数 2 关于(2,0)成点对称 ⑩因为f1-3x)=-f(7+3x),等价于f-3x)+f(7+3x)=0,满足点对 称模型，x=147=4所以函数关于40)成点对称 2 ①因为f(3+x)+f(3-x)=4,满足点对称模型，x 343=3,所以函数 2 关于(3,2)成点对称 @因为)+6-)=2，满足点对称模型，x=⊙+6=3，所以函数关 2 于(3，)成点对称 ③因为f1+x)=4-f3-x),等价于f(1+x)+f(3-x)=4,满足点对称 模型，x=+3=2,所以函数关于(2,2)成点对称。 ④因为f（2x)=4-f(6-2x)等价于f(2x)+f(6-2x)=4,满足点对 称模型，x=0,6-3,所以函数关于(3.2成点对称 2 【3】详见解析 解析：①x前系数为异号，表示对称性，则对称轴为x=4+0=2 2 ②x前系数为同号，表示周期性，则正周期为T=4-(-1=5 ③x前系数为异号，表示对称性，则对称轴为x=6,2=2 2 ④x前系数为同号，表示周期性，则正周期为T=4-2=6 ⑤x前系数为同号，表示周期性，则正周期为T=6-24 ©x前系数为异号，表示对称性，=4生=3，对称点为(3,0) 2 ⑦x前系数为同号，表示周期性，则正周期为T=21-2=6 国前系数为异号，表示对将信号对将点为[侣0 【4】详见解析 解析：(1)因为fx)为奇函数，所以f（x)关于(0,0)点对称，且满足 f(4+x)+f(-x)=0,则f(x)又关于(2,0)点对称， 所以周期T=22-0=4,图像如下图. (2)因为f(x)为偶函数，所以f(x)关于x=0轴对称，且满足 f(4+x)=f(2-x),则f(x)又关于x=3轴对称 所以周期T=2-0=6,图像如下图 (3)f(x-1)为偶函数，则f(x-关于x=0轴对称，而f(x-1)是由 f()向右平移一个单位得到，等价于f(x)向右平移一个单位关于 x=0轴对称，f(则关于x=1成轴对称，且满足f(x)+f(2-x)=0, 则f(x)又关于(L,0)成点对称，所以周期T=4-(-1=8,图像如下图 (4)(x+5)为奇函数，则f(x+5)关于(0,0)点对称，而f(x+5)是由 f(x)向左平移5个单位得到，等价于f(x)向左平移5个单位关于(0,0) 点对称，f()则关于(5,0)成点对称，且满足(2+x)=-f(2-x),则 f()又关于(2,0)成点对称，所以周期T=25-2=6,图像如下图. 11 (5)f(x)为偶函数，所以f(x)关于x=0轴对称，且满足 f(-2+x)+f(6-x)=2,则f(x)又关于(2,1)成点对称，所以周期 T=42-0=8,图像如下图 (6)∫(x+2)为偶函数，则f(x+2)关于x=0轴对称，而f(x+2)是由 (x)向左平移2个单位得到，等价于f(x)向左平移2个单位关于x=0 轴对称，f(x)则关于x=2成轴对称，且满足f(x)+f(8-x)=-2,则 f)又关于(4，-1)成点对称，所以周期r=44-2=8,图像如下图 (7)f(2x+1)为奇函数，则f(2x+1)关于(0,0)点对称，则f(x+1)同样 关于(0,0)点对称（伸缩变换是横坐标发生倍数变化，原点是0所以位置 不发生变化)，而(x+1)是由f)向左平移1个单位得到，等价于 f(x)向左平移1个单位关于(0,0)点对称，(x)则关于(10)成点对称 且满足f(8+x)=f(-2-x),则f(x)又关于x=3成轴对称，所以周期 T=43-1=8,图像如下图 y个 (8)f(4x-2)为偶函数，则f(4x-2)关于x=0轴对称，则f(x-2)同 样关于x=0轴对称（伸缩变换是横坐标发生倍数变化，原点是0所以位 置不发生变化)，而f(x-2)是由(x)向右平移2个单位得到，等价于 f(x)向右平移2个单位关于x=0轴对称，(x)则关于x=-2成轴对称， 且满足f(4+x)+f(-2-x)=0,则f(x)又关于(L,0)成点对称， 所以周期T=42-=12,图像如下图. 89101 【5】C 解析：由己知可得 f(x+2)+f(x)=0→f(x+4)+(x+2)=0→f(x+4)=f(x),即T=4 是函数)的个烟期所以仔)（引付）+1故 选：C 【6】D 解析：因为f(9+x)=(-3+x),所以f(x)的周期为12， 因为2022=12x169-6,所以f(2022)=f(6), 因为当xe[6,6)时，f)=k-斗， 故f(2022)=f(-6)=-6-2=8.故选：D 【7】0 解析：令x=-2,则f(2)=f(-2)+2f（2),又f(-2)=f(2) 所以(2)=0，于是f+4)=()+2f(2)化为：(x+4)=f) 所以f(x)的周期T=4,所以f(2022)=f(505×4+2)=f(2)=0.故答案 为：0. 【8) 解折：由付)了+4可得(+4)了+8 所以代+8)7衣+子)，故代句为周期函数且周期为8。 1 有片故答案为片 【 解析：根据题意，f(x)f(x+4)=1,显然f(x)≠0， 右 所以+8)7+马，所以函数()的周期为8. 所以)=/)72.故答案为：号 【10】f(x)=x2+9x+18 解折：因为f(-3列=-f(x),所以f(x)=-f+3) 则f(x-3)=f(x+3),所以f(x+6)=f(x),可得函数f(x)的周期为6， 又当x∈[0,3]时，f)=x2-3x, 则当x∈[6，-3]时，x+6∈[0,3]， f(x)=f(x+6)=(+6)-36+6)=x2+9x+18 【11】fx)=x2-10x+24 解析：由f(2+x)=-(x),可知f(x)的周期为4 ,当x∈[0，】时f6x)=x2-2x, ∴.当x∈[4,5时，x-4e[0, .f(x)=f6-4)=(-4)2-20x-4)=x2-10x+24 【12】f(x)=(x-2n)2,neZ 解析：令x∈[2n-l2n+1]→x-2ne[-l且neZ,则 f(x-2n)=(K-2n)2, 又f（x+2)=fx),则fx)=f(x-2n),即f(x)=(x-2n2 综上，在区间[2n-l2n+上f()=(x-2n)2,nez. 【13】(1)证明见解析：(2)f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4] 解析：(1)证明：，fx+2)=-fx), ∴，f(x+4)=-f(+2)=f(x). ,x)是周期为4的周期函数 (2),x∈[2,4，∴.-x∈[4，-2]，∴.4-x∈[0,2] ∴.f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8. ”f4-x)=f-x)=-f6,-f)=-x2+6x-8, 即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4] [x-24≤x<6 【14】f(x)= 2 6,65x<8 2 解析：依题意，函数y=f(x)是以4为周期的周期函数， 当4≤x<6时，0≤x-4<2, 所拟-小号+1号 2 当6≤x<8时，-2≤x-8<0, 所以f)=(-8)=-8+1==6 2 21 缘上所述，了)=24s<6 「x-2 665x<8 02 【15】C 3 3 解折：由+2)而，可得心+4)心+2，所以)的 周期为4，则f0)-fo)=3 f(2) =-3.故选：C 【16】C 解析：方法一：因为f(2-x)+f(x)=0,f1-x)-f(x)=0, 可得 f)=0,f(2-x)=-f1-x),f(2+x)=-1+x),f1+x)=-f(x), 即得f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为2 令x=1,可得f)=f(0)=0,故A,B正确： 又f(x)的周期为2，所以f(2024)=f(0)=0,故D正确：而C不一定正确. 故选：C. 方法二：由f2-x)+f)=0可知，f)关于(L0)成点对 称-)f()=0可知关于x=行成轴对称所 1=巾？.令1，可得7刊=0=0，黄B正瑞汉7问的周 期为2，所以f(2024)=f(0)=0,故D正确：而C不一定正确 【17】C 解析：方法一：对于A中，函数f1+x)为偶函数，则有f1+x)=1-x) 可得f(2+x)=f(x),又由()为奇函数，则 f-2-x)=-f(2+x),f(-x)=-f(x) 则有f（-2-x)=-f(-x),所以-f(-2-x)=-fx),即f(-2-x)=f(x), 所以A错误： 对于B中，函数f1+x)为偶函数，则有f1+x)=f(1-x),所以B不正确： 对于C中，由f(2+x)=f(-x)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x+2)=f(x-2),所以C正确： 对于D中，由f(x)是周期为4的周期函数，可得 f(2023)=f(-1+506×4)=f(-1)=-f1),其中结果不一定为0，所以D 错误.故选：C 方法二：函数f(1+x)为偶函数，所以f(x)关于x=1成轴对称，又因为 f(x)为R上的奇函数，所以f(x)关于(0,0)成点对称，则根据周期结论 T=4-0=4,可根据性质画出函数简图： 对于A中，(-2-x)+x)=0等价于函数关于(-10)点对称，由图像可 知错误 对于B中，()+)等价于函数关于x片成轴对称由图像可知 错误. 对于C中，fx+2)=f(x-2)等价于函数周期为4，正确 对于D中，由f(x)是周期为4的周期函数，可得 f(2023)=f(-1+506×4)=f（-1)=-),由图像可知错误，故选C 【18】BCD 解析：由题设f(4-x)=-fx)=-f(2-x),则f(6-x)=-f(4-x), 所以f(6-x)=fx),故x=3是f(x)的一条对称轴，B对： 且f(6-x)=f(2-x)一f6+4)=f(x),则f(x)为周期函数，且周期 T=4,A错： 所以f(4-x)=f(-x)=-f(x)且定义域为R,故f(x)为奇函数，C对： f(2024)=f606×4)=f0)=f(2-0)=f(2)=0,D对. 故选：BCD 方法二：由f(x)=f（2-x),f(x)+f(4-x)=0可得函数f(x)关于x=1 对称，关于(2,0)成点对称，所以周期为T=4,当1≤x≤2 时，f(x)=-x+2,可画出图像 、由图像可知选项的正误 【19】AC 解析：，f(+1)是奇函数，则+1)=-(-x+1)→x+2)=-f(-x), .f(-1+2)=-f0)→f)=0,故C正确： 又f(2+x)=f(2-x),故-f(-x)=f(2-x)→-f)=fx+2), 所以-f(x+2)=fK+4)=fx),即T=4是f(x)的一个周期，故A正确： 由f(x)关于(L,0)中心对称，即函数f()在[0,1上的单调性与[L2]上 的单调性一致， 由f)=a+2=0→a=-2,则x∈1,2]时，f(x)=-2x2+2,此时函数单 调递减，即B错误； 由上知：号-4+的=兮=-写=-2×官+2=号，故D错误 9 故选：AC 【20】ACD 解析：对于A项，由f(x+)-1是奇函数，可得函数f(x)关于点(1)对 称，所以有f1)=1,故A项正确： 对于B项，无法求出f(O)的值，故B项错误： 对于C项，函数(x)是定义域为R的偶函数，所以fx)关于x=0成轴 对称，又函数f(x)关于点(1，)对称，根据周期相关结论，所以有 T=4-=4,所以(x)是以4为周期的函数，故C项正确： 对于D项，因为(x+4)=f(x)=f(-x),所以x=2也是函数f(x)的对 称轴.又f(x)是以4为周期的函数，所以(x)的图象关于x=6对称，故 D项正确.故选：ACD. 【21】BCD 解析：对于A,因为f(x-1)是奇函数，所以f(x)的图象关于（-L,0)对称， 且f(0-1)=f(-1)=0, 因为f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，且当-1<x<1时，f()=x2, 作出(x)的图象，如下图所示： VA 由图可知，f()的值域为(1)，故A错误； 对于B,(x)的图象关于(L,0)对称，)为偶函数，图象关于y轴对 称，根据周期相关结论，所以有T=4-0=4,所以f(x)是以4为周期 的函数，故B正确. 对于C,由图象可得在[-11]上，f()的图象与x轴有3个交点，所以函 数在[-1,1]上有3个零点，故C正确；fx) 对于D,由题意得f⑤)=f1)=0,f(4)=f(0)=0,所以f(5)=f(4),故 D正确.故选：BCD. 【22】AC 解析：对于AB,因为f(2+x)=(2-),所以f3)=f), 又f)为偶函数，则f但)=f(-1),因为f()在[-2o]上单调递减，所 ,因此选项A正确，B错误： 对子m因为+小7-，所以得} 因为因为属函数所以)〔到 因为f)在[-2,0]上单调递减所以>，所以 3 侣}(.所以选项c正魔D错误故选AC 【23】D 解析：因为y=f（x+2)的图象关于直线x=-2对称， 所以y=fx)的图象关于直线x=0对称，即f(x)为偶函数， 因为f(x+2)-f(x)=f1),所以f(-1+2)-f(-1)=f1),又 f(-1)=f1), 所以f1)=0,可得f(x+2)=f(x),所以f(x)的最小正周期为2， 所以f(99)=f)=0,f100)=f0)=8,所以f(99)+f100)=8.故选：D. 【24】D 解析：因为对任意xeR,都有fr+3)=f0-)+9f(2) 令x=-1,得f(2)=f(2)+9f(2),解得f(2)=0, 则fx+3)=f1-x),即f(x+4)=f(-x), 所以函数(x)的图象关于直线x=2对称 又函数fx+)的图象关于点(9,0)对称，则函数fx)的图象关于点 (0,0)对称，即函数f)为奇函数，所以f(x+4)=f(-x)=-f), 所以f(x+8)=-f(x+4)=f),所以8是函数f(x)的一个周期 所以f(45)=f6×8-3)=f(-3)=-f(3)=-f0)=-2022,故选：D. 【25】AD 解析：因为f(1+x)=f1-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称 故A正确： 因为函数y=f(x-2)的图象是函数y=f(x)的图象向右平移2个单位 得到，函数y=f(2-x)的图象是函数y=f(-x)的图象向右平移2个单 位得到，又函数y=f(x)与函数y=(-x)关于y轴对称， 所以y=(x-2)与y=(2-x)的图象关于直线x=2对称，故B错误： 因为()为偶函数，且f(x+2)=-f(x),所以 fx+4)=-f(x+2)=f(x)=f(-x), 所以函数(x)关于直线x=2对称，故C错误： 因为f(x)为奇函数，且f(x)=f(-x-2) 所以f(x+2)=-f(x)=f(-x) 所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称，故D正确.故选：AD 【26】ABC 解析：将x=2代入f(x)=(4-x)+9f(2)得f(2)=f(2)+9f(2) 所以f(2)=0,故A正确： 将f(2)=0代入f(x)=f(4-x)+9f(2)得f(x)=f(4-x) 所以(x)关于x=2对称， f(x+9)是f(x)向左平移9个单位长度得到，因为(x+9)的图象关于 点(-9,0)对称，所以f(x)关于点(0,0)对称 所以f(x)=f(4-x),f(x)=-f(-x) 所以f)=f4-x)=-f(-4),f(x-4)=-f(x-4-4)=-f(x-8) 所以f(x)=f(x-8),所以f(x)的周期为8， 所以f(44)=f(4+8×5)=f(4)=f(0)=0 f(45)=f-3+8×6)=f(-3)=-f(3)=-f)=-2022 f(46)=f(-2+8×6)=f(-2)=-f(2)=0 所以f(44)+f(45)+f(46)=-2022,故B正确： 行-小+：是由问先向右平移一个单位符到化-)，再保持纵 坐标不变做坐标变为原来的三倍得到/仔-]小，最后向上平移3个单 位长度得到行-+ 所以了行-小3关于点B3到对称放C正确D错误：放选：ABC 【27】2 解折：曲付+（列=3可得，问关于）成点对称函数 f(+1)是偶函数，可得f)关于x=1成轴对称，根据周期结论可得 T=4h-0=4,所以f(x)为周期函数，且周期为4，f(2023)=f(-1)=2 【28】0 解析：因为f(x)是定义域为（∞，+∞）的奇函数，所以f(0)=0, 因为f1-x)=1+x),所以(x)关于x=1成轴对称，根据周期相关结 论可得T=4业-0=4所以f(x)的周期为4 因为f(0)=f(4)=0,f1)=3,f(x)关于x=1成轴对称，所以 f(o)=f(2)=0 f(-1)=f(3)=-f1)=-3, 所以f1)+(2)+f3)+f(4)=0, 则f+f(2)+f3)++f(2023)=505×0+0=0. 【29】-2 解析：因为x+》为奇函数所以)关于合0成点对称 司)为函数 所拟问关于=日成精对称所拟了传++ 因为(O)=2,可作出满足函数性质的简图 所以f四)=-f0)=-2,f(2)=-f0)=-2,f(3)=-f)=2, f(4)=f(0)=2,所以∑fk)=2+5×0-2-2=-2.故选：C. 【30】-2 解析：(4x+2)为偶函数，则f(4x+2)关于x=0轴对称，则f(x+2)同 样关于x=0轴对称（伸缩变换是横坐标发生倍数变化，原点是0所以位 置不发生变化)，而f(+2)是由f)向左平移2个单位得到，等价于 x)向左平移2个单位关于x=0轴对称，f(x)则关于x=2成轴对称， 因为f(x)为R上的奇函数，所以(x)关于(0,0)成点对称，则 根据周期相关结论，所以有T=42-0=8,所以f(x)是以8为周期的函 数，.所以f(2023)+f(2024)=f(252×8-1)+f(252×8)=f()+f(0), 又注意到f(x)为R上的奇函数，所以f(O)=0 又因为f1)=2, 所以f(2023)+f(2024)=f(-1)+f0)=-f0)+f(0)=-2+0=-2. 故答案为：-2， 【31】(1)fx)=x2-6x+8:(2)0 解析：(1)将f(x)=-f(4-x)中的x用-x代换得f(x)=-(+4). 又因为f(x+2)=f(x), 得fx+4)=-f(+2),将x用x-2替换得x+2)=-), 所以(x+4)=f(x),且f(-x)=-f(x) 所以函数周期为4，且函数是奇函数， 当x∈[-2,0]时，f)=-f(-)=x2+2x 向右移4个单位，当x∈[2,4]时，f()=(-4)2+2(-4)=x2-6x+8: (2)f(0)=0,f)=1,f(2)=0,f(3)=-1, 则f(0)+f四+f(2)+f(3)=0, 由周期是4知： f(0)+f包)+f(2)+f3)+f(4++(504×4+3)= f(o)+f(1+f(2)+f(3)=0.