第7节函数的奇偶性讲义-2026届高三数学一轮复习

第七节 函数的奇偶性 107 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:奇函数与偶函数 （1）偶函数:设函数的定义域为,如果,都有,且,那么该函数叫做偶函数. （2）奇函数:设函数的定义域为,如果,都有,且,那么该函数叫做奇函数. ▍知识点2:奇偶函数的辨析与对比 定义 结论 偶函数 定义域关于原点对称且 ①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件; ②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立; ③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反. 奇函数 定义域关于原点对称且 ①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件; ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立; ③如果奇函数在有意义,则.即当有意义时,奇函数的图象过坐标原点; ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同. ▍知识点3:理解函数的奇偶性要注意的三点 （1）函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其定义域内的每一个x,都有（或）,才能说函数是奇（或偶）函数. （2）函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件:定义域关于原点对称,换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性. （3）若奇函数在原点处有定义,则必有. ［对应练习:基础1、基础2］ ▍知识点4:函数奇偶性的运算性质 （1）奇函数奇函数=奇函数; （2）偶函数偶函数=偶函数; （3）偶函数偶函数=偶函数; （4）偶函数偶函数（不为0）=偶函数; （5）奇函数奇函数=偶函数; （6）奇函数奇函数（不为0）=偶函数; （7）奇函数偶函数=奇函数; （8）奇函数偶函数（不为0）=奇函数. 对于“奇函数偶函数”则无法判断其奇偶性 ▍知识点5:复合函数的奇偶性 （1）为奇,为奇,则为奇 证明:,所以为奇函数 （2）为奇,为偶,则为偶 证明:,所以为偶函数 （3）为偶,为奇,则为偶 证明:,所以为偶函数 （4）为偶,为偶,则为偶 证明:,所以为偶函数 可理解为只有,都是奇函数时,两者复合才是奇函数,其他情况均为偶函数. ▍知识点6:常见的奇偶函数（要背） 奇函数:;;;（是奇数） 偶函数:;;;; ;（是偶数）. ［对应练习:基础3—基础6］ ▶练基础 函数奇偶性的相关概念 1 【典例▪1】判断正误并说明理由.（正确的填“√”,错误的填“×”） （1）图象关于坐标原点对称的函数是奇函数.（ ） （2）奇函数的图象一定过坐标原点.（ ） （3）图象关于y轴对称的函数是偶函数.（ ） （4）偶函数的图象一定与y轴相交.（ ） （5）若为奇函数,则必有.（ ） （6）是定义在上的函数,若,则一定是偶函数.（ ） （7）函数,若存在x,使,则函数一定是奇函数.（ ） （8）不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.（ ） （9）若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.（ ） （10）若是偶函数,则.（ ） ▶练基础 根据定义判断函数奇偶性 2 根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下: ①判断函数的定义域是否关于原点对称.若不对称,则函数为非奇非偶函数,若对称,则进行下一步; ②验证:或; ③下结论:若,则为奇函数;若,则为偶函数;若,且,则为非奇非偶函数. 【典例▪2】判断下列函数是否具有奇偶性: （1）; （2）; （3）; （4）; （5）; （6）; （7）; （8）. ▶练基础 根据奇偶性性质判断奇偶性 3 【典例▪3】函数为奇函数,为偶函数,在公共定义域内,下列结论一定正确的是（    ） A.为奇函数 B.为偶函数 C.为奇函数 D.为偶函数 【典例▪4】设函数,的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则（    ） A.是偶函数 B.是偶函数 C.是奇函数 D.是奇函数 【练习▪5】（多选）已知是奇函数,是偶函数,且,则（    ） A.是奇函数 B.是奇函数 C.是奇函数 D.是奇函数 【练习▪6】（多选）已知是定义在上不恒为0的偶函数,是定义在上不恒为0的奇函数,则（    ） A.为奇函数 B.为奇函数C.为偶函数 D.为偶函数 【练习▪7】（多选）已知,都是定义在上且不恒为0的函数,则（    ） A.为偶函数 B.为奇函数 C.若为奇函数,为偶函数,则为奇函数 D.若为奇函数,为偶函数,则为非奇非偶函数 【练习▪8】利用奇偶性的性质判断函数的奇偶性: （1）; （2）; （3）; （4）. ▶练基础 奇偶性图像的简单应用 4 【典例▪9】定义在上的偶函数在上的图象如图所示,补全函数的图象,并根据图象写出不等式的解集. 【练习▪10】已知定义域为的奇函数在区间单调递减,且,则不等式的解集是 . 【练习▪11】已知偶函数和奇函数的定义域都是,且在上的图象如图所示,则关于的不等式的解集为________. ▶练基础 利用奇偶性质求函数值 5 【典例▪12】若是奇函数,且,则 . 【变式▪13】函数,其中a、b、c是常数,且,则 . 【变式▪14】已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,则 . 【练习▪15】已知函数是定义在上的奇函数,当时,,且,则________. 【练习▪16】若函数为奇函数,则 . 【练习▪17】（2023·全国高一）已知函数是定义在上的奇函数,且,则 . ▶练基础 利用奇偶函数特性求参数值 6 【典例▪18】设函数是定义在上的奇函数,则的值为 . 【典例▪19】若函数为奇函数,则实数 . 【练习▪20】若函数是上的偶函数,则的值为 . 【练习▪21】已知是奇函数,则 . 【练习▪22】若为奇函数,则 . 【练习▪23】（2023·上海）若函数是定义在上的奇函数,则 . 【练习▪24】已知函数是偶函数,其定义域为,则 . ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 通过奇偶性辨别函数图像 1 【典例▪25】函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 【典例▪26】函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 【练习▪27】函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 【练习▪28】函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 【练习▪29】函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 【练习▪30】函数的图像大致为（   ） A.   B.   C.   D.   ▍练题型 利用奇偶性比较大小 2 ①在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小; ②不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间,然后利用单调性比较大小. 【典例▪31】若函数是偶函数,且在区间上单调递减,则（    ） A. B. C. D. 【变式▪32】已知在上的函数满足以下条件:①,②对任意,当时都有,则,,的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【练习▪33】设函数是奇函数且对任意正实数,恒有,则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. ▍练题型 利用奇偶性转换区间求解析式 3 注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量,然后把转化为为另一区间上的解析式中的变量,通过互化,求得所求区间上的解析式. 【典例▪34】已知函数是定义在上的奇函数,当时,,求函数的解析式. 【练习▪35】函数是定义在上的偶函数,当时,,求函数的解析式. 【练习▪36】已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,求函数的解析式. 【练习▪37】已知函数是定义在上的奇函数,当时,,求函数在上的解析式. ▍练题型 构造方程组求解析式 4 构造方程组求解析式一般是利用奇偶函数的定义构造方程组,通过解方程组求得函数的解析式. 【典例▪38】已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数,且满足,求函数,的解析式. 【练习▪39】已知函数是偶函数,是奇函数,满足,求函数,的解析式. 【练习▪40】设是偶函数,是奇函数,且满足,求函数,的解析式. ▍练题型 抽象函数的奇偶性 5 判断抽象函数的奇偶性通常是用定义法,有时需借助一些特殊值来判断. 【典例▪41】（2024·河南高一）已知函数满足,,试判断并证明函数的奇偶性. 【练习▪42】（2024·湖北高中联考期中）已知函数的定义域为R,,试判断并证明函数的奇偶性. 【练习▪43】（2022·湖南高一统考）已知函数f（x）对都有,且,试判断并证明函数的奇偶性. 【练习▪44】已知函数不恒为0,,若对任意,都有.求证:为偶函数. 【练习▪45】已知定义在上的函数满足,试判断函数的奇偶性并证明. 【练习▪46】（2025·高三专题）已知定义在上的函数满足:,证明:是奇函数 【练习▪47】已知函数的定义域为,且对任意x,y,都有成立,且 ,判断函数的奇偶性并证明. 【练习▪48】（2023·福建高一期中）已知函数满足,且,判断函数的奇偶性并证明. ▍练题型 求“奇偶函数+常数”型函数 6 【典例▪49】已知,,则（ ） A.3 B.1 C.-1 D.-5 【变式▪50】若函数的最大值为,最小值为,求的值. 【练习▪51】函数是定义在区间上的奇函数,,则的最大值与最小值之和为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【练习▪52】已知函数, ,则的值为________. 【练习▪53】（2023·云南）已知函数,若,则的值为_______. 【练习▪54】已知为奇函数,且.若,则的值为_________. 【练习▪55】设函数的最大值为,最小值为,求的值. ▍练题型 利用函数奇偶性解不等式 7 ①利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为或的形式; ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上单调性相反,脱掉不等式中的“”转化为简单不等式求解. 【典例▪56】已知偶函数在单调递增,且满足则的取值范围是______. 【变式▪57】已知,则关于x的不等式的解集为________. 【练习▪58】已知偶函数在上单调递减,且,则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【练习▪59】（2023·全国高一）已知是定义在上的偶函数,且在上单调递增,则关于x的不等式的解集为_________. 【练习▪60】（2023·云南高一）已知定义域为的奇函数在单调递增,且,当满足时,x的取值范围为__________. 【练习▪61】（2024·宁夏）已知函数是定义在上的奇函数,当时,. （1）求函数的解析式; （2）若,求a的取值范围. 【练习▪62】已知函数是定义在上的奇函数,且定义域内单调递增,若对所有的均成立,求实数的取值范围. ▍练题型 奇偶函数的平移问题 8 【典例▪63】若函数是偶函数,则函数的图象对称轴是（    ） A. B. C. D. 【变式▪64】若函数,则以下函数为奇函数的是（    ） A. B. C. D. 【练习▪65】（多选）已知定义在上的函数在上单调递增,且为偶函数,则（    ） A.的对称中心为 B.的对称轴为直线 C. D.的解集为 【练习▪66】（多选）已知函数定义域为,且为奇函数,下列说法中正确的是（    ） A.对称中心为 B. C. D. 【练习▪67】设函数,则下列函数中为偶函数的是（    ） A. B. C. D. 【练习▪68】已知函数的定义域为R,是偶函数,,在上单调递增,则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.设偶函数在区间上单调递增,则（ ） A. B. C. D. 2.已知函数与分别是定义域上的奇函数与偶函数,且,则（    ） A. B. C.-3 D. 3.已知函数是偶函数,其图象与轴有9个交点,则方程的所有实根之和为（    ） A.0 B.3 C.6 D.9 4.（2023·高一课时练习）函数,对任意的实数x,y,只要,就有成立,则函数（）（ ） A.一定是奇函数 B.一定是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 二、多选题 5.（2024·全国·高一专题练习）已知是定义在上不恒为0的偶函数,是定义在上不恒为0的奇函数,则（ ） A.为奇函数 B.为奇函数 C.为偶函数 D.为偶函数 三、填空题 6.（2024·全国）设函数,若函数在上的最大值为,最小值为,则 . 四、解答题 7.（1）已知函数,,若对于任意实数,,都有,求证:为偶函数. （2）若函数的定义域为（）,证明:是偶函数,是奇函数. 8.设函数是增函数,对于任意x,都有. （1）写一个满足条件的并证明; （2）证明是奇函数; （3）解不等式. $第七节函数的奇偶性 核心基础导学 【1】(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×(6)×(7)×(8)×(9) ×(10)√ 解析：(1)根据函数奇偶性的定义和性质可得，图象关于坐标原点对称 的函数满足f(-x)=一f(),所以是奇函数，故正确： (2)奇函数可能在原点处可能没有定义，例如y=二是奇函数，但其图象 不过坐标原点，故错误： (3)图象关于y轴对称的函数满足f(-x)=fc),所以是偶函数，故正 确： (4)函数y十为偶函数，但与y箱不相交，故错误： (5)奇函数可能在原点处可能没有定义，例如y=二是奇函数，但其图象 不过坐标原点，故错误 (6)要对任意的x,都有f(-x)=f(x),f(x)才是偶函数，故错误。 (7)要对任意的x,都有，(x)才是奇函数，单是存在某个x满足 f(-x)=-f(x)是不符合定义的，故错误. (8)存在既是奇函数，又是偶函数的函数，比如f()=0,故错误 (9)函数f(x)=x2+xx∈[-2,2，定义域关于原点对称，但是它既不是 奇函数又不是偶函数，故错误 (10)由偶函数定义知f(-2)=f(2),故正确： 【2】(1)奇函数：(2)非奇非偶函数：(3)偶函数：(4)奇函数：(5) 既不是奇函数也不是偶函数：(6)既是奇函数又是偶函数：(7)奇函数： (8)奇函数 解析：(1)f)=x+x3+x的定义域为R,f(-x)=-x-x3-x'=-f(x), 所以函数f(x)=x+x+x为奇函数： (2)因为函数fx)=x2的定义域为「-1,3]，不关于原点对称，所以函数 f(x)=x2,x∈[-L,3]是非奇非偶函数 (3)f()的定义域为R,且f(-x)=(x)子+上x=x2+因=f(x),所以 f(x)为偶函数， (4)f)的定义域为(n,0)U(0,+),且fx)=-x-=-g),所以 f(x)为奇函数， (5),(x)的定义域为{2}，不关于原点对称， ∴.(x)既不是奇函数也不是偶函数， [1-x2≥0 (6)对于函数f)--F+-1,10=1,其定义线为 {-1,1},关于原点对称.因为对定义域内的每一个x,都有(x)=0,所 以f(-x)=f(x),f(x)=-f(x),所以f(x)=√1-x2+Vx2-1既是奇函 数又是偶函数. (7)f(x)定义域为R,关于原点对称，f(-x)2x+1-I1-2x=-f(x) 所以(x)为奇函数 (8)f()的定义域为R f(-x)+f(x)= V1+x2-x-1h+x2+x-1 V1+x2-x+1h+x2+x+1 [++][+-]。 (V+天-x+1+x+x+1】 .f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数 【3】c 解析：令F)=f()+g(x) 则耳(x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g)≠-F(),且耳(x)≠F() ·F(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误： 令耳()=f(g(x),则E(-x)=f(-x)g(-x)=-fg(x)=-耳(x),且 E(-x)≠瓦)， .耳)是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误： 故选：C 【4】B 解折：对A,y=f(x)g(x)=-f(()y=f()g(),故是奇函数， 故A错误： 对B,y=/(xg(x)=f(外g()=V6g),故y=/(g() 是偶函数，故B正确： 对C,y=仆)g(←x)=f)g),故y=f)g)是偶函数，故C 错误： 对Dy=(x)g(x=上f()g(6)g,故y=/()g( 是偶函数，故D错误.故选：B 【5】CD 解析：~f(x)是奇函数，(-x)=-f(x): g()是偶函数，∴g(-x)=g(x): 对于A,“f()+g(x)=-f)+g)≠-[f)+g)】, f(x)+g()不是奇函数，A错误： 对于B, ·f(x)-g(x)=-f()-g()≠-[f(6)g6] ∴f(x)-g()不是奇函数，B错误： 对于C,f(x)g(-x)=-f)g(),f(x)g()是奇函数，C正确： (x.f. 对于D,g司g, 是奇函数，D正确.故选：CD. 【6】BCD 解析：由题意可知，(x)=f(x),所以f(f(x》=/), 所以f(x)为偶函数，A项错误： 由g(x)=-g(x),得g(g(-x月=g(g()=-g(g(),所以g(g()月为 奇函数，B项正确： 因为f(g(x)=f(g()=fg(》,所以f(g(x》为偶函数，c项正确： 因为g(/(x)=g((),所以g(/()为偶函数，D项正确 故选：BCD 【7】ABD 解析：设()=f(s)+f(x), 因为f(),是定义在R上，所以)的定义域为R h(-x)=f(-x)+f(x)=h(x),所以()为偶函数，故A正确： 设tx)=g(x)-g(仁x), 因为g(x)是定义在R上，所以(x)的定义域为R, (-x)=g(x)小-g()=-[g6)-g(x月=-t收)， 所以t(x)为奇函数，故B正确： 设m(x)=gf(x)》, 因为f(x),g()都是定义在R上，所以m()定义域为R, 因为(x)为奇函数，g(x)为偶函数， 所以m(-x)=g((x)=g(f月=g(〔)=m), 所以m()为偶函数，故C错误： 设nx)=f(x)-g(x), 因为f(x),g()都是定义在R上，所以)定义域为R, n(x)+n(-x)=f(x)-g()+f(-x)-g(x) =f(x)-g(x)-f(x)-g(x)=-2g), 因为g(x)是不恒为0的函数， 所以n(x)+n(-x)=0不恒成立， 所以n)不是奇函数， n)-(-x)=f)-g()-[f(←x)-g(x)] =f()-g(x)+f(x)+g)=2s) 因为f(x)是不恒为0的函数， 所以n()=(-x)不恒成立 所以n(c)不是偶函数， 所以()是非奇非偶函数，故D正确. 故选：ABD. 【8】详见解析 解析：(1)函数定义域关于原点对称，令g(x)=2x3+x,可知g()为奇 函数，令()=+x,可知(x)为偶函数，通过函数奇偶性质，可得 小膏，所似若为数 (2)函数定义域关于原点对称，令g()=2x,可知g(x)为奇函数，令 h()=1+3x,可知h(s)为偶函数， 通过晒数奇偶性质，可得膏奇，子为奇酒数所以=商+特，为 奇函数. (3)函数定义域关于原点对称，令g(x)=3x2,可知g(x)为偶函数，令 h(x)=√3+x4,可知h(x)为偶函数，通过函数奇偶性质，可得 )震，所以) VB+为偶函数 3x2 (④)函数定义域关于限点对称由(8)知)三为偶函数令 g(x)=2引x,可知g(x)为偶函数，令(x)=x2+1,可知h(x)为偶函数， 道过函数寄贺性质可得受一：，所以)何信为偶函数 【9】详见解析 解析：由函数f(x)是定义在R上的偶函数，可知其图象关于y轴对称， 先描出(1,1)，(2,0)关于y轴的对称点(（-1,1)，(-2,0)，然后连线可得函 数f()的图象，如图所示.(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号，结合 函数f(x)的图象可知，xf(x)>0的解集为(-n,-2)U(0,2) -322-10 2入3 【10】(-m,-2]U[0,2] 解析：根据题意，f(x)为定义在R上的奇函数，则f(o)=0, f(x)为奇函数，且f(2)=0,f(x)在（∞，0)是减函数， ∴.f(-2)=-f(2)=0,f(x)在(0，+∞)内是减函数， 函数图象草图如图，则不等式f()≥0的解集为(-”，-2]U[0,2]: 2入 故答案为：（∞，-2][0,2] 【11】(-4,-2)(0,2 解析：补全函数f(),g()的图象如图所示，由图可知， 当-4<x<-2时，f(x)>0,g()<0,此时f(x)g)<0； 当0<x<2时，f(x)<0,g()>0,此时f(x)g(x)<0 故不等式f()g()<0的解集是(4，-2)U(0,2) yt y=g(x) 420左4￥ 【12】-2 解析：因为f(x)是奇函数，所以f(-6=-f(6) 由f(6)=-4+f(-6),即f(6)=-4-f(6), 所以2f(6)=4,则f(6)=-2.故答案为：-2 【13】-95 解析：因为)的定义域为R,关于原点对称， 且f(-x)=(-x)-a(-x)'+b(-x)3-c(←-x)=-fx), 所以f(x)为奇函数， 所以f(-19)=-f19)=-95, 故答案为：-95 【14】-2 解析：由函数(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0 时，f(x)=x(1+x),则f(-1)=-f(1=-1×1+1)=-2.故答案为：-2. 【15】-4 解析：，f()是R上的奇函数， ∴.f(-1)=-f0)=2,即1-m+2=2,m=1 f(-2)=(-2)2+(-2)+2=4,∴.f(2)=-f(-2)=4 【16】4 解析：由题可得（②）=2，因为为奇函数 所以f(-2)=-f(2)=-2,即g(2)+3×(-2)=-2,解得g(-2)=4. 故答案为：4 【11-子 解析：由函数f(x)是定义在「-22上的奇函数 则引}侵-小o, 曲)则（引）片子= 故答案为：子 【18】-1 解析：因为函数f(x)是定义在「a-la+3]上的奇函数，所以 a-1+a+3=0,解得：a=-1.故答案为：1. 【19】0 解析：方法一：函数)=号的定义域为R,由)为奇函数得 eR,f(-x)+fx)=0, 因此+品0，解得=0， 所以实数a=0. 方法二：函数∫)=2x+口的定义域为R,由)为奇函数，得fO)=0, x2+1 代入得f0)=员=0，所以实数a=0. 【201号 解析：函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[-1+a,2a]上的偶函 数-1+a+2a=0,即a= f(x)=f(-x),..ax'+bx+1=ax'-bx+1, b=0 a+6日故答案为：号 【21】-1 解折：方法一：因为+-1+a-+a+1, x2+1 x2+1 所以)=-一2+a+1, x2+1 则f(x)+f(-x)=2a+2, 因为f(x)是奇函数，所以f()+f(-x)=0, 所以2a+2=0,解得a=-1. 方法二：函数日=+2++a的定义域为R,由了心)为奇函数 x2+1 得f(0)=0,代入得f0)=1+a=0,所以实数a=-1 【22】1 解析：因为函数)=G+1-a)为奇函数 所以定义域必须关于原点对称， 由题意得： 不+1≠0即下-1 x-a≠0 x≠a 所以a=1, 又当a=1时，f)=+10-)-1 满足f(x)=-f(-x),函数f)是奇函数 所以a=1成立. 【23】1 x 解折：因为函数/)+x中是定义在-2a,a]上的奇函数 所以1-2a+a=0,解得a=1. 因为代)=-f),所以-++x+,解得6=0。 一下 所以a2+b2=1 【24】5 解析：因为函数f)=F+”上+2是偶函数，其定义域为 [-2,0)U(0,m-2], 所以m-2=2,即m=4, 又f(x)=f),即√对+-+2=F+-L+2, 则”二1=0，所以n=1,则m+=5. 重点题型专练 【25】C 解析：因为f(x)=Vx=),所以f)为偶函数，排除A,B选项： 易知当x>0时，f(x)=√为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正 确.故选：C 【26】C 解析：由题可知f)的定义域为R, +字=子 -x3 x31 所以f(x)为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，排除选项A,D. 因为0=上=0，排除选项B,故选：C 44 【27】B 解析：因为函数的定义域为xe(n,+o) f(-x)=(x'+(x-(-x)=-x3+x2+x 所以f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以函数f(x)=x3+x2-x为非奇 非偶函数，故排除选项A、D,又因为f①)=1+1-1=1>0，故排除C. 故选：B. 【28】A 解折因为)定义装为R且八)0，所以 f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项B、D:又x>0时， f(x)>0,排除选项C,故选项A正确.故选：A. 【29】D 解析：了可=行的定义域是砂≠0，关于原点对形 -=了付)，所以付是偶函数排除B,C: 当x>0时，了)=二1-上，易知付)在0，+回)上是增函数排除 A.故选：D 【30】A 解折：设f)=xR,则)=-f6), 故f()为奇函数，A,D符合，排除B,C ax 又a>0,所以x>0时，)>0恒成立故A满足，D排除.故选：A 【31】A 解析：由于f(x)是偶函数，所以f(-1)=f(1),f(-3)=f(3) 又f(x)在「0,3]上单调递减，所以f(>f(2)>f(3),进而可得 f(-1)>f(2)>f(-3,故选：A 【32】D 解析：因为y=f(x)是R上的偶函数，且对任意xx,∈(-”，0]， 当>x,时都有，)>，)， 所以对任意xx,∈(0，+n),当x,>x,时都有f仁，)<f(,) 2<3<πf(π)<f(3)<f(2),f(3)=f3),f(π)<f(-3<f(2) 故选：D 【33】D 解折：由)->0知付在Q+)上单调递蜡 5-x2 f()是奇函数，则f()在（∞，0）上单调递增， 由-3>-5，可得f(仁3)>f(-5),B错误，D正确： 虽然由题意可得f(x)在(-，0)，(0，+∞)上单调递增， 但是由已知条件无法判断f(x)是否在定义域内单调递增 则A、C无法判断正误，即A、C不一定成立：故选：D. x2 +x,0≤x≤3 2 【34】f(x)= 2 ,-3≤x<0 解析：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0, 设-35x<0,则0<-x≤3，)=+(s- 由了句为骑函数有)=-(=2 x 又x=0时f)=亡+x满是(0)=0 2 x 故f(x)= 2 +x,0≤x≤3 x2 - -3≤x<0 -+x<0 【35】g(x)= 解析：由题意，，函数g(x)是定义在(-，0)U(0,+∞)上的偶函数， 当x>0时，g()=x-1 ·当x<0时，-x>0,则g()=g(x)=-x-1=-x+马 x+1x<0 .g(x)= 1 F>0 x2+x,x>0 【36】f(x)=0,x=0 x-x2,x<0 解析：设x<0,则：-x>0, 所以：f(x)=(x-x=x2-x 又因为：f()是定义在R上的奇函数， 所以：f(x)=-f()=x2-x, 所以：f(x)=x-x2(<0) 因为函数y=f()是定义在R上的奇函数，所以有f(0)=0 [x2+x,x>0 故答案为：f) 0,x=0 x-x2,x<0 x+3-4x>0 【37】f(x)= 0,x=0 x 解折：由0时0)=+子-4可知心)=子4， 又)为骑函数，故f6)=-f(-x)=x+3+46<0),并且0)=0， x+3-4,x>0 函数f(x)在R上的解析式为f(x) 0,x=0 x+2+4<0 【38】f(x)=-2x,g(x)=x2 解析：，f()+g()=x2-2x ∴.f(-x)+g(-x)=(←x)2-2(-x)=x2+2x 由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，可有f(-x)=-f(),g(-x)=g() 代入上式，-f)+g)=x2+2x, 则有f(x)=-2x,g(x)=x2. 【39】()=x2-2,g(x=x 解析：f()+g(x)=x2+x-2,则f(-x)+g(-x)=x2-x-2, 又函数f(x是偶函数，g(x)是奇函数，则f(x)-g(G)=x2-x-2, 所以 f)-6+]-e6】.+-2+--2 2 g)[+e-[s】2+-2-e-x-2 2 2 所以f()=x2-2,g()=x。 【40】fe)=:g60=5 解析：，f)是偶函数，g()是奇函数 ∴.f(-x)=fx),g(-x)=-g(x)， 由o+0=÷0 用-x代替x 得f(x)+g←)= -x-1 ·f6)-g6)=1 1② (①十②)2，得)=： (①-②)÷2得)=- 【41】奇函数 解析：证明：令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得：f(0)=0: 令y=-x,则f(0)=f(-x)=f()+f(x)=0,.f()为奇函数 【42】偶函数 解析：证明：f(xy)=y2f(x)+x2f()中，令x=y=-1 得f)=f(-1)+f(-1),解得f(-)=0, f(y)=y2f(x)+x2f(）中，令y=-1得， f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)+0=f(x) 函数f()的定义域为R,故f(x)为偶函数. 【43】偶函数 解析：证明：因为函数f(x)对，yeR 都有f(x+y)+f(x-y)=f()fy),且f(0)≠0. 所以令x=y=0可得f(0)+f(0)=f2(0),所以f(0)=2 令x=0可得f6)+f()=f(0)fy)=2f(y）,所以f)=f(-y),所以 f(x)为偶函数， 【44】证明见解析 解析：证明：令x=0,x2=x,则f(x)+(-x)=2f(0)fx) 令x=x,x3=0,则f)+fx)=2f)f0).可得f0)=1 代入f(x)+f(-x)=2f(0)f),可得f(x)+f(-x)=2fx) 化简得f(-x)=fx),f(x)是偶函数. 【45】偶函数 解析：证明：令x=y≠0，则f()=()-f)=0 再令x=1,y=-1可得f(1)=f0-f(-)=-f(-), ·f(-1)=0,令y=-1可得f(-x)=f()小-(1)=f(),.f)是偶 函数. 【46】证明见解析 解析：证明：f()定义域为R,关于原点对称： 对原式，令x=y=0,可得f0)=2f0),解得f(0)=0: 对原式，令x=-,可得0=f(0)=f(x)+f(x)-0,即fx)+f(-x)=0 故y=f(x)是奇函数 【47】偶函数 解折：证明：令x=y=1,则2f)=2f)f(0),“f=-1,·f(0)=1 令y=-x,则f(x)+f(-x)=2f(o)fx),即f(x)+f(-x)=2),故 f(-x)=f(x),(x)为偶函数. 【48】偶函数 解析：证明：根据题意可知，令x=y=0可得f(0)f(o)=f(o)+f(o), 即[f(o]=2f(o),又fo)≠0，可得f(o)=2 令x=y,可得f(2x)f(0)=f(x)+f(x),即f(2x)=f(x) 令x=-y,可得f(2x)f(0)=f()+(-x),联立两式可得f(x)(x), 所以可得f(x)是偶函数. 【49】B 解析：设g)=f)-3=ax3+2,定义域为(m,0)U(0,+), 则（小a(+÷a-兰），故同为奇隔数 又g(4)=f(4)-3=5-3=2,则g(-4)=-2, 所以f(-4)=g(-4)+3=-2+3=1.故选：B 【50】2 解折：04 x 令g)+1 ,则其定义域为R,又 +13). g(-x)= -x 所以)F为奇函数则6+g=0。 所以f)+f()=g()+1+g)+1=2,则M+N=2. 【51】c 解析：因为f()与F(x)的单调性相同，且f(x)为奇函数 设f(x)在x。e[-a,a]处取到最大值，则f()在-x。∈[-a,a处取到最小 值，可得f。)+f(-x)=0,且F()在x。处取到最大值，在-。处取到最 小值，故 F(。)+F(-x。)=[f(x)+1]+[f(-x)+1]=[fx。)+f(-x)]+2=2.故 选：C 【52】-26 解折：冷g6)=f)+8=+-至，定义域为(.0U0,网. 则)x-a+2g), 故g(x)=f(x)+8为奇函数， 又g(-2)=f(-2)+8=18,故g(2)=-18,即f(2)+8=-18, 故f(2)=-18-8=-26.故答案为：-26 【53】4 解析：设g()=f()-a=x3+2x,则g(-x)=(x+2(-x)=-x3+2x) 又g()的定义域为R,从而g()是奇函数，即g(x)+g(-x)=0, 故f(x)-a+f(-x)-a=0,即f(x)+f(-x)=2a. 因为f(m)+f(-m)=2,所以2a=2,解得a=1,则f()=x3+2x+1, 故f(a)=f1)=13+2×1+1=4. 【54】-1 解析：设y=f(x)+x2=h(x),因其为奇函数 h(-x)=-h(x),则f(-x)+(←x)=-f)-x2 则f(-1)+(-1)=-f0)-12,得(-1)=-3 则g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1. 【55】4 解析：“f) 2s-2+4-2 4x x2+1 x2+1 x2+1 可令))-气则茶气g6). ∴g(x)为定义在R上的奇函数，∴g()x+g()m=0, 则M-2+m-2=0,∴.M+m=4. 【61制 解析：因为偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增， 所以f(x)在区间(-0,0)上单调递减，故x越靠近y轴，函数值越小， 因为f-宁，所以x-水行，解得：x<号 【57】(-∞，- 解析：由题意，x∈R 在(x)=x3+x中， f(-x)=-x3-x=-f(x) ∴，f(x)=x3+x为奇函数，且为增函数， :f(+2)+f6)<0 .f(x+2)<-f(x)=f(-x), .x+2<-x 解得：x<-1 ∴，不等式f(x+2)+f(x)<0的解集为(-n,-1) 【58】B 解析：因为f()为偶函数，所以f(-x)=f(x) 所以+团.2￥6包0，且x≠0， 3x 因为f(x)在(0，+o)上单调递减，且f(2)=0 所以f(x)在（∞，0）上单调递增，且f(-2)=f(2)=0, 当x>0时，则f(x)<0=f(2,故x>2, 当x<0时，则f(x)>0=f(-2),故-2<x<0 综上：因)+<0的解集为(20U2,∞）.故选B 3x 【59】[-4,-3]U[12] 解折：因为0是定义在[32的上的偶酒数所以2站-30，即6子 所以f(x)的定义域为[-3,3] 又因为f(x)在[-3,0]上单调递增，所以f(x)在[0,3]上单调递减，所以 f(x+1)≤f(-2)得 +≥2 解得-4≤x≤-3或1≤x≤2.故解集为 -3≤x+1≤3， [-4,-3]U12] 【60】[-5,0]U[2,5] 解析：因为f)在（∞，0）上单调递增，且f(5)=0, 所以，当x≤-5时f(x)≤0，当-5<x<0时f()>0, 又因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增， 且f(5)=-f(-5)=0, 所以，当0<x≤5时f(x)≤0，当x>5时f()>0, 再根据f()是定义域为R的奇函数，可以得到(o)=0, 综上所述，当xe(m,-5)U(0,5)时，f()<0,当xe[-5,0]U[5] 时，()≥0 -0或/)5so 因为(2-/)20，所以)20 2-x≤0' 解得xe[5,0]U[2,5] [Lx2+x,0≤x≤3 【61】(1)f(x) ;(2)(0,2] 1 x2+x,-3≤x<0 2 解析：(1)函数f)是定义在[-3,3]上的奇函数，则f0)=0 且当e@习时宁+。 设-3≤x<0,则0<-x≤3， f)=-f(-x)=(←x)2+(←x月= 1x2+ 2 又0=0，满足)=分+， x2+x,0≤x≤3 则(x)= 2 2+x,-3≤x<0 2 (2)当0≤x≤3时， f)-子+x=+-分其在D习上单调递增， 则由奇函数的性质知函数f(x)在[-3,3]上单调递增， 又因为f(a+)+f(2a-1)>0, 所以f(a+1)>-f(2a-1=f1-2a), 「-3≤a+1≤3 则-3≤2a-1≤3，解得0<a≤2，即a的取值范围是(0,2] a+1>1-2a 【62】(-0,3 解析：因为f(x2+x-3)+f(m-x)>0,且f(x)为奇函数， 所以fx2+x-3)>f(x-m), 又因为函数f(x)在R上为增函数，所以x2+x-3>x-m对xE(2,3)恒 成立， 所以2=矿4-少--小3对》 x-1 x-1 成立， 令y=-3,令=ue2到.则=3 易知y=t-+3在t∈(，2)单调递增。 故y>1-1+3=3,由于t≠1，所以m≤3 【63】B 解析：y=(x+)是偶函数，·y=f(x+1)的图象关于轴对称， 又·y=(x+)的图象是=f()的图象向左平移一个单位长度得到， ∴y=∫()的对称轴为x=1,故选：B. 【64】A 解折：对选项A,--2-2-2是定义越为 (-∞，0U(0,+o),且满足f(x)=-f(x),函数f(x-1)-2为奇函数，故 选项A正确； 对选项B,f飞-刂+2=-+4，定义域为（∞，0U(0+),但不满足 f(-x)=-f(x),函数f(x-)+2不是奇函数，故选项B错误： 对选项c,(+)+2=2+2,定义域为(，-2(2，+)，故 x+2 f(x+1)+2不是奇函数，故选项C错误： 对远项D,f6+1）-2=2士-2，定义域为(，-2(2，+)，故 x+2 f(x+1)-2不是奇函数，故选项D错误；故选：A 【65】BCD 解析：因为f(x+2)为偶函数，所以(-x+2)=(x+2), 所以f(x)图象关于直线x=2对称，故A错误，B正确： 又()在(，2]上单调递增，所以f()在[2，+∞)上单调递减， 所以f(-1)=f⑤)<f(4),故C正确： 由不等式f(x+3)>f(4x)结合f(x)的对称性及单调性，得 x+3-2<4x-2, 即(+3-2<4x-2y,即6x-13x-3)>0,解得x<5或x>L, 所u不等式代+》)的解集为(》Uo,故D正确. 故选：BCD 【66】BD 解析：令g(x)=f(x-1)+1 对A:g(x)可以认为是由f(x)向右平移1个单位，再向上平移1个单位 得到， 若g(x)为奇函数，则g(x)的对称中心为(0,0)，故函数f(x)对称中心 为(-1，-1，A错误： 对B:若g(x)为定义在R上的奇函数，则g(O)=f(-1)+1=0,B正确： 对C、D:若g()为奇函数，则g(x)+g(-x)=0,即 [(-+1]+[f(x-1)+]=0,得f(-)+f(x-)=-2, 令x=4,得f(3)+f(-5)=-2,但无法确定f(-1)与(-5)是否相等，C 错误； 令x=2,得f(①+f(-3)=-2,D正确：故选：BD 【67】A 1 解折：)-2x+3-旷+2则K+2因为 )+2是偶函数故(+)为偶函数 故选：A 【68】A 解析：，f(+2)是偶函数，.函数f()关于x=2对 称，∴f(o)=f4)=2,又：(s)在（m,2)上单调递增，∴f(x)在 (2,+)单调递减，∴.f(4x-1)>2可化为0<4x-1<4,解得 :<任不等式-2解柴为店到放选A 才。1十十十 综合巩固提升 1.【答案】B 解析：因为f()为偶函数，所以f(2)=f(2),又f(x)在区间(-，-1] 上单调运增2子1，所以2)水（引（小，则 引.B 2.【答案】A 解析：因为f心+g)=-中2@ 用-x替换恒等式中的x 1 2=x2- 1 得：f(-x)+g(-x)=(-x)'- -x+1 行2 又因为函数f(x)与g)分别是定义域上的奇函数与偶函数， 所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g), 所以-)+g)=x2-1 +12②， 联立①②消去，g(),解得f(x)= 1 1 2.x+2-2x+2 1 1 3.【答案】A 解析：因为f(x)偶函数，所以其图像与x的交点关于y轴对称 故如果f(0)≠0，则f(x)图像与x的交点个数应是偶数个， 而已知条件中，f(x)图象与x轴有9个交点， 所以可得f(0)=0,其它8个交点两两关于y轴对称，故方程f(x)=0 的所有实根之和为0.故选A. 4.【答案】C 解析：对任意的实数玉，x+y≠0，有f)=牛0成立， x+y 令y=x0,则有)=)+过=包 x+x x 又2)=-x门]=x+f--f-过 -x-x x 因此f(=-.x≠0，显然0)=0+f0=0+0 0+1 得f)=0,f(-1)=-f)=0, 又f0,=0×(-明=0±.-0，于是0)=0， 0-1 当x0且x本-1时，份=+0=型，整理得对(=0，于是 x+1 x+1 f)=0,因此x∈R,f(w=0,有f(-x)=0=-f()且f(-x)=0=f), 所以函数f(x)(x∈R)既是奇函数又是偶函数.故选：C 5.【答案】BCD 解析：由题意可知，f(x)=f(x),所以ff(x》=f(/() 所以ff(x)为偶函数，A项错误： 由g(-x)=-g(),得g(g(-x)=g(g(x)=-g(g6), 所以g(g(s》为奇函数，B项正确： 因为f(g(x)=f(g()=fg(》,所以f(g(x)为偶函数，C项正确： 因为g(f(仁x)=g(f(x),所以g(f(x)为偶函数，D项正确.故 选：BCD. 6.【答案】2 解析：由题意， x+x )=-'+-x+L++山-=1心++1 x4+x2+1 x4+x2+1 x+x 令8国=+中片定义域为R且8)=-8)，故86)为R上的奇 函数 且g(x)=1-f(x) 故若函数f(x)在R上的最大值为M,则g()=1-M: 函数f(x)在R上的最小值为m,则g(c)m=1-m 由于g(x)为R上的奇函数，故g(x)un+g(x)a=0 即1-M+1-m=0,则M+m=2故答案为：2 7.【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析. 解析：证明：(1)令x=0,x2=x, 则f(x)+f(-x)=2f(o)f(x)①. 令x2=0,x=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f()②. 由①②得f(x)+f(-x)=f)+f(),即f(-x)=f(x). ·.f(x)是偶函数. (2)xe(1,）,∴-x∈(-1，l), 可见f(-x)的定义域也是(-1，)。 若设F()=f(x)+f(-x),G()=f()-f(-x), 则F(x)与G()的定义域也是(1，)，显然是关于坐标原点对称的. 又F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x), G(-x)=f(-x)-f)=-f)-f(x)e-G(), .F(x)为偶函数，G(x)为奇函数， 即f(x)+f(-x)是偶函数，f()-f(-x)是奇函数 8.【答案】(1)f(x)=(化>0)，证明见解析：(2)证明见解析：(3) (-n,0)U(5,+o) 解析：(1)因为函数f(x)是增函数，对于任意x,y∈R都有 f(x+y)=f)+f(), 这样的函数很多，其中一种为：f(x)=(k>0). 证明如下：函数f(x)=(化>0)满足f()是增函数， 因为f(x+y)=(x+y)=a+=f(x)+y), 所以f(x)=6(k>0)满足题意。 (2)证明：令x=0,则由f(x+y)=f(x)+f(y),得fy)=f(o)+f(), 即f(0)=0: 令y=-x,则由f(x+y)=f(x)+f(y),得f(0)=0=f(x)+f-x), 即f(x)=-f),故f)是奇函数. (3)因为，f）f)>,x),所以）)2)>f3x), 则fx2)>2f(x)+f(3x),即f(x2)>f)+f()+f(3x), 因为f(x+y)=f()+f(),所以f()+f()+f(3x)=f(5x) 所以f(2)>f(5x), 又因为函数f(x)是增函数，所以x2>5x,所以x<0或x>5. 所以不等式f()-f)>f(3x)的解集为(，(，+）.