1.1集合的概念导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1．1　集合的概念

1. 通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．

2. 针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．

活动一  探究集合的概念

“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为“许多的人或物聚在一起”．

在小学和初中，我们已经接触过一些集合．例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆)等．下面先从集合的含义开始．

看下面的例子：

(1) 1～10之间的所有偶数；

(2) 立德中学今年入学的全体高一学生；

(3) 所有的正方形；

(4) 到直线l的距离等于定长d的所有点；

(5) 方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；

(6) 地球上的四大洋．

例(1)中，我们把1～10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样的，例(2)中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合．

思考1►►►

上面的例(3)到例(6)也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？

 

 

 

思考2►►►

通过以上讨论，你能给出元素与集合的概念吗？

 

 

 

思考3►►►

对于给定的集合，它的元素确定吗？

 

思考4►►►

对于一个给定的集合，它的元素可以相同吗？

 

 

思考5►►►

如何判断两个集合相等？

 

 

 

1. 集合与元素的表示：

通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．

2. 集合中元素的三个特性：(1)确定性；(2)互异性；(3)无序性．

3. 元素与集合的关系：

(1) “属于”：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.

(2) “不属于”：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.

4. 几个常用数集及其记法：

非负整数集(或自然数集)记作N；正整数集记作N*或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R.

活动二  探究集合中元素的特征

例1　请判断下列各组对象能否构成集合，并说明理由．

(1) 不超过5的自然数；

 

 

(2) 很小的实数；

 

 

(3) 高一(1)班里个子高的学生；

 

 

(4) 接近于0的所有数．

 

 

在“①著名的数学家；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是(　　)

A. ②　　B. ③    C. ②③    D. ①②③

例2　已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．

1. 集合元素特性中的互异性，指的是一个集合中不能有两个相同的元素，利用其可以解决一些实际问题，如三角形中的边长问题及元素能否组成集合的问题．

2. 求解字母的取值范围：当一个集合中的元素含有字母，求解字母的取值范围时，一般可先利用集合中元素的确定性解出集合中字母的所有可能的值或范围，再根据集合元素的互异性进行检验．

已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若a∈A，则实数a的值是________．

判断一组对象能否组成集合的方法及其关注点：

(1) 方法

判断一组对象能否组成集合，关键是看这些元素是否满足确定性、互异性、无序性，如果满足上述条件，那么就可以确定这些元素可以组成集合，否则不能组成集合．

(2) 关注点

利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性、无序性．

活动三　探究集合与元素的关系与表达　

1. 列举法：将集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法．

例3　请用列举法表示下列集合：

(1)  小于10的所有自然数组成的集合；

 

 

(2)  方程x2＝x的所有实数根组成的集合；

 

 

(3) 方程组的解集．