第2章 圆课件2025-2026学年 湘教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦圆的切线判定方法，系统梳理了“切点已知时连半径证垂直”与“切点未知时作垂线证半径相等”两大核心策略，通过典型例题层层递进，构建从直观感知到逻辑推理的学习支架，前后知识衔接自然，便于学生建立几何证明的思维路径。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，如类型1中利用勾股定理逆定理证明垂直，体现几何直观与推理能力，类型3借助相似三角形求解半径，则展现模型意识与运算能力。教学设计注重问题驱动与符号表达，引导学生从现实情境抽象出数学关系，既提升学生分析复杂图形的能力，又帮助教师高效落实新课标要求，实现深度学习与精准教学的统一。

第2章 圆 2.7 正多边形与圆 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 认识正多边形 1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( ) ①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥ 圆；⑦菱形；⑧平行四边形． C A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.正十二边形的一个内角的度数是______． 分层训练 构建学科思维 3 3.如果一个正六边形的周长等于 ，那么这个正六边形的边 长等于___ ． 2 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 正多边形的有关作图 4.已知上有一点 . 分层训练 构建学科思维 5 （1）在图1中作 的内接正八边形; 解：如图1所示，正八边形 即为所求. 图1 分层训练 构建学科思维 6 （2）在图2中作 的内接正三角形. 解：如图2所示，正三角形 即为所求. 图2 分层训练 构建学科思维 7 知识点3 正多边形与圆的有关计算 5.（2024·雅安）如图，的周长为 ，正 六边形内接于.则 的面积为 ( ) B A.4 B. C.6 D. 分层训练 构建学科思维 8 6.（2024·济宁）如图，边长为2的正六边形 内接于 ，则它的内切圆半径为 ( ) D A.1 B.2 C. D. 分层训练 构建学科思维 9 7.（绍兴中考）如图，正方形内接于 ， 点在上，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 8.（自贡中考）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组 上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的 夹角 ，算出这个正多边形的边数是( ) D A.9 B.10 C.11 D.12 分层训练 构建学科思维 11 9.（南充中考）如图,以正方形的 边向外作正六边形 ,连接,则 ____度. 15 10.一个半径为的圆内接正六边形的面积等于_____ ． 分层训练 构建学科思维 12 11.（绥化中考）边长为 的正六边形，它的外接圆与内切圆 半径的比值是____． 12.如图，已知等边三角形内接于， 为 内接正十二边形的一边，，则 的 半径___ . 5 分层训练 构建学科思维 13 13.（铜仁中考）如图，正六边形内接于， 是 的直径，连接，延长，过作，垂足为 ． （1）求证：是 的切线； 分层训练 构建学科思维 14 证明：如图,连接， ， ， ， , . ， ， 分层训练 构建学科思维 15 ， . ， . 又为 的半径， 是 的切线. 分层训练 构建学科思维 16 （2）已知 ，求图中阴影部分的面积． 解： ， . ， 是等边三角形， ， , . 分层训练 构建学科思维 17 ， ， . ， ， . 图中阴影部分的面积 ． 分层训练 构建学科思维 18 14.如图1，图2，图3，，分别是的内接正三角形 ，正 方形，正五边形的边，上的点，且 ， 连接， . 分层训练 构建学科思维 19 （1）求图1中 的度数； 解图 解：如解图，连接， . 正三角形内接于 ， , . 分层训练 构建学科思维 20 在和 中， . . . 分层训练 构建学科思维 21 （2）图2中， 的度数是_____; 图3中, 的度数是_____； （3）继续探究，若，分别是的内接正边形 的边，上的点，且,连接，，那么 的 度数与正边形边数 的关系是_ ____________. 分层训练 构建学科思维 22 $第2章 圆 2.6 弧长与扇形面积 第1课时 弧长 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 弧长公式 及其应用 1.（2024·安徽）若扇形的半径为6， ，则 的长为( ) C A. B. C. D. 2.（2024·绵阳）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇 形的半径为2，弧长为 ，则扇形的圆心角大小为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.如图，是的直径，是 上一点， 连接，，若， ，则 的长为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 4.（广州中考）一根钢管放在 形架内，其横截面 如图所示，钢管的半径是，若 ， 则劣弧 的长是( ) B A. B. C. D. 5.（2024·哈尔滨）若 圆心角所对的弧长是 ，则此弧 所在圆的半径是______． 分层训练 构建学科思维 5 6.（台州中考）如图，将线段绕点顺时针旋转 ，得到线 段．若，则点经过的路径 长度为____． （结果保留 ） 分层训练 构建学科思维 6 7.如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪， 从地走到地有观赏路（劣弧 ）和便民路 （线段）．已知，是圆上的点， 为圆 心， ，小强从走到 ，走便民 路比走观赏路少走( ) D A.米 B. 米 C.米 D. 米 分层训练 构建学科思维 7 8.（2024·包头）如图，在扇形中， ，半径 ，是上一点，连接，是上一点，且 ， 连接.若，则 的长为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 9.在如图所示的扇形中，已知，， ，则 _____. 100 分层训练 构建学科思维 9 10.（河南中考）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均 为1，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在 上， ，则 的长为___. 分层训练 构建学科思维 10 11.如图，把直角三角形的斜边放在定直线 上，按顺时针 方向在上转动两次，使它转到的位置．设 ， ,则顶点运动到点的位置时，点 经过的路线长是 __________. 分层训练 构建学科思维 11 12.图1，图2， ，图m分别是边长均大于2的三角形，四边形， ， 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两 邻边相交，在多边形内得到3条弧，4条弧， ， 条弧． 分层训练 构建学科思维 12 （1）图1中3条弧的弧长的和为___，图2中4条弧的弧长的和为____； [解析] 设三角形的三个内角分别为,, , 由三角形内角和定理可知， . 则图1中3条弧的弧长的和为 . 同理，图2中4条弧的弧长的和为 . 分层训练 构建学科思维 13 （2）求图m中条弧的弧长的和．（用 表示） 解：边形的内角和为 , 与（1）同理,得边形的 条弧的弧长的和为 . 分层训练 构建学科思维 14 13.（衢州中考）如图，在等腰中，.以 为直径 作交于点，过点作，垂足为 . 分层训练 构建学科思维 15 （1）求证：是 的切线； 证明：如图,连接 . ， ， ， . . ， . 分层训练 构建学科思维 16 . ，即 . 又是 的半径， 是 的切线. 分层训练 构建学科思维 （2）若， ，求 的长. 解：如图，连接 . 为 的直径， . ，， , ， . . 分层训练 构建学科思维 18 , 为等边三角形. ， , , . . 的长为 . 分层训练 构建学科思维 $第2章 圆 2.2 圆心角、圆周角 2.2.2 圆周角 第2课时 圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 圆周角定理推论2 1.（重庆中考B卷）如图，是 的直径， ，是的弦，若 ，则 的度 数为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.（2024·宜宾）如图，是 的直径，若 ，则 的度数等于( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.如图，把直角三角板的直角顶点 放在破损 玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点 ，，量得， ，则该 圆形玻璃镜的半径是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 4.如图，在中，，以 为 直径作，交于点，交 的延长线 于点，连接， . （1）求证：是 的中点； 证明：是 的直径， ， . ， ， 是 的中点. 分层训练 构建学科思维 6 （2）若，，求 的半径. 解：， . 又，, . ， , , 的半径为 . 分层训练 构建学科思维 7 知识点2 圆内接四边形对角互补 5.（绍兴中考）如图，四边形内接于圆，若 ， 则 的度数是_____. 分层训练 构建学科思维 8 6.如图，四边形内接于,平分.若 ， 则 的度数为______. 分层训练 构建学科思维 9 7.如图，在中，点在上， ,则 ____ . 130 分层训练 构建学科思维 10 【变式】 （2024·滨州）如图，四边形内接于 ，若四 边形是菱形，则____ . 60 分层训练 构建学科思维 11 8.在圆内接四边形中，若，则 等于 ( ) B A. B. C. D. 9.如图，是的直径，点在上， 平 分交于点.若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 10.（赤峰中考）如图，点，在以 为直径的半圆上，且 ，点是上任意一点，连接，.则 的 度数为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 11.（盘锦中考）如图，在平面直角坐标系中，点在 轴负半 轴上，点在轴正半轴上，经过，，， 四点， ，，则圆心 的坐标是_________． 分层训练 构建学科思维 14 12.如图,的直径,弦, 的平分线交 于点 . （1）求证： 是等腰三角形； 分层训练 构建学科思维 15 解图 证明：是 的直径， . 是 的平分线, . 如解图，连接 .由圆周角定理，得 , , , . 是等腰三角形. 分层训练 构建学科思维 16 （2）求 的长. 解：如解图，过点作于点 . 为的直径, . 由（1），知 为等腰直角三角形， , 即 . . 分层训练 构建学科思维 17 , , , . 在 中, , . 分层训练 构建学科思维 13.如图，是的直径，弦， 是 弦的中点， ．若动点以 的速度从点出发沿着 方向运动，设 运动时间为，连接，当 是直角三角形时， 的值为( ) D A. B.1 C.或1 D.或1或 分层训练 构建学科思维 19 $第2章 圆 新考向·新情境·跨学科 1 1.【模型观念、应用意识】（连云港中考）如图，有一个半径为 2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点 的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 2.【新情境】（2024·禹州期中）如图， 倩倩一家开车经过一道路环岛时，发现 道路的一段圆弧 ，已知环岛的中心点 是这段圆弧所在圆的圆心．若倩倩位 10 于上的点处，且，垂足为， ， ，则倩倩到环岛中心点的距离为____ ． 分层训练 构建学科思维 3 3.【跨学科融合】（衡阳中考）如图，用一个半径为 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了 ，假设 绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升 了____.（结果保留 ） 分层训练 构建学科思维 4 4.【项目式学习】阅读材料，回答问题： 如何确定桥下行船能否安全通过？ 遇龙桥（如图1），为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若 某一时刻，将主桥拱抽象成如图2所示的图形，且测得水面宽度 为24米，拱高 （弧的中点到水面的距离）为8米． _____________________________________________________________________________ 图1 图2 分层训练 构建学科思维 5 问题解决 任务一 确定主桥拱半径 求主桥拱所在圆的半径； 续表 分层训练 构建学科思维 6 解图1 解：如解图1，设主桥所在圆的圆心为 ，连 接， . 是弧的中点， ， ，， 三点在一条直线上， 米. 分层训练 构建学科思维 7 设米，则 米， 在 中，根据勾股定理，得 ，即，解得 . 答：主桥拱所在圆的半径为13米. 分层训练 构建学科思维 8 任务二 确定水面宽度 若大雨过后，桥下水面上升2米，求此时水面的宽度； 解图2 解：如解图2，记桥下水面上升2米所在水面为 ，交于点，连接， . 由题意，得 米， （米）. 分层训练 构建学科思维 9 （米）. 在中，由勾股定理,得 （米）， （米）. 答：此时水面的宽度为 米. 分层训练 构建学科思维 10 任务三 确定桥下行船能否安全通过 若有一艘宽为6米，船舱顶部高出水面4米且平行于水面的游船要 经过桥拱，则这艘船能否从桥下通过？请说明理由． 解图3 解：能.理由如下： 如解图3，记游船棚顶所在面为，交 于点，连接， ， 主桥拱所在圆的半径为13米， 米， （米）. 分层训练 构建学科思维 11 游船高度为4米， 米， 米. 在 中，由勾股定理,得 米， 米. ，，且 ， 这艘船能从桥下通过． 分层训练 构建学科思维 12 $第2章 圆 2.5 直线与圆的位置关系 2.5.2 圆的切线 第2课时 切线的性质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 圆的切线的性质 1.（长春中考）如图，是的直径， 是 的切线，若 ，则 的大小 为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，以点 为圆心的两个同心圆中，大圆的 弦是小圆的切线，点 为切点．若大圆半径 为2，小圆半径为1，则 的长为( ) A A. B. C. D.2 分层训练 构建学科思维 4 【变式】 如图是两个同心圆，大圆半径为 ， 小圆的半径为，若大圆的弦 与小圆有公 共点，则弦 的取值范围是__________________ ___． 3.（2024·浙江）如图，是的直径， 与 相切，为切点，连接．已知 ， 则 的度数为_____． 分层训练 构建学科思维 5 4.如图，为的切线，点为切点，交于点，点 在上，连接，，，若 ，则 的度 数是_____. 分层训练 构建学科思维 6 5.（2024·山西）如图，已知，以 为直径的交于点，与相切于点 ， 连接.若 ，则 的度数为 ( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 6.（泰安中考）如图，在中， ， 以点为圆心，3为半径的圆与边相切于点 ， 与，分别交于点和点，点是优弧 上一点， ，则 的度数是 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 7.【分类讨论】（滨州中考）如图，， 分别 与相切于，两点，且 ，若点 是上异于点，的一点，则 的大小 为____________. 或 8.（包头中考）如图，在中， ， 以为直径的与相切于点，连接 . 若，则 的周长为__________. 分层训练 构建学科思维 9 9.（教材P69练习T2变式）如图，已知是的直径，直线 与相切于点，的平分线交于点， 的延长 线交于点 . （1）求 的度数； 分层训练 构建学科思维 10 解：是 的直径， . 平分， . 直线与相切于点 ， ， . . 分层训练 构建学科思维 11 （2）求证： . 证明： ， ， ， . 又 , ， . 分层训练 构建学科思维 12 10.如图，是以为直径的 上一点， 过点的切线交的延长线于点 ，过点 作交的延长线于点 ，垂足为 点 ． 分层训练 构建学科思维 13 （1）求证： ； 解图 证明：如解图，连接 . 是的切线， ． ， . ， ． . 分层训练 构建学科思维 14 （2）若，，求 的长． 解图 解：如解图，连接，则 . 在 中， ,， ． ， ． ， ． 分层训练 构建学科思维 15 ． 在 中， ,, . 由（1）,知, . ,即 . 解得 . . 分层训练 构建学科思维 $第2章 圆 强化训练专题（十六） 圆的切线的证明方法 1 方法一 切点已知，连半径，证垂直 已知直线与圆有公共点时，常连接公共点和圆心，证明所得的半 径和直线垂直. 类型1 利用勾股定理的逆定理证垂直 1.如图，是上一点，点在直径 的延 长线上，的半径为6， ， ．求证：是 的切线. 分层训练 构建学科思维 2 证明：如图，连接 . 的半径为6，， , ， . ， ， ， 分层训练 构建学科思维 3 是直角三角形，且 . . 又是 的半径， 是 的切线. 分层训练 构建学科思维 类型2 利用全等证垂直 2.如图，与相切于点，过点作，垂足为 ，交 于点．连接，，并延长交于点，与 的延 长线交于点．求证：是 的切线. 分层训练 构建学科思维 5 证明：如图，连接 . ， , ， . 在和 中， 分层训练 构建学科思维 6 . ， . 又是 的半径， 是 的切线. 分层训练 构建学科思维 类型3 利用角度转换证垂直 3.如图，已知为的直径， ， 交于，是的中点，与 的 延长线相交于点 ． 分层训练 构建学科思维 8 （1）求证：为 的切线； 解图 证明：连接， ，如解图所示. 为 的直径， . 是的中点， . . ， ， . 分层训练 构建学科思维 9 ， ， . 又是 的半径， 为 的切线. 分层训练 构建学科思维 （2）若，，求 的半径． 解：为 的切线， . ， . . ， . 分层训练 构建学科思维 11 又 ， ， . , . ， . . 的半径是3． 分层训练 构建学科思维 12 方法二 切点未知，作垂直，证半径 当直线和圆的公共点未知时,常过圆心向直线作垂线，证明垂线 段的长等于圆的半径. 4.如图，在中， ， 的平分 线交于点，为上的一点，，以 为圆心，长为半径作，， . 分层训练 构建学科思维 13 （1）求证：是 的切线； 证明：如图，过点作于点 . ， . 平分， ， 点在 上． 是 的切线． 分层训练 构建学科思维 14 （2）求线段 的长． 解：在和 中， ， ， ． . 与 中， , , 分层训练 构建学科思维 15 . ， 即 . . 分层训练 构建学科思维 5.如图，在中， ，,分别为, 的中点， 连接,作与相切于点，在边上取一点 ，使 ,连接.判断直线与 的位置关系，并说明理由. 分层训练 构建学科思维 17 解：直线与 相切.理由如下： 如图，过点作于点，连接 ． ,分别为, 的中点， . . ， ， . . 分层训练 构建学科思维 18 与相切于点, ， . . 又， , 四边形 是矩形. . 又,且为 的半径， 直线是 的切线， 即直线与 相切. 分层训练 构建学科思维 19 $第2章 圆 2.5 直线与圆的位置关系 2.5.4 三角形的内切圆 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 三角形的内切圆、内心及作图 1.如图，是的内切圆，则点是 的( ) B A.三边垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 分层训练 构建学科思维 3 2.若一个三角形的内心和外心重合，那么这个三角形是( ) D A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 分层训练 构建学科思维 4 3.如图是三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一 个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位 置？请用尺规作图，找出建造加油站的位置（保留作图痕迹，不 写作法）． 分层训练 构建学科思维 5 解：如图，点 即为加油站的位置． 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 三角形的内切圆、内心的有关计算与证明 4.如图，点是的内心， ， 则 的度数是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 5.如图，的内切圆与边相切于点，连接， . 若 ，则的度数是____ . 70 6.已知等边三角形 的边长为3，则它的内切圆半径为_ __. 分层训练 构建学科思维 8 7.如图，是的内切圆，和 的三 边分别切于点，， ． 分层训练 构建学科思维 9 （1）求证：四边形 是正方形； 证明：，分别与相切于点， ， ， 四边形 为矩形. 又 ， 四边形 是正方形． 分层训练 构建学科思维 10 （2）设，，，求内切圆的半径 ． 解：由（1），得 ， ， . 分层训练 构建学科思维 11 8.如图，为的内切圆， ， 的延 长线交于点，，，则 的半径等 于( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 9.如图，在中， ，，，则 的内切圆直径为___． 2 分层训练 构建学科思维 13 10.如图，已知中，，，，是 的内心，把向下平移得到，使得点和点 重合，交 于，两点，则 的周长为___． 7 分层训练 构建学科思维 14 11.已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》 一书中给出了计算公式——海伦公式 （其中，， 是三角形的三边长， ， 为三角形的面积），并给出了证明: 例如：在中，，， ，那么它的面积可以这 样计算： 分层训练 构建学科思维 15 ，， ， , , 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用 我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 分层训练 构建学科思维 16 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在中，，， . 分层训练 构建学科思维 17 （1）用海伦公式求 的面积； 解：,, , , . 故的面积为 . 分层训练 构建学科思维 18 （2）求的内切圆半径 ． 解：如图，连接,, . 为 的内切圆， 分层训练 构建学科思维 19 , , 解得 . 故的内切圆半径 . 分层训练 构建学科思维 $第2章 圆 2.6 弧长与扇形面积 第2课时 扇形的面积 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 扇形的面积 1.（衢州中考）已知扇形的半径为6，圆心角为 ，则它的面 积是( ) D A. B. C. D. 【变式】 一个扇形的圆心角是 ，面积是 ，那么这个 扇形的半径是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.一个扇形的弧长是，面积是 ，则这个扇形的圆 心角是_____度． 3.已知扇形的圆心角为 ，它所对应的弧长为 ，则此 扇形的面积是______ ． 150 分层训练 构建学科思维 4 4.如图，在 的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形， 点，，均为格点，则扇形 的面积大小是____. 分层训练 构建学科思维 5 5.如图，分别以的顶点，， 为圆心，以2为半径画圆， 则图中各阴影部分的面积之和是____． 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 与扇形有关的阴影部分的面积 6.【新考向·真实问题情境】（2024·东营）习近 平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的 根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文 C A. B. C. D. 化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图， ， ，纸扇完全打开后，外侧两竹条 （竹条宽度忽略不计）的夹角 ，现需在扇面一侧 绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为____ .( ) 分层训练 构建学科思维 7 7.如图，在边长为2的等边三角形中， 是 边上的中点，以点为圆心， 为半径作 弧,与，分别交于， 两点，则图中阴影 部分的面积为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 8.如图，在中，， ，求图中 阴影部分的面积．（结果保留 ） 解： ， ． ． 分层训练 构建学科思维 9 9.如图，在边长为6的正方形中，以 为直 径画半圆，则阴影部分的面积是( ) A A.9 B.6 C.3 D.12 分层训练 构建学科思维 10 10.（2024·重庆A卷）如图，在矩形中，分别以点和 为 圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若 ， 则图中阴影部分的面积为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 11.（2024·深圳）如图，在矩形中，，为 中点，，则扇形 的面积为____. 分层训练 构建学科思维 12 12.（内江中考）如图，在平行四边形中， ， ，，以为直径的交于点 ，则图中 阴影部分的面积为________． 分层训练 构建学科思维 13 13.如图，圆心角都是 的扇形与扇形 叠放在一起，连 接， . （1）求证： ； 分层训练 构建学科思维 14 证明： ， . . 又， ， . . 分层训练 构建学科思维 15 （2）若图中阴影部分的面积是，，则 的长 为___ . 1 分层训练 构建学科思维 16 14.如图，已知是的直径，点，在上， 且，过点作，垂足为 ． （1）填空： ____度； 30 分层训练 构建学科思维 17 （2）求 的长； 解：是直径, . ，， . ， . 又 点是 中点， 是 的中位线， . 分层训练 构建学科思维 18 （3）若的延长线交于点，求弦，和 围成的图形 （阴影部分）的面积． 解：如图，连接 . ， . 分层训练 构建学科思维 19 ， ， . 又 ， . 故阴影部分的面积扇形 的面积. 分层训练 构建学科思维 20 , . . . 即可得阴影部分的面积为 . 分层训练 构建学科思维 21 $第2章 圆 章末复习 1 复习点1 圆心角与圆周角定理及其推论 1.（淮安中考）如图，点，，在 上， ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 2.（2024·常州）如图，是的直径，是 的弦，连接 ，，．若 ，则____ ． 70 分层训练 构建学科思维 3 3.（葫芦岛中考）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中， 点，，都在格点上，以为直径的圆经过点和点 ，则 __. 分层训练 构建学科思维 4 复习点2 垂径定理 4.如图，的直径，是 的弦， ，垂足为，且，则 的长 为( ) C A.10 B.12 C.16 D.18 分层训练 构建学科思维 5 5.（贵阳中考）如图，已知的半径为，弦 的长为 ，是延长线上一点，，则 的值是_ __． 分层训练 构建学科思维 6 复习点3 三角形的外接圆与内切圆 6.（贵阳中考）小颖同学在手工制作中，把一个边长为 的 等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰 好都在这个圆上，则圆的半径为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 7.如图，内切于，切点分别为点，点 ， 点.已知， ，连接， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 复习点4 点、直线与圆的位置关系 8.如图，在直角三角形中， ，是边 上的 高，，，如果是以为圆心， 长为半径的圆， 那么下列说法正确的是( ) B A.点在圆 上 B.点在圆内，点，均在圆 外 C.点,,均在圆 外 D.点,均在圆内，点在圆 外 分层训练 构建学科思维 9 9.在中，已知 ，，以点 为圆 心，分别以5，和8为半径作圆，那么直线 与这三个圆的位 置关系分别是______、______、______． 相离 相切 相交 分层训练 构建学科思维 10 复习点5 切线的性质与判定 10.（山西中考）如图，在 中， ，， ， 点是的中点，以 为直径作 ，分别与，交于点 ， ，过点作的切线，交于点，则 的长为___． 分层训练 构建学科思维 11 11.（玉林中考）如图，与等边的边， 分别交于 点，，是直径，过点作于点 . （1）求证：是 的切线； 分层训练 构建学科思维 12 证明：如图，连接 ， 为等边三角形， . 分层训练 构建学科思维 13 又， 是等边三角形. . . 又 . . 又为 的半径， 是 的切线. 分层训练 构建学科思维 14 （2）连接，当是的切线时，求的半径 与等边 的边长 之间的数量关系. 解：的半径为，等边的边长为 ，由（1），可知 ， 则， . 在中， ， ， . 分层训练 构建学科思维 15 又是 的切线， 是直角三角形，且 ， . . 解得 . 的半径与等边的边长之间的数量关系为 . 分层训练 构建学科思维 16 复习点6 切线长定理 12.如图，以正方形的边为直径作半圆，过点 作直线 切半圆于点，交边于点，若 的周长为12，则直角 梯形 的周长为____. 14 分层训练 构建学科思维 17 复习点7 正多边形与圆 13.（安徽中考）如图，正五边形内接于 ， 连接，，则 ( ) D A. B. C. D. 14.如图，有一个边长为 的正六边形纸 片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大的圆 形纸片，则这个圆形纸片的半径是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 18 $第2章 圆 *2.3 垂径定理 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 知识点1 垂径定理 1.如图，为的直径，弦于点 ，则 下面结论中错误的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.（教材P59例1变式）（湖州中考）如图，是 的半径，弦 于点，连接.若的半径为，的长为 ， 则的长是___ . 3 分层训练 构建学科思维 4 变式点：求圆心到弦的距离<m></m> 求弦或半径 【变式1】 （黔东南州中考）如图， 的直径 ，是的弦， ，垂足为 ，，则 的长为( ) C A.8 B.12 C.16 D. 分层训练 构建学科思维 5 【变式2】 （宜昌中考）如图，，， 都是 的半径，，交于点.若 ， ，则 的长为( ) B A.5 B.4 C.3 D.2 分层训练 构建学科思维 6 3.如图，在中，直径垂直于弦.若 ，则 的度数是_____. 分层训练 构建学科思维 7 4.如图，是的弦，,为直线上两点， ，求 证： . 分层训练 构建学科思维 8 证明：如图，过点作于点 . 解图 则由垂径定理，得 . ，， ， ，即 . 分层训练 构建学科思维 9 知识点2 垂径定理的实际应用 5.（教材P60习题 变式）（鄂州中考）筒车是我国古代发明的一种水利灌 溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原 理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，如图2，已知圆 心在水面上方，且被水面截得的弦的长为6米， 的半径长为4 米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦 所在直线的距离是 ( ) B 图1 图2 A.1米 B.米 C.2米 D. 米 分层训练 构建学科思维 10 6.（广西中考）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中 国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径 约为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 7.如图，，都是的弦， ， ，垂足分别为，.如果 ，那么 的长度是( ) C A.3 B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 8.如图，在中，， 为互相垂直且相等的两 条弦，，，垂足分别为点， ， 若，则的半径为____ . 分层训练 构建学科思维 13 9.（易错题）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为 ， 下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为 ，则水位 上升________ ． 10或70 分层训练 构建学科思维 14 10.如图，为的直径，弦于点，于点 ， 若，，则 的长为___． 分层训练 构建学科思维 15 11.如图，为的直径，,垂足为， ,垂足 为, . （1）求 的长； 分层训练 构建学科思维 16 解： , , . 在和 中， 分层训练 构建学科思维 17 . , . 是的直径， , , . 分层训练 构建学科思维 18 （2）求 的半径. 解：如图，连接 . ,, . 是的半径， , , 分层训练 构建学科思维 19 , , 是等边三角形. . , , . 在中， , 即 , 解得（负值舍去），即的半径是 . 分层训练 构建学科思维 20 微专题7 垂径定理与勾股定理 【方法指导】应用垂径定理及其推论进行计算时， 往往要构造如图所示的直角三角形，根据垂径定理 与勾股定理有： ，根据此公式，在 ，， 三个量中已知任意两个量就可以求出第三个量. 分层训练 构建学科思维 21 1.如图，在中， ，，，以 为半径的与相交于点，则 的长为___. 分层训练 构建学科思维 22 2.如图，的半径为5，半径与弦垂直且相交于点 ， .则 的长为___. 8 分层训练 构建学科思维 23 $第2章 圆 2.5 直线与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 由数量关系判定直线和圆的位置关系 1.已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则直线与 的位置关系是( ) A A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 2.如图，在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线与 的位置关系 是______. 相切 分层训练 构建学科思维 3 3.如图,在平面直角坐标系中,点在第一象限内,轴于点 , ,与轴交于, 两点. （1） 的半径为____； 分层训练 构建学科思维 4 （2）请判断与直线 的位置关系,并说明理由. 解:与直线 相离.理由如下： 由题意，知 ， 点 的横坐标为4. 点到直线的距离为 . , 与直线 相离. 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 由直线与圆的位置关系判断数量关系 4.已知的半径为5，直线与相交，若圆心到直线 的距 离为，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 5.已知和直线相离，圆心到直线的距离为，则 的 半径可能为( ) B A. B. C. D.以上都不对 分层训练 构建学科思维 6 6.设的半径为,圆心到直线的距离为,若, 是方程 的两根,当直线与相切时, 的值为___. 9 分层训练 构建学科思维 7 7.如图,的半径,直线,垂足为 , 且交于,两点,,将沿 所在直线 平移，使其与 相切,则平移的距离是( ) D A. B. C. D.或 分层训练 构建学科思维 8 【变式】 变式点：平移直线 平移圆 如图，在平面直角坐标系 中，半径 为2的的圆心的坐标为 ，将 沿轴正方向平移，使与 轴相 切，则平移的距离为( ) B A.1 B.1或5 C.3 D.5 分层训练 构建学科思维 9 8.（易错题）已知的半径等于，圆心到直线 上某点的 距离为，则直线与 的公共点的个数为( ) D A.0 B.1或0 C.0或2 D.1或2 9.在中， ， ， ，若以点为圆心, 为半径所作的圆 与斜边只有一个公共点，则 的取值范围是 ____________________． 或 分层训练 构建学科思维 10 10.已知 ，为边上一点，以点 为圆心，2为半 径作，交于,两点，设为 ． 分层训练 构建学科思维 11 （1）如图1，当为何值时，与 相切? 解：当与相切时，点到 的距离等于 的半径2，如图1,过点作于点 ,则 与相切时， . 在中， , . . 即当时，与 相切. 分层训练 构建学科思维 12 （2）如图2，当为何值时，与相交于， 两点，且 ？ 解：如图2，过点作于点 . 分层训练 构建学科思维 13 , , 是等腰直角三角形. ,, . 又 , . . 即当时，与相交于， 两点，且 . 分层训练 构建学科思维 14 11.如图，已知半径为2的的圆心在直线 的图象上 运动． （1）当与轴相切时，求点 的坐标； 分层训练 构建学科思维 15 解：设点 的坐标为 ， 与 轴相切， ， 解得或 ， 点的坐标为或 . 分层训练 构建学科思维 16 （2）当与轴相切时，求点 的坐标； 解：设点的坐标为 ， 与 轴相切， ，解得或 ， 点的坐标为或 . 分层训练 构建学科思维 17 （3）是否能同时与轴和轴相切？若能，写出点 的坐标， 若不能，说明理由． 解：不能.理由如下：由（1）和（2）的结论,得不能同时与 轴和 轴相切． 分层训练 构建学科思维 18 12.如图，直线，相交于点， ，半径为 的的圆心在直线上.开始时，．如果 以 的速度沿 向右水平移动，那么： （1）当的运动时间 满足条件 __________________时，与直线 相离； 或 分层训练 构建学科思维 19 （2）当的运动时间满足条件_____________时， 与 直线 相切； （3）当的运动时间满足条件__________时， 与直线 相交． 或 分层训练 构建学科思维 20 $第2章 圆 2.4 过不共线三点作圆 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 过不共线三点作圆 1.下列条件，可以画出唯一一个圆的是( ) D A.已知圆心 B.已知半径 C.已知直径 D.已知不在同一条直线上的三个点 分层训练 构建学科思维 3 2.（江西中考）如图，点，，，均在直线上，点在直线 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( ) D A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 分层训练 构建学科思维 4 3.（教材P63练习T2变式）某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为 复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷 盘的圆心．（不要求写作法，证明和讨论，但要保留作图痕迹） 解：如图，点 即为所求. 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 三角形的外接圆、外心 4.是的外接圆，则点是 的( ) A A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 5.如图，在平面直角坐标系中，点,点 , 点，则 外接圆的半径为( ) D A.2 B.3 C.4 D. 分层训练 构建学科思维 6 【变式】 在中,若, ,则 的外接圆半径为___. 3 6.（教材P63习题 变式）（湖州中考）如图，已知 点是的外心， ，连接， ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 【变式】 已知点是的外心，若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. 或 D. 或 分层训练 构建学科思维 8 7.（教材P63练习T1变式）如图, 分别作出锐角三角形,直角三角 形和钝角三角形的外接圆,它们 外心的位置有什么特点？ 解：如解图所示,锐角三角形的外心 在锐角三角形内；直角三角形的外 心是直角三角形斜边的中点；钝角 三角形的外心在钝角三角形外. 分层训练 构建学科思维 9 8.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎 片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃， 小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( ) B A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 9.（易错题）下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有 一个外接圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等.其中正 确的是____.（填序号） ② 分层训练 构建学科思维 10 10.（安徽中考）如图，内接于， ， ，于点.若的半径为2，则 的长为 ____． 分层训练 构建学科思维 11 11.（临沂中考）如图，在中， ， ， 能够将完全覆盖的最小圆形纸片的直径是_ ____ . 分层训练 构建学科思维 12 12.如图，在平面直角坐标系中，已知，， . 分层训练 构建学科思维 13 （1）在图中画出经过，，三点的圆弧所在圆的圆心 的位置； 解：圆心 的位置如解图所示. 解图 （2）点 的坐标为______； 分层训练 构建学科思维 14 （3）判断点与 的位置关系. 解：圆的半径 . 线段 ， 所以点在 内. 分层训练 构建学科思维 15 13.（荆门中考）如图，已知锐角 的外接圆 圆心为，半径为 . （1）求证： ； 分层训练 构建学科思维 16 证明：如图,连接并延长交于点，连接 . 为 的直径， ， 分层训练 构建学科思维 17 在 中， ， , . . 分层训练 构建学科思维 （2）若中 ， ，，求 的长 及 的值. 解:如图，过点作于点 . 分层训练 构建学科思维 19 由（1），知 ，同理,得 ， . . ， 分层训练 构建学科思维 20 . . 在中， ， . 分层训练 构建学科思维 21 $第2章 圆 2.2 圆心角、圆周角 2.2.2 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论1 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 认识圆周角 1.下列图形中的角是圆周角的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 知识点2 圆周角定理 2.（广西中考）如图，点，，在 上， ，则 的度数是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.（2024·甘肃省卷）如图，点，，在 上，，垂足为，若 ，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 4.（2024·南充）如图，是的直径，位于 两侧的点，均在上， ，则 ____度． 75 【变式】 （2024·临夏州）如图，是 的直 径， ，则 ( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 知识点3 圆周角定理推论1 5.如图，，，，是上的点，则图中与 相等的角是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 6.（2024·云南）如图，是 的直径，点 ，在上.若， ，则 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 7.如图，在中，弦，相交于点.若 ， ，则 的度数为_____. 分层训练 构建学科思维 9 8.（聊城中考）如图，，， 是半径为1的 上的三个点，若， ， 则 的度数为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 9.（抚顺中考）如图，在中，弦与直径 相交于点，连接,．若 ， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 10.（2024·山东）如图，是 的内接三角形，若 ， ，则 _____. 分层训练 构建学科思维 12 11.（南京中考）如图,的弦，的延长线相交于点 ,且 .求证： . 分层训练 构建学科思维 13 解图 证明：如解图，连接 . , , ,即 , , . 分层训练 构建学科思维 14 12.（深圳中考）如图，为 的弦， ，为的三等分点， . （1）求证： ； 证明：， . ，为 的三等分点， . . . 分层训练 构建学科思维 15 （2）若，，求 的长. 解：由（1），知 . . ， ， . ,即 . 解得 . . 分层训练 构建学科思维 16 13.如图，的半径为1，，，，是 上的四个点， . （1）判断 的形状：____________； 等边三角形 分层训练 构建学科思维 17 （2）试探究线段，， 之间的数量关系，并证明你的结 论． 解： .证明如下： 如图，在上截取，连接 ， ， 是等边三角形． ， ， 分层训练 构建学科思维 18 即 . 又 ， . 在和 中， 分层训练 构建学科思维 19 ． . . 分层训练 构建学科思维 20 $第2章 圆 2.5 直线与圆的位置关系 2.5.2 圆的切线 第1课时 切线的判定 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 圆的切线的判定 1.（1）如图,已知点在上,直线经过点 ,只要补充条件 __________，就可判定直线是 的切线； 分层训练 构建学科思维 3 （2）如图,的半径,点,在直线上,且 , 则只要____，就可判定直线是 的切线. 12 分层训练 构建学科思维 4 2.下列说法中，正确的是( ) D A.垂直于的半径，则是 的切线 B.经过半径外端的直线是圆的切线 C.经过切点的直线是圆的切线 D.圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线 分层训练 构建学科思维 5 3.如图,是的直径,点在上,分别连接，.过点 作 直线,使.求证：直线与 相切. 分层训练 构建学科思维 6 证明：是 的直径, . . , ,即 . . 是 的半径, 直线与 相切. 分层训练 构建学科思维 7 4.（易错题）如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形 ， ，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此 圆的圆心 的坐标为___________________________． 或或或 分层训练 构建学科思维 8 5.如图，为的内接三角形，过点作，交 于点，交的延长线于点，在线段上取一点 ，使得 ． 分层训练 构建学科思维 9 （1）求证：是 的切线； 证明：如解图，连接 . ， . 是 的直径. ， ， ， . 是的直径，是 的切线. 分层训练 构建学科思维 10 （2）若的半径为，，求 的长． 解：是 的直径， . ， ， . ，即 . 或 （舍去）， 的长为4． 分层训练 构建学科思维 11 6.已知内接于，过点作直线 . （1）如图1，若为的直径，要使成为 的切线，还 需要添加的一个条件是（至少说出两种） _____________或者 _______________; 分层训练 构建学科思维 12 （2）如图2，若是不过圆心的弦，且，那么 是 的切线吗？试证明你的判断. 分层训练 构建学科思维 13 图2 解：是 的切线.证明如下： 如图2，过点作的直径，连接 ， 则 . ， . ， 分层训练 构建学科思维 14 . . 又是 的直径， 是 的切线. 分层训练 构建学科思维 15 7.如图，点在以为直径的上，平分交 于点 ，过作的垂线，垂足为 ． 分层训练 构建学科思维 16 （1）求证：与 相切； 证明：如解图1，连接 . 平分 ， . ， . 分层训练 构建学科思维 17 . ， . 是 的半径， 与 相切. 分层训练 构建学科思维 18 （2）请用线段，表示 的长，并说明理由． 解： .理由如下： 如解图2，过点作于点 . ， ， . 平分 ， . 分层训练 构建学科思维 19 在和 中， . ， . 分层训练 构建学科思维 20 四边形内接于 ， ,且 . . 在和 中， 分层训练 构建学科思维 21 ， . ， ． 分层训练 构建学科思维 22 $第2章 圆 2.5 直线与圆的位置关系 2.5.3 切线长定理 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 切线长定理 1.（杭州中考）如图，为外一点，， 分别切于，两点.若，则 ( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，，是的切线，切点分别是， 若 .则 ( ) B A. B. C. D. 3.（教材P72练习T1变式）如图，，， 是 的切线，切点分别是点，，.若 ， ，则 的长是( ) C A.4 B.3 C.2 D.1 分层训练 构建学科思维 4 4.如图，，是的切线，切点分别是 ， ，若 ，，则 ___ ． 4 5.（河池中考）如图，，是 的切线， ，为切点， ，则 _____. 分层训练 构建学科思维 5 6.如图，，是的切线，，为切点，是 的直 径， ，，求 的长. 分层训练 构建学科思维 6 解：，是 的切线， . 又 ， 是等边三角形. . 是的切线， . . 分层训练 构建学科思维 7 又是 的直径， . . 分层训练 构建学科思维 7.如图，已知，是 的两条切线， ，为切点，线段交于点 ．给出 下列四种说法：； ； ③四边形有外接圆；是 外 接圆的圆心．其中正确说法的个数是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 分层训练 构建学科思维 9 8.（2024·泸州）如图，，是 的切线，切 点为，，点，在 上，若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 9.一把直尺，含 角的直角三角板和光盘按如 图所示的方式摆放，为 角与直尺的交点， ，则光盘的直径是( ) D A.3 B. C.6 D. 分层训练 构建学科思维 10 10.如图，正方形的边长为4，以正方形 边的 中点为圆心，正方形边长为直径，在正方形 内作半圆，过点作半圆的切线，与半圆相切于点 ， 与相交于点，则 的面积是( ) D A.12 B.24 C.8 D.6 分层训练 构建学科思维 11 11.如图，，，分别与相切于点，， ，且 ，， ． （1）判断 的形状，并证明你的结论； 分层训练 构建学科思维 12 解： 是直角三角形．证明如下： ，，分别与相切于点，， ， , . ， ， . 是直角三角形. 分层训练 构建学科思维 13 （2）求 的长； 解： 在中，， ， . 分层训练 构建学科思维 14 （3）求的半径 的长． 解：，，分别与相切于点，，， ， , . 的半径 的长为4.8. 分层训练 构建学科思维 15 12.（滨州中考）如图，是 的直径， 和是它的两条切线，过上一点 作直线，分别交，于点， ，且 . 分层训练 构建学科思维 16 （1）求证：直线是 的切线； 证明：如解图1，连接， . 在和 中， . . 分层训练 构建学科思维 17 是的切线. . . . 又是 的半径， 直线是 的切线. 分层训练 构建学科思维 （2）求证： . [答案] 如解图2，过点 作 解图2 分层训练 构建学科思维 19 于点 . 则 . ，都是 的切线， . 四边形 是矩形. ， . ,,是 的切线， ， . 分层训练 构建学科思维 . ，且 , ， 整理，得 . 即 . 分层训练 构建学科思维 $第2章 圆 强化训练专题（十七） 求阴影部分面积的方法 1 方法一 公式法 1.如图，在中， ， 的半径为3，则图中阴 影部分的面积是____. 分层训练 构建学科思维 2 2.如图，在中， ， ， ，点 为边的中点．以点为圆心，为半径画圆弧，交边 于 点 ，则图中阴影部分图形的面积为_____． 分层训练 构建学科思维 3 方法二 和差法 类型1 直接和差法 3.（苏州中考）如图，在扇形 中，已知 ，，过的中点 作 ，，垂足分别为, ，则图 中阴影部分的面积为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 4.（2024·山西）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的 一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得 到扇形的圆心角为 ，，点，分别为， 的中点，则花窗的面积为 _______ . 图1 图2 分层训练 构建学科思维 5 5.如图，四边形是一个正方形，，，， 四点在同一条 直线上，且，连接，以点为圆心， 长为半径画弧，交于点 .则图中阴影部分的面积为________ . 分层训练 构建学科思维 6 类型2 构造和差法 6.如图，等边的边长为4，以 为直径的 半圆交于点，交于点 ，则图中阴影部 分的面积是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 7.（枣庄中考）如图，正方形 的边长为2， 为对角线的交点，点，分别为， 的中 点．以为圆心，2为半径作圆弧 ，再分别以 ，为圆心，1为半径作圆弧， ，则图中 阴影部分的面积为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 8.如图，在中，， ，，点 为的中点，以点为圆心作圆心角为 的扇形，点 恰 好在 上，则图中阴影部分的面积为______. 分层训练 构建学科思维 9 方法三 等面积转化法 类型1 直接等面积转化法 9.（广元中考）如图，半径为5的扇形 中， ，是上一点， ， ，垂足分别为，，若 ，则图 中阴影部分面积为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 10.如图，是的直径，弦，垂足为 ， ，，则图中阴影部分的面积 ___. 分层训练 构建学科思维 11 类型2 对称转化法 11.如图，在半径为4的中，是 的直径， 是的弦，且，垂足为 ， ，则图中阴影部分的面积是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 12.（山西中考）如图，正方形内接于 , 的半径为2，以点为圆心，以 的长为半 径画弧,交的延长线于点，交 的延长线于 点 ，则图中阴影部分的面积为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 类型3 旋转转化法 13.（攀枝花中考）如图，直径 的半 圆绕点顺时针旋转 ，此时点 到了点 ，则图中阴影部分的面积是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 14 14.（凉山州中考）如图，将绕点顺时针旋转 得到 ，已知，，则线段 扫过的图形 （阴影部分）的面积为_ __． 分层训练 构建学科思维 15 15.如图，在中，，，，将 绕 点逆时针旋转 后得到，点经过的路线为 ，求图 中阴影部分的面积. 分层训练 构建学科思维 16 解： 将绕点逆时针旋转 后得到 ， ， . . . 分层训练 构建学科思维 17 $第2章 圆 2.1 圆的对称性 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 圆的有关概念 1.下列条件中,能确定圆的是( ) D A.以已知点为圆心 B.以 为半径 C.经过已知点,且半径为 D.以点为圆心, 为半径 分层训练 构建学科思维 3 2.下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径； （3）劣弧一定比优弧短；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5） 半圆是弧，弧也是半圆.其中正确的有( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分层训练 构建学科思维 4 3.如图，为的弦， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 4.如图,若点为的圆心,则线段___________是 的半径； 线段___________是 的弦,其中最长的弦是____；_______是劣 弧；__________是半圆. ,, ,, , ， 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 点与圆的位置关系 5.已知的半径为5，若，则点与 的位置关系是 ( ) C A.点在外 B.点在上 C.点在 内 D.无法判断 6.在平面直角坐标系中,圆心为坐标原点, 的半径为5,则点 与 的位置关系是( ) C A.点在外 B.点在内 C.点在 上 D.无法确定 分层训练 构建学科思维 7 7.边长为1的正方形的对角线相交于点,以点 为圆心,1为半径 画圆,则点,,, 中,点___在圆内；点_____在圆上；点___在圆外. , 分层训练 构建学科思维 8 8.如图,在中, ,, ,以点 为圆心作,半径为 . （1）当取什么值时,点，均在 外？ 解：若点，均在外,则 . , 当时，点,均在 外. 分层训练 构建学科思维 9 （2）当取什么值时,点在内,点在 外？ 解：若点在内,点在 外, 则 . , , 当时，点在内，点在 外. 分层训练 构建学科思维 10 知识点3 圆的对称性 9.下列说法中，不正确的是( ) D A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D.圆的每一条直径都是它的对称轴 分层训练 构建学科思维 11 10.如图，以坐标原点为圆心的圆与 轴交于点 ，，且，则点 的坐标是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 11.（聊城中考）如图，是半圆 的直 径，，是上两点，连接， 并延 长交于点，连接，.如果 ， 那么 的度数为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 12.如图，三圆同心于点， ， 于点 ，则图中阴影部分的面积是___ ． 分层训练 构建学科思维 14 13.如图，点，，， 在半圆上，四边形 ，， 均为矩形，设 ，，，则，， 三者 间的大小关系为__________． 分层训练 构建学科思维 15 14.（易错题）若所在平面内有一点，点到 上的点的 最大距离为10，最小距离为6，则 的半径为______. 8或2 15.如图,在中,,分别是半径,的中点.求证： . 分层训练 构建学科思维 16 证明：，是 的两条半径, . ，分别是半径， 的中点, ,, . 在和中, . . 分层训练 构建学科思维 17 16.由于过度采伐森林和破坏植被,使我国某些地 区多次受到沙尘暴的侵袭.近日， 市气象局测 得沙尘暴中心在市正东方向的 处,且正 在向西北方向转移,如图所示,距沙尘暴中心 的范围内将受到影响,问 市是否会受到 这次沙尘暴的影响？ 分层训练 构建学科思维 18 解图 解：如解图，过点作于点 . 由题意，得 . , ， ， . 在中,设 . 由勾股定理,得 , 即 , 分层训练 构建学科思维 19 解得 （负值舍去）. , 市会受到这次沙尘暴的影响. 分层训练 构建学科思维 20 $第2章 圆 易错易混专练 1 易错点1 圆的概念与性质理解错误 1.下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆 是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定 是半圆.正确的说法有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列说法中正确的个数有( ) ①平分弦的直径一定垂直于弦；②圆是轴对称图形，每一条直径 都是对称轴；③直径是弦；④长度相等的弧是等弧. A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分层训练 构建学科思维 2 易错点2 忽略分类讨论，造成漏解 3.已知圆中两条平行的弦之间的距离为1，其中一弦长为8.若半径 为5，则另一弦长为( ) C A.6 B. C.6或 D.以上说法都不对 分层训练 构建学科思维 3 4.已知的直径，是的弦， ，垂 足为，且，则 的长为( ) B A.或 B.或 C. D. 5.已知半径为5的中，弦，弦，则 的 度数是( ) C A. B. C. 或 D. 或 分层训练 构建学科思维 4 易错点3 混淆三角形的外接圆与三角形的内切圆 6.一个直角三角形的斜边长为8，其内切圆的半径为1，则这个三 角形的周长为( ) D A.21 B.20 C.19 D.18 分层训练 构建学科思维 5 易错点4 扇形的弧长公式和面积公式混淆致错 7.如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯 处是一段圆弧，点 是这段弧所在圆的圆心， 半径，圆心角 ，则这段弯 路 的长度为( ) C A. B. C. D. 8.圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为 的扇形， 则这个圆锥的底面积是____ . 分层训练 构建学科思维 6 易错点5 圆锥的母线与高混淆、底面圆半径与侧面展开图形 半径未区分致错 9.如图，聪聪用一张半径为，圆心角为 的扇形纸片做 成一个圆锥，则这个圆锥的高为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 易错点6 不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和差发 生的错误 10.如图，正方形的边长为8，以 为圆心， 6为半径作圆弧；以 为圆心，8为半径作圆弧.若 图中阴影部分的面积分别记为、，则 的值为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 $第2章 圆 2.2 圆心角、圆周角 2.2.1 圆心角 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 认识圆心角 1.下列图形中表示的角是圆心角的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.在半径为的中,弦长为 的弦所对的圆心角为( ) B A. B. C. D. 3.如图,在中, , ,以点为圆心, 为 半径的圆交于点,交于点.则弧 所对的圆心角的度数为 _____. 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系 4.如图，已知，，， 是圆上的点， ，，交于点 ，则下列结论正确的 是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 5.在同圆或等圆中，下列说法错误的是( ) A A.相等的弦所对的弧相等 B.相等的弦所对的圆心角相等 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.相等的圆心角所对的弦相等 6.如图,是的直径, , ,则 的度数为_____. 分层训练 构建学科思维 6 7.如图，，是的直径，是 上的一点， 且.求证： . 证明：，是 的直径， ， . ， . . 分层训练 构建学科思维 7 8.如图，在中，已知弦, , ，垂足分别为, ，下列说法： ;; ; .其中说法正确的有( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分层训练 构建学科思维 8 9.（易错题）如图，在中，如果 ，那么( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 【变式】 变式点：弧长二倍关系 圆心角二倍关系 在同圆中，圆心角，则与 的关系是( ) A A. B. C. D.不能确定 分层训练 构建学科思维 10 10.如图，已知是的直径，点在上， , 是的中点，则 ______. 分层训练 构建学科思维 11 11.如图，在半径为5的中，弦， 所对的圆心角分别是 ，，若， ，则弦 的 长为___. 8 分层训练 构建学科思维 12 12.如图,以的一个顶点为圆心, 长为半径作圆,分别交 ,于点,,的延长线交于点.试说明 . 分层训练 构建学科思维 13 解:如图，连接 . , . 四边形 是平行四边形， . , , , . 分层训练 构建学科思维 14 13.如图,是的直径,点,在上,于点 , 于点,且,则弦与 相等吗?为什么? 分层训练 构建学科思维 15 解:弦与 相等. 如图,连接, . ,, . , , . 在和 中, , , 分层训练 构建学科思维 16 . , . . . 分层训练 构建学科思维 14.（1）如图，点，，，，在 上，连接 ，，，， ，且 .求 的度数； 分层训练 构建学科思维 18 解图 解：如解图，连接，，，， . ， . . . 分层训练 构建学科思维 19 （2）受（1）的启发，你能将一个圆四等分，六等分吗？ 解：将一个圆四等分时，作 的圆心角；将一个圆六等分时， 作 的圆心角. 分层训练 构建学科思维 20 $第2章 圆 强化训练专题（十五） 圆中常见辅助线的作法 1 类型1 连半径——构造等腰三角形 作圆的半径,利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形,这样就 可以把有些问题转化到三角形中解题. 分层训练 构建学科思维 2 1.如图，,,是上的三点，,在圆心 的 两侧，若 , ,则 的度 数为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.如图,是的直径,是的弦,,的延长线交于点 . 若, .求及 的度数. 分层训练 构建学科思维 4 解图 解：如解图,连接 . , , . ,, . 是 的外角, . 分层训练 构建学科思维 5 是 的外角, . 分层训练 构建学科思维 类型2 与垂径定理有关的辅助线 作垂直于弦的半径，构造直角三角形，然后用勾股定理解题. 分层训练 构建学科思维 7 3.如图，的直径与弦相交于点,若, , ,则 的长为( ) C A.5 B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 4.如图,是的弦,是的中点,,,求 的 半径. 分层训练 构建学科思维 9 解图 解：如解图,连接,,且与交于点 . 设的半径为 . 是 的中点, , . 在中, . 分层训练 构建学科思维 10 在中, , , .解得 . 故 的半径为5. 分层训练 构建学科思维 11 类型3 与圆周角定理及其推论有关的辅助线 1.遇到直径时,常构造直径所对的圆周角,充分利用“半圆（或直径） 所对的圆周角是直角”这一性质解题. 2.有 的圆周角时,常连接圆周角的两边与圆的交点,得到直径. 分层训练 构建学科思维 12 5.如图，为半圆 的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置， 锐角顶点在半圆上，斜边过点 ，一条直角边交该半圆于点 ．若，则线段 的长为( ) A A. B. C. D.1 分层训练 构建学科思维 13 6.如图，在中，为直径，点在上， 的平分线交 于点，若，则 _____． 分层训练 构建学科思维 14 7.如图，过点，，，点是轴下方 上的一点，连接，，则 的度数是_____. 分层训练 构建学科思维 15 8.如图，是半圆的直径，是圆心， 是半圆 上一点，是的中点，交弦于点 ，连 接.若， ，求： （1）半圆的半径长； 解：设半圆的半径长为,则 . 是的中点，， . 在中， ， 即 . 解得 .即半圆的半径长为5. 分层训练 构建学科思维 16 （2） 的长度. 解：如解图，连接.由（1），得 . 解图 ，， . 是半圆的直径， . 在 中， . 分层训练 构建学科思维 17 9.如图，点，，，在上，，于点 .若 ，，求 的半径长. 分层训练 构建学科思维 18 解图 解：如解图，连接，，，与交于点 . ， . 为的直径. . ， ， . . . 分层训练 构建学科思维 19 在中， ， . . 在中， . 的半径长为 . 分层训练 构建学科思维 20 $