第1章 二次函数课件2025-2026学年 湘教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次函数 $ y = ax^2 $（$ a > 0 $）的图象与性质，从基础认知到综合应用层层递进，通过“画图—观察—归纳—应用”的学习支架构建知识脉络，帮助学生由具体到抽象理解开口方向、对称轴、顶点及增减性等核心概念。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，如第13题借助正方形边界条件探究参数范围，体现几何直观与逻辑推理的结合，第11题通过点列生成规律训练运算能力与模型意识，第12题以三角形面积为载体建立函数关系，强化数学表达与实际问题的联系。教学中注重情境创设与问题驱动，既提升学生分析解决复杂问题的能力，又助力教师精准把握学情，优化分层教学设计。

第1章 二次函数 强化训练专题（十一） 二次函数与不等式 1 类型1 看图识符号 1.（贵阳中考）已知二次函数 的图象如图所示，以下四个结论：； ； ； ，正确的是( ) C A.①② B.②④ C.①③ D.③④ 分层训练 构建学科思维 2 2.如图为抛物线，则___0，___0， ___0，___0.（填“ ”“ ”或“ ”） 分层训练 构建学科思维 3 3.如图为抛物线，则 ___0， ___0.（填“ ”“ ”或“ ”） 分层训练 构建学科思维 4 类型2 看图写解（集） 4.已知二次函数 的图象如图所示， 顶点是 ，回答下列问题： （1）方程 的解为____________ ______； ， （2）方程 的解为____________； （3）当时， 的取值范围是_______________； 或 分层训练 构建学科思维 5 （4）当时， 的取值范围是__________； （5）当时， 的取值范围是_______________________. 或 分层训练 构建学科思维 6 5.二次函数 的图象如图所示，下列说法错误的是 ( ) D A.， B. C.方程的解是， D.不等式的解集是 分层训练 构建学科思维 7 6.如图，过点且平行于 轴的直线与二次 函数 图象的交点坐标 为， ，则不等式 的解集为( ) C A. B. C.或 D. 分层训练 构建学科思维 8 7.（贺州中考）如图，已知抛物线与直线 交于，两点，则关于 的不等式 的解集是( ) D A.或 B.或 C. D. 分层训练 构建学科思维 9 $第1章 二次函数 强化训练专题（九） 求二次函数的解析式 1 方法1 一般式 1.已知抛物线过，， 三点，求该抛物线的解 析式. 解：设抛物线的解析式为 ， 根据题意，得解得 该抛物线的解析式为 . 分层训练 构建学科思维 2 2.已知二次函数的图象经过点, ，且对称轴为直 线 ，求这个二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式为 ， 根据题意，得解得 这个二次函数的解析式为 . 分层训练 构建学科思维 3 方法2 顶点式 3.若二次函数图象的顶点是 ，且经过点 ，求此二次函数的解析式. 解：设此二次函数的解析式为 ，将 代入，得，解得 . 此二次函数的解析式为 ，即 . 分层训练 构建学科思维 4 4.如图，在中，，点的坐标是，以 为顶 点的抛物线经过轴上的点， .求抛物 线的解析式. 分层训练 构建学科思维 5 解：在中，，, . 又，， ， 即抛物线的对称轴为直线 . ，， . 顶点的坐标为 ， 设抛物线的解析式为，把 代入，得 ，解得 . 抛物线的解析式为 分层训练 构建学科思维 6 方法3 交点式 5.若抛物线经过， 两点，求这条抛 物线的解析式. 解：抛物线的解析式为 ，即 . 分层训练 构建学科思维 7 6.如图，二次函数的图象经过，，三点，点 的坐标为 ，点的坐标为，点在轴正半轴上，且 ， 求二次函数的解析式. 分层训练 构建学科思维 8 解：， ， ， ， . 又，，即点的坐标为 . 设二次函数的解析式为 . 分层训练 构建学科思维 9 将点代入解析式，得 ， 解得 . 二次函数的解析式为 . 分层训练 构建学科思维 10 方法4 变换式 7.将抛物线沿 轴翻折后对应的函数解析式为 ___________________. 分层训练 构建学科思维 11 8.将抛物线平移后得到的新抛物线与 轴交点的纵坐标 为3，对称轴为直线 ，求这个新抛物线的解析式. 解：根据题意，可设新抛物线的解析式为 . 对称轴为直线 ， ，解得 . 这个新抛物线的解析式为 . 分层训练 构建学科思维 12 $第1章 二次函数 易错易混专练 1 易错点1 忽视二次函数解析式中二次项系数不为零 1.若函数是关于的二次函数，则 的 值为____. 【变式】 若函数是关于的二次函数，则 的值 为___. 1 分层训练 构建学科思维 2 易错点2 求函数值的范围时忽视顶点处的取值 2.对于二次函数，当时， 的取值范围 是____________. 分层训练 构建学科思维 3 易错点3 二次函数增减性相关的易错 3.已知在二次函数的图象上，当时，随 的 增大而增大，则 的值满足_______. 分层训练 构建学科思维 4 易错点4 将图象平移与坐标轴平移混淆 4.在平面直角坐标系中，若抛物线不动，而把轴、 轴 分别向上、向右平移1个单位长度，则在新的平面直角坐标系中， 抛物线的函数解析式为_________________. 分层训练 构建学科思维 5 易错点5 化二次函数为 形式时，漏掉二次 项系数 5.把二次函数化成 的形式为 _________________. 分层训练 构建学科思维 6 易错点6 只考虑二次函数开口向下的情况，漏掉开口向上的 情况 6.已知抛物线与轴的两个交点为， ， 其形状与抛物线 相同，则该二次函数的解析式为______ ___________________________________. 或 分层训练 构建学科思维 7 易错点7 忽视抛物线与 轴的交点 7.抛物线 与坐标轴的交点个数是( ) D A.0 B.1 C.2 D.3 【变式】 （荆门中考）抛物线 与坐标轴的交点 个数为( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 分层训练 构建学科思维 8 易错点8 漏掉函数是一次函数的情况 8.若函数的图象与 轴有且只有一个交 点，则 的值为( ) C A.或3 B.或 C.1或或3 D.1或或 分层训练 构建学科思维 9 易错点9 忽视自变量的取值范围而出错 9.某商店销售某件商品所获得的利润（元）与所卖的件数 之间 的关系满足，则当 时的 最大利润为( ) B A.2 500元 B.47 500元 C.50 000元 D.250 000元 分层训练 构建学科思维 10 $第1章 二次函数 综合与实践——项目式学习 1 1.项目主题：合理设计智慧泉源. 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容， 降温除尘，方便出行. 图1 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶 （平行于绿化带），为绿化带浇水.数学小组成 员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带 之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带.围绕这个 问题，该小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习. 分层训练 构建学科思维 2 图2 任务一 测量建模 建立如图2所示的平面直角坐标系，可以 把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两 条抛物线的部分图象，喷水口 离地面竖 直高度为1.2米.上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为2米， 高出喷水口0.4米. 分层训练 构建学科思维 3 （1）求上边缘抛物线的函数解析式； 解：由题意，得 为上边缘抛物线的顶点，设 . 抛物线过点 ， ，解得 ， 上边缘抛物线的函数解析式为 . 分层训练 构建学科思维 4 任务二 推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷 出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛 物线向左平移得到的，把绿化带横截面抽象为矩形<m></m>，其水 平宽度<m></m>米，竖直高度<m></m>米，洒水车到绿化带的距 离<m></m>为<m></m>米. 分层训练 构建学科思维 5 （2）求下边缘抛物线与轴交点 的坐标； 解： 上边缘抛物线的对称轴为直线 ， 点的对称点为 ， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， , 解得， （舍去）， , 点的坐标为 . 分层训练 构建学科思维 （3）若 米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿 化带？请说明理由. 分层训练 构建学科思维 7 解：能.理由如下： 四边形为矩形，其水平宽度 米，竖直高度 米， 米， （米）, 点的坐标为 . 当时， ， 当时，随 的增大而减小， 洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带. 分层训练 构建学科思维 8 $第1章 二次函数 1.1 二次函数 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二次函数的定义 1.下列函数中，是二次函数的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.将二次函数 化成一般形式为______________ ___，它的二次项系数为___，一次项系数为___，常数项为_____. 【变式】将二次函数 化成一般形式为_______ ___________,它的二次项为____,一次项为_____,常数项为__. 1 3 3.若是二次函数,则 ___. 【变式】 已知关于的函数 是二次函 数，则 的值为____. 1 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 建立二次函数模型 4.一个直角三角形的两条直角边长的和为 ，其中一条直角 边长为，面积为，则与 之间的函数关系式是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 5.把160元的电器连续两次降价后的价格为 元，若设平均每次降 价的百分率是，则与 之间的函数关系式为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 6.如图，长方体的高为,设长方体的底面是边长为 的正 方形. （1）这个长方体的表面积___________，它是关于 的_____ 函数； （2）这个长方体的体积______，它是关于 的______函数. 二次 二次 分层训练 构建学科思维 7 7.（教材P3例变式）一张正方形纸板的边长为 ， 将它按如图所示的方法剪去四个直角三角形 （图中阴影部分）.设 ， 四边形的面积为，则关于 的函数关系 式为_________________，其中自变量 的取值范围是___________. 分层训练 构建学科思维 8 8.（教材P2“动脑筋”变式）如图，用长为36米的篱笆，一面靠墙， 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽为 米，面积 为平方米，则与 之间的函数关系式是________________，其 中自变量 的取值范围是___________. 分层训练 构建学科思维 9 9.九年级共有 名同学，在开学见面时，每两名同学都握手一次， 共握手次.则与 之间的关系式是_____________，该函数____ （填“是”或“不是”）二次函数. 是 分层训练 构建学科思维 10 10.某旅行社为吸引游客到黄山景区旅游，推出如下收费标准： 如果人数不超过25人，人均旅游费用为1 000元. 如果人数超过25人，每超过1人，人均旅游费用降低20元. 若某公司准备组织 名员工去黄山景区旅游，公司需支 付给该旅行社旅游费用元，则与 之间的函数表达式是_______ _______________________． 分层训练 构建学科思维 11 11.某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可 卖出150件.市场调查反映：如果每件商品的售价每涨1元 （每件商品的售价不能高于45元），那么每星期少卖10件.设每 件商品涨价元（为非负整数），每星期的销量为 件. （1）求与之间的函数关系式及自变量 的取值范围； 解：由题意，得 （，且 为整数）. 分层训练 构建学科思维 12 （2）设利润为元，写出与 之间的函数关系式. 解：由题意，得 . 故与 之间的函数关系式为 （，且 为整数）. 分层训练 构建学科思维 13 12.如图，在中， ， ，，动点 从 点开始沿边向点以 的速 度移动（不与点重合），动点 从点 开始沿边向点以的速度移动（不与点 重合）.如果 ，分别从，同时出发，设运动的时间为，四边形 的面积为 . 分层训练 构建学科思维 14 （1）求与 之间的函数关系式； 解： 运动的时间为,且点的速度为,点 的速度为 , , , . 分层训练 构建学科思维 15 （2）求自变量 的取值范围； 解：， ， 即 . 分层训练 构建学科思维 16 （3）四边形的面积能否等于 ？若能，求出运动的 时间；若不能，请说明理由. 解：不能.理由如下： 根据题意，得 , 解得, . , 没有满足四边形的面积等于 的情况， 四边形的面积不能等于 . 分层训练 构建学科思维 17 $第1章 二次函数 1.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决销售问题及其他问题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 商品销售问题 1.某种服装的销售利润（万元）与销售数量 （万件）之间满足 函数表达式 ，则销售利润的( ) B A.最大值为5万元 B.最大值为7万元 C.最小值为5万元 D.最小值为7万元 分层训练 构建学科思维 3 2.某商场销售某品牌的裙子，平均每天可以售出20条，每条盈利 40元，经市场调查发现，如果该品牌每条裙子每降价1元，那么 平均每天可以多售出2条，那么当裙子降价 ____元时，可获得最 大利润 _______元. 15 1 250 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 其他最值问题 3.（连云港中考）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称 为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间 （单位：）满足函数表达式 ，则最佳 加工时间为_____ ． 3.75 分层训练 构建学科思维 5 4.向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为 米，且时间与高度的 关系为 .若此炮弹在第7秒与第14秒时的 高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( ) B A.第8秒 B.第10秒 C.第12秒 D.第15秒 5.（襄阳中考）汽车刹车后行驶的距离 （单位：米）关于行驶时 间（单位：秒）的函数关系式是 ．则汽车从刹车 到停止所用时间为_____秒． 1.25 分层训练 构建学科思维 6 6.（2024·济宁）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一 段时间内，销售量（单位：件）与销售单价 （单位：元/件） 之间是一次函数关系，其部分图象如图所示. 分层训练 构建学科思维 7 （1）求这段时间内与 之间的函数解析式； 解：设一次函数的解析式为.将 ， 代入，得 解得 与之间的函数解析式为 . 分层训练 构建学科思维 8 （2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成 不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润 最大？最大利润是多少？ 解：由题意，得 解得 .由题意，得商场获得的利润为 . 分层训练 构建学科思维 9 ，且 ， 当 时，利润最大，最大值为7 920. 答：当销售单价为116元/件时，商场获得利润最大，最大利润是 7 920元. 分层训练 构建学科思维 10 7.（2024·滨州）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院 每天运营成本为2 000元，该影院每天售出的电影票数量 （单位：张）与售价 （单位：元/张）之间满足一次函数关系 ，且是整数 ，部分数据如下表所示： 电影票售价 （元/张） 40 50 售出电影票数量 （张） 164 124 分层训练 构建学科思维 11 （1）请求出与 之间的函数关系式； 解：设与之间的函数关系式是 . 由表格，得解得 与之间的函数关系式是，且 是整数 . 分层训练 构建学科思维 12 （2）设该影院每天的利润（利润票房收入-运营成本）为 （单位：元），求与 之间的函数关系式； 解：由题意，可得与之间的函数关系式是，且是整数 . 分层训练 构建学科思维 13 （3）该影院将电影票售价 定为多少时，每天获利最大？最大利 润是多少？ 解：由（2），知 . ，且 是整数， 当取40或41时，取得最大值，此时 . 答：该影院将电影票售价 定为40元/张或41元/张时，每天获利最 大，最大利润是4 560元. 分层训练 构建学科思维 14 8.（2024·贵州）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售， 经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量 （盒）与 销售单价（元）是一次函数关系，下表是与 的几组对应值. 销售单价 元 … 12 14 16 18 20 … 销售量 盒 … 56 52 48 44 40 … 分层训练 构建学科思维 15 （1）求与 的函数表达式； 解：设 . 解得 . 分层训练 构建学科思维 16 （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大 利润是多少？ 分层训练 构建学科思维 17 解：设日销售利润为 元.根据题意，得 . ， 当时， 有最大值，最大值为450. 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润 是450元. 分层训练 构建学科思维 18 （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利 润为392元，求 的值. 分层训练 构建学科思维 19 解： . 最大利润为392元， . 整理,得 . . 解得， . 分层训练 构建学科思维 20 当时， ， 每盒糖果的利润 （元）,不合题意，舍去. 当时，, 每盒糖果的利润 （元），符合题意. 的值为2. 分层训练 构建学科思维 $第1章 二次函数 强化训练专题（十三） 二次函数的最值问题 1 【方法指导】 已知二次函数<m></m>,自变量的取值范围是<m></m>. （以<m></m>为例） 图1 1.如图1，若，则随 的增大而减小， 当时，有最大值;当时, 有最小值. 分层训练 构建学科思维 2 2.如图2，若，则随的增大而增大，当时， 有最小值;当时, 有最大值. 图2 分层训练 构建学科思维 3 3.如图3，若，则当时， 有最小值;比较当 和时 的值，较大的值就是最大值. 图3 分层训练 构建学科思维 4 类型1 由自变量的取值范围求函数值的取值范围 1.（大连中考）已知二次函数，当 时， 函数的最大值为( ) D A. B. C.0 D.2 2.在二次函数中，当时， 的取值范 围是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 3.已知二次函数，当 时，该函数 ( ) D A.最小值是0，最大值是3 B.最大值是4，无最小值 C.最小值是，最大值是3 D.最小值是 ，最大值是4 分层训练 构建学科思维 6 4.已知点在二次函数 的图象上. （1）当时， 的取值范围是____________； （2）当时， 的取值范围是___________； （3）当时， 的取值范围是____________. 分层训练 构建学科思维 7 类型2 已知函数的最值，求待定字母的值或取值范围 5.已知二次函数的最小值为2，则 的值为 ( ) C A.3 B. C.4 D.4或 6.已知二次函数，当时， 的最小值为，则 的值为( ) D A.或4 B.或 C.或4 D. 或4 分层训练 构建学科思维 8 7.（2024·德州节选）已知抛物线， 为 实数． （1）如果该抛物线经过点 ，求此抛物线的顶点坐标． 解： 抛物线经过点 ， ， 解得， . ， 此抛物线的顶点坐标为 . 分层训练 构建学科思维 9 （2）如果当时，的最大值为4，求 的值． 解： , 抛物线开口向上，对称轴为直线 . 当时， 的最大值为4， 当时， ， ， 分层训练 构建学科思维 10 整理,得 ， 解得, ， 故的值为或 . 分层训练 构建学科思维 11 $第1章 二次函数 强化训练专题（十四） 二次函数的图象和性质 1 1.（2024·商洛期末）下列抛物线中，顶点为 ，且与抛物线 的开口方向相同的是( ) B A. B. C. D. 2.（2024·哈尔滨）二次函数 的最小值是 ( ) D A. B.1 C.2 D.3 分层训练 构建学科思维 2 3.（2024·包头）将抛物线 向下平移2个单位后，所 得新抛物线的顶点式为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 4.（2025·郑州期末）关于抛物线 ，下列说法 错误的是( ) B A.开口方向向下 B.当时，随 的增大而减小 C.对称轴是直线 D.经过点 5.（2025·西安期末）已知点，， 在二次函 数的图象上，则，， 的大小关系是 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 6.（2024·贵州）如图，二次函数 的部分图象与 轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为 ，则下列说法 正确的是( ) D A.二次函数图象的对称轴是直线 B.二次函数图象与 轴的另一个交点的横坐标是2 C.当时，随 的增大而减小 D.二次函数图象与 轴的交点的纵坐标是3 分层训练 构建学科思维 5 7.（扬州中考）已知二次函数 为常数，且 ，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；② 函数图象一定不经过第三象限；③当时，随 的增大而减 小；④当时，随 的增大而增大.其中所有正确结论的序号 是( ) B A.①② B.②③ C.② D.③④ 分层训练 构建学科思维 6 8.函数与 的图象可能是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 9.（2024·东营）已知抛物线 的图象如 图所示，则下列结论正确的是( ) D A. B. C. D.（ 为任意实数） 10.（2024·宁夏）若二次函数的图象与 轴有交 点，则 的取值范围是_______. 分层训练 构建学科思维 8 11.（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛 物线与轴相交于点，，点 的 坐标为，若点在抛物线上，则 的长为 ___. 4 12.（2024·泸州改编）已知二次函数 是自变量）的图象经过第一、二、 四象限，则实数 的取值范围为__________. 分层训练 构建学科思维 9 13.（2024·扬州）如图，已知二次函数 的图象与轴交于， 两点. （1）求、 的值； 解：把，代入 ，得 解得 分层训练 构建学科思维 10 （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点 的坐标. 分层训练 构建学科思维 11 解：由（1），知二次函数的解析式为 . 由题意，设点坐标为 . 的面积为6， ， ， ， 即，或 （舍去）， 解得， ， 点的坐标为或 . 分层训练 构建学科思维 12 14.（2025·杭州期中）如图，已知一次函数 与二次 函数的图象相交于点、 ，且 二次函数的图象与轴相交于点 . 分层训练 构建学科思维 13 （1）求 的值和二次函数的解析式； 解：已知一次函数与二次函数 的 图象相交于点、，把点 代入 ,得，解得 . 把点，代入 ,得 解得 二次函数的解析式为 . 分层训练 构建学科思维 14 （2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴； 解： ， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 . （3）请直接写出当 时，自变量的取值范围. 解：当时，自变量的取值范围是或 . 分层训练 构建学科思维 15 $第1章 二次函数 1.5 二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决实物抛物线问题、面积 问题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 利用二次函数解决实物抛物线问题 1.图2是图1中拱形大桥的示意图， 桥拱与桥面的交点为， ，以点 为原点，水平直线为 轴，建 B A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线 ，桥拱与桥墩的交点 恰好在水面， 有轴.若米，则桥面离水面的高度 为( ) 分层训练 构建学科思维 3 2.（2024·兰州）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水 火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后 的运动路线可以看作是一条抛物线.为了解水火箭的相关性能， 同学们进一步展开研究.如图2建立直角坐标系.水火箭发射后落在 水平地面 处.科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时， 从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度 与离 发射点的水平距离 的几组关系数据如下： 分层训练 构建学科思维 4 图1 图2 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 分层训练 构建学科思维 5 （1）根据上表，请确定抛物线的表达式； 解：由题意可得，抛物线的对称轴是直线， 抛 物线的顶点为 . 可设抛物线的表达式为 . 又 抛物线过点 ， . 抛物线的表达式为 . 分层训练 构建学科思维 6 （2）请计算当水火箭飞行至离发射点的水平距离为 时，水 火箭距离地面的竖直高度. 解：由（1）,得 ， 当时， . 水火箭距离地面的竖直高度为 . 分层训练 构建学科思维 7 知识点2 利用二次函数解决面积问题 3.如图，用长 的铝合金条制成“日”字形矩形窗户, 使窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度忽略不 计）,那么这个窗户的最大透光面积是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 4.（教材P32习题 变式）如图,假设篱笆 （虚线部分）的长度是 ,则其所围成 矩形 的最大面积是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 5.（2024·广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点 处） 的高度是 ，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点 时，水平距离是，高度是.若实心球落地点为，则 ___ . 分层训练 构建学科思维 10 6.（菏泽中考）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用 篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把 花园分为， 两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药.学校 已定购篱笆120米. 分层训练 构建学科思维 11 （1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； 解：设垂直于墙的边为米，围成的矩形面积为 平方米，则平 行于墙的边为 米. 根据题意,得 . ， 当时，取最大值,最大值为 ， . 答：垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大 为1 200平方米. 分层训练 构建学科思维 12 （2）在花园面积最大的条件下，， 两块内分别种植牡丹和芍 药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15 元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 分层训练 构建学科思维 13 解：设购买牡丹 株，则购买芍药 株. 学校计划购买费用不超过5万元， ，解得 . 答：最多可以购买1 400株牡丹. 分层训练 构建学科思维 14 7.（2024·武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出 水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线，当 火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿 直线运行. 分层训练 构建学科思维 15 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为 原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为 轴，建立平面直角坐 标系，分别得到抛物线和直线 .其中，当 火箭运行的水平距离为 时，自动引发火箭的第二级. 分层训练 构建学科思维 16 （1）若火箭第二级的引发点的高度为 ， ①直接写出， 的值； 解：, . 分层训练 构建学科思维 17 ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距离; 解：由①，得 . 火箭运行的最高点是 ， . 令，代入 ， 得，整理，得 ， 分层训练 构建学科思维 18 解得（不合题意，舍去）， . 由①，得 ， 令，代入 ， 得，解得 ， . 答：这两个位置之间的距离为 . 分层训练 构建学科思维 （2）直接写出 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距 离超过 . [答案] 当 时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 . 分层训练 构建学科思维 20 $第1章 二次函数 强化训练专题（十） 二次函数与方程 1 【方法技巧】方程的根，转化为两函数图象交点的横坐标. 1.已知二次函数与轴交于， 两点， 则方程 的根为_______________. ， 分层训练 构建学科思维 2 2.抛物线 的对称轴是直 线 ，其图象如图所示. （1）方程 的根为____________ _______； ， （2）若抛物线的顶点坐标为，则关于 的方程 的根的情况为____________. 没有实数根 分层训练 构建学科思维 3 3.已知二次函数的自变量与函数 的部分对应 值见表格： … 1 2 … … 1.875 3 1.875 0 … （1）方程 的根为_________________； ， [解析] 设的两根为， ，则 ， . 分层训练 构建学科思维 4 （2）方程 的根为_________________. ， [解析] 抛物线的对称轴为直线 ， ， ， 可化为 ， ， . 分层训练 构建学科思维 5 4.抛物线经过，两点，则关于 的 一元二次方程 的解是______________ _______. ， 分层训练 构建学科思维 6 [解析] 方程 可化为 . 方法一：抛物线经过点， ，将该 抛物线向右平移1个单位长度，得抛物线 与轴的交点坐标为， ， ， . 方法二：设，,由题意，得 , ，,或，， . 分层训练 构建学科思维 7 5.已知方程的两根分别为， ，方 程的两根分别为，，判断， ， ， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 [解析] 二次函数 的大致图象与直线 , 如图所示. 根据图象，可知 .故选B. 分层训练 构建学科思维 9 6.已知抛物线与轴有两个交点 ， ，抛物线与轴的一个交点是 ， 则 的值是( ) C A.5 B. C.5或1 D.或 [解析] 抛物线的对称轴为直线 ，抛物 线的对称轴为直线 ， 当点平移后的对应点为时， ； 当点平移后的对应点为时，，即 的值 为5或1.故选C. 分层训练 构建学科思维 10 $第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象与性质 第4课时 二次函数 的图象 与性质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二次函数 的图象的平移 1.（广西中考）将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向上 平移4个单位长度，得到的抛物线是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.将抛物线平移，可得到抛物线 , 则下列平移方法正确的是( ) D A.先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C.先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D.先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 二次函数 的图象与性质 3.二次函数 的图象大致为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 4.（金华中考）对于二次函数 的图象与性质， 下列说法正确的是( ) B A.对称轴是直线 ，最小值是2 B.对称轴是直线 ，最大值是2 C.对称轴是直线 ，最小值是2 D.对称轴是直线 ，最大值是2 分层训练 构建学科思维 6 5.（兰州中考）已知点， 在抛物线 上，则下列结论正确的是( ) A A. B. C. D. 【变式】 （2024·凉山州）抛物线 经过 ，，三点，则，， 的大小关系正确的 是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 6.已知函数 . （1）该函数图象的开口方向向____，对称轴是直线______，顶 点坐标为________； （2）当_____时，随 的增大而减小. 下 分层训练 构建学科思维 8 知识点3 利用顶点式求二次函数的表达式 7.（教材P15练习T3变式）已知二次函数的图象如图所示.求这个 二次函数的表达式. 分层训练 构建学科思维 9 解：设这个二次函数的表达式为 ， 把代入,得 ， 解得 . 这个二次函数的表达式为 . 分层训练 构建学科思维 10 8.二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象经过( ) A A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 分层训练 构建学科思维 11 9.已知关于的二次函数，当时，随 的 增大而减小，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【变式】 已知二次函数（ 为常数），在自变 量的值满足的情况下，与其对应的函数值 的最小值 为5，则 的值为( ) C A.1或 B.1或 C. 或5 D.1或3 分层训练 构建学科思维 12 10.（凉山州中考）当时，直线 与抛物线 有交点，则 的取值范围是____________． 分层训练 构建学科思维 13 11.将二次函数 的图象先向左平移2个单位长度， 再向上平移4个单位长度，得到二次函数 的图象. （1）试确定，， 的值； 解：由题意，知原二次函数的表达式为 ， 即，， . 分层训练 构建学科思维 14 （2）指出二次函数 的图象的开口方向，对称 轴和顶点坐标. 解：由（1），得 ,该二次函数的图象的开口向 上，对称轴为直线，顶点坐标为 . 分层训练 构建学科思维 15 12.如图，已知抛物线的顶点为 ，抛物线 与轴交于点，与轴交于， 两点． （1）求此抛物线的表达式； 分层训练 构建学科思维 16 解： 抛物线的顶点为 ， 设此抛物线的表达式为 . 把点代入，得 ， 解得 . 此抛物线的表达式为 . 分层训练 构建学科思维 17 （2）在轴上求一点使周长最短，求点 的坐标，并求 出周长的最小值． 解图 解：如解图，作点关于轴的对称点，则点 的坐标为，连接,,与轴交于点 , 连接 . 由对称性，知 , , 分层训练 构建学科思维 18 当,,三点在同一条直线上时， 的值最小. 设直线的解析式为 ， 将点,代入 ， 得解得 直线的解析式为 . 令,则,解得 . 分层训练 构建学科思维 19 当的值最小时，点的坐标为 . , , 的周长的最小值为 . 分层训练 构建学科思维 20 $第1章 二次函数 章末复习 1 复习点1 二次函数的图象与性质 1.（阜新中考）如图，二次函数 的图象与轴交于 ， 两点，则下列说法正确的是( ) D A. B.点的坐标为 C.当时，随 的增大而减小 D.图象的对称轴为直线 分层训练 构建学科思维 2 2.（黔东南州中考）如图，抛物线 与 轴只有一个公共 点，与轴交于点 ，虚线为其对称轴， 若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 ， 则图中两个阴影部分的面积和为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 分层训练 构建学科思维 3 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 复习点2 二次函数图象的平移 4.将抛物线 平移后，得到抛物线的解析式为 ，则平移的方向和距离是( ) D A.向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D.向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 分层训练 构建学科思维 5 5.将抛物线 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个 单位长度，那么所得抛物线的函数表达式是________________． 分层训练 构建学科思维 6 复习点3 二次函数图象与系数的关系 6.（毕节中考）如图，已知抛物线 开口向上，与 轴的一个交点为 ，对称轴为直线 .下列结论错误的是 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 7.（枣庄中考）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，且经 过点.下列说法： ； ；； 若 ，是抛物线上的两点，则 ； B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 其中 .正确的结论有( ) 分层训练 构建学科思维 8 复习点4 求二次函数的表达式 8.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线 ，则此二 次函数的表达式为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 9.已知一条抛物线的对称轴为直线， 的最 大值为，且与抛物线 的开口大小相同，则这条抛物线 的解析式为___________________. 分层训练 构建学科思维 10 复习点5 二次函数与一元二次方程 10.已知二次函数 的部分图象如图 所示，则关于的一元二次方程 的 解为( ) D A.， B.， C. D.， 分层训练 构建学科思维 11 11.已知函数 的图象如图所示，那么关于 的方程 的根的情况是( ) D A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个异号不相等的实数根 D.有两个同号不相等的实数根 分层训练 构建学科思维 12 复习点6 二次函数的实际应用 12.（襄阳中考）从喷水池喷头喷出的水珠，在 空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个 位置上，水珠的竖直高度单位： 与它距离 喷头的水平距离单位： 之间满足函数关系 3 式，则喷出水珠的最大高度是___ . 分层训练 构建学科思维 13 13.（2024·甘肃）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以 看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度单位： 与 距离停车棚支柱的水平距离单位： 近似满足函数关系 的图象，点 在图象上.若一辆 箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长 ，高 的矩形，则可判定货车____完全停到车棚内 （填“能”或“不能”）. 能 图1 图2 分层训练 构建学科思维 14 14.（无锡中考）某景区旅游商店以20元/ 的价格采购一款旅游 食品加工后出售，销售价格不低于22元/，不高于45元/ .经市 场调查发现每天的销售量与销售价格元/ 之间的函数关 系如图所示. 分层训练 构建学科思维 15 （1）求关于 的函数表达式； 解：当时，设关于 的函数表达式为 .将， 代入，得 解得 关于的函数表达式为 . 分层训练 构建学科思维 16 当时，设关于 的函数表达式为 ,将， 代入,得 解得 关于的函数表达式为 . 综上，关于 的函数表达式为 分层训练 构建学科思维 17 （2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的 销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润 （销售价格- 采购价格） 销售量】 分层训练 构建学科思维 18 解：设利润为元，当 时， . 在范围内，随着 的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为400；当时， . 分层训练 构建学科思维 19 当时， 有最大值，最大值为450. ， 当销售价格定为35元/ 时，该商店销售这款 食品每天获得的销售利润最大，最大销售利润是450元. 分层训练 构建学科思维 20 $第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象与性质 第5课时 二次函数 的图象 与性质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 用配方法将二次函数由一般式化为顶点式 1.（山西中考）用配方法将二次函数 化为 的形式为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 知识点2 二次函数 的图象与性质 2.抛物线 的对称轴是( ) D A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 分层训练 构建学科思维 4 3.二次函数 的图象的开口方向，顶点坐标分别 是( ) A A.开口向上，顶点坐标为 B.开口向下，顶点坐标为 C.开口向上，顶点坐标为 D.开口向下，顶点坐标为 分层训练 构建学科思维 5 4.在二次函数的图象中，若随 的增大而减小， 则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 5.已知二次函数 ． （1）用配方法将二次函数的表达式化 为 的形式； 解： ． 分层训练 构建学科思维 7 （2）在平面直角坐标系 中，画出这个二次函数的图象； 解：列表： … 0 … … 3 0 0 3 … 分层训练 构建学科思维 8 描点、连线，画出这个二次函数的图象如图所示． 分层训练 构建学科思维 9 （3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质． 解：当时，随的增大而减小，当时，随 的增 大而增大．（答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 10 知识点3 二次函数 的最值 6.（教材P17例6变式）求下列函数的最大值或最小值： （1） ； 解： 在二次函数中， ， ， 该函数有最小值 . 分层训练 构建学科思维 11 （2） . 解： 在二次函数中， ， 且 ， 该函数有最大值6． 分层训练 构建学科思维 12 7.（温州中考）已知，， 是抛物线 上的点，则( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 8.如图，二次函数 的图 象与轴交于，两点，与轴交于点 ，对称 轴为直线，点的坐标为 ，则下列 结论错误的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 14 9.（黄冈中考）当时，二次函数 的 最小值为1，则 的值为( ) D A. B.2 C.0或2 D. 或2 10.抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移1个 单位长度后，得到的抛物线表达式是_________________． 分层训练 构建学科思维 15 11.（临沂中考）已知抛物线 . （1）求这条抛物线的对称轴； 解： . 抛物线的对称轴为直线 . 分层训练 构建学科思维 16 （2）若该抛物线的顶点在 轴上，求其表达式； 解： 抛物线的顶点在 轴上， ，解得, . 抛物线的表达式为或 . 分层训练 构建学科思维 17 （3）设点，在抛物线上，若，求 的取 值范围. 解： 抛物线的对称轴为直线 ， 关于直线的对称点的坐标为 . 当时，， . 当时，，或 . 分层训练 构建学科思维 18 微专题4 函数值的大小比较 【例】 若，为二次函数 图象上 的两点，则， 的大小关系是________. 方法1（代入法）：把， 分别代入 中，得____，___，___ （填“ ”或“ ”）. 3 分层训练 构建学科思维 19 方法2（增减性法）： 二次函数的对称轴为直线________， 点关于对称轴对称的点为（____，） 抛物线开口向____， 在对称轴的左侧，随的增大而______.又 ____， ___（填“ ”或“ ”）. 上 减小 分层训练 构建学科思维 20 方法3（距离比较法）： 抛物线开口向____，且对称轴是直线 ________， 抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越 ____. 又 点到对称轴的距离比点 到对称轴的距离 ____（填“近”或“远”），___（填“ ”或“ ”）. 上 大 近 分层训练 构建学科思维 21 【变式1】 已知点,, 均在抛物线 上，下列说法中正确的是( ) D A. B. C. D. 【变式2】 已知二次函数，当自变量 分别取3，时，对应的函数值分别为，，则___ （填“ ” “ ”或“ ”） . 分层训练 构建学科思维 22 $第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象与性质 第3课时 二次函数 的图象与性 质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二次函数 的图象的平移 1.将抛物线 向左平移3个单位长度得到的抛物线是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.将抛物线经过怎样的平移可得到抛物线 ( ) B A.沿轴向左平移2个单位长度 B.沿 轴向右平移2个单位长度 C.沿轴向上平移2个单位长度 D.沿 轴向下平移2个单位长度 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 画二次函数 的图象 3.（教材P12练习T2变式）已知二次函数 . （1）完成下表； … ____ ____ 1 3 5 … … ____ ____ 0 ____ ____ … 分层训练 构建学科思维 5 （2）在下面的坐标系中描点，画出该二次函数的图象． 解：描点、连线，该二次函数的 图象如图所示． 分层训练 构建学科思维 6 知识点3 二次函数 的图象与性质 4.二次函数 的图象开口向____，对称轴是直线 _________.当______时，随的增大而增大；当______时， 随的增大而减小；当____时， 有最____值，为___. 上 小 0 分层训练 构建学科思维 7 5.在平面直角坐标系中，二次函数 的图象可 能是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 6.关于二次函数 ,下列说法正确的是( ) D A.其图象的开口向上 B.其图象的对称轴是直线 C.其图象的顶点坐标是 D.当时，随 的增大而减小 分层训练 构建学科思维 9 7.完成下列表格： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 ______ ______ ______ __________ ______ _______ ________ __________ 向上 最小值 向下 最大值 分层训练 构建学科思维 10 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 ______ _______ ________ __________ ______ _ ______ _ _______ __________ 向下 最大值 向上 最小值 续表 分层训练 构建学科思维 11 8.抛物线 不经过的象限是( ) A A.第一、二象限 B..第二、四象限 C.第三、四象限 D.第二、三象限 9.已知二次函数为常数，当自变量 的值满足 时，与其对应的函数值的最大值为，则 的值为 ( ) B A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6 分层训练 构建学科思维 12 10.在同一平面直角坐标系中，抛物线 与直线 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 11.若，，为二次函数 的 图象上的三点，则，， 的大小关系是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 14 12.已知直线与轴交于点，抛物线 平移后的 顶点与点 重合. （1）求平移后的抛物线 的表达式； 解： 直线与轴交于点 ， . 抛物线平移后的顶点与点 重合， 平移后的抛物线 的表达式是 . 分层训练 构建学科思维 15 （2）若点，在抛物线上，且 ， 试比较， 的大小. 分层训练 构建学科思维 16 解：由（1），知抛物线的顶点是 ， 抛物线的对称轴为直线 ， ， 抛物线的开口向下. , ， 两点在对称轴的右侧. 在抛物线对称轴的右侧，随 的增大而减小. 当时， . 分层训练 构建学科思维 17 13.如图是二次函数的图象，顶点为，与 轴的交点 为 . （1）求经过， 两点的直线的函数关系式； 分层训练 构建学科思维 18 解：在中，令 ，则 ， . 令，则 ， 解得 ， . 设经过， 两点的直线的函数关系式为 分层训练 构建学科思维 19 ，将, 两点代入，得 解得 经过， 两点的直线的函数关系式为 . 分层训练 构建学科思维 20 （2）请在第二象限中的抛物线上找一点，使 的面积与 的面积相等,并求出 点的坐标. 解：设点在如图所示位置时， . 分层训练 构建学科思维 21 由（1），知, ， 则, , . 如图，过点作轴于点，设 ，则 . 则， ， . 分层训练 构建学科思维 22 . ， . 解得 （不合题意，舍去）， . . 分层训练 构建学科思维 23 $第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数 的图象与性质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二次函数 的图象 1.下列图象中，是二次函数 的图象的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.二次函数 的图象经过的象限是( ) A A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 3.在下列各点中，二次函数 经过点( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 4.（教材P6例1变式）在平面直角坐标系内，画出二次函数 的图象. 分层训练 构建学科思维 5 解：列表： … 0 1 … … 3 0 3 … 描点：，,,, . 分层训练 构建学科思维 6 连线：用光滑的曲线按 从小到大的顺序连接各点，图象如图所示. 分层训练 构建学科思维 7 知识点2 二次函数 的性质 5.在二次函数中，因为__，即___ ，所以该函数的 图象的开口向____，对称轴为_____，顶点坐标为______. 上 轴 6.对于函数 ，下列说法正确的是( ) B A.当时，随 的增大而减小 B.当时，随 的增大而减小 C.随 的增大而减小 D.随 的增大而增大 分层训练 构建学科思维 8 【变式】 （2024· 广东）若点,， 都在二次 函数 的图象上，则( ) A A. B. C. D. 7.已知原点是抛物线的最低点，则 的取值范围是 _______. 分层训练 构建学科思维 9 8.（教材P7练习T2变式）在同一平面直角坐标系中，画出函数 和 的图象. 分层训练 构建学科思维 10 解：函数和 的图象如图所示. 分层训练 构建学科思维 11 （1）比较它们的异同； [答案] 相同点：①开口都向上;②都经过坐标原点；③对称轴都 是 轴. 不同点：开口的大小不同． （2）当时，函数值 分别是多少？ [答案] 当 时， ； . 所以函数值 分别是1,2. 分层训练 构建学科思维 12 （3）当时， 的值分别是多少？ [答案] 当时，,所以或 ； ,所以或 . 所以的值分别是1或，或 . （4）当取何值时，函数值 最小？求出最小值. [答案] 当取0时，函数值 最小，最小值为0. 分层训练 构建学科思维 13 9.点，，都在二次函数 的 图象上，则，， 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 10.二次函数与 的图象如图所 示，则___.（填“ ”或“ ”） 分层训练 构建学科思维 14 11.在平面直角坐标系中，抛物线 的图象如图 所示．已知点坐标为，过点作 轴交 抛物线于点，过点作 交抛物线于点 ，过点作轴交抛物线于点，过点 作交抛物线于点， ，依次进行下 去，则点 的坐标为______________． 分层训练 构建学科思维 15 12.如图，点是抛物线 在第一象限内的一 点，点的坐标是.设点的坐标为 . （1）求的面积关于变量 的关系式； 解： . （2）是 的什么函数？ 解：，是 的二次函数. （3）当时，点 的坐标为______； 分层训练 构建学科思维 16 （4）在的图象上找一点，使是以 为底边的等 腰三角形,并求出点 的坐标. 解：由题意，知 ， 点在 的垂直平分线上. 点的横坐标为 . 当时， . 点的坐标为 . 分层训练 构建学科思维 17 13.（南充中考）如图，正方形四个顶点的坐标依次 为，，，.若抛物线 的图 象与正方形有公共点，则实数 的取值范围是 ( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 18 $第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象与性质 第2课时 二次函数 的图象与性质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二次函数 的图象 1.抛物线 的图象一定经过( ) B A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 2.二次函数的图象如图所示，则 的取 值范围是_______. 分层训练 构建学科思维 3 知识点2 二次函数 的性质 3.已知二次函数，当时，随 的增大而______. （填“增大”或“减小”） 减小 分层训练 构建学科思维 4 4.已知是关于的二次函数，且当时， 随 的增大而增大. （1） 的值为____; （2）当自变量 的值为___时，函数有最____值，是___. 0 大 0 分层训练 构建学科思维 5 5.在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数 和 的图象，并根据图象回答下列问题（设小方格的边长 为1）： 分层训练 构建学科思维 6 解：画出函数和 的图象如图所示. 分层训练 构建学科思维 7 （1）说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； [答案] 函数的图象的开口向上，对称轴是 轴，顶点坐 标是 ； 函数的图象的开口向下，对称轴是 轴，顶点坐标是 . 分层训练 构建学科思维 8 （2）对于抛物线，当___0时，抛物线上的点都在 轴的 上方，它的顶点是图象的最____点； （3）函数，对于一切的值，总有函数___0，当 _____时， 有最____值，是___． 低 大 0 分层训练 构建学科思维 9 6.下列关于抛物线和 的说法中，错误的是( ) D A.抛物线和 有相同的顶点和对称轴 B.在同一平面直角坐标系中，抛物线和既关于 轴 对称，又关于原点对称 C.抛物线和 的开口方向相反 D.点在抛物线上，也在抛物线 上 分层训练 构建学科思维 10 7.已知点，，都在函数 的图象 上，则，， 的大小关系是( ) D A. B. C. D. 8.已知点，， 在同一个函数 的图象上，这个函数可能是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 9.（易错题）下列四个二次函数：； ； ； ，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是 ___________（填序号）. ③①②④ 分层训练 构建学科思维 12 【变式】 如图，各抛物线所对应的函数表达式 分别为：；； ； .比较，，，的大小，用“ ”连 接为______________. 分层训练 构建学科思维 13 10.如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直 角坐标系，画出函数与 的图象，则图中阴影部 分的面积是___. 8 分层训练 构建学科思维 14 11.已知抛物线经过点 . （1）求 的值； 解：把点代入 , 得，解得 . （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标； 解：该抛物线的开口向下，对称轴是轴，顶点坐标是 . （3）当取什么值时，随 的增大而增大？ 解：当时，随 的增大而增大. 分层训练 构建学科思维 15 （4）判断点 是否在此抛物线上. 解：由（1），知该抛物线的表达式为 ,当时， , 点 不在此抛物线上. 分层训练 构建学科思维 16 12.根据条件，求下列各题中 的值或取值范围. （1）已知函数，当时，随着 的增大而增大； 解： 当时，函数的函数值随着 的增大 而增大， ，解得 . 分层训练 构建学科思维 17 （2）函数与 的图象形状相同. 解： 函数与 的图象形状相同， ，解得或 . 分层训练 构建学科思维 18 13.已知二次函数的图象上有两点,，横坐标分别为 , 1，若为直角三角形，求 的值． 分层训练 构建学科思维 19 解： 二次函数的图象上有两点， ，横坐标分别为 ,1， 点， ， 当 为直角三角形时， ①若是斜边，则 ， 即 ， 解得 . 分层训练 构建学科思维 20 ②若是斜边，则 ， 即 ， 解得 . 综上所述，的值为或 ． 分层训练 构建学科思维 21 $第1章 二次函数 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 不共线三点确定二次函数的表达式 1.已知二次函数，当时， ；当 时，；当时， ，则这个二次函数的表达 式是_________________. 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，平面直角坐标系中一条抛物线经过网格点，， ，其 中点坐标为 ，则该抛物线的函数表达式为______________ _____. 分层训练 构建学科思维 4 3.（教材P21例1变式）二次函数 的图象过 点，，与轴交于点 ，求二次函数的表达式. 解：把，， 代入 中，得 解得 二次函数的表达式为 . 分层训练 构建学科思维 5 4.（教材P21例2变式）已知，， ，是否 有一个二次函数，它的图象经过这三个点？ 分层训练 构建学科思维 6 解：设二次函数的图象经过，， 三点，则 得到关于，，的三元一次方程组 解得 , 没有一个二次函数的图象经过，， 三点． 分层训练 构建学科思维 7 5.已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别是和1，与 轴 的交点坐标是 ，求该二次函数的表达式． 解：设该二次函数的表达式为 ． 把代入，得 ， 解得 . 该二次函数的表达式为 ， 即 . 分层训练 构建学科思维 8 6.如图,抛物线经过点,与轴交于点 ,点 在抛物线上,轴,且平分 .则此抛物线的表达式是 _ __________________. 分层训练 构建学科思维 9 7.已知二次函数 ，根据表格中的信息求解下列各 题： 0 1 1 8 3 （1）求出，， 的值； 解：由题意,得 解得 分层训练 构建学科思维 10 （2）在平面直角坐标系中画出二次函数 的图象． 解：由（1），知 ， 该抛物线的顶点坐标为 . 当时， . 由抛物线对称性可知，该函数图象过点 ， ，， . 分层训练 构建学科思维 11 描点、连线，画出该函数图象如图所示. 分层训练 构建学科思维 12 8.已知二次函数中的和 满足下表： … 0 1 2 3 … … 3 0 0 … （1）观察上表可求得 的值为___； 3 分层训练 构建学科思维 13 （2）求出这个二次函数的表达式； 解：把,, 代入 ，得 解得 这个二次函数的表达式为 . 分层训练 构建学科思维 14 （3）若点，在该抛物线上，且 ，请 直接写出 的取值范围. 解： . 分层训练 构建学科思维 15 9.已知抛物线经过，两点，交 轴 于点 . （1）求该抛物线的表达式； 解：由抛物线经过, ，得 解得 该抛物线的表达式为 . 分层训练 构建学科思维 16 （2）设是该抛物线上异于点的动点，当 的面积等于 的面积时，求点 的坐标. 解：令，则 . . ，即 ， 解得或 . 分层训练 构建学科思维 17 当时， ， 解得或 （舍去）. 此时点的坐标为 ； 当时， ， 解得 . 此时点的坐标为或 . 综上所述，当的面积等于的面积时，点 的坐标为 或或 . 分层训练 构建学科思维 $第1章 二次函数 强化训练专题（十二） 二次函数的图象与字母系数 的关系 1 二次函数的图象与字母系数,, 之间的 关系 1.当_______时,抛物线的开口向上； 当_______时,抛物线的开口向下. 2.若对称轴在轴的左边,则,______；若对称轴在 轴的右边,则 ,______；若对称轴为 轴,则_______. 3.若抛物线与轴的正半轴相交,则______；若抛物线与 轴的负半 轴相交,则______；若抛物线经过原点,则______. 同号 异号 分层训练 构建学科思维 2 4.当时, __________； 当时, __________； 当时, ____________； 当时, ____________； …… 故要比较 与0的大小时,只需看抛物线中横坐标为1的点 与 轴的位置关系即可. 分层训练 构建学科思维 3 5.当对称轴为直线时,,所以 ,此时_________ __； 当对称轴为直线时,,所以 ,此时_________ __； 判断 大于或小于0,只需看对称轴与直线_______________的 位置关系. 或 6. 抛物线与 轴有__________； 抛物线与 轴有__________； 抛物线与 轴________. 两个交点 一个交点 无交点 分层训练 构建学科思维 4 实战训练 1.（2024·甘孜州）二次函数 的图象如 图所示，给出下列结论： ；；③当 时， .其中所有正确结论的序号是( ) D A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 分层训练 构建学科思维 5 2.（滨州中考）如图，抛物线 与轴相交于点，，与 轴相交于 点 ，小红同学得出了以下结论： ；；③当 时， ； .其中正确的个数 为( ) B A.4 B.3 C.2 D.1 分层训练 构建学科思维 6 3.（2024·日照）已知二次函数 图象的一部分如图所示， 该函数图象经过点，对称轴为直线 .对 于下列结论：； ；③多项式 C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 可因式分解为；④当 时，关 于的方程 无实数根.其中正确的个数有( ) 分层训练 构建学科思维 7 4.（2024·绥化改编）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴 为直线 ，则下列结论中： ； ②（ 为任意实数）； ③ ； ④若、 是抛物线上不同的两个点，则 . 其中正确的结论有______. ②③ 分层训练 构建学科思维 8 $第1章 二次函数 1.4 二次函数与一元二次方程的联系 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二次函数与一元二次方程的联系 1.（1）二次函数 的图象如图所示，则方程 的解是_________________； ， 分层训练 构建学科思维 3 （2） 方程 的解是__________________， 抛物线与 轴的交点坐标是________和________. ， 2.抛物线与 轴的交点个数是( ) C A.0 B.1 C.2 D.以上都不对 3.若关于的方程 没有实数解，则抛物线 与 轴的交点有( ) C A.2个 B.1个 C.0个 D.不能确定 分层训练 构建学科思维 4 4.（2024·长春）若抛物线（是常数）与 轴没有 交点，则 的取值范围是______． 【变式】 变式点：二次项系数为数字 二次项系数为字母 若抛物线与轴有两个不同的交点，则 的取值 范围是 . 且 分层训练 构建学科思维 5 5.已知二次函数 的图象如图 所示，利用图象解答下列问题： （1）方程 的解是_________ ________； ， （2）方程 的解是_______________； （3）方程 的解是_________________； ， ， 分层训练 构建学科思维 6 （4）方程 的解是____________； （5）方程 的解的情况怎样？ 解：由图，知方程 无实数根. 分层训练 构建学科思维 7 知识点2 利用二次函数求一元二次方程的根的近似值 6.下表中列出了二次函数 的一些对应值, 则一元二次方程的一个根 的取值范围 是( ) … 0 1 … … 1 1 … C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 7.利用二次函数的图象估计一元二次方程 的近似 根.（精确到 ） 解：方程的根是函数与 轴交点 的横坐标． 分层训练 构建学科思维 9 作出二次函数 的图象，如图所示. 分层训练 构建学科思维 10 由图象，可知方程有两个根，一个在 和0之间，另一个在2和3 之间． 先求 和0之间的根， 当时， ； 当时， . 但当时，比 更接近0， 因此，是方程的一个近似根，同理， 是方程的 另一个近似根． 分层训练 构建学科思维 11 知识点3 二次函数与一元二次方程的联系的实际应用 8.亮亮推铅球，铅球行进高度与水平距离 之间的关系为 ，则亮亮推铅球的成绩是____ ． 11 分层训练 构建学科思维 12 9.（铜仁中考）已知直线 过一、二、三象限，则直线 与抛物线 的交点个数为( ) C A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 分层训练 构建学科思维 13 10.（2023·衡阳）已知，若关于 的方程 的解为，，关于 的方程 的解为， .则下列结论正确的是 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 14 11.（易错题）（教材P28习题 变式）若函数 的图象与轴有且只有一个交点，则 的 值为__________. 或2或1 分层训练 构建学科思维 15 12.（凉山州中考）已知二次函数的图象与 轴交 于，两点，且，求 的值. 解：的图象与轴交于， 两点， 则，可看作方程 的两个实数根， ， . 分层训练 构建学科思维 16 ， . 解得, . ， . . 分层训练 构建学科思维 13.把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为 （秒）时该足球距 离地面的高度（米）适用公式 . （1）当 时，求足球距离地面的高度； 解：当时， 此时 足球距离地面的高度为15米. 分层训练 构建学科思维 18 （2）当足球距离地面的高度为10米时，求 ； 解：当时， ， 即 ， 解得, . 分层训练 构建学科思维 19 （3）若存在实数，，当或 时，足球距离 地面的高度都为米，求 的取值范围. 解：根据题意,得和是方程 的两个不 等的实数根，则,解得 . 的取值范围是 . 分层训练 构建学科思维 20 14.已知直线与抛物线，设直线 与该抛物 线两交点分别为，，为原点，当时，求 的面积． 分层训练 构建学科思维 21 解：令,则 . 设，的坐标分别为，，直线与 轴的交点为 ． 则， . . . . 分层训练 构建学科思维 22 微专题5 抛物线对称性的运用 【方法指导】 若抛物线上不重合的两个点的坐标分别为 ，，且，则， 两点关于抛物线的对称 轴对称，且该抛物线的对称轴为直线__________. 分层训练 构建学科思维 23 1.二次函数的图象经过点和，则 的值为( ) D A. B. C.12 D.24 分层训练 构建学科思维 24 2.二次函数 的部分对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 则它的图象的对称轴为直线___；当 时，对应的函数值 为____. 1 分层训练 构建学科思维 25 3.如图，抛物线的对称轴是直线 ， 且经过点，则 的值为___. 0 分层训练 构建学科思维 26 微专题6 直线与抛物线的交点问题 【方法指导】求直线与抛物线的交点问题可转化为求直线与抛物 线联立成的一元二次方程根的问题.若直线 与抛物线 有两个不同的交点，则在一元二次方程 中，；若直线 与 抛物线有一个交点，则 ；若直线 与抛物线没有交点，则 . 分层训练 构建学科思维 27 1.已知抛物线与直线 ，求证：两 个函数的图象必有交点. 证明：联立 得 . 整理，得 . 分层训练 构建学科思维 28 ， 两个函数的图象必有交点. 分层训练 构建学科思维 29 2.已知二次函数的图象与直线 交于点 ， . （1）____， ___； 5 分层训练 构建学科思维 30 （2）将直线沿 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有 一个公共点时，求直线 平移后的解析式. 解：由（1），知.设直线 平移后的解析式为 ， 联立 得 . 整理，得 . 分层训练 构建学科思维 31 平移后的直线与抛物线只有一个公共点， ，解得 . 直线平移后的解析式为 . 分层训练 构建学科思维 32 $