天津市南开中学2025-2026学年高三上学期数学统练2

南开中学2026届高三数学统练2 一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知、，则“”是“”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 3．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．已知10个成对数据的散点图如图所示，并对进行线性回归分析.若在此图中去掉点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．相关系数变大 B．变量与的线性相关程度变低 C．相关系数变小 D．变量与呈负相关 5．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若正数a满足，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 8．已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 9．已知函数.若函数有8个不同的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10．已知复数（i为虚数单位），则 ． 11．的展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 12．某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为 ；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为 ． 13．已知，函数，若，则的最小值为 . 14．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 15．已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共5小题，共75分） 16．（本小题满分14分）已知，其中 (1)求； (2)求． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题满分15分）椭圆过点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积. 19．（本小题满分15分）已知函数，． (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若且时，求证． 20．（本小题满分16分）已知函数：． (1)若当时，恒成立；求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程有两个不同实数根；且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $南开中学2026届高三数学统练2参考答案 题号 1 3 4 6 6 7 9 答案 D B A D B B B D 8 10.2 11.28 12.25 9 13.8 14.[22,+w) 1s.（4行+ 16.【详解】(1)由题意得： aefo.Be0.a+Be(O.).cosa- 5ma+肉- 14 osn=o[u+A-]=oa+A川coin+na背45，号-9. '.sin 2a 2sin a cosa =2x- 14585 (2) > 、749, cos2a=1-2sin'a=47 49, .'sin(2a-B)=sin 2a cos B-cos 2a sin B _85x547x123 49249298、 17.【详解】1)由题意，以C为原点，以C1,CB,CC所在的直线分别为产轴、'销、 z轴建立空间直角坐标系，如图所示， B B 因为4C=BC=2,CG=3,4D=1,CE=2,M为棱48的中点， 可得C0,00、A2,00、B02,0、C(0,03、4(203)B(0,23)D20,1 答案第1页，共2页 E0,0,2)M1,1,3 则CM=1,L0) 设平面DB,E的法向量为=(x 因为丽=(0,2，，D=(2,0- i·EB=0 「2y+z=0 且1nED=0,可得{2x-2=0, 取x=1,则少=-，2=2，所以=(1，-山2， 则wi=0,故9M1元， CMd平面 BE,所以CM DBE 因 平面 (2)由（1)可得7=1，-l2为平面D8,E的一个法向量， 又B=(-2.2,0 所以cosAB,i= AB.i 4-0 AB同=22x63 3 所以直线AB与平面DBE所成角的正弦值为3， (3)易知C=(20,0)是平面B8,E的一个法向量， 则osC,i=】 CA.i 26 :风2×66 6 所以平面BBE与平面DB,E夹角的余弦值为6. 13 18.【详解】(1)将 2- 代入辉图方程可得是+是=1小即江+忌 却2a+4=1 答案第2页，共2页 又因为6=C,所以=2， 代入上式可得 2=2,b2=1 故椭圆c的标准方程为2+少=山 (2)由1)可得F(-1,0,F0,5F=2 设直线的方程为=mw+1,,B为，如下图所示 F [x=my+1 得 m2+2y2+2m1y-1=0 2m 1 所以出+2=- m2+25= m2+2’ 则派=(-1-，B所=(-51-) 所以乐B丽=(-山-川-山-%=x++西+1+ =m(y+为)+2+(m+1(m,++1+y为=4-2mm2m2-1 m2+2m2+2m2+2m2+2 =7-m21 m2+22 解得m2=4,即m=±2， 所以+片-号=名 则a所的面积5=K5--+为P-4=而 3 19.【详解】1)函数)=心的定义蛟为R,求导得=e+e=e1+ x∈(-0，-1)时，f'(x)<0,x∈(-1，+o)时，f"(x)>0, 答案第3页，共2页 所以函数了在x:-1处取得极小值(-)=。，无极大值。 (2)函数g)=x+alnx+1的定义域为0，o,求导得g()=1+=+ x x 当0≥0 g'(x)> 时， 恒成立，函数8刊在(0，+0) 在 上单调递增： 当a<0时，由g(x)<0,得x∈(0，-a);由g'(w)>0,得x∈(-a,+o), 函数g(x)在(0，-a上单调递减，在（←a,+∞）上单调递增， 所以当a≥0时，函数3四在0+w 上单调递增， 当a<0时，函数在@-上 （-a,+0) 上单调递减，在 上单调递增， (3)当a=l时，8)=x+nx+1,不等式8()≤f)台e--nx-1≥0， 令函数=e-x-nr-x>0,求导得h()=e+e-1--c-1+D, 令()=c-山>0，求导得闭=e+>0,函数（四在0+w)上单调递增， 而6-1<00=e-1>0,则存在气eD,使)-0，即)-0， 1 eo= 此时，x=-lnxo,当x∈(0，xo)时，h'(x)<0,当x∈(o,+o)时，h'(x)>0, 函数)在0，)上单调递减，在，+o)上单调递增， 因此x)m=)=xe--lh6-1=1-6-(←)-1=0 ∈(0，+o),g(x)≤f(x) 所以当 时， 20.【详解】(1)若当>0时，f≥恒成立， 即g≥x恒成立，即a≥。号在0上恒成立， 令-，则g1可 答案第4页，共2页 所以当x(0,2时，g()>08(单调递增， 当r(2,+w)时8)<0g(到单调递减， 所以8(m=g2)=4 所u三，即服货药H[总 (2)(①若关于x的方程)=引有两个不同实数根，， 即a=x学0有两个不同实数根5， 等价于y=a与(=。(x≠0)的图象有两个交点， e 因为h(x=1-x er, 所以当x-,0)和0，时，>0，h单调递增 当L+切时，(<0，h单调递减， 且当∈(，0时，<0，当xe0,+w)时，M(>0 所以4（到=A-。,作出函数(-三x0的图象： 所以直线y=a与=之(x≠0 的图象有两个交点的a的取值范围是( e (ii)方法（一）由(i)知， 0<<1<,由()知， 答案第5页，共2页 因为=12=号，所以后专去 4 4 设“ex的根为，即ae3。 q= a==44 ae2,所以ee'x c'x, 从而5≤ ae,所以2-s<红2型_4e*2-x型 4 ae e2, 令川=e(2-,则(=e(1-刘， 所以当xe0,1时，>0,4（刊单调递增， 从而(<国=e,从而2-无<2.4e2-4 ae e2 e. (》方法（二)由)知，0<x<1K5,构造函数叫=。+x-2-】 e 则(x刘=1-x2」 +。r-令s刘=wy=1-=+2 er e er+(x-1), e 则s(=-22 e+e再令（刘=sy=-2+2 e e' t=3-x e, 所以当x0时，=。产>0，从而小=到-是+子单调递路， er e 因为401=s10=-2+足<0.0=s=。>0, 所以存在无∈(01)，满足x=0, 此时当xe(0,时，S<0,s在xe(0,上单调递减， 当x(,山时，>0s在x(,1上单调递增， 又因为0=1-2>0，s1=0, e 所以存在6c01满足=0， 答案第6页，共2页 当xe10<1时，=怎+忌x-小>0，M在xe0,上单调道增， 当x∈，l时，(<0u(在e(,l上单调递减， 又“(0==0，所以在0,1上川> 恒成立， 即>-+付设a=x-+日的根为5即a=+ a e 则-+。各>小。从面有5> e 又由a=-日他，k12-5=e,从而x2-1<e, 1 4 4 ,c,设c的根为，侧 a= ae2 =点4≤4 所NQ=3=2ex,，从而≤4=ae2,所以2一/6<4 e. 答案第7页，共2页