第11讲 弹簧类专题讲义（思维导图+知识点+技巧方法+题型归纳+巩固练习）-2025-2026学年高考物理一轮复习力学人教版（新高考通用）

第11讲 弹簧专题 目 录 思维导图 1 学习目标 2 知识要点 3 技巧方法 7 题型分类 9 题型01：胡克定律简单应用 9 题型02：多弹簧连接多物体 11 题型03：弹簧与共点力的平衡 17 题型04：相似三角形解弹簧问题 45 题型05：弹簧与牛顿第二定律 49 题型06：弹簧的瞬时性问题 52 题型07：弹簧与动量 65 题型08：弹簧与功能关系 69 题型09：弹簧与静电场 106 高中物理中弹簧的学习目标，围绕“概念理解-规律应用-模型突破-综合迁移”四个层级展开，核心是掌握弹簧作为“特殊力载体”的特性，并能结合力学核心规律解决问题，具体目标如下： 一、基础概念与规律：掌握弹簧的“力与能”本质 1. 理解弹力的产生与特性 明确弹簧弹力的产生条件（弹性形变），熟记胡克定律 F = -k x ，能区分“形变量 x ”（伸长/压缩量，以原长为基准）与“弹簧长度”； 重点掌握弹簧弹力的瞬时性（形变不可突变→弹力不可突变）与渐变特性（形变随运动缓慢变化→弹力逐渐增减），能对比绳、杆的弹力突变特性。 2. 掌握弹性势能的计算与转化 理解弹性势能的定义（由弹性形变决定的能量），熟记公式 明确其“状态量”属性（仅与形变量有关，与过程无关）； 掌握弹力做功与弹性势能的关系：（弹力做正功，势能减少；做负功，势能增加），能类比重力做功与重力势能的关系理解。 二、单一模型应用：突破“弹簧+单体”的核心场景 1. 瞬时加速度问题 能根据“弹力不突变”原则，分析剪断绳、撤去外力等瞬间的受力变化，结合牛顿第二定律计算物体的瞬时加速度； 典型场景：水平/竖直方向弹簧连接单个物体，瞬间受力变化后的加速度求解。 2. 平衡问题 能对弹簧连接的单个物体进行受力分析（重力、弹力、支持力、摩擦力等），利用“合外力为0”（或某方向合力为0）列平衡方程，结合胡克定律求解形变量、外力大小等； 典型场景：水平拉物块、竖直挂物体、斜面弹簧拉物体的静止/匀速状态分析。 3. 能量转化问题 能判断弹簧与单体系统的能量转化形式（弹性势能与动能、重力势能的转化），在只有重力、弹力做功时，应用机械能守恒定律列方程求解速度、形变量等； 典型场景：小球压缩竖直弹簧的下落过程、弹簧弹开物体的水平运动，重点掌握“速度最大点”（合力为0，即重力=弹力）的分析。 三、复杂模型突破：掌握“弹簧+双体/多体”的综合规律 1. 动量与能量的结合应用 明确弹簧连接双体系统的动量守恒条件（系统合外力为0，如光滑水平面），能结合“动量守恒”与“机械能守恒”分析临界状态： 弹簧最长/最短时：两物体共速，弹性势能最大，动能最小； 两物体分离时：弹簧恢复原长，两物体速度、加速度相等； 典型场景：光滑水平面上双物体通过弹簧碰撞、压缩/伸长后释放的运动。 2. 多体平衡与连接体问题 能灵活运用“整体法”（求外力，弹簧弹力为内力）和“隔离法”（求弹簧弹力，隔离单个物体）分析多体平衡，结合平衡条件与胡克定律求解； 典型场景：弹簧连接两物体静止在粗糙桌面、斜面上，外力作用下的平衡分析。 四、综合迁移能力：关联其他模块与实际应用 1. 跨模块结合 能将弹簧与静电场（如带电小球在电场中通过弹簧平衡，静电力=弹力）、磁场（如通电导线在磁场中受安培力，与弹簧弹力平衡）等模块结合，应用“力的平衡”“能量守恒”解决综合问题； 理解弹簧在实验中的应用（如库仑扭秤、静电计、弹簧测力计），明确其“将无形力转化为有形形变”的作用原理。 2. 解题思维与方法 建立“状态分析-规律选择-方程联立”的解题逻辑：先明确初末状态（形变量、速度、受力），再根据条件选择牛顿定律、动量守恒、机械能守恒等规律，最后列方程求解； 能识别弹簧问题的共性（弹力特性、守恒规律）与差异（单体/双体、有无摩擦），避免思维定式，准确判断弹力方向、形变量及能量转化方向。 高中物理弹簧的学习目标，本质是通过弹簧这一“载体”，深化对力的瞬时性、平衡条件、动量守恒、能量守恒等核心力学规律的理解与应用，最终形成“从具体模型到通用方法”的迁移能力，能独立拆解并解决各类弹簧相关的基础、综合问题。 高中物理中，弹簧是串联“力、运动、能量、动量”的核心载体，其知识点可归纳为基础特性、力学规律应用、典型模型三大模块，具体如下： 知识点一、弹簧的基础特性 弹力产生条件：弹簧发生弹性形变（伸长或压缩），方向与形变方向相反（指向原长方向）。 胡克定律： F = -k x ，其中 k 为劲度系数（由弹簧本身决定，如材料、粗细、匝数）， x为形变量（伸长/压缩量，需以原长为基准，非弹簧总长度）。 弹力的关键特点 瞬时性：形变不可突变→弹力不可突变（与绳、杆的弹力可突变形成对比），是分析“瞬时加速度”的核心依据。 双向性：弹簧既可被拉长也可被压缩，弹力方向随形变方向改变，需结合运动状态判断方向。 知识点二、弹簧与力学规律的结合 1. 与牛顿运动定律结合 瞬时加速度问题：剪断绳、撤去外力瞬间，弹簧弹力不变，只需分析其他力的变化，结合 牛顿第二定律 计算加速度（如竖直悬挂的弹簧下端挂物体，剪断上端绳瞬间，物体加速度为 g ）。 动态平衡/变速运动：弹簧形变缓慢变化时，弹力逐渐增减，可通过“受力分析+牛顿第二定律”分析物体的加速度、速度变化（如物体在弹簧弹力与重力作用下的下落，速度最大点对应“弹力=重力，合外力为0”）。 2. 与能量规律结合 弹性势能：由形变量决定的能量，（状态量，仅与 x 有关，与过程无关）。 能量转化：只有重力、弹力做功时，系统机械能守恒（弹性势能与动能、重力势能相互转化）；若有摩擦力，机械能减少，转化为内能。 弹力做功与势能关系：（弹力做正功，势能减少；做负功，势能增加）。 3. 与动量规律结合（双体/多体模型） 动量守恒条件：弹簧连接的双体系统，若合外力为0（如光滑水平面），则系统动量守恒。 临界状态： 弹簧最长/最短时：两物体共速，弹性势能最大，动能最小； 两物体分离时：弹簧恢复原长，两物体速度、加速度相等（之后弹簧无弹力，两物体做匀速运动）。 与弹簧模型有关的动量守恒定律的综合应用 条件与模型 ①mA=mB（如:mA=1kg；mB=1kg） ②mA>mB （如:mA=2kg；mB=1kg） ③mA<mB（如:mA=1kg；mB=2kg） 规律与公式 情况一：从原长到最短（或最长）时 ①；② 情况二：从原长先到最短（或最长）再恢复原长时 ①；② 知识点三、典型模型与应用 1单体模型 瞬时问题：如水平弹簧拉物块，剪断绳瞬间的加速度分析； 平衡问题：竖直挂物体、斜面弹簧拉物体的静止状态，用“合外力为0”结合胡克定律求形变量； 能量问题：小球压缩竖直弹簧下落，分析“速度最大点”及能量转化。 2双体模型 光滑水平面：双物体通过弹簧碰撞、压缩后释放，用“动量守恒+机械能守恒”求解共速、分离时的速度与势能； 含摩擦场景：需考虑摩擦力做功，机械能不守恒，需用动能定理分析。 实验与实际应用 工具：弹簧测力计（测重力、拉力，基于胡克定律）； 物理实验：验证胡克定律、库仑扭秤（利用弹簧扭转形变测静电力）、静电计（金属球与外壳间的空气相当于弹簧，张角反映电势差）。 知识点四.与弹簧有关的平衡问题 与弹簧有关的平衡问题，核心是通过“弹力=其他力的合力”建立平衡方程，关键在于明确弹簧的形变方向（伸长/压缩）以确定弹力方向，再结合受力分析求解。以下是分类总结： 一、核心原理：平衡条件 + 胡克定律 1. 平衡条件：物体静止或匀速直线运动时，合外力为0，或某一方向上的合力为0（正交分解常用）。 2. 胡克定律：弹力大小 F = -k x ，方向总是指向弹簧恢复原长的方向（伸长时弹力沿收缩方向，压缩时沿伸长方向）。 3. 关键前提：先确定弹簧原长位置，判断形变方向，才能明确弹力方向（平衡方程的核心是方向匹配）。 二、三大典型模型及解题步骤 1. 单个弹簧 + 单体平衡（水平/竖直/斜面） 场景：物体在弹簧拉力/支持力与重力、摩擦力、支持力等作用下平衡（如水平拉物块、竖直挂物体、斜面弹簧拉物体）。 解题步骤： 1. 对物体进行受力分析（画受力图，明确重力、弹力、其他力的方向）； 2. 建立坐标系（水平/竖直方向，或沿斜面/垂直斜面），将不在轴上的力正交分解； 3. 根据“某方向合力为0”列方程，结合 F = k x ，求解形变量 x 或外力大小。 2. 双弹簧 + 单体平衡（串联/并联） 核心：明确两弹簧的形变关系（串联时形变量相加，并联时弹力相加），再用平衡条件整体或隔离分析。 两种情况： 串联：两弹簧首尾相连，拉力处处相等（ F1 = F2 = F ）， 例：竖直串联两弹簧挂物体，总弹力 F = mg ，可分别求两弹簧的形变量。 并联：两弹簧一端连物体、一端固定，形变量相等 例：水平并联两弹簧拉物块静止，总弹力等于摩擦力 f 3. 弹簧 + 多体平衡（连接体问题） 场景：弹簧连接两个或多个物体，整体静止在桌面、斜面等场景（如“物块A-弹簧-物块B”放在光滑水平面或粗糙桌面上）。 解题步骤： 1.整体法：对所有物体整体受力分析，求外力（如支持力、桌面的摩擦力），此时弹簧弹力为“内力”，整体平衡方程中不体现。 2.隔离法：单独对某一个物体受力分析（如隔离A或B），弹簧弹力变为“外力”，结合平衡条件列方程，求解弹力或形变量。 三、避坑关键 1.弹力方向不主观臆断：必须通过“弹簧是伸长还是压缩”判断（比如“弹簧连接两物体放在桌面上”，若两物体无相对运动趋势，弹簧可能处于原长，弹力为0）。 2.区分“动摩擦”与“静摩擦”：若物体静止，摩擦力是静摩擦力，需用平衡条件求；若物体匀速滑动，用动摩擦力公式。 3.弹簧“原长”是基准：所有形变量 x 都以原长为起点计算，题目未给原长时，可通过“平衡状态下的形变”反推，或设原长为 L_0 ，用长度差表示 x 。 总结：弹簧平衡问题的本质是“受力分析+平衡方程+胡克定律”的结合，只要能准确判断弹力方向、灵活运用整体/隔离法，所有问题均可拆解为“列方程求解”，无需复杂技巧，重点在细节（方向、摩擦力类型、形变关系）。 高中物理弹簧问题的核心是弹力的瞬时性与过程的能量/动量守恒，解决所有问题都围绕这两个关键点展开， 一、核心概念：弹力的“瞬时性”与“渐变特性” 1. 弹力公式： F = -k x （胡克定律），x 是形变量（伸长或压缩量），必须明确弹簧原长位置。 2. 瞬时性：弹簧的形变量无法突变，因此弹力不能突变（与绳、杆的“弹力可突变”形成关键区别）。 例：剪断绳的瞬间，绳的拉力消失，但弹簧的弹力仍为 k x ，物体的加速度需用此时的弹力重新计算。 3. 渐变特性：弹簧的形变是缓慢变化的，在运动过程中（如拉伸、压缩），弹力随形变量逐渐增减，常伴随“动态平衡”或“极值点”（如速度最大时，合力为0）。 二、两大核心模型：“弹簧+单体”与“弹簧+双体” 1. 弹簧+单体模型（最基础） 关键场景：竖直/水平方向的振动、碰撞后的运动、斜面+弹簧等。 解题逻辑： 瞬时问题：用“弹力不变”分析加速度（牛顿第二定律）。 过程问题：优先用机械能守恒（只有重力、弹力做功时，系统机械能守恒）。 例：小球从高处落到竖直弹簧上，下落过程分为“加速（重力>弹力）→减速（弹力>重力）”，速度最大点在“重力=弹力”处。 2. 弹簧+双体模型（高频难点） 关键场景：双物体在弹簧连接下的碰撞、分离、共速问题。 解题逻辑： 动量守恒：若系统不受外力（或外力远小于内力），全程动量守恒（如光滑水平面）。 机械能守恒：弹簧弹力是内力，只有弹力做功时，系统机械能（动能+弹性势能）守恒。 临界状态： 弹簧“最长/最短”时：两物体共速（相对速度为0），此时弹性势能最大，动能最小。 两物体“分离”时：弹簧恢复原长，且两物体速度、加速度均相等（分离后弹簧无弹力，加速度由其他力决定）。 三、三类高频问题及“秒杀”思路 1. 瞬时加速度问题 口诀：“绳断力变，簧断力不变”。 步骤： 1.分析变化前弹簧的形变量，计算弹力 F = -k x ； 2.变化后（如剪断绳、撤去外力），弹力保持不变，对单个物体列牛顿第二定律求加速度。 2. 能量与动量结合问题 通法： 1.找“初末状态”（如碰撞前、弹簧最长时、分离时）； 2.列“动量守恒方程”（全程）+“机械能守恒方程”（初末状态弹性势能已知时，如原长时势能为0）； 3.联立求解速度、形变量等物理量。 3. 弹簧与碰撞结合问题 关键：碰撞是“瞬时过程”（动量守恒，动能可能损失），碰撞后是“弹簧作用过程”（动量+机械能守恒）。 步骤： 1.先分析“碰撞过程”：用动量守恒求碰撞后两物体的速度； 2.再分析“碰撞后弹簧作用过程”：用动量+机械能守恒求后续状态（如共速、原长）。 四、避坑指南 1.明确研究对象：单体问题分析单个物体，双体问题分析系统（动量守恒）。 2.弹性势能的“零点”：默认弹簧原长时弹性势能为0，计算时需注意初末状态弹簧是否为原长。 3.区分“内力”与“外力”：弹簧弹力是内力，重力、支持力等是外力，判断动量是否守恒的核心是“外力是否为0”。 4.避免思维定式：不要默认“弹簧一定有弹力”，分离后、原长时弹簧弹力为0，需结合状态判断。 掌握以上“概念+模型+方法”，高中物理弹簧问题可完全突破——核心是抓住“弹力不突变”和“守恒定律”，从状态分析入手，用方程联立求解，拒绝盲目刷题，优先吃透通法。 题型01：胡克定律的简单应用 【典型例题1】一根轻质弹簧一端固定，用大小为F1的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l1；改用大小为F2的力拉弹簧，平衡时长度为l2.弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为( 　)． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】　设弹簧原长为l，由题意知， ＝k(l－)，＝k(－l)，两式联立，得k＝，选项C正确． 【变式训练1】一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80 cm的两点上，弹性绳的原长也为80 cm.将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100 cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为(弹性绳的伸长始终处于弹性限度内)(　　) A．86 cm B．92 cm C．98 cm D．104 cm 【答案】B 【解析】将钩码挂在弹性绳的中点时，由数学知识可知钩码两侧的弹性绳(劲度系数设为k)与竖直方向夹角θ均满足sinθ＝，对钩码(设其重力为G)静止时受力分析，得G＝2k (-)cosθ；弹性绳的两端移至天花板上的同一点时，对钩码受力分析，得G＝2k (-)，联立解得L＝92 cm，可知A、C、D项错误，B项正确． 【变式训练2】如图5所示，将一轻质弹簧的一端固定在铁架台上，然后将最小刻度是毫米的刻度尺竖直放在弹簧一侧，刻度尺的0刻线与弹簧上端对齐，使弹簧下端的指针恰好落在刻度尺上．当弹簧下端挂一个50 g的砝码时，指针示数为L1＝3.40 cm，当弹簧下端挂两个50 g的砝码时，指针示数为L2＝5.10 cm.g取9.8 m/s2.由此可知(　 　)． 图5 A．弹簧的原长是1.70 cm B．仅由题给数据无法获得弹簧的原长 C．弹簧的劲度系数是28 N/m D．由于弹簧的原长未知，无法算出弹簧的劲度系数 【答案】A 【解析】　设弹簧原长为，由胡克定律得k(－)＝mg，k(－)＝2mg，解得＝1.70 cm，k＝29 N/m，A正确． 【变式训练3】如图7所示，重80 N的物体A放在倾角为30°的粗糙斜面上，有一根原长为10 cm，劲度系数为1 000 N/m的弹簧，其一端固定在斜面底端，另一端放置物体A后，弹簧长度缩短为8 cm，现用一测力计沿斜面向上拉物体，若物体与斜面间最大静摩擦力为25 N，当弹簧的长度仍为8 cm时，测力计读数不可能为(　 　)． A．10 N B．20 N　 　C．40 N D．60 N 图7 【答案】D 【解析】　当物体受到的静摩擦力方向沿斜面向下，且达到最大静摩擦力时，测力计的示数最大，此时 F＋kΔx＝mgsin θ＋ 解得F＝45 N，故F不能超过45 N，选D. 【变式训练4】如图19所示，质量为m的物体连接在置于水平面上的劲度系数为k的竖直轻弹簧上．一根弹性细绳跨过定滑轮与物体连接．弹性细绳没有拉力时，其端点位于M位置．缓慢拉细绳直到端点到N位置时，弹簧对物体的拉力大小恰好等于物体的重力．已知这种弹性细绳的弹力与伸长量成正比，比例系数为k′，求： (1)弹性细绳没有拉力时，弹簧的形变量； (2)把弹性细绳端点从M拉到N过程中物体上升了多少？ (3)M、N间的距离为多大？ 图19 【答案】(1)　(2) 　(3) 2mg (+) 【解析】(1)细绳没有拉力时，弹簧处于压缩状态，设压缩量 为，有k＝mg，解得＝ (2)当弹性细绳端点从M缓慢拉到N位置时，因弹簧对物体的拉力大小恰好等于物体的重力，说明弹簧处于伸长状态，且伸长量＝＝ 所以物体上升的高度为h＝2＝. (3)弹性细绳中弹力＝2mg， 弹性细绳伸长量 ＝＝， M、N间的距离为＝h＋＝2mg (+) 题型02：多弹簧连接多个物体 【典型例题1】如图1所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在下面弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧．在此过程中下面木块移动的距离为(　 　) 图1 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】　在没有施加外力向上提时，弹簧被压缩，压缩的长度为：Δx＝.在用力缓慢向上提 直至 刚离开上面弹簧时，弹簧k2仍被压缩，压缩量为所以在此过程中，下面木块移动的距离为：Δx－Δx′＝，故选C. 【典型例题2】如图18所示，A、B是两个相同的弹簧，原长都是L0＝10 cm，劲度系数k＝500 N/m，若悬挂的两个物体质量均为m，现测得两个弹簧的总长为26cm，则m＝__________。（g取10m/s2） 　 　　　　　　　　　　　　　　 图18 【答案】1kg 【解析】首先以下面物体为研究对象，然后以两物体为整体，求出对上端弹簧拉力，分别列出弹力方程： 　　　　　 　　　　　 【变式训练1】S1和S2表示劲度系数分别为k1，和k2两根轻质弹簧，k1>k2；A和B表示质量分别为mA和mB的两个小物块，mA>mB,将弹簧与物块按图6示方式悬挂起来．现要求两根弹簧的总长度最大则应使( )． 图6 A.S1在上，A在上 B.S1在上，B在上 C.S2在上，A在上 D.S2在上，B在上 【答案】D 【变式训练2】如图9所示，两个木块的质量分别为m1和m2，两个轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧．在此过程中上面的木块移动的距离为(　 ) 图9 A. B.+ C. D.+ 【答案】D 【变式训练3】（多选）如图4所示，将两相同的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳系于墙壁．开始时a、b均静止，弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a所受摩擦力Ff a≠0，b所受摩擦力Ff b＝0.现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间(　 　)． 图4 A．Ff a大小不变 B．Ff a方向改变 C．Ff b仍然为零 D．Ff b方向向右 【答案】AD 【解析】　剪断右侧绳的瞬间，右侧细绳上拉力突变为零，而弹簧对两木块的拉力没有发生突变，与原来一样，所以b对地面有向左的运动趋势，受到静摩擦力Ff b方向向右，C错误，D正确．剪断右侧绳的瞬间，木块a受到的各力都没有发生变化，A正确，B错误． 【变式训练4】三个质量均为1kg的相同木块a、b、c和两个劲度系数均为500N/m的相同轻弹簧p、q用轻绳连接，如图2所示，其中a放在光滑水平桌面上．开始时p弹簧处于原长，木块都处于静止状态．现用水平力F缓慢地向左拉p弹簧的左端，直到c木块刚好离开水平地面为止，g取10 m/s2.该过程p弹簧的左端向左移动的距离是( 　) 图2 A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【解析】“缓慢地拉动”说明系统始终处于平衡状态，该过程中p弹簧的左端向左移动的距离等于两个弹簧长度变化量之和；最初，p弹簧处于原长，而q弹簧受到竖直向下的压力＝g＝1×10N＝10N，所以其压缩量为＝＝2cm；最终c木块刚好离开水平地面，q弹簧受到竖直向下的拉力＝g＝1×10N＝10N，其伸长量为＝＝2cm，拉力F＝(＋)g＝2×10N＝20N，p弹簧的伸长量为＝＝4cm，所以p弹簧的左端向左移动的距离x＝＋＋＝8cm. 【变式训练5】如图10所示，在一粗糙水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一原长为l、劲度系数为k的轻弹簧连接起来，木块与地面间的动摩擦因数为μ，现用一水平力向左拉木块1，当两木块一起匀速运动时两木块之间的距离是(　　) 图10 A．l＋m1g　　　　　　　B．l＋(m1＋m2)g C．l＋m2g D．l＋g 【答案】C 【解析】以木块2为研究对象，受到向左的弹簧的拉力和向右的地面的摩擦力而做匀速运动，拉力等于摩擦力，kΔx＝μg，Δx＝g，两木块之间的距离是l＋g，C正确，A、B、D错误． 【变式训练6】如图11所示，轻质弹簧连接A、B两物体，弹簧劲度系数为k，A、B质量分别为m1、m2；A放在水平地面上，B也静止；现用力拉B，使其向上移动，直到A刚好离开地面，此过程中，B物体向上移动的距离为(　　) 图11 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】开始时，A、B都处于静止状态，弹簧的压缩量设为，由胡克定律有k＝m2g，物体A恰好离开地面时，弹簧的拉力为g，设此时弹簧的伸长量为，由胡克定律有k＝g，这一过程中，物体B上移的距离d＝＋，联立可解得d＝，C正确．故选C. 【变式训练7】如图，两个弹簧的质量不计，劲度系数分别为k1、k2，它们一端固定在质量为m的物体上，另一端分别固定在Q、P上，当物体平衡时上面的弹簧处于原长状态。若把固定的物体换为质量为2m的物体（弹簧的长度不变，且弹簧均在弹性限度内），当物体再次平衡时，物体比第一次平衡时的位置下降了x，则x为 A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 【答案】A 【解析】当物体的质量为m时，设下面的弹簧的压缩量为，则mg=；当物体的质量为2m时，2mg= (+x)+ x，联立可得x=，选项A正确。 【变式训练8】质量都为m=1.0kg的物体A、B通过一轻质弹簧相连。如图甲所示，A、B都处于静止状态，此时弹簧的压缩量为2.0cm。现通过细绳将A向上缓慢拉起，如图乙所示，当B刚要离开地面时，A上升的距离为L。假设弹簧一直在弹性限度内，g=10m/s2，则（　　） A．弹簧的劲度系数k=1000N/m，A上升的距离L=2.0cm B．弹簧的劲度系数k=1000N/m，A上升的距离L=4.0cm C．弹簧的劲度系数k=500N/m，A上升的距离L=2.0cm D．弹簧的劲度系数k=500N/m，A上升的距离L=4.0cm 【答案】D 【解析】图甲中对A受力分析，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于A的重力，由胡克定律可得 其中解得当B刚要离开地面时，弹簧处于伸长状态，弹力大小等于B的重力，则由几何关系可得解得故选D。 【变式训练9】如图3所示，原长分别为L1和L2、劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧竖直悬挂在天花板上。两弹簧之间有一质量为m1的物体，最下端挂着质量为m2的另一物体，整个装置处于静止状态。  （1）这时两个弹簧的总长度为多大？  （2）若用一个质量为M的平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和，求这时平板受到下面物体m2的压力 图3 【解析】（1）劲度系数为轻质弹簧受到的向下拉力（＋）g，设它的伸长量为，根据胡克定律有：（＋）g＝解得： 劲度系数为轻质弹簧受到的向下拉力g，设它的伸长量为，根据胡克定律有：  g＝解得： 这时两个弹簧的总长度为：L＝L1＋L2＋＋＝L1＋L2＋＋ （2）用一个平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和时，下面的弹簧应被压缩x，上面的弹簧被拉伸x。以为对象，根据平衡关系有：（＋）x＝g 解得： 以为对象，设平板对的支持力为FN，根据平衡关系有： ＝x＋m2g＝×＋g＝＋g＝ 故这时平板受到下面物体的压力FN＇＝ 题型03：弹簧与共点力平衡 【典型例题1】如图所示，水平地面上的L形木板M上放着小木块m，M与m间有一处于压缩状态的弹簧，整个装置处于静止状态．长木板受力的个数为( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解析】 将小木块和木板、弹簧看做一个整体，整体处于静止状态，在水平方向上没有运动趋势，所以不受地面给的摩擦力，对小木块受力分析，小木块受到重力，支持力，弹簧的弹力，木板给的摩擦力，所以木板受到小滑块给的摩擦力，重力，支持力，弹簧的弹力，小滑块对木板的压力，共5个力作用。 故选C。 【典型例题2】(多选)如图12所示，在倾角为30°的光滑斜面上，A、B两个质量均为m的滑块用轻质弹簧相连，弹簧的劲度系数为k，水平力F作用在滑块B上，此时弹簧长度为l，且在弹性限度内，则下列说法正确的是(　　) 图12 A．弹簧原长为l＋ B．弹簧原长为l＋ C．力F的大小为mg D．力F的大小为mg 【答案】AD 【解析】对A物体，据平衡条件得mgsin30°＝kx，其中x＝－l，解得＝l＋，A正确，B错误；对A、B构成的整体，据平衡条件得Fcos30°＝2mgsin30°，解得F＝mg，C错误，D正确． 【典型例题3】如图所示，倾角为 30°的光滑斜面固定不动，轻质弹簧连接质量均为m的小物块 P、Q置于斜面上，用水平向右的力F作用在 Q上，P、Q均静止，则F的大小为（　　） A． mg B． mg C．mg D． mg 【答案】B 【解析】 整体分析可知 所以 故选B。 【典型例题4】如图所示，物块A放在直角三角形斜面体B上面，B放在弹簧上面并紧挨着竖直粗糙墙壁，处于静止状态。现用力F沿斜面向上推A，A，B仍处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．A，B之间的摩擦力大小可能不变 B．A，B之间的摩擦力一定变大 C．B受到的弹簧弹力一定变小 D．B与墙之间可能没有摩擦力 【答案】A 【解析】 AB．A开始受重力、B对A的支持力和静摩擦力平衡，当施加F后，仍然处于静止，开始A所受的静摩擦力大小为，若 则A、B之间的摩擦力大小可能不变，故A正确，B错误； CD．对整体分析，由于AB不动，弹簧的形变量不变，则弹簧的弹力不变，开始弹簧的弹力等于A、B的总重力，施加F后，弹簧的弹力不变，总重力不变，根据平衡知，则B与墙之间一定有摩擦力，故CD错误。 故选A。 【典型例题5】（多选）如图14所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑、半径为R的半球形容器底部O′处(O为球心)，弹簧另一端与质量为m的小球相连，小球静止于P点．已知容器与水平面间的动摩擦因数为μ，OP与水平方向间的夹角为θ＝30°.下列说法正确的是(　 ) 图14 A．水平面对容器有向右的摩擦力 B．弹簧对小球的作用力大小为mg C．容器对小球的作用力大小为mg D．弹簧原长为R＋ 【答案】CD 【解析】　以容器和小球组成的整体为研究对象，受力分析可知，竖直方向有总重力、地面的支持力，水平方向上地面对半球形容器没有摩擦力，故A错误．对小球进行受力分析可知，小球受重力、容器的支持力及弹簧的弹力而处于静止状态，由共点力的平衡条件可求得小球受到的弹簧的弹力及小球受到的支持力．对小球受力分析如图所示，由几何关系可知，＝F＝mg，故弹簧原长为R＋，故B错误，C、D正确． 【典型例题6】（多选）两个中间有孔的质量为M的小球用一轻弹簧相连，套在一水平光滑横杆上．两个小球下面分别连一轻弹簧．两轻弹簧下端系在同一质量为m的小球上，如图16所示．已知三根轻弹簧的劲度系数都为k，三根轻弹簧刚好构成一等边三角形．则下列判断正确的是(　　) 图16 A．水平横杆对质量为M的小球的支持力为Mg＋mg B．连接质量为m小球的轻弹簧的弹力为 C．连接质量为m小球的轻弹簧的伸长量为mg D．套在水平光滑横杆上轻弹簧的形变量为mg 【答案】CD 【解析】水平横杆对质量为M的小球的支持力为Mg＋，选项A错误；设下面两个弹簧的弹力均为F，则2Fsin60°＝mg，解得F＝mg，结合胡克定律得kx＝mg，则x＝mg，选项B错误，选项C正确；下面的一根弹簧对M的水平分力为Fcos60°＝mg，再结合胡克定律得kx′＝mg，解得x′＝mg，选项D正确． 【典型例题7】如图所示，在粗糙固定的斜面上，放有A、B两个木块，用轻质弹簧将A、B两木块连接起来，B木块的另一端再通过细线与物体C相连接，细线跨过光滑定滑轮使C物体悬挂着，A、B、C均处于静止状态，下列说法不正确的是（　　） A．弹簧弹力可能为零 B．A受到的摩擦力可能沿斜面向上 C．B可能不受到摩擦力的作用 D．若增大B物体的重量，则B物体受到的摩擦力一定将先增大后减小 【答案】D 【解析】 A．由于斜面粗糙，弹簧有可能处于自然长度，即弹力有可能为零，故A正确； B．如果弹簧处于伸长状态，当弹簧的弹力小于A重力沿斜面向下的分力时，A受到的摩擦力沿斜面向上，或者弹簧处于压缩状态时，A受到的摩擦力沿斜面向上，故B正确； C．以B为研究对象，如果沿斜面方向有 时，则摩擦力为零，故C正确； D．初状态下不知道B受到的摩擦力大小和方向，无法确定增大B物体的重量时B物体受到的摩擦力变化情况，故D错误。 故选D。 【典型例题8】（多选）如图所示，质量为的物块A和质量为的物块B通过轻绳和轻弹簧相连，A与B、B与地面间的动摩擦因数均为，两根弹簧的劲度系数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块B在F的作用下匀速运动的位移为（物块A仍在物块B上），不计滑轮的重力和摩擦，则下列说法正确的是（  ） A．物块B与地面间摩擦力的大小为 B．两根弹簧的最大形变量均为 C．两根弹簧的最大形变量均为 D．若物块A与物块B发生相对滑动，则相对位移大小为 【答案】ABD 【解析】A．物块B与地面间摩擦力的大小为故A正确； BC．对A，根据平衡条件，弹簧弹力大小两根弹簧通过轻绳相连，则两根弹簧弹力大小相等，两根弹簧的形变量均为故B正确，C错误； D．物块B的位移为物块A的位移为则相对位移大小为故D正确。故选ABD。 【变式训练1】（多选）如图所示，物块A、B的质量均为，对地面的动摩擦因数均为。两物块用一劲度系数为的轻弹簧连接，初始状态下弹簧比原长压缩了。最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，重力加速度取。对物块施加一水平外力，在刚施加外力的一小段时间内，开始运动，保持静止。则该外力的大小与方向组合可能是（　　） A．向左， B．向右， C．向左， D．向右， 【答案】AC 【解析】弹簧的弹力为=kx=2N，AB与地面之间的最大静摩擦力为=μmg=2N A．若对A施加水平力向左，大小为3N，则因为F+=5N>则A将要开始向左滑动，弹簧压缩量减小，弹力减小，则B保持静止，选项A正确； B．若对A施加水平力向右，大小为3N，则此时A所受摩擦力为f=F-=1N<则A不会开始滑动，弹簧弹力不变，则B保持静止，选项B错误； C．若对A施加水平力向左，大小为5N，则因为F+>fm则A将要开始向左滑动，弹簧压缩量减小，弹力减小，B保持静止，选项C正确； D．若对A施加水平力向右，大小为5N，则此时A所受摩擦力为f=F-=3N>则A会开始向右滑动，弹簧压缩量变大，弹力变大，则B将产生滑动，选项D错误；故选AC。 【变式训练2】木块A、B分别重50 N和70 N，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.2，与A、B相连接的轻弹簧被压缩了5 cm，系统置于水平地面上静止不动．已知弹簧的劲度系数为100 N/m，用F =7N的水平力作用在木块A上，如图所示，力F作用后 （ ） A．木块A所受摩擦力大小是10N B．木块A所受摩擦力大小是2N C．弹簧的弹力是12N D．木块B所受摩擦力大小为12N 【答案】B 【解析】 未加F时，木块AB受力平衡，所受静摩擦力等于弹簧的弹力，则弹簧弹力为 B木块与地面间的最大静摩擦力为 而A木块与地面间的最大静摩擦力为 施加F后，对木块A有 则 解得 则此时两物块仍静止，此时弹簧的弹力仍为5N；木块B受摩擦力大小仍为5N，故ACD错误，B正确。 故选B。 【变式训练3】如图所示，放在粗糙水平面上的物体A上叠放着物体B，A和B之间有一根处于压缩状态的弹簧，A、B均处于静止状态，下列说法中正确的是(　　) A.B受到向左的摩擦力 B.B对A的摩擦力向右 C.地面对A的摩擦力向右 D.地面对A没有摩擦力 【答案】D 【解析】 　压缩的弹簧对B有向左的弹力，B有向左运动的趋势，受到向右的摩擦力，选项A错误；A对B的摩擦力向右，由牛顿第三定律可知，B对A的摩擦力向左，选项B错误；对整体研究，根据平衡条件分析可知，地面对A没有摩擦力，选项C错误，D正确。 【变式训练4】如图所示，把重为20 N的物体放在倾角为30°的粗糙斜面上并静止，物体右端与固定在斜面上的轻弹簧相连接，若物体与斜面间的最大静摩擦力为12 N，则弹簧对物体的弹力(弹簧与斜面平行)(　　) A.可以为22 N，方向沿斜面向上 B.可以为2 N，方向沿斜面向下 C.可以为12 N，方向沿斜面向下 D.弹力不可能为零 【答案】AB 【解析】 将重力分解，平行斜面的向下分力为mgsin 30°＝10 N，垂直斜面的分力为mgcos 30°＝10 N，当最大静摩擦力平行斜面向下时，物体与斜面间的最大静摩擦力为12 N，弹簧弹力为拉力，等于22 N；当最大静摩擦力平行斜面向上时，物体与斜面间的最大静摩擦力为12 N，弹簧弹力为推力，等于2 N。故弹簧弹力可以是不大于2 N的推力或者不大于22 N的拉力，也可以没有弹力，故选项A、B正确，C、D错误。 【变式训练5】如图所示，三角块B放在斜面体A上，轻弹簧一端连接三角块B，另一端连接在天花板上，轻弹簧轴线竖直，斜面的倾角为，若A的质量为，B的质量为，地面对A的支持力大小为，重力加速度为，则A对B的摩擦力大小为（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】 对整体研究，根据力的平衡，轻弹簧向下压力大小为 对三角块B研究 故选C。 【变式训练6】如图所示，一个质量为m的滑块静止于倾角为的斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点，另一端连接在滑块上，弹簧与竖直方向的夹角为，则（　　） A．滑块一定受到4个力作用 B．弹簧一定处于压缩状态 C．斜面可能光滑 D．斜面对滑块的摩擦力大小一定等于 【答案】D 【解析】 ABC．对物体受力分析，一定有的力是重力，而因为需要有指向左上方的力来保证可以平衡，因此一定有摩擦力，有摩擦力必须要有弹力，因而这三个力是一定有的，由于不清楚斜面的粗糙程度，因此这三个力是否能够平衡不清楚，弹簧可以有力也可以没力，故ABC错误。 D．滑块静止，根据受力平衡可得 故D正确。 故选D。 【变式训练7】如图所示，质量分别为m1、m2的两物体甲、乙位于相邻的两水平台阶上，中间用轻弹簧相连，弹簧与竖直方向夹角为θ。在乙右端施加水平拉力F，使甲、乙均处于静止状态。已知重力加速度为g，乙表面光滑，则下列说法正确的是（　　） A．弹簧弹力的大小为 B．地面对甲的摩擦力大小为F C．甲的表面可能光滑 D．m1与m2一定相等 【答案】B 【解析】 BC．对两物体及弹簧整体受力分析，整体受重力、支持力、拉力，要使整体处于平衡，则水平方向一定有向左的摩擦力作用在甲上，且大小与F相同，C错误B正确 AD．再对甲受力分析可知，弹力水平方向的分力应等于摩擦力，即等于F，故弹力 F弹= 因竖直方向上地面对甲、乙的支持力大小不明确，无法确定两物体的质量关系，也无法求出弹簧弹力与重力的关系，AD错误。 故选B。 【变式训练8】如图所示，物体A左侧为粗糙的竖直墙面，在竖直轻弹簧作用下，A、B保持静止。若在A的上方施加一竖直向下的作用力F，使A缓慢下移一小段距离在此过程中（　　） A．A可能相对B向下滑动 B．墙对A的弹力会慢慢变大 C．墙壁对A的摩擦力变小 D．B对A的作用力不断变大，方向始终为竖直向上 【答案】D 【解析】 开始时整体受力平衡，竖直方向受到重力和弹簧的弹力，水平方向不受力，所以A与墙之间没有弹力，没有弹力就不会有摩擦力。 A．以A为研究对象，A受到重力、支持力和摩擦力，设B斜面的倾角为θ，则有 gsinθ≤μgcosθ 若在A的上方施加一竖直向下的作用力F，一定有 （F+g）sinθ≤μ（F+g）cosθ 所以A相对于B不会向下运动，故A错误； BC．水平方向系统不受外力作用，墙壁对A的弹力仍为零，所以摩擦力仍为零，保持不变，故BC错误； D．若在A的上方施加一竖直向下的作用力F，AB一起向下运动，当A、B再次达到静止时，弹簧的压缩量增大，所以弹簧对B的弹力变大，因 g+=F弹 则A对B的作用力逐渐变大，则B对A的作用力也不断增大，方向始终为竖直向上，故D正确； 故选D。 【变式训练9】（多选）如图，一质量为m的滑块静止置于倾角为30°的粗糙斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点，另一端系在滑块上，弹簧与斜面垂直，则(　　) A．滑块不可能只受到三个力作用 B．弹簧可能处于伸长状态 C．斜面对滑块的支持力大小可能为零 D．斜面对滑块的摩擦力大小一定等于mg 【答案】BD 【解析】 弹簧如果处于原长状态，则滑块受重力、弹力和摩擦力作用，A错误；如果斜面对滑块的支持力为零，则滑块仅受重力和弹簧的拉力作用，两力方向不共线，滑块不可能静止，C错误；如果弹簧对滑块的作用力是拉力，则拉力一定小于重力沿垂直斜面方向的分力，B正确；由平衡条件可知，斜面对滑块的摩擦力＝mgsin 30°＝mg，D正确。 【变式训练10】如图所示，轻质弹簧一端系在质量为m＝1 kg的小物块上，另一端固定在墙上。物块在斜面上静止时，弹簧与竖直方向的夹角为37°，已知斜面倾角θ＝37°，斜面与小物块间的动摩擦因数μ＝0.5，斜面固定不动。设物块与斜面间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，下列说法正确的是(　　) A.小物块可能只受三个力 B.弹簧弹力大小一定等于4 N C.弹簧弹力大小不可能等于3 N D.斜面对物块支持力可能为零 【答案】C 【解析】 假如物块受3个作用力，重力、斜面的支持力以及摩擦力，则mgsin 37°＝6 N，而最大静摩擦力为μmgcos 37°＝4 N＜6 N，则物块不能静止，故选项A错误；要使物块静止，则弹簧弹力最小为F，则满足mgsin 37°＝μ(F＋mgcos 37°)，解得F＝4 N，故当弹力不小于4 N时，物块均能静止，选项B错误，C正确；若斜面对物块支持力为零，则物体与斜面之间的摩擦力为零，则物体不可能静止，选项D错误。 【变式训练11】（多选）如图所示，A、B两物块始终静止在水平地面上，有一轻质弹簧一端连接在竖直墙上的P点，另一端与A连接。下列说法中正确的是(　　) A．如果B对A无摩擦力，则地面对B也无摩擦力 B．如果B对A有向左的摩擦力，则地面对B也有向左的摩擦力 C．P点缓慢下移过程中，B对A的支持力一定减小 D．P点缓慢下移过程中，地面对B的摩擦力一定增大 【答案】AB 【解析】 如果B对A无摩擦力，由牛顿第三定律可知，A对B也无摩擦力，则B对地面无运动趋势，地面对B没有摩擦力作用，A正确；如果B对A有向左的摩擦力，则A对B有向右的摩擦力作用，从而使B有向右运动的趋势，则地面对B有向左的摩擦力，B正确；若弹簧已处于拉伸状态，在P点缓慢下移过程中，弹簧的拉伸形变量减小，弹簧对A斜向上的拉力减小，则B对A的支持力增大，C错误；若弹簧已处于拉伸状态，在P点缓慢下移的过程中，弹簧的拉伸形变量将减小，当弹簧的形变量为零时，A与B、B与地面间的摩擦力变为零，D错误。 【变式训练12】如图所示，光滑直杆倾角为30°，质量为m的小环穿过直杆，并通过弹簧悬挂在天花板上，小环静止时，弹簧恰好处于竖直位置，现对小环施加沿杆向上的拉力F，使环缓慢沿杆滑动，直到弹簧与竖直方向的夹角为60°。整个过程中，弹簧始终处于伸长状态，以下判断正确的是(　　) A．弹簧的弹力逐渐增大 B．弹簧的弹力先减小后增大 C．杆对环的弹力逐渐增大 D．拉力F先增大后减小 【答案】B 【解析】由几何关系可知，弹簧的长度先减小后增加，即伸长量先减小后增加，弹簧的弹力先减小后增加，选项A错误，B正确；当环缓慢沿杆向上滑动时，因为弹簧对环始终是拉力作用，则一定存在一个位置，即弹簧的弹力、重力以及力F相平衡，此时杆对环的弹力为零，则环在上滑的过程中杆对环的弹力先增加后减小，再增加，选项C错误；设弹簧与杆之间的夹角为θ，则在圆环从开始到弹簧与杆垂直位置的过程中，由平衡知识：cos θ＋F＝mgcos 30°，随θ角的增加，减小，则F增大；在圆环从弹簧与杆垂直位置到弹簧与竖直方向的夹角为60°的过程中，由平衡知识：F＝cos θ＋mgcos 30°，随θ角的减小，增大，则F仍然是增大；可知拉力F一直增大，选项D错误。 【变式训练13】（多选）如图所示，一直杆倾斜固定并与水平方向成30°的夹角；直杆上套有一个质量为0.5 kg的圆环，圆环与轻弹簧相连，在轻弹簧上端施加一竖直向上、大小F＝10 N的力，圆环处于静止状态，已知直杆与圆环之间的动摩擦因数为0.7，g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.圆环受到直杆的弹力，方向垂直直杆向下 B.圆环受到直杆的弹力大小等于2.5 N C.圆环受到直杆的摩擦力，方向沿直杆向上 D.圆环受到直杆的摩擦力大小等于2.5 N 【答案】AD 【解析】 　由于F＝10 N＞mg＝5 N，所以圆环受到直杆的弹力，方向垂直直杆向下，选项A正确；画出圆环受力示意图如图所示，由几何知识可得，圆环受到直杆的弹力大小等于2.5 N，选项B错误；圆环受到直杆的摩擦力，方向沿直杆向下，大小等于2.5 N，选项C错误，D正确。 【变式训练14】（多选）如图7所示，光滑的大圆环固定在竖直平面上，圆心为O点，P为环上最高点，轻弹簧的一端固定在P点，另一端拴连一个套在大环上的小球，小球静止在图示位置，则(　　) A．弹簧可能处于压缩状态 B．大圆环对小球的弹力方向不可能指向O点 C．小球受到弹簧的弹力与重力的合力一定指向O点 D．大圆环对小球的弹力大小可能小于球的重力，也可能大于球的重力 【答案】BC 【解析】 　若弹簧处于压缩状态，则对小球受力分析可知，重力向下，大圆环对小球的弹力指向O点，弹簧弹力沿PQ向下，则由平衡条件可知，此三力不可能平衡，选项A错误；因弹簧处于被拉伸状态，则大圆环对小球的弹力方向沿半径方向向外，不可能指向O点，选项B正确；因小球受重力、弹簧的弹力以及大圆环的弹力作用，由平衡条件可知，小球受到弹簧的弹力与重力的合力一定与大圆环对小球的弹力等大反向，指向O点，选项C正确； 根据平行四边形定则，结合几何关系可知，大圆环对小球的弹力大小等于球的重力，选项D错误． 【变式训练15】如图所示．1/4圆弧面AB与倾角为的斜面BC固定在水平面上，轻弹簧平行于斜面，一端与轻绳连接，另一端与质量为m的物块连接，轻绳绕过定滑轮分别与球和轻弹簧连接，系统处于静止状态时．滑轮左侧的轻绳恰好沿水平方向，滑轮右侧的轻绳平行于斜面，与水平面夹角为，弹簧伸长了x。重力加速度大小为g，不计一切摩擦。则下列表达式正确的是 A．弹簧的劲度系数 B．弹簧的劲度系数 C．球的质量 D．球的质量 【答案】A 【解析】分别对球和物块分析受力如图所示。由平衡条件，弹簧弹力=kx=mgsinθ，可得k=，选项A正确B错误；由于=，且Mg= tanα，解得：M=m tanαsinθ，选项CD错误。 【变式训练16】（多选）如图15所示，两根光滑细棒在同一竖直平面内，两棒与水平面成37°角，棒上各穿有一个质量为m的相同小球，两球用轻质弹簧连接，两小球在图中位置处于静止状态，此时弹簧与水平面平行，则下列判断正确的是(　)． 图15 A．弹簧处于拉伸状态 B．弹簧处于压缩状态 C．弹簧的弹力大小为mg D．弹簧的弹力大小为mg 【答案】AC　 【解析】　若弹簧处于压缩状态，右侧小球受到竖直向下的重力，水平向右的弹簧弹力和垂直细杆斜向左下方的弹力，小球不可能平衡，所以弹簧处于拉伸状态，对左侧小球受力分析如图所示，由平衡条件知F＝mgtan 37°＝mg，则A、C对，B、D错． 【变式训练17】如图所示，图形凹槽半径=30cm，质量=1kg的小物块在沿半径方向的轻弹簧挤压下处于静止状态。已知弹簧的劲度系数=50N/m，自由长度=40cm，一端固定在圆心O处，弹簧与竖直方向的夹角为37°。取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则下列说法错误的是（　　） A．物块对槽的压力大小是15N B．弹簧对物块的压力大小是5N C．槽对物块的摩擦力大小是6N D．槽对物块的作用力大小是N 【答案】A 【解析】 ABC．由于弹簧被拉长，则弹簧对小物块的弹力为压力，根据胡克定律，有： 对滑块受力分析，受重力、支持力、弹簧的拉力、静摩擦力， 根据共点力平衡条件，切线方向： 径向： 联立解得： A符合题意，BC不符合题意； D．槽对物块的作用力是支持力和静摩擦力的合力，即 D不符合题意。 故选A。 【变式训练18】小球用a、b、c三根弹簧固定，三根弹簧互成角且均在竖直平面内，且弹簧a在竖直方向，如图所示。已知小球静止时三根弹簧的弹力大小均为F，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．三根弹簧均被拉伸 B．三根弹簧均被压缩 C．弹簧a可能被拉伸 D．小球的质量为 【答案】D 【解析】 三根弹簧互成角且弹力大小相等均为F，小球平衡时b、c弹力的合力必在竖直方向上，所以b、c两弹簧同为拉伸或压缩，两弹力的合力 且三弹簧的弹力的合力等于小球重力mg，即 等式左侧只能取“”，且合力竖直向上，故弹簧a的弹力向上，弹簧被压缩，b、c两弹簧的合力向上，弹簧被拉伸，选项A、B、C均错误；由 可得，小球质量 ABC错误， D正确。 故选D。 【变式训练19】（多选）如图17所示，小球a的质量为小球b质量的一半，分别与轻弹簧A、B和轻绳相连接并处于平衡状态．轻弹簧A与竖直方向夹角为60°，轻弹簧A、B伸长量刚好相同，则下列说法正确的是(　　) 图17 A．轻弹簧A、B的劲度系数之比为3∶1 B．轻弹簧A、B的劲度系数之比为2∶1 C．轻绳上拉力与轻弹簧A上拉力的大小之比为2∶1 D．轻绳上拉力与轻弹簧A上拉力的大小之比为∶2 【答案】AD 【解析】设轻弹簧A、B伸长量都为x，小球a的质量为m，则小球b的质量为2m.对小球b，由平衡条件，弹簧B中弹力为x＝2 mg；对小球a，由平衡条件，竖直方向x＋mg＝xcos60°，联立解得＝3，选项A正确，B错误；水平方向，轻绳上拉力F＝xsin60°，选项C错误，D正确． 【变式训练20】如图所示，三个相同的轻质弹簧连接在O点，弹簧1的另一端固定在天花板上，且与竖直方向的夹角为30°，弹簧2水平且右端固定在竖直墙壁上，弹簧3的另一端悬挂质量为m的物体且处于静止状态，此时弹簧1、2、3的形变量分别为x1、x2、x3，则(　　) A.x1∶x2∶x3＝∶1∶2 B.x1∶x2∶x3＝2∶1∶ C.x1∶x2∶x3＝1∶2∶ D.x1∶x2∶x3＝∶2∶1 【答案】B 【解析】 　对弹簧的结点受力分析可知：kx1cos 30°＝kx3，kx1sin 30°＝k x2，联立解得x1∶x2∶x3＝2∶1∶。选项B正确。 【变式训练21】两个中间有孔的质量为的小球A、B用一轻弹簧相连，套在一根光滑水平杆上。两个小球下面分别连有一轻弹簧。两轻弹簧下端系在同一小球C上，如图所示。已知小球C的质量为m，三根轻弹簧的劲度系数都为k，三根轻弹簧刚好构成一个等边三角形。则下列说法错误的是（　　） A．水平杆对质量为的小球的支持力为 B．连接质量为m的小球的轻弹簧的弹力为 C．连接质量为m的小球的轻弹簧的伸长量为 D．套在光滑水平杆上的轻弹簧的形变量为 【答案】B 【详解析】A．选择整体为研究的对象，则它们在竖直方向只受到重力的作用与杆的支持力，由二力平衡，则有 解得故A正确，不符合题意； BC．对三个小球分别进行受力分析，由对称性可知，左右弹簧对C的拉力大小相等，与合力的方向之间的夹角是，所以得由胡克定律得，连接质量为m小球的轻弹簧的伸长量故B错误，符合题意，C正确，不符合题意； D．对A进行受力分析，则水平方向受到水平弹簧向左的弹力与F1的水平分力的作用，由受力平衡得 同理，对B进行受力分析得所以弹簧的弹力是，套在水平光滑横杆上的轻弹簧的形变量故D正确，不符合题意。故选B。 【变式训练22】（多选）粗糙水平面上、、、四个相同小物块用四根完全相同的轻弹簧连接，正好组成一个等腰梯形，系统静止。之间、之间以及之间的弹簧长度相同且等于之间弹簧长度的一半。之间弹簧弹力大小为之间弹簧弹力大小的一半。若受到的摩擦力大小为，则（　　） A．之间的弹簧一定是压缩的 B．受到的摩擦力大小为 C．受到的摩擦力大小为 D．受到的摩擦力大小为 【答案】ABC 【解析】 由题可知本题考查力的平衡和弹簧的弹力。 【详解】 A．设弹簧的原长为，之间弹簧的长度为，则之间弹簧长度为，因为之间弹簧弹力大小为之间弹簧弹力大小的一半，所以有 即有 之间、之间以及之间的弹簧一定是压缩的，选项A正确； B．由对称性可知受到的摩擦力和受到的摩擦力大小相同，等于，选项B正确； CD．对进行受力分析可知其所受摩擦力大小等于间弹簧和间弹簧的合力大小，由于之间、之间的弹簧长度相同且都是压缩的，所以两个弹簧对的弹力大小相等，又因夹角为120°，所以两个弹簧对的弹力大小都为。受到两个弹簧的弹力，大小分别为、，夹角为120°，由平行四边形定则与几何知识可知二者的合力等于，由三力平衡条件可知受到的摩擦力大小为，同理受到的摩擦力大小也为，选项C正确，D错误。 故选ABC。 【变式训练23】如图20所示,质量为2m的物体A通过一轻质弹簧与地面上的质量为3m的物体B相连,弹簧的劲度系数为k,一条不可伸长的轻绳绕过定滑轮,一端连物体A,另一端连一质量为m的物体C,物体A、B、C都处于静止状态.已知重力加速度为g,忽略一切摩擦. (1)求物体B对地面的压力大小; (2)把物体C的质量改为5m,则C缓慢下降,经过一段时间系统达到新的平衡状态,这时B仍没离开地面,且C只受重力和绳的拉力作用,求此过程中物体A上升的高度. 图20 【答案】(1)4mg　(2) 【解析】(1)对物体C,根据平衡条件得,轻绳拉力FT=mg, 对A、B整体,根据平衡条件得FT+FN=5mg, 解得地面对B的支持力FN=4mg, 则物体B对地面的压力FN '=FN=4mg. (2)对C,有FT'=5mg, 对A,有FT'=Fk+2mg, 所以Fk =3mg,即k x1 =3mg, 解得弹簧伸长量为x1 =, 设开始时弹簧的压缩量为x2,有k x2 =2mg-FT, 解得x2=, 所以A上升的高度为hA= x1+ x2=. 【变式训练24】如图所示，轻质弹簧上端固定，下端与小球A连接，小球A通过细线与小球B连接。整体静止时弹簧的长度为L。现对小球A施加一个水平向右的恒力，并对小球B施加一个水平向左的同样大小的恒力，最后达平衡时弹簧的长度记为。则下列说法正确的是（　　） A．，弹簧仍竖直 B．，弹簧向右偏 C．，弹簧向右偏 D．，弹簧向左偏 【答案】A 【解析】 对AB的整体分析，水平方向的两个恒力的合力为零，即水平方向相当不受力，则弹簧L仍保持竖直；竖直方向弹簧的弹力等于AB的重力之和，则弹簧的弹力不变，长度不变。 故选A。 【变式训练25】如图所示，两块固定且相互垂直的光滑挡板POQ，OP竖直放置，OQ水平，小球a、b连接在轻弹簧的两端，现有一个水平向左的推力作用于b上，使a、b紧靠挡板处于静止状态。现用力F推动小球b，使之缓缓到达b′位置，则（　　） A．推力F变大 B．b对OQ的压力变大 C．弹簧长度变短 D．弹簧长度变长 【答案】D 【解析】 CD．隔离a分析受力，设此时ab间作用力与水平方向上的夹角为θ，如图所示： 由力的平衡条件可得： 将小球稍微向左水平移动一小段距离，当a、b重新处于静止状态时，由几何关系可知，θ增大，则sinθ、tanθ增大，mg不变时F′减小，N减小，根据胡克定律可知弹簧的形变量变小，所以弹簧长度变长，故D正确，C错误； AB．对ab的整体受力分析如下图所示： 由共点力的平衡条件可知，a、b重新处于静止状态前后，OQ面板对b的支持力始终和a、b的重力相等保持不变，推力F=N在减小，故AB错误。 故选D。 【变式训练26】如图所示，轻绳AO绕过光滑的定滑轮，一端与斜面上的物体A相连，另一端与轻弹簧右端及轻绳BO上端的结点O相连，轻弹簧轴线沿水平方向，斜面体、物块A和悬挂的物块B均处于静止状态．轻绳的OC段与竖直方向的夹角为θ，斜面倾角为α，物块A和B的质量分别为mA、mB．弹簧的劲度系数为k，下列说法正确的是 A．弹簧的伸长量为 B．地面对斜面体的摩擦力大小，方向水平向右 C．若将斜面体向右移动一小段后，调整物块A的位置，使轻弹簧的轴线仍然沿水平方向，物块A受到的摩擦力增大 D．若沿水平方向移动斜面体，保持轻弹簧轴线沿水平方向，系统处于静止状态，则斜面体对地面的压力与A的位置无关 【答案】D 【解析】 A．对结点O处受力分析，设绳的拉力为T，设伸长量为，有：，解得：，A错误 B．通过A选项分析：，解得绳的拉力：，对斜面体和A整体受力分析：绳的拉力对整体水平分力由摩擦力平衡，所以摩擦力为：，B错误 C．根据B选项的分析绳的拉力,斜面体右移，变大，T变大，但由于两物体质量未知，所以A受摩擦力方向无法判断，故A受摩擦力大小变化无法确定，C错误 D．对A与斜面体整体竖直方向受力分析，设地面对斜面体的支持力为N，斜面体质量M，，因为，解得：，与无关，D正确 【变式训练27】（多选）如图，固定在水平地面上的斜面体，左、右斜面倾角分别为 30°、60°，质量相等的物块P、Q 通过一轻弹簧和轻质细绳相连，细绳跨过光滑的定滑轮，整个系统处于静止状态。现对 Q 施加始终与右侧轻绳垂直的拉力 F，使 Q 缓慢移动至右绳水平，P 仍保持静止不动，弹簧始终在弹性限度内，除了P与斜面间的摩擦外，其余摩擦均不计。下列说法正确的是（　　） A．拉力 F 先变大后变小 B．弹簧长度先减小后增加 C．P 所受摩擦力先减小后增大 D．斜面对 P 的作用力先变小后变大 【答案】CD 【解析】 AB．Q离开斜面后，设F与竖直方向的夹角为，有 逐渐减小，所以绳子拉力逐渐减小，即弹簧的拉力减小，F逐渐增大。AB错误； C．施加拉力之前，对P有 即P受到沿斜面向下的摩擦力，随着弹簧拉力的减小，P受到的摩擦力逐渐减小，当右绳水平时，弹簧拉力为零，则P 受到的摩擦力沿斜面向上，所以P受到的摩擦力先沿斜面向下减小，再沿斜面向上增大，C正确； D．斜面对 P 的作用力为斜面的支持力及摩擦力，因为支持力不变，所以当摩擦力先减小再增大时，斜面对 P 的作用力先变小后变大。D正确。 故选CD。 【变式训练28】（多选）如图所示，倾角为的斜面体c置于水平地面上，小盒b置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体a连接，连接b的一段细绳与斜面平行，连接a的一段细绳竖直，a连接在竖直固定在地面的弹簧上，现在b盒内缓慢加入适量砂粒，a、b、c始终位置保持不变，下列说法中正确的是(　　) A．b对c的摩擦力可能先减小后增大 B．地面对c的支持力一定增大 C．c对地面的摩擦力方向始终向左 D．弹簧一定处于压缩状态 【答案】AB 【解析】 A．由于不知道b的重力沿着斜面方向的分力与细线拉力的大小关系，故不能确定静摩擦力的方向，故随着沙子质量的增加，静摩擦力可能增加、可能减小，也有可能先减小后增大，故A正确； B．以b与c组成的整体为研究对象，整体受到重力、支持力以及绳子向右上方的拉力、地面的摩擦力，在b盒内缓慢加入适量砂粒后，竖直向下的重力增大，而其他的力不变，所以整体受到的支持力一定增大，故B正确； C．以b与c组成的整体为研究对象，整体受到重力、支持力，若绳子有向右上方的拉力，则地面对c有摩擦力，整体位置不变，水平方向除摩擦力外，只有绳子的拉力有一个向右的分力，所以可知地面对c的摩擦力的方向向左，由牛顿第三定律可知，c对地面的摩擦力方向向右，故C错误； D．如果绳子对a的拉力是大于a的重力，则弹簧处于拉伸状态，而如果绳子对a的拉力是小于a的重力，则弹簧处压缩状态，故D错误。 故选AB。 【变式训练29】（多选）一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C（劲度系数为k）、锁舌D（倾斜角θ=45°）、锁槽E以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示．设锁舌D的侧面与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力Ffm由Ffm=μFN（FN为正压力）求得．有一次放学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不能将门关上（这种现象称为自锁），此刻暗锁所处的状态的俯视图如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x，下列说法正确的是（　　） A．自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向向右 B．锁舌D在水平面内共受到4个力的作用 C．自锁时锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小为 D．无论用多大的力拉门,暗锁仍然能够保持自锁状态,则至少为 【答案】AD 【解析】 由题意可知考查暗锁“自锁”时舌头的受力分析，根据力平衡条件计算可得． 【详解】 AB． 锁舌D在水平面内受底部的摩擦力f1、弹簧的弹力2个力的作用，锁舌D的下表面所受到的最大静摩擦力为f1，其方向向右，如图所示，故A正确，B错误； CD．设锁舌D受到锁槽E的最大静摩擦力为f2，正压力为N，下表面的正压力为F，弹力为kx，由平衡条件： kx+ f1+ f2cosθ-Nsinθ=0 F-Ncosθ- f2sinθ=0 又f1=μF　　 F2=μN 联立上述方程得： N= 令N趋向于无穷大，则有 1-2μ-μ2=0 解得μ=-1，故C错误、D正确． 【点睛】 锁舌有向左运动的趋势，故下表面受的摩擦力为静摩擦力，方向向右；对锁舌进行受力分析，根据平衡条件分别在互相垂直的方向上列方程，根据摩擦力计算公式fm=μN，联立方程组求解；无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，说明正压力N无穷大，根据N的表达式求解μ即可．此题关键是对锁舌进行正确的受力分析，解决共点力平衡问题的关键就是对研究对象进行受力分析，不能多力，不能漏力，各个力的方向不能错． 【变式训练30】如图所示，两木块A、B质量均为m，用劲度系数为k、原长为L的轻弹簧连在一起，放在倾角为α的传送带上，两木块与传送带间的动摩擦因数均为μ，用与传送带平行的细线拉住木块A，传送带按图示方向匀速转动，两木块处于静止状态，重力加速度为g.求： (1)A、B两木块之间的距离； (2)剪断细线瞬间，A、B两木块加速度分别为多大． 【答案】　(1)L＋ (2)2g(sin α＋μcos α)　0 【解析】　(1)隔离B木块受力分析，由平衡条件可得 F弹＝mgsin α＋μmgcos α 由胡克定律F弹＝kΔx得两木块间的距离为 LAB＝L＋Δx＝L＋ (2)剪断细线瞬间弹簧弹力不变，对木块B由牛顿第二定律得F弹－(mgsin α＋μmgcos α)＝maB 解得aB＝0. 对于木块A有F弹＋μmgcos α＋mgsin α＝maA 解得aA＝2g(sin α＋μcos α)． 【变式训练31】如图所示，在光滑的水平杆上穿两个重力均为2 N的球A、B，在两球之间夹一弹簧，弹簧的劲度系数为10 N/m，用两条等长的线将球C与A、B相连，此时弹簧被压短了10 cm，两条线的夹角为60°，求： (1)杆对A球的支持力的大小； (2)C球的重力大小。 【答案】　(1)(2＋) N　(2)2 N 【解析】　(1)对A球受力分析如图甲所示， 由胡克定律可得，弹力F＝kx＝1 N， 由共点力平衡可得，FTcos 60°＝F，FN＝G＋FTsin 60° 联立解得FT＝2 N，FN＝(2＋) N 　　　　　　 甲　　　　　　　　　　　　　乙 (2)对C球受力分析如图乙所示， 由平衡条件可得，2FTsin 60°＝GC 解得GC＝2 N 题型04：相似三角形法解弹簧问题 【典型例题1】如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑的半球形容器底部处O（O为球心），弹簧另一端与质量为m的小球相连，小球静止于P点。已知容器半径为R、与水平面间的动摩擦因数为μ，OP与水平方向的夹角为θ＝30°求轻弹簧对小球的作用力大小为多少，圆弧面对小球的支持力？ 【答案】：设弹簧对小球的支持力为F2圆弧对小球的支持力为F1， F1= F2=mg 【解析】：如图所示，对小球受力分析，将小球所受的力放下封闭的三角形中，根据相似三角形对应边成比例：，由题意可知：OP=OO,=O,P，故： F1= F2=mg 【变式训练1】（多选）如图所示，质量均为的小球、用劲度系数为的轻弹簧相连，球用长为的细绳悬于点，球固定在点正下方，当小球平衡时，绳子所受的拉力为，弹簧的弹力为；现把、间的弹簧换成原长相同但劲度系数为的另一根轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为，弹簧的弹力为，则下列关于与、与大小之间的关系，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B C 【解析】以小球为研究对象，分析受力情况，如图所示： 由平衡条件可知，弹簧的弹力和绳子的拉力的合力与重力大小相等，方向相反，即，作出力的示意图，由三角形相似得： ， 又由题知，，得： ， ， 故绳子的拉力只与小球的重力有关，与弹簧的劲度系数无关，所以得到； 当弹簧劲度系数变大时，弹簧的压缩量减小，故长度增加，故； 故A、D错误，B、C正确； 故选：BC。 【变式训练2】如图8所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片．若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为(　 　)． 图8 A．kL B．2kL C.kL D.kL 【答案】D 【解析】对裹片受力分析，由相似三角形可得： ＝得：F＝ 则裹片对弹丸的最大作用力为F丸＝F＝，故选项D正确． 【变式训练3】如图所示，光滑的大圆环固定在竖直平面上，圆心为点，为环上最高点。轻弹簧的一端固定在点，另一端拴接一个套在大环上的小球，小球静止在图示位置。下列说法正确的是（    ） A．弹簧可能处于压缩状态 B．弹簧的弹力小于球的重力 C．大圆环对小球的弹力方向可能指向点 D．小球受到弹簧的弹力与重力的合力一定指向点 【答案】D 【解析】若弹簧处于压缩状态，弹簧对小球的弹力方向沿弹簧向外，还受到重力和圆环对小球指向圆心的弹力，这三个力不可能平衡，所以弹簧处于伸长状态，受力如图所示 可知大圆环对小球的弹力方向背离圆心点，小球受到弹簧的弹力与重力的合力一定指向点；根据相似三角形可得 由于 可知弹簧的弹力大于球的重力。 故选D。 【变式训练4】如图所示，在半圆形光滑凹槽内，两轻质弹簧的下端固定在槽的最低点，另一端分别与小球、相连．已知两球在图示、位置静止．则下列说法中正确的是（ ） A． 若两球质量相同，则球对槽的压力较小 B． 若两球质量相同，则两球对槽的压力大小相等 C． 若球的质量大，则弹簧的劲度系数大 D． 若球的质量大，则弹簧的弹力大 【答案】BD 【解析】对两小球受力分析如图所示， 都是受重力、支持力和弹簧的弹力三个力，两小球静止，受力平衡，根据平行四边形定则作平行四边形，有几何关系可知：，，则有：，，即支持力始终与重力相等，若两球质量相等，重力相等，则所受支持力相等，对槽的压力必然相等，故A错误、B正确；得：，得：，由图可知，又，则，根据胡克定律，两弹簧的形变量未知，则劲度系数的大小关系无法确定，故C错误，D正确．故选BD． 点睛：此题主要考查了同学们受力分析的能力，根据根据平行四边形定则做出力的平行四边形，能找到力三角形和几何三角形的相似关系，列式即可解答． 题型05：弹簧与牛顿第二定律 【典型例题1】(多选)质量分别为2 kg和3 kg的物块A、B放在光滑水平面上并用轻质弹簧相连,如图所示。今对物块A、B分别施以方向相反的水平力F1、F2,且F1=20 N,F2=10 N,则下列说法正确的是(　　)。 A.弹簧的弹力大小为16 N B.若把弹簧换成轻质绳,则绳对物体的拉力大小为零 C.如果只有F1作用,则弹簧的弹力大小变为12 N D.若F1=10 N,F2=20 N,则弹簧的弹力大小不变 【答案】AC 【解析】对两个物体整体运用牛顿第二定律,有-=(+)a;再对物体A运用牛顿第二定律有-F=a,由两式解得F=16N,A项正确。若把弹簧换成轻质绳,同理根据牛顿第二定律列式得到绳对物体的拉力大小也是16N,故B项错误。如果只有作用,整体向左匀加速运动,则对B研究得弹簧的弹力大小F'=a=·=12N,C项正确。若=10N, =20N,则-=(+)a;再对物体B受力分析得-F″=a,解得F″=14N,D项错误。 【典型例题2】如图所示，足够长的、倾角为的光滑斜面上，档板C与斜面垂直。质量均为m的A、B两相同物块与劲度系数为k的轻弹簧两端相连，在C的作用下处于静止状态。现给A施加沿斜面向上的恒力F，使A、B两物块先后开始运动。已知弹簧始终在弹性限度内，下列判断正确的是　　 A. 恒力F的值一定大于mg B. 物块B开始运动时，物块A的加速度为 C. 物块B开始运动时，A发生位移的值为 D. 当物块B的速度第一次最大时，弹簧的形变量为 【答案】B 【解析】物块B开始运动时，弹簧的弹力大小，此时A可能在做减速运动，则有，选项A错误；物块B开始运动时，由牛顿运动定律，物块A的加速度为，故选项B正确；初始时弹簧的压缩量物块B开始运动时，弹簧的伸长量，所以A发生位移的值为，选项C错误；当物块B的速度第一次最大时，合力为零，则有，可得弹簧的形变量，选项D错误。此题正确选项为B。 【名师点评】本题是含有弹簧的力学问题，关键分析弹簧的状态，根据平衡条件求得弹簧的压缩的和伸长的长度，采用隔离法分析两个物体的受力情况。 【变式训练1】如图5所示，质量分别为2m和3m的两个小球静止于光滑水平面上，且固定在劲度系数为k的轻质弹簧的两端．今在质量为2m的小球上沿弹簧轴线方向施加大小为F的水平拉力，使两球一起做匀加速直线运动，则稳定后弹簧的伸长量为(　　) A.B.C.D. 【答案】　C 【解析】　对整体分析，整体的加速度a＝，对质量为3m的小球分析，根据牛顿第二定律有：F弹＝kx＝3ma，可得x＝，故A、B、D错误，C正确． 【变式训练2】一轻弹簧两端分别连接物体a、b，在水平力作用下共同向右做匀加速运动，如图13所示，在水平面上时，力为F1，弹簧长为L1，在斜面上时，力为F2，弹簧长为L2，已知a、b两物体与接触面间的动摩擦因数相同，则轻弹簧的原长为( 　)． 图13 A.　　 B. C.　　D. 【答案】C 【解析】设物体a、b的质量分别为、，与接触面间的动摩擦因数为μ，弹簧原长为，在水平面上时，以整体为研究对象有－μ(＋)g＝(＋)a，① 隔离a物体有k(－)－μg＝a，② 联立解得k(－)＝，③ 同理可得k(－)＝，④ 联立③④可得轻弹簧的原长为＝，C对． 【变式训练3】如图7所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝6kg的物体P，Q为一质量为m2＝10kg的物体，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600N/m，系统处于静止状态．现给物体Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后F为恒力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求： (1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量x0； (2)物体Q从静止开始沿斜面向上做匀加速运动的加速度大小a； (3)力F的最大值与最小值． 【答案】　(1)0.16m　(2)m/s2　(3)N　N 【解析】(1)设开始时弹簧的压缩量为， 对整体受力分析，平行斜面方向有(＋)gsinθ＝kx0 解得＝0.16m. (2)前0.2s时间内F为变力，之后为恒力，则0.2s时刻两物体分离，此时P、Q之间的弹力为零且加速度大小相等，设此时弹簧的压缩量为， 对物体P，由牛顿第二定律得： k－gsinθ＝a 前0.2s时间内两物体的位移： －＝a 联立解得a＝m/. (3)对两物体受力分析知，开始运动时拉力最小，分离时拉力最大，则 ＝(＋)a＝N 对Q应用牛顿第二定律得 －gsinθ＝a 解得＝ (gsinθ＋a)＝N. 题型06:弹簧的瞬时性 【典型例题1】如图所示，质量均为m的物块a、b之间用竖直轻弹簧相连，系在a上的细线竖直悬挂于固定点O，a、b与竖直粗糙墙壁接触，整个系统处于静止状态。重力加速度大小为g，则（　　） A．弹簧弹力小于mg B．细线的拉力可能等于mg C．剪断细线瞬间物块b的加速度大小为g D．剪断细线瞬间物块a的加速度大小为2g 【答案】D 【解析】 A．物块b受力平衡，故弹簧弹力等于mg。故A错误； B．整个系统受力平衡，则细线的拉力等于2mg。故B错误； C．剪断细线瞬间物块b的受力没有变化，加速度大小为零。故C错误； D．剪断细线瞬间物块a所受细线拉力消失，其他力没变化，则有 可得加速度大小为2g。 故选D。  【典型例题2】如图所示，吊篮A、物体B、物体C的质量均为m，B和C分别固定在竖直弹簧两端，弹簧的质量不计，重力加速度大小为g。整个系统在轻绳悬挂下处于静止状态，现将悬挂吊篮的轻绳剪断，在轻绳刚断的瞬间，下列说法正确的是（　　）    A．A、C间的弹力大小为0.5mg B．物体B的加速度大小为g C．物体C的加速度大小为2g D．吊篮A的加速度大小为3g 【答案】A 【解析】B．在轻绳刚断的瞬间，弹簧的弹力不能突变，则物体B受力情况不变，故物体B的加速度大小为零，故B错误； CD．将C和A看成一个整体，根据牛顿第二定律得 ， 解得 即A、C的加速度均为1.5g，故CD错误； A．轻绳刚断的瞬间，吊篮A受到重力和物体C对吊篮A的作用力，对吊篮A有 得 故A正确。 故选A。 【典型例题3】如图所示，轻绳一端连接一质量为m的物体，另一端固定在左侧竖直墙壁上，轻绳与竖直墙壁间夹角为，物体右侧与一轻弹簧相连，轻弹簧另一端固定于右侧竖直墙壁上，此时物体对光滑地面的压力恰好为零，重力加速度，则 A. 此时物体受四个力作用 B. 若突然撤去弹簧的瞬间，物体向左加速运动 C. 若突然剪断轻绳的瞬间，物体受2个力作用 D. 若突然剪断轻绳的瞬间，物体的加速度大小为 【答案】D 【解析】A.此时物体对地面的压力恰好为零，由受力分析可知物体受重力mg、绳子拉力F和弹簧弹力个力作用，故A错误；B.若突然撤去弹簧的瞬间，轻绳中张力发生突变，物体受重力和地面的支持力的作用，保持静止，故B错误；剪断绳子前，，，若突然剪断轻绳的瞬间，物体受重力、支持力、弹簧弹力三个力，则此时物体所受合力大小为：，联立解得，故C错误，D正确。故选D。   【典型例题4】如图所示，A、B两小球分别用轻质细绳L1和轻弹簧系在天花板上，A、B两小球之间用一轻质细绳L2连接，细绳L1、弹簧与竖直方向的夹角均为θ，细绳L2水平拉直，现将细绳L2剪断，则细绳L2剪断瞬间，下列说法正确的是(　　) A. ＝g sin θ B. ＝g tan θ C．＝g sin θ D．＝g tan θ 【答案】AD 【解析】将细绳L2从中间剪断后，甲球做圆周运动，剪断细绳的瞬间，加速度方向沿轨迹的切线方向；对A由牛顿第二定律得mg sin θ＝m，解得＝g sin θ。弹簧的弹力不可突变，将细绳L2从中间剪断瞬间，对B球，由牛顿第二定律得mg tan θ＝m，解得＝g tan θ，故选项A、D正确。 【变式训练1】如图所示，轻弹簧上端与一质量为m的木块1相连，下端与另一质量为M的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态．现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1，2的加速度大小分别为、重力加速度大小为则有：（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】木板未抽出时，木块1受重力和弹簧弹力两个力并且处于平衡状态，弹簧弹力大小等于木块1的重力，；木块2受重力、弹簧向下的压力和木板的支持力作用，由平衡条件可知，木板对木块2的支持力的大小等于两木块的总重力；撤去木板瞬间，弹簧形变量不变，故产生的弹力不变，因此木块1所受重力和弹簧弹力均不变，故木块1仍处于平衡状态，即加速度；而木块2不再受木板支持力作用，只受重力和弹簧弹力作用，，解得，故C正确，ABD错误。故选C。   【变式训练2】多选质量分别为1kg和2kg的物块A、B放在光滑水平面上并用轻质弹簧相连，如图所示，今用大小为的力作用在A上使AB相对静止一起向左匀加速运动，则下列说法正确的是 A. 弹簧的弹力大小等于8N B. 弹簧的弹力大小等于6N C. 突然撤去F瞬间，A的加速度大小为0 D. 突然撤去F瞬间，B的加速度大小为 【答案】BD 【解析】由牛顿第二定律得：对系统：，对B：，故A错误，B正确；撤去F的瞬间，弹簧的弹力不变，由牛顿第二定律得：对A：， 对B：，故C错误，D正确。故选BD。  【变式训练3】如图所示，质量分别为m和3m的A、B两物块，用一轻弹簧相连，将A用轻绳悬挂于天花板上，用一木板托住物块B。调整木板的位置，当系统处于静止状态时，悬挂A物块的悬绳恰好伸直且没有拉力，此时轻弹簧的形变量为x，突然撤去木板，重力加速度为g，物块运动过程中，弹簧始终在弹性限度内，则下列说法正确的是（　　）    A．撤去木板瞬间，B物块的加速度大小为g B．撤去木板瞬间，B物块的加速度大小为0.5g C．撤去木板后，B物块向下运动3x时速度最大 D．撤去木板后，B物块向下运动4x时速度最大 【答案】D 【解析】AB．撤去木板瞬间，B物块受到的合力为4mg，由牛顿第二定律可知 解得 故AB错误； CD．当B物块受到的合外力为零时，速度最大，此时 又 所以弹簧此时的伸长量 即B物块向下运动4x时速度最大，故D正确，C错误。 故选D。 【变式训练4】.如图所示，质量为m的小球被水平绳AO和与竖直方向成θ角的轻弹簧系着处于静止状态，现将绳AO烧断，在绳AO烧断的瞬间，下列说法正确的是(　　) A．弹簧的拉力F＝ B．弹簧的拉力F＝mg sin θ C．小球的加速度为零 D．小球的加速度a＝g sin θ 【答案】A 【解析】 烧断AO之前，小球受三个力，受力分析如图所示，弹簧的弹力F＝，烧断绳的瞬间，绳的张力没有了，但由于轻弹簧形变的恢复需要时间，故弹簧的弹力不变，A正确，B错误；烧断绳的瞬间，小球受到的合力与绳子的拉力等大反向，即＝mg tan θ，则小球的加速度a＝g tan θ，则C、D错误。 【变式训练5】（多选）如图所示，A、B两球质量相等，平衡时甲图中弹簧长度与乙图中细绳OB长度相等，乙图中弹簧长度与甲图中细绳OA长度相等，且OA水平，乙图中弹簧水平，甲图中弹簧与竖直方向的夹角和乙图中OB与竖直方向的夹角都为，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙图中两弹簧弹力大小之比为 B. 剪断OA绳瞬间，小球A的加速度大小为 C. 剪断乙图弹簧瞬间，小球B的加速度大小为 D. 将甲图中OA绳剪断，乙图中弹簧剪断后，两小球各自运动到悬点正下方时，小球A速度大 【答案】BC 【解析】A.A、B受力如图，A、B弹簧弹力为和，细绳拉力为和，由受力平衡知，，，，所以，两弹簧弹力之比为，故A错误；B.剪断OA瞬间，弹簧弹力不变，A受到的合力与等大反向，所以加速度为，故B正确；C.剪断乙图弹簧，小球B沿绳子方向的加速度为0，沿绳子切线方向的加速度为，故C正确；D.将甲图中OA绳剪断，乙图中弹簧剪断后，两小球各自运动到悬点正下方时，A、B的速度大小关系不能确定，故D错误。故选BC。   【变式训练6】（多选）如图所示，水平地面上放有一带支架的木板，质量为m的小球通过轻质弹簧悬挂在支架的O点。现通过细线对小球施加一水平拉力，在拉力作用下轻弹簧与竖直方向成角，系统保持静止。重力加速度为g。当剪断细线的瞬间，下列判断正确的是（　　）    A．小球的加速度为零 B．小球的加速度大小为，方向水平向右 C．地面对木板的摩擦力为零 D．地面对木板的摩擦力大小为，方向水平向右 【答案】BD 【解析】间断细线前，根据平衡有 绳中拉力 当剪断细线的瞬间，弹簧弹力不变，合力与拉力等大反向，所以根据牛顿第二定律可知小球的加速度为 ，方向水平向右 对木板分析，木板水平方向受到的摩擦力平衡弹力水平向左的分力 ，方向水平向右 故选BD。 【变式训练7】（多选）如图所示，质量为m的球与弹簧Ⅰ和水平细线Ⅱ相连，Ⅰ、Ⅱ的另一端分别固定于P、Q两点。球静止时，Ⅰ中拉力大小为T1，Ⅱ中拉力大小为T2，当仅剪断Ⅰ、Ⅱ中的一根的瞬间，球的加速度a应是(　　) A．若剪断Ⅰ，则a＝g，方向竖直向下 B．若剪断Ⅱ，则a＝，方向水平向左 C．若剪断Ⅰ，则a＝，方向沿Ⅰ的延长线 D．若剪断Ⅱ，则a＝g，方向竖直向上 【答案】AB 【解析】若剪断Ⅰ，则水平细线Ⅱ中的拉力突变为0，则加速度a＝g，方向竖直向下，A正确，C错误；若剪断Ⅱ，则弹簧Ⅰ中的拉力还没有来得及变化，与小球的重力的合力大小为T2，方向水平向左，所以加速度a＝，方向水平向左，B正确，D错误。 【变式训练8】如图所示，质量为m的小球用水平弹簧系住，并用倾角为的光滑木板AB托住，小球恰好处于静止状态。当木板AB突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为 A. 0 B. 大小为，方向垂直木板向下 C. 大小为g，方向竖直向下 D. 大小为，方向水平向右 【答案】B 【解析】木板撤去前，小球处于平衡态，受重力、支持力和弹簧的拉力，如图根据共点力平衡条件，有    其中，解得木板AB突然撤去后，支持力消失，重力和拉力不变，合力等于支持力N，方向与N反向，故加速度为，故选B．   【变式训练9】如图甲、乙所示，细绳拴一个质量为m的小球，小球分别用固定在墙上的轻质铰链杆和轻质弹簧支撑，平衡时细绳与竖直方向的夹角均为，轻杆和轻弹簧均水平。已知重力加速度为g，，。下列结论正确的是    A. 甲、乙两种情境中，小球静止时，细绳的拉力大小均为 B. 甲图所示情境中，细绳烧断瞬间小球的加速度大小为 C. 乙图所示情境中，细绳烧断瞬间小球的加速度大小为 D. 甲、乙两种情境中，细绳烧断瞬间小球的加速度大小均为 【答案】C 【解析】A.甲图中，小球受重力、细绳的拉力及杆的水平向右的弹力三个力作用而处于平衡状态，根据平衡条件可得细绳的拉力大小为，乙图中，小球受重力、细绳的拉力及弹簧水平向右的弹力三个力的作用而处于平衡状态，根据平衡条件可得细绳的拉力大小为，故A错误； 甲图中，烧断细绳的瞬间，杆的弹力产生突变，小球即将以固定在墙上的轻质铰链为圆心在竖直平面内做圆周运动，由于此时杆处于水平且小球的速度为零，不需要提供向心力，则可知杆的弹力突变为零，此时小球所受的合外力等于重力，则可知此时小球的加速度等于重力加速度g；乙图中，没有烧断细绳之前，由平衡条件可得弹簧的弹力大小为，方向水平向右，烧断细绳的瞬间，弹簧的弹力不会突变，则小球的合外力大小为，根据牛顿第二定律可得此小球的加速度大小为，故BD错误，C正确。故选C。   【变式训练10】．如图所示，物块1、2间用刚性轻质杆连接，物块3、4间用轻质弹簧相连，物块1、3质量为m，2、4质量为M，两个系统均置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将两木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，物块1、2、3、4的加速度大小分别为a1、a2、a3、a4.重力加速度大小为g，则有( ) A．a1＝a2＝a3＝a4＝0 B．a1＝a2＝a3＝a4＝g C．a1＝a2＝g，a3＝0，a4＝g D．a1＝g，a2＝g，a3＝0，a4＝g 【答案】C 【解析】在抽出木板的瞬间，物块1、2与刚性轻杆接触处的形变立即消失，受到的合力均等于各自重力，所以由牛顿第二定律知＝＝g；而物块3、4间的轻弹簧的形变还来不及改变，此时弹簧对3向上的弹力大小和对物块4向下的弹力大小仍为mg，因此物块3满足mg＝F弹则＝0由牛顿第二定律得物块4满足 a4＝＝g综上所述，ABD错误，C正 【变式训练11】（多选）如图所示，质量均为的物块A、B用轻弹簧相连放置于倾角为的光滑固定斜面上，物块B与垂直于斜面的挡板C接触，物块A系一轻质细绳，细绳、轻弹簧均与斜面平行，细绳绕过斜面顶端的轻质光滑定滑轮系一重物D，静止时物块B恰好不离开挡板此时弹簧在弹性限度内。已知弹簧的劲度系数，重力加速度，则下列分析正确的是 A. 若在与物块A接触处剪断弹簧，则剪断瞬间A的加速度大小为 B. 若在与物块A接触处剪断弹簧，则剪断瞬间A的加速度大小为 C. 若剪断细绳，则剪断瞬间A的加速度大小为 D. 若剪断细绳，则剪断瞬间A的加速度大小为 【答案】AD 【解析】剪断弹簧前，对A和B组成的整体受力分析，由，得重物D的质量；在与物块A接触处剪断弹簧，以A和D组成的整体为研究对象，A和D加速度大小为，由牛顿第二定律：，得，故A正确，B错误；剪短细绳前，对B受力分析：；剪断细绳瞬间，细绳拉力消失，弹簧弹力不变，对A受力分析，由牛顿第二定律有：，解得，故C错误，D正确。故选AD。   【变式训练12】如图所示，在倾角的光滑固定斜面上，物块A、B质量均为m，物块A与轻弹簧相连，物块B用平行于斜面的细线与斜面顶端相连，A，B静止且两者之间的弹力大小为，重力加速度为g，，，某时刻把细线剪断，下列说法正确的是（ ） A. 细线剪断前，细线的拉力大小为 B. 细线剪断前，弹簧弹力大小为 C. 细线剪断瞬间，A，B之间的弹力大小为 D. 细线剪断瞬间，A，B之间的弹力大小为 【答案】D 【解析】A.细线剪断前，对物块B受力分析，设绳子拉力为T，根据B受力平衡得：，解得：故A错误；B.细线剪断前，对物块A受力分析，设弹簧弹力为F，根据A受力平衡得：，解得：，故B错误细线剪断瞬间弹簧保持原状，弹力保持不变，对AB整体受力分析，设加速度为a，根据牛顿第二定律得：，解得，隔离物体B受力分析，设此时A，B之间的弹力大小为为，根据牛顿第二定律得：，代入解得，故D正确，C错误；故选D。   【变式训练13】（多选）光滑斜面上，当系统静止时，挡板C与斜面垂直，弹簧、轻杆均与斜面平行，A、B质量相等。在突然撤去挡板的瞬间，下列说法正确的是 A. 两图中两球加速度均为 B. 两图中A球的加速度均为零 C. 图甲中B球的加速度为 D. 图乙中B球的加速度为 【答案】CD 【解析】选CD 撤去挡板前，对整体分析，挡板对B球的弹力大小都为2 mg sin 。因弹簧弹力不能突变，而杆的弹力会突变，所以撤去挡板瞬间：图甲中A球所受合力为零，加速度为零，B球所受合力为2 mg sin ，加速度为2 g sin ；图乙中杆的弹力突变为零，A、B两球所受合力均为mg sin ，加速度均为g sin ，故C、D正确，A、B错误。 【变式训练14】多选如图所示，质量均为的物块A、B用轻弹簧相连放置于倾角为的光滑固定斜面上，物块B与垂直于斜面的挡板C接触，物块A系一轻质细绳，细绳、轻弹簧均与斜面平行，细绳绕过斜面顶端的轻质光滑定滑轮系一重物D，静止时物块B恰好不离开挡板此时弹簧在弹性限度内。已知弹簧的劲度系数，重力加速度，则下列分析正确的是 A. 若在与物块A接触处剪断弹簧，则剪断瞬间A的加速度大小为 B. 若在与物块A接触处剪断弹簧，则剪断瞬间A的加速度大小为 C. 若剪断细绳，则剪断瞬间A的加速度大小为 D. 若剪断细绳，则剪断瞬间A的加速度大小为 【答案】AD 【解析】剪断弹簧前，对A和B组成的整体受力分析，由，得重物D的质量；在与物块A接触处剪断弹簧，以A和D组成的整体为研究对象，A和D加速度大小为，由牛顿第二定律：，得，故A正确，B错误；剪短细绳前，对B受力分析：；剪断细绳瞬间，细绳拉力消失，弹簧弹力不变，对A受力分析，由牛顿第二定律有：，解得，故C错误，D正确。故选AD。   【变式训练15】．如图，倾角为30°、质量为的斜面体置于光滑水平面上。轻弹簧的上端固定在斜面体的顶端A处，下端拴一质量为的小球。现让系统在水平恒力F的作用下以加速度大小为水平向左做匀加速直线运动。已知重力加速度大小为g，静止时弹簧与斜面平行，不计一切摩擦和空气阻力。若突然撤去力F，在撤去力F的瞬间，假设小球与斜面之间的弹力不变，则（　　）    A．弹簧的弹力大小为 B．小球对斜面的压力大小为 C．斜面体的加速度大小为 D．小球的加速度大小为0 【答案】C 【解析】AB．在力F作用下，由于 恰好等于，说明小球恰好不离开斜面，弹簧拉力 撤去力F的瞬间，弹簧弹力不发生突变，仍为，小球受力不变，小球对斜面的压力大小为零，故AB错误； D．小球受力不变，加速度不变，仍为，故D错误； C．斜面体的加速度大小设为a，则 解得 故C正确。 故选C。 【变式训练16】．（多选）如图所示，A、B、C三个物体分别用轻绳和轻弹簧连接，放置在倾角为θ的光滑斜面上，当用沿斜面向上的恒力F作用在物体A上时，三者恰好保持静止，已知A、B、C三者质量相等，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．在轻绳被烧断的瞬间，C的加速度大小为0 B．在轻绳被烧断的瞬间，B的加速度大小为 C．剪断弹簧的瞬间，C的加速度大小为 D．突然撤去外力F的瞬间，A的加速度大小为0 【答案】AC 【解析】A．在轻绳被烧断瞬间， C的受力保持不变，所以C的加速度为零，故A正确； B．对C，根据平衡条件可得 对B，根据牛顿第二定律可得 解得 故B错误； C．剪断弹簧的瞬间，对C，根据牛顿第二定律有 解得 故C正确； D．突然撤去外力F的瞬间，对整体AB，由牛顿第二定律可得 解得 故D错误。 故选AC。 题型07：弹簧与动量 【典型例题1】如图所示，质量为3m的小物块B静止放在光滑水平面上，左端固定一轻质弹簧，弹簧劲度系数为k，质量为m的小物块A以初速度v0与弹簧碰撞并压缩弹簧，经时间t物块A、B速度大小相同，此过程中小物块B运动的位移为d，之后弹簧弹开，已知两物块始终在同一直线上运动，v0t＝d0，下列说法中正确的是（　　） A．当弹簧恢复原长时，物块A、B的速度相同 B．从开始压缩弹簧到弹簧压缩到最短，A物块的位移为d0﹣3d C．从开始压缩弹簧到弹簧完全弹开，弹簧的最大弹力为4kd D．从开始压缩弹簧到弹簧完全弹开，经历的时间为3t 【解答】解：A、从物块A与弹簧接触到分离过程，以向右为正方向， 根据动量守恒定律有：m＝m+3m 由机械能守恒定律有： 联立解得：， 由此可知，A、B速度大小相等，但方向相反，故A错误； B、弹簧压缩到最短时，A、B共速，根据动量守恒有：m＝（m+3m）v 解得： 根据牛顿第二定律，A、B加速度任意时刻之比都为3：1，故平均加速度之比也为3：1 对B，参照匀变速运动规律有：d 那么对A：＝t﹣3d，故B正确； C、弹簧的压缩量为：Δx＝﹣＝﹣3d﹣d＝﹣4d，最大弹力为k•Δx＝k（﹣4d）≠4kd，故C错误； D、从压缩弹簧到弹簧完全弹开，物块B速度由0增大至，与由增大至的过程中受到的弹力对称，速度变化相同，故两段时间相同，从开始压缩弹簧到弹簧恢复原长，经历的时间为2t，故D错误。 故选：B。 【变式训练1】如图所示，静止在光滑水平桌面上的物块A和B用一轻质弹簧栓接在一起，弹簧处于原长。一颗子弹沿弹簧轴线方向射入物块A并留在其中，射入时间极短。下列说法正确的是（　　） A．子弹射入物块A的过程中，两物块的动量守恒 B．子弹射入物块A的过程中，子弹对物块A的冲量大小大于物块A对子弹的冲量大小 C．子弹射入物块A的过程中，子弹和物块A的机械能守恒 D．两物块运动过程中，弹簧最短时的弹性势能等于弹簧最长时的弹性势能 【解答】解：A、子弹射入物块A的过程中，物块A受到子弹的摩擦力作用，两物块的合外力不为零，动量不守恒，故A错误； B、子弹射入物块A的过程中，子弹对物块A的作用力与物块A对子弹的作用力是一对相互作用力，等大反向，作用时间相等，由I＝Ft知子弹对物块A的冲量大小等于物块A对子弹的冲量大小，故B错误； C、子弹射入物块A的过程中，有摩擦生热，子弹和物块A的机械能不守恒，故C错误； D、两物块运动过程中，弹簧最短时与弹簧最长时都是两物体具有共同速度，设两物块的共同速度为v。取水平向右为正方向，由动量守恒定律得： ＝（++）v 可知弹簧最短时和弹簧最长时两物块的共同速度相同，系统的总动能相同。子弹射入A之后，系统的机械能守恒，可知弹簧最短时的弹性势能等于弹簧最长时的弹性势能，故D正确。 故选：D。 【变式训练2】如图甲所示，在光滑水平面上的轻质弹簧一端固定，物体A以速度v0向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x；现让该弹簧一端连接另一质量为m的物体B（如图乙所示），静止在光滑水平面上。物体A以2v0的速度向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x。已知整个过程弹簧处于弹性限度内，则（　　） A．物体A的质量为2m B．物体A的质量为6m C．弹簧压缩量为最大值x时的弹性势能为 D．弹簧重新恢复原长时，物体B的动量大小为 【解答】解：AB．图甲中，根据能量转化与守恒得： 图乙中，最大压缩量相同，此时弹性势能等于图甲中弹性势能，两物体速度相等，对图乙中AB物体有 以v0为正方向，由动量守恒定律得： mA•2v0＝（mA+m）v 由能量守恒定律得： 解得：mA＝3m，故AB错误； C．根据AB选项解得： ，故C正确； D．A、B组成的系统动量守恒，设弹簧重新恢复原长时A的速度大小为vA，B的速度大小为vB， 以向右为正方向，由动量守恒定律得：mA•2v0＝mAvA+mvB 由机械能守恒定律得： 解得：vA＝v0，vB＝3v0， 物体B的动量大小pB＝3mv0，故D错误。 故选：C。 【变式训练3】如图所示，A、B和C是光滑水平面上的三个质量都为m的相同的小球，其中B、C两小球用不计质量的轻质弹簧连接后静止在水平面上。现A球以速度v0沿B、C两球球心的连线向B球运动，碰后A、B两球粘在一起。对A、B、C及弹簧组成的系统，下列说法正确的是（　　） A．机械能守恒，动量不守恒 B．弹簧的最大弹性势能等于 C．三球速度相等时，弹簧一定处于压缩状态 D．三球速度相等后，速度将保持不变 【解答】解：以向右的方向为正， A、对A、B、C及弹簧组成的系统，其所受合外力为零，动量守恒；AB碰撞过程中有能量损失，机械能不守恒，故A错误； B、以向右方向为正，A、B碰撞前后动量守恒，设粘在一起时速度为v共，有：mv0＝2mv共 A、B整体和C通过弹簧作用时第一次达到共速v的过程，根据动量和能量守恒有：2mv共＝3mv， 联立解得弹簧的最大弹性势能为：，故B正确； CD、A与B碰撞后AB一起压缩弹簧，弹簧对C产生向左的弹力，则AB做减速运动，C做加速运动，当三个小球速度第一次相等时，弹簧处于压缩状态；随后C的速度继续增大、AB球的速度逐渐减小，弹簧压缩量减小，随后弹簧被拉伸，当三球速度第二次相等时，弹簧伸长到最大。所以当三球速度相等后，弹簧有弹力，AB与C的合力不为零，速度仍将变化，故CD错误。 故选：B。 【变式训练4】在距地面高为h的水平光滑桌面上放置着质量均为m的A、B两个物体（A、B可视为质点，开始时B离桌面左端足够远），A的左端紧紧插入一质量不计的弹簧，弹簧保持水平。现给A一个水平向左的瞬时冲量I，A获得一个初速度之后通过弹簧和B发生正碰，问： （1）A获得的初速度v0大小； （2）B脱离弹簧后，到达桌面左边缘，并沿桌面飞出，求其落地速度v大小。 【解答】解：（1）对A分析，根据动量定理有： I＝mv0 解得： （2）A与B通过弹簧发生弹性碰撞，B脱离弹簧时，弹簧恢复原长，碰撞过程动量守恒，能量守恒，取水平向左为正方向，则有 解得： B做平抛过程机械能守恒，则有： 解得： 答：（1）A获得的初速度为； （2）B脱离弹簧后，到达桌面左边缘，并沿桌面飞出，其落地速度为。 题型08：与弹簧有关的能量问题 【典型例题1】（多选）如图甲所示，轻弹簧下端固定在倾角37°的粗糙斜面底端A处，上端连接质量3kg的滑块（视为质点），斜面固定在水平面上，弹簧与斜面平行。将滑块沿斜面拉动到弹簧处于原长位置的D点，由静止释放到第一次把弹簧压缩到最短的过程中，其加速度a随位移x的变化关系如图乙所示，重力加速度取10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是 A.滑块先做匀加速后做匀减速运动 B.滑块与斜面间的动摩擦因数为0.1 C．弹簧的劲度系数为180 N/m D.滑块在最低点时，弹簧的弹性势能为3.12 J 【答案】BD 【解析】本题考查了运动过程分析、牛顿第二定律、胡克定律、功能关系及其相关知识点，意在考查从图像中获取信息能力、分析综合能力、应用数学知识解决物理问题能力，体现的核心素养是运动和力的观念、能量观念和科学思维能力。 由图乙可知，物块运动的加速度先减小后增大，滑块先做加速度逐渐减小的加速运动，后做加速度逐渐增大的减速运动，选项A错误；将滑块沿斜面拉动到弹簧处于原长位置的D点，由静止释放时，弹簧弹力为零，由图乙可知，其加速度为a1=5.2m/s2，根据牛顿第二定律，mgsin37°-μmgcos37°=ma1，解得.滑块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.1，选项B正确；当滑块位移为x=0.2m时，弹簧沿斜面向上的弹力F=kx，物块加速度a2=-5.2m/s2，根据牛顿第二定律，mgsin37°-μmgcos37°-F=ma2，解得弹簧的劲度系数为k=156 N/m，选项C错误；对由静止释放到第一次把弹簧压缩到最短的过程中，由功能关系，mgsin37°x-μmgcos37°x=Ep，滑块滑块在最低点时，弹簧的弹性势能为Ep =3.12 J，选项D正确。 【易错警示】解答此题常见错误主要有：一是把图乙的加速度随位移变化图像误认为是速度随时间变化图像，导致错选A；二是没有通过分析运动，分析受力，利用牛顿运动定律列方程得出滑块与斜面间的动摩擦因数，导致漏选B；三是没有根据滑块位移为x=0.2m时，正确应用牛顿第二定律列方程得出弹簧的劲度系数，导致错选C；四是没有正确运用功能关系得出滑块在最低点时弹簧的弹性势能，导致漏选D。 【典型例题2】一物块由O点下落，到A点时与直立于地面的轻弹簧接触，到B点时速度达到最大，到C点时速度减为零，然后被弹回．物块在运动过程中受到的空气阻力大小不变，弹簧始终在弹性限度内，则物块(　　) A. 从A下降到B的过程中，合力先变小后变大 B. 从A下降到C的过程中，加速度先增大后减小 C. 从C上升到B的过程中，动能先增大后减小 D. 从C上升到B的过程中，系统的重力势能与弹性势能之和不断增加 【答案】C 【解析】从A下降到B的过程中，物块受到重力和弹簧向上的弹力，重力大于弹力，弹力逐渐增大，合力逐渐减小，加速度逐渐变小，到B点时速度达到最大，此时重力和弹簧的弹力大小相等，合力为零，故A错误。从A下降到B的过程中，弹簧的弹力小于重力，物块的合力向下，合力方向与速度方向相同，物块的速度增大。从B下降到C的过程中，弹簧的弹力大于重力，物块的合力向上，合力方向与速度方向相反，物块的速度减小，则从A下降到C的过程中，速度先增大后减小，故B正确。从C上升到B的过程中，物块受到重力和弹簧向上的弹力，弹力大于重力，合力向上，合力方向与速度方向相同，则物块的速度增大，动能增大，故C错误。对于物块和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹力做功，所以系统的机械能守恒，即物块的动能、重力势能与弹性势能之和保持不变，从C上升到B的过程中，物块的动能增大，则系统的重力势能与弹性势能之和不断减小，故D错误。  【关键点拨】。 对物块正确受力分析，结合弹力的变化情况来分析合力的变化情况，再根据合力方向与速度方向的关系，判断速度的变化情况，从而确定动能的变化情况。根据系统的机械能守恒分析系统的重力势能与弹性势能之和变化情况。解决本题的关键要抓住弹簧弹力的可变性，判断合力的变化情况，从而判断出物块速度的变化情况。 【典型例题3】如图所示，固定斜面AB与水平面之间由一小段光滑圆弧连接，倾角为α，斜面的高度OB=h．细线一端固定在竖直挡板上，另一端连接一质量为m的小物块，在小物块和挡板之间压缩一轻质弹簧（小物块与弹簧不连接）。烧断细线，小物块被弹出，滑上斜面AB后，恰好能运动到斜面的最高点。已知AC=1，小物块与水平面、斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，则（　　） A. 细线烧断前弹簧具有的弹性势能为mgh+μmg+μmghcotα B. 在此过程中产生的内能为mgh+μmgl+μmghcotα C. 弹簧对小物块做功为μmgH+μmghcotα D. 在此过程中斜面对小物块的摩擦力做功为 【答案】A 【解析】根据能量守恒定律可知，细线烧断前弹簧具有的弹性势能等于物块在B点的重力势能和产生的内能之和，即为：Ep=mgh+μmg+μmgcosα•=mgh+μmg+μmghcotα，故A正确。 在此过程中产生的内能等于物块克服摩擦力做的功，为Q=μmg+μmgcosα•=μmg+μmghcotα，故B错误。 弹簧对小物块做功等于细线烧断前弹簧具有的弹性势能，为mgh+μmg+μmghcotα，故C错误。 在此过程中斜面对小物块的摩擦力做功为=-μmg-μmgcosα•=-μmg-μmghcotα，故D错误。 【关键点拨】 根据能量守恒定律求细线烧断前弹簧具有的弹性势能。在此过程中产生的内能等于小物块克服摩擦力做的功。根据动能定理求弹簧对小物块做功。根据功的公式求斜面对小物块的摩擦力做功。 解答本题的关键要知道物体在运动过程中存在着哪些形式的能的转化，知道做功过程中功是能量转化的量度。 【典型例题4】（多选）如图所示，长为L的轻弹簧AB两端等高地固定在竖直墙面上，弹簧刚好处于原长．现在其中点O处轻轻地挂上一个质量为m的物体P后，物体向下运动，当它运动到最低点时，弹簧与竖直方向的夹角为θ，若取初始位置为零重力势能面、重力加速度为g，则下列说法中正确的是(　　) A. 物体向下运动的过程中，加速度先减小，后增大 B. 物体在最低点时，AO部分弹簧对物体的拉力大小为 C. 物体在最低点时，弹簧的弹性势能为 D. 若换用劲度系数较小的弹簧，则弹簧的最大弹性势能增大 【答案】ACD　 【解析】 物体向下运动，弹簧弹力增大，所受合外力减小，加速度减小，方向向下，当加速度为零时，重力和弹簧弹力的合力相等，速度最大，物体继续向下运动，弹簧弹力增大，合力增大，加速度增大，方向向上，到达最低点时速度为零，故加速度先减小后增大，A正确；当加速度为零时，重力和弹簧弹力的合力相等，物块继续向下运动，弹簧弹力增大，弹簧弹力的合力F大于重力，则有2F cos θ>mg，解得F>，故B错误；根据能量守恒定律，物体在最低点时，速度为零，动能为零，物块减小重力势能转化为弹簧的弹性势能，由几何关系得物块下降的高度h＝，故弹簧的弹性势能为ΔE弹＝mgh＝，C正确；若换用劲度系数较小的弹簧，则物体下落的高度将比原来增大，根据功能关系弹簧的最大弹性势能增大，D正确． 【变式训练1】.如图所示.轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A静止于光滑水平桌面上，右端接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。开始时用手托住B，让细线恰好伸直然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是（ ） A.B物体的动能增加量等于B物体重力势能的减少量 B.B物体机械能的减少量等于弹簧的弹性势能的増加量 C. A的动能先增大后减小 D.细线拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量 【答案】D 【解析】 由于A、B和弹簧系统机械能守恒，所以B物体重力势能的减少量等于A、B增加的动能以及弹性势能，故选项A错误；整个系统机械能守恒，所以B物体杋楲能减少量等于A物体与弹簧机械能的增加，故选项B错误；根据动能定理可以知道，合力对A做正功，则物块A的速度增加，即动能增加，故选项C错误。根据功能关系除重力和弹簧弹力以外的力即绳子的拉力等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量，故选项D正确；所以本题正确的选项为D 【变式训练2】（多选）如图所示，一根粗细均匀的光滑细杆竖直固定，质量为m的小环C穿在细杆上，一个光滑的轻质小滑轮D固定在竖直墙上（竖直墙在图中没有画出）。A、B两物体用轻弹簧相连，竖直放在水平面上。一根没有弹性的轻绳，一端与A连接，另一端跨过小滑轮D与小环C相连。小环C位于M时，绳子与细杆的夹角为θ，此时B物体刚好对地面无压力。现让小环C从M点由静止释放，当下降h到达N点时，绳子与细杆的夹角再次为θ，环的速度达到v，下面关于小环C下落过程中的描述正确的是（　　） A. 小环C和物体A组成的系统机械能守恒 B. 当小环落到与滑轮同一高度时，小环的机械能最大 C. 小环C到达N点时A的速度为vcosθ D. 小环C到达N点时物体A的动能为mgh-mv2 【答案】BCD 【解析】小环C、物体A和轻弹簧组成的系统中，只有动能、重力势能和弹性势能间的转化，系统机械能守恒，故A错误；小环C下落过程受重力、杆的支持力和细线的拉力，非重力做功等于机械能的变化量；到位置S前的过程中，非重力做正功，机械能增加；经过S的过程，非重力做负功，机械能减小；故下落到位置S时，小环C的机械能一定最大，故B正确；小环C到达N点时环的速度达到v，根据关联速度可知A的速度为vcosθ，故C正确；小环C到达N点时，弹簧做为零，根据动能定理有：mgh=m+，故物体A的动能为：=mgh-m，故D正确。 【关键点拨】。 小环、物体A、物体B、弹簧系统中只有动能和势能的转化，系统机械能守恒，根据功能关系分析机械能变化情况；根据关联速度求解到达N点时的A的速度；根据动能定理求C到达N点时A的动能。 题考查系统机械能守恒，关键结合机械能守恒定律和运动的分解列式分析，难点时物体多，要结合功能关系分析小环的机械能的变化情况。 【变式训练3】如图所示，半径为R的光滑大圆环用一细杆固定在竖直平面内，质量为m的小球A套在大圆环上。上端固定在杆上的轻质弹簧与质量为m的滑块B连接井一起套在杆上，小球A和滑块B之间用长为2R的轻杆分别通过铰链连接，当小球A位于圆环最高点时、弹簧处于原长；此时给A一个微小扰动（初速度视为0），使小球A沿环顺时针滑下，到达环最右侧时小球A的速度为为重力加速度。不计一切摩擦，A、B均可慢为质点，则下列说法正确的是　　 A. 小球A、滑块B和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能守恒 B. 小球A从圆环最高点到达环最右侧的过程中滑块B的重力能减小 C. 小球A从圆环最高点到达环最右侧的过程中小球A的重力势能减小了 D. 小球A从圆环最高点到达环最右侧的过程中弹簧的弹性势能增加了 【答案】D 【解析】小球A、滑块B、轻杆和轻弹簧组成的系统在下滑过程中，只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒，则知小球A、滑块B和轻杆组成的系统机械能不守恒，故A错误；小球A从圆环最高点到达圆环最右侧的过程中，此时滑块B距离圆心的高度为，滑块B下落的高度为，滑块B的重力势能减小了，故B错误；小球A从圆环最高点到达圆环最右侧的过程中，小球A下落的高度为R，所以小球A的重力势能减小了mgR，故C正确；小球A从圆环最高点到达圆环最右侧时，两个小球的速度方向都向下，如图所示，根据运动的合成与分解可得：，则，根据机械能守恒定律可得：，解得：，所以小球A从圆环最高点到达圆环最右侧的过程中弹簧的弹性势能增加了，故D正确； 【关键点拨】 小球A、滑块B、轻杆和轻弹簧组成的系统机械能守恒；由几何关系求出小球A从圆环最高点到达圆环最右侧的过程中滑块B下落的高度、A下落的高度，由此求解滑块B的重力势能减小量、A的重力势能减少量；根据系统的机械能守恒求解小球A从圆环最高点到达圆环最右侧的过程中弹簧的弹性势能增加量。 本题的关键要掌握机械能守恒的条件以及功能关系；要知道机械能守恒定律的守恒条件是系统除重力或弹力做功以外，其它力对系统做的功等于零；除重力或弹力做功以外，其它力对系统做多少功，系统的机械能就变化多少；注意运动过程中机械能和其它形式的能的转化关系。 【变式训练4】（多选）质量相等的两木块A、B用一轻弹簧拴接，静置于水平地面上，如图(a)所示。现用一竖直向上的力F拉动木块A，使木块A向上做匀加速直线运动，如图(b)所示。从木块A开始做匀加速直线运动到木块B将要离开地面时的这一过程(设此过程弹簧始终处于弹性限度内)，下列说法正确的是 (　　) A.力F一直增大 B.弹簧的弹性势能一直减小 C.木块A的机械能一直增大 D.木块A、B和轻弹簧组成的系统的机械能先增大后减小 【答案】A、C 【解析】最初弹簧被压缩，木块A受到竖直向上的弹力等于重力，A受到重力，向上的弹力T以及向上的拉力F，根据牛顿第二定律可知F+T-mg=ma，随着A的运动，弹簧的弹力T在逐渐减小，所以F在增大，弹簧恢复原长后被拉长，则F-T-mg=ma ，随着A的运动弹力T在增大，所以F也在增大，故A正确；在A上升过程中，弹簧从压缩到伸长，所以弹簧的弹性势能先减小后增大，故B错误；在上升过程中因为物体A做匀加速运动，所以物体A的速度增大，高度升高，则木块A的动能和重力势能之和增大，故C正确；在上升过程中，除重力与弹力做功外，还有拉力做正功，所以两木块A、B和轻弹簧组成的系统的机械能一直增大故D错误；故选A、C。 【变式训练5】（多选）如图所示，倾角为30°的光滑斜面底端固定一轻弹簧，O点为原长位置。质量为0.5kg的滑块从斜面上A点由静止释放，物块下滑并压缩弹簧到最短的过程中，最大动能为8J．现将物块由A点上方0.4m处的B点由静止释放，弹簧被压缩过程中始终在弹性限度内，g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．A点到O点的距离小于3.2m B．从B点释放后滑块运动的最大动能为9J C．从B点释放滑块被弹簧弹回经过A点的动能小于1J D．从B点释放弹簧最大弹性势能比从A点释放增加了1J 【答案】AB 【解析】本题考查弹性势能、机械能守恒定律及其相关知识点。 物块从O点时开始压缩弹簧，弹力逐渐增大，开始阶段弹簧的弹力小于滑块的重力沿斜面向下的分力，物块做加速运动。后来，弹簧的弹力大于滑块的重力沿斜面向下的分力，物块做减速运动，所以物块先做加速运动后做减速运动，弹簧的弹力等于滑块的重力沿斜面向下的分力时物块的速度最大，在最大速度时弹簧压缩△x= mgsin30°/k。设A点到O点的距离为，由机械能守恒定律，+＝mg(△x+)sin30°，最大动能为8J，弹性势能=k△= mgsin30°·△x，解得=3.2m-△x，即A点到O点的距离小于3.2m ，选项A正确；设从B点释放后滑块运动的最大动能为，动能最大时弹簧的弹性势能为．从A释放到动能最大的过程，由系统的机械能守恒得：+Ep＝mg(△x+)sin30°…①，从B释放到动能最大的过程，由系统的机械能守恒得：+＝mg(△x++0.4) sin30°…②，由②﹣①得：﹣＝mg（0.4）sin30°，解得从B点释放滑块最大动能为：Ek2＝Ek1+mg（0.4）sin30°＝8J+0.5×10×0.4×0.5J＝9J，选项B正确；由于斜面光滑，对从B点释放滑块被弹簧弹回经过A点的过程，根据机械能守恒，mg(△x++0.4) sin30°=+ mg(△x+)sin30°，解得经过A点的动能＝mg（0.4）sin30°＝0.5×10×0.4×sin30°J＝1J，选项C错误；根据物块和弹簧的系统机械能守恒知，弹簧最大弹性势能等于物块减少的重力势能，由于从B点释放弹簧的压缩量增大，所以从B点释放弹簧最大弹性势能比从A点释放增加为：△Ep＞mg（0.4）sin30°＝0.5×10×0.4×0.5J＝1J，选项D错误。 【方法归纳】对于包含弹簧在内的系统，讨论机械能守恒问题，要考虑弹簧弹性势能。弹性势能公式虽然不要求，但是我们可以根据弹力做功的图像面积得出弹性势能。 【变式训练6】（多选）如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L，B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长．现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°，A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g．则此下降过程中（　　） A. A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于 mg B. A的动能最大时，B受到地面的支持力等于 mg C. 弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下 D. 弹簧的弹性势能最大值为 mgL 【答案】A,B 【解析】A的动能最大时，设B和C受到地面的支持力大小均为F，此时整体在竖直方向受力平衡，可得2F=3mg，所以F= ；在A的动能达到最大前一直是加速下降，处于失重情况，所以B受到地面的支持力小于 mg，故A、B正确； 当A达到最低点时动能为零，此时弹簧的弹性势能最大，A的加速度方向向上，故C错误； A下落的高度为：h=Lsin60°﹣Lsin30°，根据功能关系可知，小球A的机械能全部转化为弹簧的弹性势能，即弹簧的弹性势能最大值为=mgh= mgL，故D错误． 【分析】A的动能最大时受力平衡，根据平衡条件求解地面支持力，根据超重失重现象分析A的动能达到最大前，B受到地面的支持力大小；根据功能关系分析弹簧的弹性势能最大值． 【变式训练7】如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m、套在光滑竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长．圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，重力加速度为g，则下列说法不正确的是(　　) A. 由A到C的过程中，圆环的加速度先减小后增大 B. 由A到C的过程中，圆环的动能与重力势能之和先增大后减少 C. 由A到B的过程中，圆环动能的增加量小于重力势能的减少量 D. 在C处时，弹簧的弹性势能为mgh 【答案】B 【解析】圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，所以圆环先做加速运动，再做减速运动，经过B处的速度最大，所以经过B处的加速度为零，所以加速度先减小，后增大，故A正确。圆环的动能、重力势能和弹性势能之和守恒，因由A到C的过程中，弹性势能逐渐变大，则圆环的动能与重力势能之和逐渐减少，选项B错误；由A到B的过程中，因圆环的动能、重力势能和弹性势能之和守恒，则弹性势能和动能增加量之和等于重力势能的减小量，则圆环动能的增加量小于重力势能的减少量，选项C正确；研究圆环从A处由静止开始下滑到C过程，由动能定理得：mgh -=0-0=0，则=mgh，故D正确；故选B. 【变式训练8】（多选）把质量是0.2kg的小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A的位置，如图甲所示；迅速松手后，弹簧把球弹起，球升至最高位置C（图丙）途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态（图乙）．已知B、A的高度差为0.1m，C、B的高度差为0.2m，弹簧的质量和空气阻力均忽略不计．重力加速度g=10m/s2，则有（　　） 　 A．小球从A上升至B的过程中，弹簧的弹性势能一直减小，小球的动能一直增加 　 B．小球从B上升到C的过程中，小球的动能一直减小，势能一直增加 　 C．小球在位置A时，弹簧的弹性势能为0.6J 　 D．小球从位置A上升至C的过程中，小球的最大动能为0.4J 【答案】.BC 【解析】球从A上升到B位置的过程中，先加速，当弹簧的弹力k△x=mg时，合力为零，加速度减小到零，速度达到最大，之后小球继续上升弹簧弹力小于重力，球做减速运动，故小球从A上升到B的过程中，动能先增大后减小，A错误；小球从B到C的过程中，小球的弹力小于重力，故小球的动能一直减小；因小球高度增加，故小球的重力势能增加；故B正确；根据能量的转化与守恒，小球在图甲中时，弹簧的弹性势能等于小球由A到C位置时增加的重力势能：Ep=mgAC=0.2×10×0.3=0.6J；故C正确；由于无法确定小球受力平衡时的弹簧的形变量，故无法求出小球的最大动能；故D错误． 【变式训练9】（多选）如图所示，在水平光滑地面上有A、B两个木块，A、B之间用一轻弹簧连接．A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间弹簧压缩并处于静止状态．若突然撤去力F，则下列说法中正确的是（   ） A. 木块A离开墙壁前，A，B和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒 B. 木块A离开墙壁前，A，B和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒 C. 木块A离开墙壁后，A，B和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒 D. 木块A离开墙壁后，A，B和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒 【答案】B,C 【解析】撤去F后，木块A离开竖直墙前，竖直方向两物体所受的重力与水平面的支持力平衡，合力为零；而墙对A有向右的弹力，所以系统的合外力不为零，系统的动量不守恒．这个过程中，只有弹簧的弹力对B做功，系统的机械能守恒．故A错误，B正确． A离开竖直墙后，系统水平方向不受外力，竖直方向外力平衡，所以系统所受的合外力为零，系统的动量守恒，只有弹簧的弹力做功，系统机械能也守恒．故C正确、D错误． 【分析】根据系统动量守恒的条件：系统不受外力或所受合外力为零，分析系统所受的外力情况，判断动量是否守恒．根据是否是只有弹簧的弹力做功，判断系统的机械能是否守恒． 【变式训练10】（多选）在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻弹簧相连接的物块A、B，它们的质量均为m，弹簧劲度系数为k，C为一固定挡板，系统处于静止状态。现用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，当物块B刚要离开C时，A的速度为v，则此过程(弹簧的弹性势能与弹簧的伸长量或压缩量的平方成正比，重力加速度为g)(　　) A．物块A运动的距离为 B．物块A加速度为 C．拉力F做的功为mv2 D．拉力F对A做的功等于A的机械能的增加量 【答案】AD　 【解析】初始时刻以A为研究对象分析受力可知弹簧弹力＝mgsin θ，故可知此时弹簧的压缩量为x1＝＝，同理，当物体B刚要离开C时，以物体B为研究对象分析受力可知弹簧弹力＝mgsin θ，此时弹簧的伸长量为＝，所以可知物体A运动的距离x＝＋＝，故选项A正确；此时再以物体A为研究对象分析受力有F－mgsin θ－mgsin θ＝ma，故其加速度为a＝－2gsin θ，所以选项B错误；对系统初末状态而言，弹簧的弹性势能没有改变，根据动能定理有，－mgxsin θ＝m，则＝m＋mgxsin θ＝Δ，所以选项C错误、D正确。 【变式训练11】（多选）如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，一质量为m=0.2kg的小球，从弹簧上端某高度处自由下落，从它接触弹簧到弹簧压缩至最短的过程中（弹簧始终在弹性限度内），其速度v和弹簧压缩量△x之间的函数图象如图乙所示，其中A为曲线的最高点，小球和弹簧接触瞬间机械能损失不计，取g=10m/s2，则下列说法正确的是（ ） A．小球刚接触弹簧时速度最大 B．当△x=0.3m时，小球处于超重状态 C．该弹簧的劲度系数为20.0N/m D．从接触弹簧到压缩至最短的过程中，小球的加速度先减小后增大 【答案】BCD 【解析】由小球的速度图象知，开始小球的速度增大，说明小球的重力大于弹簧对它的弹力，当△x为0.1m时，小球的速度最大，然后减小，说明当△x为0．1m时，小球的重力等于弹簧对它的弹力．所以可得：k△x=mg，解得：，选项A错误；C正确；弹簧的最大缩短量为△x=0.3m，所以弹簧弹力为 F=20N/m×0.3m=6N>mg，故此时物体的加速度向上，物体处于超重状态，选项B正确；v-t图线的斜率表示物体的加速度，由图线可知从接触弹簧到压缩至最短的过程中，小球的加速度先减小后增大，选项D正确；故选BCD． 【变式训练12】如图所示，两个质量均为m的小滑块P、Q通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，P套在固定的竖直光滑杆上，Q放在光滑水平地面上，轻杆与竖直方向夹角=30°。原长为的轻弹簧水平放置，右端与Q相连，左端固定在竖直杆O点上。P由静止释放，下降到最低点时变为60°。整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中（　　） A．P、Q组成的系统机械能守恒 B．P、Q的速度满足 C．弹簧弹性势能最大值为 D．P达到最大动能时，P对杆的弹力等于0 【答案】C 【解析】 A．根据能量守恒知，P、Q、弹簧组成的系统机械能守恒，而P、Q组成的系统机械能不守恒，选项A错误； B．在下滑过程中，根据速度的合成与分解可知 解得 选项B错误； C．根据系统机械能守恒可得 弹性势能的最大值为 选项C正确； D．P由静止释放，P开始向下做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，P的速度达到最大，此时动能最大，则 即杆的弹力为 不为零，选项D错误。 故选C。 【变式训练13】如图甲所示，长为L的长木板水平放置，可绕左端的转轴O转动，左端固定一原长为的弹簧，一质量为m的小滑块压缩弹簧到图甲中的a点（物体与弹簧不连接），Oa间距离为。将小滑块由静止释放后，木板不动，小滑块恰能到达木板最右端。将木板绕O点逆时针转动37°后固定，如图乙所示，仍将物体由a点静止释放，物体最多运动到离O点3L/4的b点。已知弹簧的弹性势能，其中k为弹性系数，Δx为弹簧的形变量。取sin37°=0.6，cos37°=0.8.下列说法正确的是（　 　） A．物体与木板间的动摩擦因数为 B．物体在a点时，弹簧的弹性势能为 C．长木板水平放置时，物体运动过程中的最大动能为 D．长木板水平放置时，物体运动过程中的最大动能为 【答案】A 【解析】 A．由能量守恒定律 解得 ，A正确； B．物体在a点时，弹簧的弹性势能为 B错误； CD．弹力等于摩擦力时动能最大 解得 由能量守恒定律 解得 ，CD错误。 故选A。 【变式训练14】如图所示，轻质弹簧长为L，竖直固定在地面上，质量为m的小球，在离地面高度为H处，由静止开始下落，正好落在弹簧上，使弹簧的最大压缩量为x，在下落过程中，小球受到的空气阻力为F阻，则弹簧在最短时具有的弹性势能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设弹力对小球做功为W，则小球从开始下落到弹簧达到最大压缩量的过程中，对小球应用动能定理得 解得 根据弹力做功与弹性势能的关系可知，弹簧在压缩最短时具有的弹性势能为 故选A。 【变式训练15】如图所示，质量为M的物体放在水平地面上，物体上方安装一劲度系数为k的轻弹簧，在弹簧处于原长时，用手拉着其上端P点很缓慢地向上移动，直到物体脱离地面向上移动一段距离。在这一过程中，P点的位移为H，则物体重力势能的增加量为（　　） A．MgH B．MgH＋ C．MgH－ D．MgH－ 【答案】C 【解析】 物体离开地面时，弹簧的伸长量 x= 物体上升的距离 h=H－x 则物体重力势能的增加量 ΔEp=Mgh=MgH－ 故选C。 【变式训练16】第一次把它直接拉到A点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功为W2，已知，弹簧始终在弹性限度内，则这两次弹力做功的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 弹簧弹力做的功与弹性势能的关系为 可知，两次弹簧的形变量相等，则 故选D。 【变式训练17】劲度系数分别为和的弹簧A和B连接在一起，拉长后将两端固定，如图，弹性势能、的关系是（　　） A． B． C． D．无法比较、的大小 【答案】B 【解析】 根据牛顿第三定律，A、B弹簧的弹力大小相等。由于 所以弹性势能 又由于 所以 故选B。 【变式训练18】如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，一个光滑弧形槽静止放在足够长的光滑水平面上，弧形槽底端与水平面相切，让一个物块从槽上高h处由静止开始下滑。下列说法正确的是（　　） A．物块沿槽下滑的过程中，物块的机械能守恒 B．物块沿槽下滑的过程中，物块与槽组成的系统动量守恒 C．从物块压缩弹簧到被弹开的过程中，弹簧对物块的冲量等于零 D．物块第一次被反弹后一定不能再次回到槽上高h处 【答案】D 【解析】 AB．物块沿槽下滑过程中，物块与弧形槽组成的系统机械能守恒，水平方向动量守恒，故AB错误； C．从物块压缩弹簧到被弹开的过程中，物块受到的冲量等于物块动量的变化，物体的动量变化量不为零，故物体受到的冲量不为零，C错误； D．物块反弹后追上弧形槽，上升到最高点时，物块和弧形槽具有相同的速度，全过程系统机械能守恒，故物块不能回到槽上高h处，D正确。 故选D。 【变式训练19】轻质弹簧左端固定于竖直墙壁上，右端连接一小球，开始时小球静止在光滑水平直轨道上的O点，如图所示，现将小球沿轨道移到A点后由静止释放，小球运动到B点时速度刚好为零。忽略空气阻力，在小球由A运动到B的过程中，关于小球机械能的变化情况，以下判断正确的是（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】C 【解析】 在小球由A运动到B的过程中，对弹簧和小球组成的系统，在运动过程中该系统机械能守恒，由于在这一运动过程中，弹簧的形变量先减小后增大，则弹簧的弹性势能先减小后增大，故对小球来说，小球的机械能将先增大后减小。 故选C。 【变式训练20】（多选）如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处由静止释放。某同学探究小球在接触弹簧后向下的运动过程，他以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，作出小球所受弹力F大小随小球下落的位置坐标x的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为g。以下判断正确的（　　） A．当x=h+x0时，重力势能与弹性势能之和最小 B．最低点的坐标为x=h+2x0 C．小球受到的弹力最大值等于2mg D．小球动能的最大值为 【答案】AD 【解析】 由图象结合小球的运动过程为：先自由落体运动，当与弹簧相接触后，再做加速度减小的加速运动，然后做加速度增大的减速运动，直到小球速度为零。 A．当x=h+时，弹力等于重力，加速度为零，小球速度最大，动能最大，由于系统机械能守恒，所以重力势能与弹性势能之和最小，A正确； B．根据对称性可知，小球在x=h+2和x=h两个位置的速度大小相等，所以x=h+2不是最低点，B错误； C．根据对称性可知，小球在x=h+2和x=h两个位置的合力大小相等，都等于mg，即小球在x=h+2位置时的弹力等于2mg，该位置不是最低点，所以弹力的最大值大于2mg，C错误； D．当x=h+时，弹力等于重力，加速度为零，小球速度最大，动能最大，从开始下落到x=h+位置，由机械能守恒定律和平衡条件得 解得，D正确。 故选AD。 【变式训练21】（多选）如图甲所示，劲度系数为k的轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处自由下落，接触弹簧后继续向下运动。若以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下建立一坐标轴Ox，小球的速度v随时间t变化的图象如图乙所示。其中OA段为直线，AB段是与OA相切于A点的曲线，BC是平滑的曲线，则关于A、B、C三点对应的x坐标及加速度大小，下列说法正确的是（　　） A．xA＝h，aA＝0 B．xA＝h，aA＝g C．xB＝h＋，aB＝0 D．xC＝h＋，aC＝0 【答案】BC 【解析】 AB．OA段的直线是小球接触到弹簧之前的自由落体运动，AB段的曲线是从接触到弹簧开始，到压缩至弹力与重力等大的运动过程，所以A点处的坐标为h，加速度为g，故A错误，B正确； C．B点处小球的速度达到最大，说明弹簧弹力与重力等大，小球所受合力为零，加速度为零，坐标为，故C正确； D．C点处小球的速度减小到零，弹簧的压缩量达到最大，设压缩量为x，则 解得 故D错误。 故选BC。 【变式训练22】（多选）如图所示，质量均为m的物块A、B用轻弹簧相连，置于光滑水平面上，在水平力F的作用下，弹簧处于压缩状态，A紧压在竖直墙壁上。现撤去力F，在以后的运动过程中B的最大的速度为v，对撤去力F以后的过程，以下说法正确的是（　　） A．物块A离开竖直墙壁之前，竖直墙壁对A的冲量大小为mv B．物块A离开竖直墙壁之前，竖直墙壁对A做功的大小为mv2 C．物块A、B和弹簧组成的系统总动量守恒，机械能守恒 D．物块A的最大速度为v 【答案】AD 【解析】 A．撤去力F，B物块在弹力作用下加速，弹簧恢复原长时，B物块的速度达到最大，此过程中，A、B受到弹簧的弹力大小相等，方向相反，作用时间相同，则A、B的冲量大小相等，由动量定理可知 所以物块A离开竖直墙壁之前，竖直墙壁对A的冲量大小为mv，故A正确； B．物块A离开竖直墙壁之前，由于物块A没有发生位移，则竖直墙壁对A不做功，故B错误； C．此过程中只有系统内的弹力做功，则机械能守恒，但竖直墙壁对A有力的作用，即系统的外力不为0，则系统动量不为0，故C错误； D．弹簧恢复原长时，B物块的速度达到最大，此时系统的总动量为mv，接着B减速，A加速弹簧被拉长，当B物块速度减为0时，A物块速度达最大，由动量守恒定律可知，A的最大速度也为v，故D正确。 故选AD。 【变式训练23】（多选）如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点的过程中（　　） A．重物的机械能减少 B．系统的机械能不变 C．系统的机械能增加 D．系统的机械能减少 【答案】AB 【解析】 A．重物自由摆下的过程中，弹簧拉力对重物做负功，重物的机械能减少。故A正确； BCD．对系统而言，除重力、弹力外，无其他外力做功，故系统的机械能守恒，故B正确，C、D错误。 故选AB。 【变式训练24】（多选）把质量为m的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至A位置，如图甲所示，现将小球从A位置由静止释放，小球被弹簧弹起后升至最高位置C，如图丙所示，途中经过位置B时弹簧正好处于原长状态，如图乙所示，已知A、C两位置高度差为h，弹簧的质量和空气阻力均忽略不计，下列分析正确的是（　　） A．小球从A运动到C的运动过程中它的机械能守恒 B．小球从B运动到C的运动过程中它的机械能守恒 C．小球在位置B时它的动能最大 D．弹簧释放的弹性势能最大值等于mgh 【答案】BD 【解析】 A．小球从A运动到C的运动过程中，由于在AB段弹簧的弹力对它做正功，其机械能增加，A项错误； B．小球从B到C只有重力做功，小球的机械能守恒，B项正确； C．从A到B的过程中小球要先加速后减速，当加速度为零，即弹力与重力大小相等的位置时，速度最大，动能最大，该位置位于AB之间，不在B点，C项错误； D．小球从A到C的过程中，小球受到的重力和弹力做功，故小球和弹簧组成的系统机械能守恒，则弹簧释放的弹性势能最大值等于小球到达C点时的重力势能值，为mgh，D项正确； 故选BD。 【变式训练25】（多选）一升降机箱底部装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦和空气阻力的影响，则升降机在从弹簧下端触地直到最低点的一段运动过程中（　　） A．升降机的速度不断减小 B．升降机的加速度不断变大 C．先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功 D．重力势能减小，弹性势能增大 【答案】CD 【解析】 AB．从弹簧下端触地直到最低点的运动过程中，弹簧的弹力不断变大；当弹力小于重力大小时，升降机加速度方向向下，升降机做加速运动，根据牛顿第二定律可得加速度大小为 可知加速度减小；当弹力大于重力大小时，升降机加速度方向向上，升降机做减速运动，根据牛顿第二定律可得加速度大小为 可知加速度变大，故A、B错误； C．从升降机接触弹簧到速度最大的过程中，动能增大，由动能定理知，合力做功为正，则弹力做的负功小于重力做的正功；从速度最大位置到最低点的过程中，动能减小，由动能定理知，合力做功为负，则弹力做的负功大于重力做的正功，故C正确； D．由于升降机的高度不断下降，则重力势能不断减小，弹簧的压缩量不断增大，则弹性势能不断增大，故D正确； 故选CD。 【变式训练26】（多选）用如图所示实验能验证动量守恒定律，两块小木块A和B中间夹着一轻质弹簧，用细线捆在一起，放在光滑的水平台面上，将细线烧断，木块A、B被弹簧弹出，最后落在水平地面上落地点与平台边缘的水平距离分别为，，实验结果表明下列说法正确的是（　　） A．木块A、B离开弹簧时的速度大小之比 B．木块A、B的质量之比 C．弹簧对木块A、B做功之比 D．木块A、B离开弹簧时的动能之比 【答案】AD 【详解】 A．两个木块被弹出离开桌面后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，因为下落的高度相等，所以运动的时间相等，水平方向上根据公式 x=t 及=1m，=2m得 ：=：=1：2 故A正确； B．弹簧弹开两个物体的过程，对两个木块组成的系统，取向左为正方向，根据动量守恒定律得 -=0 解得 ：=：=2：1 故B错误； CD．由 ：=：=2：1 根据动能的表达式 可得 ：=1：2 根据动能定理，弹簧对木块A、B做功之比 ：=：=1：2 故D正确，C错误。 故选AD。 【典型例题5】如图所示，小车右端有一半圆形光滑轨道BC相切车表面于B点，一个质量为m＝1.0 kg可以视为质点的物块放置在A点，随小车一起以速度v0＝5.0 m/s沿光滑水平面上向右匀速运动．劲度系数较大的轻质弹簧固定在右侧竖直挡板上．当小车压缩弹簧到最短时，弹簧自锁(即不再压缩也不恢复形变)，此时，物块恰好在小车的B处，此后物块恰能沿圆弧轨道运动到最高点C.已知小车的质量为M＝1.0 kg，小车的长度为l＝1.0 m，半圆形轨道半径为R＝0.4 m，物块与小车间的动摩擦因数为μ＝0.2，重力加速度g取10 m/s2.求： (1) 物块在小车上滑行时的加速度a； (2) 物块运动到B点时的速度vB； (3) 弹簧在压缩到最短时具有的弹性势能Ep以及弹簧被压缩的距离x. 【解析】 (1) μmg＝ma a＝μg＝2 m/s2 方向向左 (2) mg＝m 解得＝2 m/s) mg2R＝m－m 解得＝2 m/s (3) 对m：－μmg(l＋x)＝m－m 对M：μmgx－Ep＝0－M Ep＝(M＋m) －m－μmgl 解得Ep＝13 J x＝0.25 m 【典型例题6】如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态．直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)．随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R.已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝，重力加速度大小为g.(取sin 37°＝，cos 37°＝) (1)求P第一次运动到B点时速度的大小； (2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能； (3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点．G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R.求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量． 【解析】：(1)根据题意知，B、C之间的距离为 l＝7R－2R ① 设P到达B点时的速度为，由动能定理得 mglsin θ－μmglcos θ＝m ② 式中θ＝37° 联立①②式并由题给条件得 ＝2. ③ (2)设BE＝x.P到达E点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为Ep.P由B点运动到E点的过程中，由动能定理有 mgxsin θ－μmgxcos θ－Ep＝0－m ④ E、F之间的距离为＝4R－2R＋x ⑤ P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有 Ep－mgsin θ－μmgcos θ＝0 ⑥ 联立③④⑤⑥式并由题给条件得x＝R ⑦ Ep＝mgR. ⑧ (3)设改变后P的质量为m1.D点与G点的水平距离和竖直距离分别为 ＝R－Rsin θ ⑨ ＝R＋R＋Rcos θ ⑩ 式中，已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实． 设P在D点的速度为，由D点运动到G点的时间为t.由平抛运动公式有＝g⑪ ＝t⑫ 联立⑨⑩⑪⑫式得＝ ⑬ 设P在C点速度的大小为.在P由C点运动到D点的过程中机械能守恒，有 ＝＋g ⑭ P由E点运动到C点的过程中，由动能定理有 Ep－g(x＋5R)sin θ－μg(x＋5R)cos θ＝ ⑮ 联立⑦⑧⑬⑭⑮式得＝m. 答案：(1)2　(2)mgR　(3)　m 【变式训练1】如图所示，固定的光滑平台上固定有光滑的半圆轨道，轨道半径R=0.6m。平台上静止着两个滑块A、B，mA=0.1kg，mB=0.2kg，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车，静止在光滑的水平地面。小车质量为M=0.3kg，车面与平台的台面等高，车面左侧粗糙部分长度为L=0.8m，动摩擦因数为μ=0.2，右侧拴接一轻质弹簧，弹簧自然长度所在范围内车面光滑。点燃炸药后，A滑块到达轨道最高点时对轨道的压力大小恰好等于A滑块的重力，滑块B冲上小车。两滑块都可以看作质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，且爆炸后两个物块的速度方向在同一水平直线上，且g=10m/s2。求： (1)滑块在半圆轨道最低点对轨道的压力； (2)爆炸后A与B获得的总动能是多少？ (3)滑块B滑上小车后的运动过程中弹簧的最大弹性势能。 【答案】(1)7N，方向竖直向下；(2)2.7J；(3)0.22J 【解析】 (1)滑块A在最高点时，由牛顿第二定律得 已知最高点滑块对轨道的压力 从半圆轨道最低点到达最高点过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得 在半圆轨道最低点，支持力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得 代入数据解得 ， 由牛顿第三定律可知，滑块在半圆轨道最低点对轨道的压力大小为7N，方向竖直向下； (2)炸药爆炸过程中，A、B系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得 代入数据解得 由能量守恒定律得 代入数据解得 (3)B与车组成的系统动量守恒，B与车的速度相等时弹簧弹性势能最大，以向右为正方向，由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 代入数据解得 【变式训练2】如图所示，带有挡板的长木板置于光滑水平面上，轻弹簧放置在木板上，右端与挡板相连，左端位于木板上的B点。开始时木板静止，小铁块从木板上的A点以速度v0=4.0m/s正对着弹簧运动，压缩弹簧，弹簧的最大形变量xm=0.10m；之后小铁块被弹回，弹簧恢复原长；最终小铁块与木板以共同速度运动。已知当弹簧的形变量为x时，弹簧的弹性势能，式中k为弹簧的劲度系数；长木板质量M=3.0kg，小铁块质量m=1.0kg，k=600N/m，A、B两点间的距离d=0.70m。取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。求： （1）当弹簧被压缩最短时小铁块速度的大小v； （2）小铁块与长木板间的动摩擦因数μ； （3）试通过计算说明最终小铁块停在木板上的位置。 【答案】（1）1.0m/s；（2）；（3）最终小铁块停在木板上A点 【解析】 （1）当弹簧被压缩最短时，小铁块与木板达到共同速度v，根据动量守恒定律 代入数据解得 （2）由功能关系，摩擦产生的热量等于系统损失的机械能 代入数据，解得 （3）小铁块停止滑动时，与木板有共同速度，由动量守恒定律判定，其共同速度仍为设小铁块在木板上向左滑行的距离为，由功能关系 代入数据，解得 而，所以最终小铁块停在木板上A点。 【变式训练3】如图所示，静止放置在光滑水平面上的A、B、C三个滑块，滑块A、B间通过一水平轻弹簧相连，滑块A左侧紧靠一固定挡板P，某时刻给滑块C施加一个水平冲量使其以初速度v0水平向左运动，滑块C撞上滑块B的瞬间二者粘在一起共同向左运动，弹簧被压缩至最短的瞬间具有的弹性势能为1.35J，此时撤掉固定挡板P，之后弹簧弹开释放势能，已知滑块A、B、C的质量分别为mA＝mB＝0.2kg，mC＝0.1kg，取＝3.17。求： (1)滑块C的初速度v0的大小； (2)当弹簧弹开至恢复到原长的瞬时，滑块B、C的速度大小。 【答案】(1)9m/s；(2)1.9m/s 【解析】 (1)滑块C撞上滑块B的过程中，滑块B、C组成的系统动量守恒，以水平向左为正，根据动量守恒定律得 弹簧被压缩至最短时，滑块B、C速度为零，根据能量守恒定律得 解得 v1＝3m/s v0＝9m/s (2)设弹簧弹开至恢复到原长的瞬间，滑块B、C的速度大小为v2，滑块A的大小为v3，根据动量守恒定律得 根据能量守恒定律得 解得 v2＝1.9m/s 【变式训练4】通过探究得到弹性势能的表达式为。式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧伸长（或缩短）的长度。请利用弹性势能的表达式计算下列问题。放在地面上的物体，上端系在劲度系数k＝400N/m的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图所示。手拉绳子的另一端，当往下拉0.1m时，物体开始离开地面，继续拉绳，使物体缓慢升高到离地h＝0.5m高处。如果不计弹簧质量和各种摩擦，求拉力所做的功以及弹簧的弹性势能。 【答案】22J；2J 【解析】 由题意知弹簧的最大伸长量x＝0.1m 弹性势能 刚好离开地面时，G＝F＝kx＝400×0.1N＝40N 则物体缓慢升高，F＝40N，物体上升h＝0.5m 拉力克服重力做功W＝Fl＝mgh＝40×0.5J＝20J 则拉力共做功W′＝（20＋2）J＝22J 【变式训练5】如图所示，物块A放在平台上，绕过定滑轮的细线一端连在物块A上，另一端连在物块B上，物块B与C用轻弹簧相连，物块C放在地面上，物块A、B、C的质量分别为2m、m、m，轻弹簧的原长为L0，劲度系数为，重力加速度为g，物块A与平台间的动摩擦因数为μ=0.2。开始时，物块A刚好要滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，然后给物块A施加一个大小为F=2mg的水平向右的拉力，求： (1)加上拉力F的瞬间，物块A的加速度a； (2)当物块B向上运动0.24L0的距离时，物块B的速度v； (3)若经过一段时间后撤去F，要使物块C能离开地面，则拉力至少需要做的功W。 【答案】(1) 0.4g；(2) ；(3) 0.512mg 【解析】 (1)开始时，细线的拉力 =μ×2mg=0.4mg 设开始时轻弹簧的弹力为，根据力的平衡 +=mg 加上拉力的瞬间，弹簧的弹力仍为，设细线的拉力为，设物块A的加速度大小为a， 对物块B +-mg=ma 对物块A 2mg--μ×2mg=2ma 解得 a=0.4g (2)由(1)得 =k =0.12 当物块B向上运动0.24的距离时，弹性势能变化量为0，设物块B的速度为v，根据动能定理 2mg×0.24-μ×2mg×0.24-mg×0.24=×3mv2 解得 (3)当物块C刚要离开地面时，设弹簧的伸长量为x2，根据力的平衡 k=mg 解得 =0.2 此时物块A、B的速度为零，则拉力做的功最少，根据动能定理 解得 W=0.512mg 【变式训练6】如图所示，在水平轨道右侧安放半径为的竖直圆形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然状态。质量为的小物块A（可视为质点）从轨道右侧以初速度冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道。物块A与PQ段间的动摩擦因数，轨道其他部分摩擦不计，重力加速度。求： (1)物块A与弹簧刚接触时的速度大小v1； (2)物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度h1； (3)调节PQ段的长度L，A仍以v0从轨道右侧冲上轨道，当L满足什么条件时，物块A能第一次返回圆形轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道？ 【答案】(1)；(2)0.2m；(3)或 【解析】 (1)设物块A与弹簧刚接触时的速度大小v1，由动能定理得 解得 (2)物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆轨道的高度为h1，由动能定理得 解得 符合实际。 (3)①若A沿轨道上滑至最大高度h2时，速度减为0，则h2满足 由动能定理得 联立得 ②若A能沿轨道上滑到最高点，则满足 由动能定理得 联立得 综上所述，要使物块A能第一次返回圆轨道并沿轨道运动而不脱离轨道，L满足的条件是 或 【变式训练7】如图所示，A、B、C三个可视为质点的小物块质量分别为m1、m2、m3，且m1＞m2。A、B通过不可伸长的轻质细线绕过光滑的轻质滑轮相连，B、C通过轻质弹簧相连。用手拖住A物体，使B、C间的竖直弹簧恰好处于原长状态。松手释放A后，A下降距离d时，C恰好脱离地面且不能再上升。已知重力加速度为g。现把A换成质量为2m1的D物块，再次由弹簧处于原长状态时释放D，求： (1)弹簧劲度系数k和释放D的瞬间D的加速度大小； (2)当C恰好脱离地面时D的速度大小。 【答案】(1)；；(2) 【解析】 (1)C恰好离开地面时： kd=g k= 释放D的瞬间对D： 2g-T=2a 对B： T-g=a 所以： (2)A下落过程有对系统由能量守恒得： D下落时，当C恰好离开地面时， 所以 【变式训练8】如图所示，足够长的光滑水平面上有A、B、C三物块，A、B质量都是2kg，C质量为4kg。A、B分别与一个特殊的轻弹簧两端相粘连，弹簧处于压缩得不能再压缩状态而被锁定，但还处于弹性限度内，此时弹簧储存的弹性势能为192J。现给A、B及弹簧整体一个向右的6m/s的速度，B与C碰后结合在一起不再分开。求： (1)B、C碰后C的速度 (2)若碰后运动过程中某时刻弹簧突然解锁，求当弹簧恢复自由时A、B、C的速度 【答案】(1)3m/s；(2) =9m/s 向左； = =7m/s 向右 【解析】 (1)当AB整体与C相碰的瞬时，由动量守恒定律 解得 v=3m/s (2) 解锁后当弹簧恢复自由时，设向右为正，对系统由动量守恒和能量守恒 联立解得 =-9m/s 负号说明方向向左 = =7m/s 方向向右。 【变式训练9】在水平轨道上有一弹簧左端系于A点，右端与质量为m的小球接触但不连接。现用外力推动小球将弹簧压缩至P点保持静止，此时弹性势能为EP=mgs（s为一定值）。P、B之间的距离为2.5s，小球与水平轨道的动摩擦因数为µ=0.1，静止释放弹簧，小球沿水平轨道向右运动从DB进入圆弧轨道，如图所示。BC是一段竖直墙面，DEF是固定在竖直平面内的一段光滑绝缘圆弧轨道，轨道上端D点的切线水平，B、D间距很小，可看作重合的点。圆心O与轨道下端F的连线与竖直墙面的夹角为。在BC右边整个空间有水平向左、大小为F0=0.75mg的恒定风力，小球进入圆孤轨道之后恰好能沿着轨道DEF运动，一段时间后从轨道下端F处脱离，最后打在竖直墙面BC的C点。已知重力加速度为g，sin=0.8，求： (1)小球运动到B点的速度大小； (2)轨道DEF的半径R； (3)小球打在C点前瞬间的速度大小。 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】 (1)小球由静止释放到运动到B点，根据动能定理有 解得 (2)由题意得 设DEF轨道半径为R，设在E点小球达到等效最高点，由于小球恰好能沿着DEF轨道运动，则在E点有 根据动能定理得 解得 (3)过点F做切线以及垂直BC的水平线，则α为。如图 又因为 则小球所受合力的方向与水平方向夹角成。即在F点小球速度方向与合力方向共线，小球做直线运动，由几何关系得 从B到C全程动能定理有 解得 【变式训练10】如图所示，斜面倾角为，在斜面底端垂直斜面固定一挡板，轻质弹簧一端固定在挡板上，质量为M=1.0kg的木板与轻弹簧接触、但不拴接，弹簧与斜面平行、且为原长，在木板右上端放一质量为m=2.0kg的小金属块，金属块与木板间的动摩擦因数为1=0.75，木板与斜面粗糙部分间的动摩擦因数为2=0.25，系统处于静止状态。小金属块突然获得一个大小为v1=5.3m/s、平行斜面向下的速度，沿木板向下运动。当弹簧被压缩x=0.5m到P点时，金属块与木板刚好达到相对静止，且此后运动过程中，两者一直没有发生相对运动。设金属块从开始运动到木块达到共速共用时间t=0.75s，之后木板压缩弹簧至最短，然后木板向上运动，弹簧弹开木板，弹簧始终处于弹性限度内，已知sin=0.28、cos=0.96，g取10m/s2，结果保留二位有效数字。 (1)求木板开始运动瞬间的加速度； (2)假设木板由P点压缩弹簧到弹回P点过程中不受斜面摩擦力作用，求木板离开弹簧后沿斜面向上滑行的距离。 【答案】(1)，方向沿斜面向下；(2)0.077m 【解析】 (1)木板刚开始运动瞬间，受竖直向下的重力、垂直于接触面向上的支持力、木块对木板的压力、木块对木板的摩擦力以及斜面对木板的摩擦力，由牛顿第二定律可得 解得，方向沿斜面向下； (2)设金属块与木板达到共同速度为，对金属块 在此过程中，以木板为研究对象，设弹簧对木板做的功为，则有 解得，则此时弹簧的弹性势能； 金属块和木板达到共同速度后压缩弹簧，速度减小到0后反向弹回，设弹簧恢复原长时，木板和金属块的速度为，在此过程中对木板和金属块，由能量守恒定律可得 木板离开弹簧后，设滑行距离为，由动能定理可得 联立可得 题型09：弹簧在静电场中的应用 【典型例题1】如图所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为q(q>0)的相同小球，小球之间用劲度系数均为k0的轻质弹簧绝缘连接．当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为l，已知静电力常量为k，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 对第三个小球受力分析，第三个小球受三个力的作用， 它们的关系是 解得 所以弹簧的原长为 故B正确，ACD错误。 故选B。 【典型例题2】如图所示，用劲度系数为的轻弹簧悬挂一个绝缘带有电荷量为的小球A，此时弹簧的长度为。在A的正下方放一个带电球B时，弹簧伸长量增加，此时两球相距。已知静电力常量为，A、B可视为点电荷，则（　　） A．A球受到的库仑力是 B．A球受到的库仑力是 C．B球带负电，电荷量是 D．B球带负电，电荷量是 【答案】D 【解析】 AB．A球受到的库仑力 故AB错误； CD．弹簧伸长，说明A和B相互吸引，带电性不同，故B球带负电，根据库仑定律 则 解得 故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练1】如图所示，内壁光滑粗细均匀的玻璃管竖直固定，在玻璃管内有大小和质量均相等的A、B、C三只小球，A、B小球之间用轻质绝缘弹簧连接，C小球置于玻璃管底部。当A、B、C小球均处于静止时，A、B小球之间距离与B、C小球之间距离相等，已知A、B两只小球带电荷量均为q（q>0），C小球带电荷量为Q（Q>0），小球直径略小于玻璃管内径，它们之间距离远大于小球直径，则（　　） A．若，弹簧对小球A为向上的弹力 B．若，弹簧对小球A为向上的弹力 C．若，弹簧对小球B为向上的弹力 D．若，弹簧对小球B为向下的弹力 【答案】A 【解析】 设A、B的质量为，AB与BC之间的距离为，假设当弹簧处于压缩状态时，此时A球受到向上的弹力，根据平衡条件对A列出平衡方程： 对A球： 对A、B两球整体分析： 若假设成立则： 联立可以得到： AC．若，此时弹簧对小球A的弹力方向向上，对小球B的弹力方向向下，故A正确，C错误； BD．若，此时弹簧对小球A的弹力方向向下，对小球B的弹力方向向上，故BD错误。 故选A。 【变式训练2】如图所示，光滑平面上固定金属小球A，用长l0的绝缘弹簧将A与另一个金属小球B连接，让它们带上等量同种电荷，弹簧伸长量为x1，若两球电量各漏掉一半，弹簧伸长量变为x2，则有(　　) A．x2＝x1 B．x2＝x1 C．x2>x1 D．x2<x1 【答案】C 【解析】 电量减小一半，根据库仑定律： F＝ 可知若两个球之间的距离保持不变，库仑力将减小为原来的；库仑力减小，弹簧的弹力减小，弹簧的伸长量减小，两球间的距离减小，所以实际的情况是小球之间的库仑力会大于原来的，此时弹簧的伸长量： x2>x1 ABD错误，C正确。 故选C。 【变式训练3】如图所示，真空中A、B两个点电荷的电荷量分别为和，放在光滑绝缘水平面上，A、B之间用绝缘的轻弹簧连接当系统平衡时，弹簧的伸长量为若弹簧发生的均是弹性形变，则　　 A．保持Q不变，将q变为2q，平衡时弹簧的伸长量等于 B．保持q不变，将Q变为2Q，平衡时弹簧的伸长量小于 C．保持Q不变，将q变为，平衡时弹簧的缩短量等于 D．保持q不变，将Q变为，平衡时弹簧的缩短量小于 【答案】B 【解析】 设弹簧的劲度系数为K，原长为x，当系统平衡时，弹簧的伸长量为x0，则有； A、保持Q不变，将q变为2q时，平衡时有，解得，故A错误； B、同理可以得到保持q不变，将Q变为2Q，平衡时弹簧的伸长量小于，故B正确； C、保持Q不变，将q变为−q，如果缩短量等于，则静电力大于弹力，故会进一步吸引，故平衡时弹簧的缩短量大于，故C错误； D、保持q不变，将Q变为−Q，如果缩短量等于，则静电力大于弹力，故会进一步吸引，故平衡时弹簧的缩短量大于，故D错误； 故选B． 【变式训练4】如图所示，有大小相同的A、B、C三个金属球，A、B带等量异种电荷，中间连接一个轻质绝缘的弹簧，放在光滑的绝缘水平面上，平衡时弹簧压缩量为x0，现将不带电的C球和A球接触一下，然后拿走，则产生新平衡时弹簧的压缩量x为（　　） A．x=x0 B．x＞x0 C．x＜x0 D．x= x0 【答案】C 【解析】 将不带电的C球和A球接触一下，A球的电量减小到原来的一半，库仑力减小到原来的一半，如果两球间距不变的情况下，弹力减小到原来的一半，由胡克定律可知弹簧压缩量要减小到原来的一半，随着两球间距增大，库仑力再次减小，所以弹力继续减小，x＜，C正确。 故选C。 【变式训练5】如图所示，在光滑且绝缘的水平面上有两个金属小球A和B，它们用一绝缘轻弹簧相连，带同种电荷。弹簧伸长x0时小球平衡，如果A、B带电荷量加倍，当它们重新平衡时，弹簧伸长x，则x和x0的关系为（　　） A．x＝2x0 B．x＝4x0 C．x＜4x0 D．x＞4x0 【答案】C 【解析】 解：设弹簧的劲度系数为K，原长为l。 当系统平衡时，弹簧的伸长量为，则有： K＝① 如果A、B带电荷量加倍，当它们重新平衡时，平衡时有：K＝②， 由①②解得：x＜4， 故选：C。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 弹簧专题 目 录 思维导图 1 学习目标 2 知识要点 3 技巧方法 7 题型分类 9 题型01：胡克定律简单应用 9 题型02：多弹簧连接多物体 11 题型03：弹簧与共点力的平衡 15 题型04：相似三角形解弹簧问题 31 题型05：弹簧与牛顿第二定律 33 题型06：弹簧的瞬时性问题 35 题型07：弹簧与动量 44 题型08：弹簧与功能关系 46 题型09：弹簧与静电场 65 高中物理中弹簧的学习目标，围绕“概念理解-规律应用-模型突破-综合迁移”四个层级展开，核心是掌握弹簧作为“特殊力载体”的特性，并能结合力学核心规律解决问题，具体目标如下： 一、基础概念与规律：掌握弹簧的“力与能”本质 1. 理解弹力的产生与特性 明确弹簧弹力的产生条件（弹性形变），熟记胡克定律 F = -k x ，能区分“形变量x ”（伸长/压缩量，以原长为基准）与“弹簧长度”； 重点掌握弹簧弹力的瞬时性（形变不可突变→弹力不可突变）与渐变特性（形变随运动缓慢变化→弹力逐渐增减），能对比绳、杆的弹力突变特性。 2. 掌握弹性势能的计算与转化 理解弹性势能的定义（由弹性形变决定的能量），熟记公式 明确其“状态量”属性（仅与形变量有关，与过程无关）； 掌握弹力做功与弹性势能的关系：（弹力做正功，势能减少；做负功，势能增加），能类比重力做功与重力势能的关系理解。 二、单一模型应用：突破“弹簧+单体”的核心场景 1. 瞬时加速度问题 能根据“弹力不突变”原则，分析剪断绳、撤去外力等瞬间的受力变化，结合牛顿第二定律计算物体的瞬时加速度； 典型场景：水平/竖直方向弹簧连接单个物体，瞬间受力变化后的加速度求解。 2. 平衡问题 能对弹簧连接的单个物体进行受力分析（重力、弹力、支持力、摩擦力等），利用“合外力为0”（或某方向合力为0）列平衡方程，结合胡克定律求解形变量、外力大小等； 典型场景：水平拉物块、竖直挂物体、斜面弹簧拉物体的静止/匀速状态分析。 3. 能量转化问题 能判断弹簧与单体系统的能量转化形式（弹性势能与动能、重力势能的转化），在只有重力、弹力做功时，应用机械能守恒定律列方程求解速度、形变量等； 典型场景：小球压缩竖直弹簧的下落过程、弹簧弹开物体的水平运动，重点掌握“速度最大点”（合力为0，即重力=弹力）的分析。 三、复杂模型突破：掌握“弹簧+双体/多体”的综合规律 1. 动量与能量的结合应用 明确弹簧连接双体系统的动量守恒条件（系统合外力为0，如光滑水平面），能结合“动量守恒”与“机械能守恒”分析临界状态： 弹簧最长/最短时：两物体共速，弹性势能最大，动能最小； 两物体分离时：弹簧恢复原长，两物体速度、加速度相等； 典型场景：光滑水平面上双物体通过弹簧碰撞、压缩/伸长后释放的运动。 2. 多体平衡与连接体问题 能灵活运用“整体法”（求外力，弹簧弹力为内力）和“隔离法”（求弹簧弹力，隔离单个物体）分析多体平衡，结合平衡条件与胡克定律求解； 典型场景：弹簧连接两物体静止在粗糙桌面、斜面上，外力作用下的平衡分析。 四、综合迁移能力：关联其他模块与实际应用 1. 跨模块结合 能将弹簧与静电场（如带电小球在电场中通过弹簧平衡，静电力=弹力）、磁场（如通电导线在磁场中受安培力，与弹簧弹力平衡）等模块结合，应用“力的平衡”“能量守恒”解决综合问题； 理解弹簧在实验中的应用（如库仑扭秤、静电计、弹簧测力计），明确其“将无形力转化为有形形变”的作用原理。 2. 解题思维与方法 建立“状态分析-规律选择-方程联立”的解题逻辑：先明确初末状态（形变量、速度、受力），再根据条件选择牛顿定律、动量守恒、机械能守恒等规律，最后列方程求解； 能识别弹簧问题的共性（弹力特性、守恒规律）与差异（单体/双体、有无摩擦），避免思维定式，准确判断弹力方向、形变量及能量转化方向。 高中物理弹簧的学习目标，本质是通过弹簧这一“载体”，深化对力的瞬时性、平衡条件、动量守恒、能量守恒等核心力学规律的理解与应用，最终形成“从具体模型到通用方法”的迁移能力，能独立拆解并解决各类弹簧相关的基础、综合问题。 高中物理中，弹簧是串联“力、运动、能量、动量”的核心载体，其知识点可归纳为基础特性、力学规律应用、典型模型三大模块，具体如下： 知识点一、弹簧的基础特性 弹力产生条件：弹簧发生弹性形变（伸长或压缩），方向与形变方向相反（指向原长方向）。 胡克定律： F = -k x ，其中 k 为劲度系数（由弹簧本身决定，如材料、粗细、匝数）， x为形变量（伸长/压缩量，需以原长为基准，非弹簧总长度）。 弹力的关键特点 瞬时性：形变不可突变→弹力不可突变（与绳、杆的弹力可突变形成对比），是分析“瞬时加速度”的核心依据。 双向性：弹簧既可被拉长也可被压缩，弹力方向随形变方向改变，需结合运动状态判断方向。 知识点二、弹簧与力学规律的结合 1. 与牛顿运动定律结合 瞬时加速度问题：剪断绳、撤去外力瞬间，弹簧弹力不变，只需分析其他力的变化，结合 牛顿第二定律 计算加速度（如竖直悬挂的弹簧下端挂物体，剪断上端绳瞬间，物体加速度为 g ）。 动态平衡/变速运动：弹簧形变缓慢变化时，弹力逐渐增减，可通过“受力分析+牛顿第二定律”分析物体的加速度、速度变化（如物体在弹簧弹力与重力作用下的下落，速度最大点对应“弹力=重力，合外力为0”）。 2. 与能量规律结合 弹性势能：由形变量决定的能量，（状态量，仅与 x 有关，与过程无关）。 能量转化：只有重力、弹力做功时，系统机械能守恒（弹性势能与动能、重力势能相互转化）；若有摩擦力，机械能减少，转化为内能。 弹力做功与势能关系：（弹力做正功，势能减少；做负功，势能增加）。 3. 与动量规律结合（双体/多体模型） 动量守恒条件：弹簧连接的双体系统，若合外力为0（如光滑水平面），则系统动量守恒。 临界状态： 弹簧最长/最短时：两物体共速，弹性势能最大，动能最小； 两物体分离时：弹簧恢复原长，两物体速度、加速度相等（之后弹簧无弹力，两物体做匀速运动）。 与弹簧模型有关的动量守恒定律的综合应用 条件与模型 ①mA=mB（如:mA=1kg；mB=1kg） ②mA>mB （如:mA=2kg；mB=1kg） ③mA<mB（如:mA=1kg；mB=2kg） 规律与公式 情况一：从原长到最短（或最长）时 ①；② 情况二：从原长先到最短（或最长）再恢复原长时 ①；② 知识点三、典型模型与应用 1单体模型 瞬时问题：如水平弹簧拉物块，剪断绳瞬间的加速度分析； 平衡问题：竖直挂物体、斜面弹簧拉物体的静止状态，用“合外力为0”结合胡克定律求形变量； 能量问题：小球压缩竖直弹簧下落，分析“速度最大点”及能量转化。 2双体模型 光滑水平面：双物体通过弹簧碰撞、压缩后释放，用“动量守恒+机械能守恒”求解共速、分离时的速度与势能； 含摩擦场景：需考虑摩擦力做功，机械能不守恒，需用动能定理分析。 实验与实际应用 工具：弹簧测力计（测重力、拉力，基于胡克定律）； 物理实验：验证胡克定律、库仑扭秤（利用弹簧扭转形变测静电力）、静电计（金属球与外壳间的空气相当于弹簧，张角反映电势差）。 知识点四.与弹簧有关的平衡问题 与弹簧有关的平衡问题，核心是通过“弹力=其他力的合力”建立平衡方程，关键在于明确弹簧的形变方向（伸长/压缩）以确定弹力方向，再结合受力分析求解。以下是分类总结： 一、核心原理：平衡条件 + 胡克定律 1. 平衡条件：物体静止或匀速直线运动时，合外力为0，或某一方向上的合力为0（正交分解常用）。 2. 胡克定律：弹力大小 F = -k x ，方向总是指向弹簧恢复原长的方向（伸长时弹力沿收缩方向，压缩时沿伸长方向）。 3. 关键前提：先确定弹簧原长位置，判断形变方向，才能明确弹力方向（平衡方程的核心是方向匹配）。 二、三大典型模型及解题步骤 1. 单个弹簧 + 单体平衡（水平/竖直/斜面） 场景：物体在弹簧拉力/支持力与重力、摩擦力、支持力等作用下平衡（如水平拉物块、竖直挂物体、斜面弹簧拉物体）。 解题步骤： 1. 对物体进行受力分析（画受力图，明确重力、弹力、其他力的方向）； 2. 建立坐标系（水平/竖直方向，或沿斜面/垂直斜面），将不在轴上的力正交分解； 3. 根据“某方向合力为0”列方程，结合 F = k/ x ，求解形变量 /x 或外力大小。 2. 双弹簧 + 单体平衡（串联/并联） 核心：明确两弹簧的形变关系（串联时形变量相加，并联时弹力相加），再用平衡条件整体或隔离分析。 两种情况： 串联：两弹簧首尾相连，拉力处处相等（ F1 = F2 = F ）， 例：竖直串联两弹簧挂物体，总弹力 F = mg ，可分别求两弹簧的形变量。 并联：两弹簧一端连物体、一端固定，形变量相等 例：水平并联两弹簧拉物块静止，总弹力等于摩擦力 f 3. 弹簧 + 多体平衡（连接体问题） 场景：弹簧连接两个或多个物体，整体静止在桌面、斜面等场景（如“物块A-弹簧-物块B”放在光滑水平面或粗糙桌面上）。 解题步骤： 1.整体法：对所有物体整体受力分析，求外力（如支持力、桌面的摩擦力），此时弹簧弹力为“内力”，整体平衡方程中不体现。 2.隔离法：单独对某一个物体受力分析（如隔离A或B），弹簧弹力变为“外力”，结合平衡条件列方程，求解弹力或形变量。 三、避坑关键 1.弹力方向不主观臆断：必须通过“弹簧是伸长还是压缩”判断（比如“弹簧连接两物体放在桌面上”，若两物体无相对运动趋势，弹簧可能处于原长，弹力为0）。 2.区分“动摩擦”与“静摩擦”：若物体静止，摩擦力是静摩擦力，需用平衡条件求；若物体匀速滑动，用动摩擦力公式。 3.弹簧“原长”是基准：所有形变量 x 都以原长为起点计算，题目未给原长时，可通过“平衡状态下的形变”反推，或设原长为 ，用长度差表示x 。 总结：弹簧平衡问题的本质是“受力分析+平衡方程+胡克定律”的结合，只要能准确判断弹力方向、灵活运用整体/隔离法，所有问题均可拆解为“列方程求解”，无需复杂技巧，重点在细节（方向、摩擦力类型、形变关系）。 高中物理弹簧问题的核心是弹力的瞬时性与过程的能量/动量守恒，解决所有问题都围绕这两个关键点展开， 一、核心概念：弹力的“瞬时性”与“渐变特性” 1. 弹力公式： F = -k x （胡克定律），x 是形变量（伸长或压缩量），必须明确弹簧原长位置。 2. 瞬时性：弹簧的形变量无法突变，因此弹力不能突变（与绳、杆的“弹力可突变”形成关键区别）。 例：剪断绳的瞬间，绳的拉力消失，但弹簧的弹力仍为 k x ，物体的加速度需用此时的弹力重新计算。 3. 渐变特性：弹簧的形变是缓慢变化的，在运动过程中（如拉伸、压缩），弹力随形变量逐渐增减，常伴随“动态平衡”或“极值点”（如速度最大时，合力为0）。 二、两大核心模型：“弹簧+单体”与“弹簧+双体” 1. 弹簧+单体模型（最基础） 关键场景：竖直/水平方向的振动、碰撞后的运动、斜面+弹簧等。 解题逻辑： 瞬时问题：用“弹力不变”分析加速度（牛顿第二定律）。 过程问题：优先用机械能守恒（只有重力、弹力做功时，系统机械能守恒）。 例：小球从高处落到竖直弹簧上，下落过程分为“加速（重力>弹力）→减速（弹力>重力）”，速度最大点在“重力=弹力”处。 2. 弹簧+双体模型（高频难点） 关键场景：双物体在弹簧连接下的碰撞、分离、共速问题。 解题逻辑： 动量守恒：若系统不受外力（或外力远小于内力），全程动量守恒（如光滑水平面）。 机械能守恒：弹簧弹力是内力，只有弹力做功时，系统机械能（动能+弹性势能）守恒。 临界状态： 弹簧“最长/最短”时：两物体共速（相对速度为0），此时弹性势能最大，动能最小。 两物体“分离”时：弹簧恢复原长，且两物体速度、加速度均相等（分离后弹簧无弹力，加速度由其他力决定）。 三、三类高频问题及“秒杀”思路 1. 瞬时加速度问题 口诀：“绳断力变，簧断力不变”。 步骤： 1.分析变化前弹簧的形变量，计算弹力 F = -k x ； 2.变化后（如剪断绳、撤去外力），弹力保持不变，对单个物体列牛顿第二定律求加速度。 2. 能量与动量结合问题 通法： 1.找“初末状态”（如碰撞前、弹簧最长时、分离时）； 2.列“动量守恒方程”（全程）+“机械能守恒方程”（初末状态弹性势能已知时，如原长时势能为0）； 3.联立求解速度、形变量等物理量。 3. 弹簧与碰撞结合问题 关键：碰撞是“瞬时过程”（动量守恒，动能可能损失），碰撞后是“弹簧作用过程”（动量+机械能守恒）。 步骤： 1.先分析“碰撞过程”：用动量守恒求碰撞后两物体的速度； 2.再分析“碰撞后弹簧作用过程”：用动量+机械能守恒求后续状态（如共速、原长）。 四、避坑指南 1.明确研究对象：单体问题分析单个物体，双体问题分析系统（动量守恒）。 2.弹性势能的“零点”：默认弹簧原长时弹性势能为0，计算时需注意初末状态弹簧是否为原长。 3.区分“内力”与“外力”：弹簧弹力是内力，重力、支持力等是外力，判断动量是否守恒的核心是“外力是否为0”。 4.避免思维定式：不要默认“弹簧一定有弹力”，分离后、原长时弹簧弹力为0，需结合状态判断。 掌握以上“概念+模型+方法”，高中物理弹簧问题可完全突破——核心是抓住“弹力不突变”和“守恒定律”，从状态分析入手，用方程联立求解，拒绝盲目刷题，优先吃透通法。 题型01：胡克定律的简单应用 【典型例题1】一根轻质弹簧一端固定，用大小为F1的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l1；改用大小为F2的力拉弹簧，平衡时长度为l2.弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为( 　)． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】　设弹簧原长为l，由题意知，F1＝k(l－l1)，F2＝k(l2－l)，两式联立，得k＝，选项C正确． 【变式训练1】一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80 cm的两点上，弹性绳的原长也为80 cm.将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100 cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为(弹性绳的伸长始终处于弹性限度内)(　　) A．86 cm B．92 cm C．98 cm D．104 cm 【变式训练2】如图5所示，将一轻质弹簧的一端固定在铁架台上，然后将最小刻度是毫米的刻度尺竖直放在弹簧一侧，刻度尺的0刻线与弹簧上端对齐，使弹簧下端的指针恰好落在刻度尺上．当弹簧下端挂一个50 g的砝码时，指针示数为L1＝3.40 cm，当弹簧下端挂两个50 g的砝码时，指针示数为L2＝5.10 cm.g取9.8 m/s2.由此可知(　 　)． 图5 A．弹簧的原长是1.70 cm B．仅由题给数据无法获得弹簧的原长 C．弹簧的劲度系数是28 N/m D．由于弹簧的原长未知，无法算出弹簧的劲度系数 【变式训练3】如图7所示，重80 N的物体A放在倾角为30°的粗糙斜面上，有一根原长为10 cm，劲度系数为1 000 N/m的弹簧，其一端固定在斜面底端，另一端放置物体A后，弹簧长度缩短为8 cm，现用一测力计沿斜面向上拉物体，若物体与斜面间最大静摩擦力为25 N，当弹簧的长度仍为8 cm时，测力计读数不可能为(　 　)． A．10 N B．20 N　 　C．40 N D．60 N 图7 【变式训练4】如图19所示，质量为m的物体连接在置于水平面上的劲度系数为k的竖直轻弹簧上．一根弹性细绳跨过定滑轮与物体连接．弹性细绳没有拉力时，其端点位于M位置．缓慢拉细绳直到端点到N位置时，弹簧对物体的拉力大小恰好等于物体的重力．已知这种弹性细绳的弹力与伸长量成正比，比例系数为k′，求： (1)弹性细绳没有拉力时，弹簧的形变量； (2)把弹性细绳端点从M拉到N过程中物体上升了多少？ (3)M、N间的距离为多大？ 图19 题型02：多弹簧连接多个物体 【典型例题1】如图1所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在下面弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧．在此过程中下面木块移动的距离为(　 　) 图1 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】　在没有施加外力向上提时，弹簧被压缩，压缩的长度为：Δx＝.在用力缓慢向上提 直至 刚离开上面弹簧时，弹簧k2仍被压缩，压缩量为所以在此过程中，下面木块移动的距离为：Δx－Δx′＝，故选C. 【典型例题2】如图18所示，A、B是两个相同的弹簧，原长都是L0＝10 cm，劲度系数k＝500 N/m，若悬挂的两个物体质量均为m，现测得两个弹簧的总长为26cm，则m＝__________。（g取10m/s2） 　 　　　　　　　　　　　　　　 图18 【答案】1kg 【解析】首先以下面物体为研究对象，然后以两物体为整体，求出对上端弹簧拉力，分别列出弹力方程： 　　　　　 　　　　　 【变式训练1】S1和S2表示劲度系数分别为k1，和k2两根轻质弹簧，k1>k2；A和B表示质量分别为mA和mB的两个小物块，mA>mB,将弹簧与物块按图6示方式悬挂起来．现要求两根弹簧的总长度最大则应使( )． 图6 A.S1在上，A在上 B.S1在上，B在上 C.S2在上，A在上 D.S2在上，B在上 【变式训练2】如图9所示，两个木块的质量分别为m1和m2，两个轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧．在此过程中上面的木块移动的距离为(　 ) 图9 A. B.+ C. D.+ 【变式训练3】（多选）如图4所示，将两相同的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳系于墙壁．开始时a、b均静止，弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a所受摩擦力Ff a≠0，b所受摩擦力Ff b＝0.现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间(　 　)． 图4 A．Ff a大小不变 B．Ff a方向改变 C．Ff b仍然为零 D．Ff b方向向右 【变式训练4】三个质量均为1kg的相同木块a、b、c和两个劲度系数均为500N/m的相同轻弹簧p、q用轻绳连接，如图2所示，其中a放在光滑水平桌面上．开始时p弹簧处于原长，木块都处于静止状态．现用水平力F缓慢地向左拉p弹簧的左端，直到c木块刚好离开水平地面为止，g取10 m/s2.该过程p弹簧的左端向左移动的距离是( 　) 图2 A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【变式训练5】如图10所示，在一粗糙水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一原长为l、劲度系数为k的轻弹簧连接起来，木块与地面间的动摩擦因数为μ，现用一水平力向左拉木块1，当两木块一起匀速运动时两木块之间的距离是(　　) 图10 A．l＋m1g　　　　　　　B．l＋(m1＋m2)g C．l＋m2g D．l＋g 【变式训练6】如图11所示，轻质弹簧连接A、B两物体，弹簧劲度系数为k，A、B质量分别为m1、m2；A放在水平地面上，B也静止；现用力拉B，使其向上移动，直到A刚好离开地面，此过程中，B物体向上移动的距离为(　　) 图11 A. B. C. D. 【变式训练7】如图，两个弹簧的质量不计，劲度系数分别为k1、k2，它们一端固定在质量为m的物体上，另一端分别固定在Q、P上，当物体平衡时上面的弹簧处于原长状态。若把固定的物体换为质量为2m的物体（弹簧的长度不变，且弹簧均在弹性限度内），当物体再次平衡时，物体比第一次平衡时的位置下降了x，则x为 A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 【变式训练8】质量都为m=1.0kg的物体A、B通过一轻质弹簧相连。如图甲所示，A、B都处于静止状态，此时弹簧的压缩量为2.0cm。现通过细绳将A向上缓慢拉起，如图乙所示，当B刚要离开地面时，A上升的距离为L。假设弹簧一直在弹性限度内，g=10m/s2，则（　　） A．弹簧的劲度系数k=1000N/m，A上升的距离L=2.0cm B．弹簧的劲度系数k=1000N/m，A上升的距离L=4.0cm C．弹簧的劲度系数k=500N/m，A上升的距离L=2.0cm D．弹簧的劲度系数k=500N/m，A上升的距离L=4.0cm 【变式训练9】如图3所示，原长分别为L1和L2、劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧竖直悬挂在天花板上。两弹簧之间有一质量为m1的物体，最下端挂着质量为m2的另一物体，整个装置处于静止状态。  （1）这时两个弹簧的总长度为多大？  （2）若用一个质量为M的平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和，求这时平板受到下面物体m2的压力 图3 题型03：弹簧与共点力平衡 【典型例题1】如图所示，水平地面上的L形木板M上放着小木块m，M与m间有一处于压缩状态的弹簧，整个装置处于静止状态．长木板受力的个数为( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解析】 将小木块和木板、弹簧看做一个整体，整体处于静止状态，在水平方向上没有运动趋势，所以不受地面给的摩擦力，对小木块受力分析，小木块受到重力，支持力，弹簧的弹力，木板给的摩擦力，所以木板受到小滑块给的摩擦力，重力，支持力，弹簧的弹力，小滑块对木板的压力，共5个力作用。 故选C。 【典型例题2】(多选)如图12所示，在倾角为30°的光滑斜面上，A、B两个质量均为m的滑块用轻质弹簧相连，弹簧的劲度系数为k，水平力F作用在滑块B上，此时弹簧长度为l，且在弹性限度内，则下列说法正确的是(　　) 图12 A．弹簧原长为l＋ B．弹簧原长为l＋ C．力F的大小为mg D．力F的大小为mg 【答案】AD 【解析】对A物体，据平衡条件得mgsin30°＝kx，其中x＝－l，解得＝l＋，A正确，B错误；对A、B构成的整体，据平衡条件得Fcos30°＝2mgsin30°，解得F＝mg，C错误，D正确． 【典型例题3】如图所示，倾角为 30°的光滑斜面固定不动，轻质弹簧连接质量均为m的小物块 P、Q置于斜面上，用水平向右的力F作用在 Q上，P、Q均静止，则F的大小为（　　） A． mg B． mg C．mg D． mg 【答案】B 【解析】 整体分析可知 所以 故选B。 【典型例题4】如图所示，物块A放在直角三角形斜面体B上面，B放在弹簧上面并紧挨着竖直粗糙墙壁，处于静止状态。现用力F沿斜面向上推A，A，B仍处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．A，B之间的摩擦力大小可能不变 B．A，B之间的摩擦力一定变大 C．B受到的弹簧弹力一定变小 D．B与墙之间可能没有摩擦力 【答案】A 【解析】 AB．A开始受重力、B对A的支持力和静摩擦力平衡，当施加F后，仍然处于静止，开始A所受的静摩擦力大小为，若 则A、B之间的摩擦力大小可能不变，故A正确，B错误； CD．对整体分析，由于AB不动，弹簧的形变量不变，则弹簧的弹力不变，开始弹簧的弹力等于A、B的总重力，施加F后，弹簧的弹力不变，总重力不变，根据平衡知，则B与墙之间一定有摩擦力，故CD错误。 故选A。 【典型例题5】（多选）如图14所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑、半径为R的半球形容器底部O′处(O为球心)，弹簧另一端与质量为m的小球相连，小球静止于P点．已知容器与水平面间的动摩擦因数为μ，OP与水平方向间的夹角为θ＝30°.下列说法正确的是(　 ) 图14 A．水平面对容器有向右的摩擦力 B．弹簧对小球的作用力大小为mg C．容器对小球的作用力大小为mg D．弹簧原长为R＋ 【答案】CD 【解析】　以容器和小球组成的整体为研究对象，受力分析可知，竖直方向有总重力、地面的支持力，水平方向上地面对半球形容器没有摩擦力，故A错误．对小球进行受力分析可知，小球受重力、容器的支持力及弹簧的弹力而处于静止状态，由共点力的平衡条件可求得小球受到的弹簧的弹力及小球受到的支持力．对小球受力分析如图所示，由几何关系可知，＝F＝mg，故弹簧原长为R＋，故B错误，C、D正确． 【典型例题6】（多选）两个中间有孔的质量为M的小球用一轻弹簧相连，套在一水平光滑横杆上．两个小球下面分别连一轻弹簧．两轻弹簧下端系在同一质量为m的小球上，如图16所示．已知三根轻弹簧的劲度系数都为k，三根轻弹簧刚好构成一等边三角形．则下列判断正确的是(　　) 图16 A．水平横杆对质量为M的小球的支持力为Mg＋mg B．连接质量为m小球的轻弹簧的弹力为 C．连接质量为m小球的轻弹簧的伸长量为mg D．套在水平光滑横杆上轻弹簧的形变量为mg 【答案】CD 【解析】水平横杆对质量为M的小球的支持力为Mg＋，选项A错误；设下面两个弹簧的弹力均为F，则2Fsin60°＝mg，解得F＝mg，结合胡克定律得kx＝mg，则x＝mg，选项B错误，选项C正确；下面的一根弹簧对M的水平分力为Fcos60°＝mg，再结合胡克定律得kx′＝mg，解得x′＝mg，选项D正确． 【典型例题7】如图所示，在粗糙固定的斜面上，放有A、B两个木块，用轻质弹簧将A、B两木块连接起来，B木块的另一端再通过细线与物体C相连接，细线跨过光滑定滑轮使C物体悬挂着，A、B、C均处于静止状态，下列说法不正确的是（　　） A．弹簧弹力可能为零 B．A受到的摩擦力可能沿斜面向上 C．B可能不受到摩擦力的作用 D．若增大B物体的重量，则B物体受到的摩擦力一定将先增大后减小 【答案】D 【解析】 A．由于斜面粗糙，弹簧有可能处于自然长度，即弹力有可能为零，故A正确； B．如果弹簧处于伸长状态，当弹簧的弹力小于A重力沿斜面向下的分力时，A受到的摩擦力沿斜面向上，或者弹簧处于压缩状态时，A受到的摩擦力沿斜面向上，故B正确； C．以B为研究对象，如果沿斜面方向有 时，则摩擦力为零，故C正确； D．初状态下不知道B受到的摩擦力大小和方向，无法确定增大B物体的重量时B物体受到的摩擦力变化情况，故D错误。 故选D。 【典型例题8】（多选）如图所示，质量为的物块A和质量为的物块B通过轻绳和轻弹簧相连，A与B、B与地面间的动摩擦因数均为，两根弹簧的劲度系数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块B在F的作用下匀速运动的位移为（物块A仍在物块B上），不计滑轮的重力和摩擦，则下列说法正确的是（  ） A．物块B与地面间摩擦力的大小为 B．两根弹簧的最大形变量均为 C．两根弹簧的最大形变量均为 D．若物块A与物块B发生相对滑动，则相对位移大小为 【答案】ABD 【解析】A．物块B与地面间摩擦力的大小为故A正确； BC．对A，根据平衡条件，弹簧弹力大小两根弹簧通过轻绳相连，则两根弹簧弹力大小相等，两根弹簧的形变量均为故B正确，C错误； D．物块B的位移为物块A的位移为则相对位移大小为故D正确。故选ABD。 【变式训练1】（多选）如图所示，物块A、B的质量均为，对地面的动摩擦因数均为。两物块用一劲度系数为的轻弹簧连接，初始状态下弹簧比原长压缩了。最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，重力加速度取。对物块施加一水平外力，在刚施加外力的一小段时间内，开始运动，保持静止。则该外力的大小与方向组合可能是（　　） A．向左， B．向右， C．向左， D．向右， 【变式训练2】木块A、B分别重50 N和70 N，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.2，与A、B相连接的轻弹簧被压缩了5 cm，系统置于水平地面上静止不动．已知弹簧的劲度系数为100 N/m，用F =7N的水平力作用在木块A上，如图所示，力F作用后 （ ） A．木块A所受摩擦力大小是10N B．木块A所受摩擦力大小是2N C．弹簧的弹力是12N D．木块B所受摩擦力大小为12N 【变式训练3】如图所示，放在粗糙水平面上的物体A上叠放着物体B，A和B之间有一根处于压缩状态的弹簧，A、B均处于静止状态，下列说法中正确的是(　　) A.B受到向左的摩擦力 B.B对A的摩擦力向右 C.地面对A的摩擦力向右 D.地面对A没有摩擦力 【变式训练4】如图所示，把重为20 N的物体放在倾角为30°的粗糙斜面上并静止，物体右端与固定在斜面上的轻弹簧相连接，若物体与斜面间的最大静摩擦力为12 N，则弹簧对物体的弹力(弹簧与斜面平行)(　　) A.可以为22 N，方向沿斜面向上 B.可以为2 N，方向沿斜面向下 C.可以为12 N，方向沿斜面向下 D.弹力不可能为零 【变式训练5】如图所示，三角块B放在斜面体A上，轻弹簧一端连接三角块B，另一端连接在天花板上，轻弹簧轴线竖直，斜面的倾角为，若A的质量为，B的质量为，地面对A的支持力大小为，重力加速度为，则A对B的摩擦力大小为（ ） A．0 B． C． D． 【变式训练6】如图所示，一个质量为m的滑块静止于倾角为的斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点，另一端连接在滑块上，弹簧与竖直方向的夹角为，则（　　） A．滑块一定受到4个力作用 B．弹簧一定处于压缩状态 C．斜面可能光滑 D．斜面对滑块的摩擦力大小一定等于 【变式训练7】如图所示，质量分别为m1、m2的两物体甲、乙位于相邻的两水平台阶上，中间用轻弹簧相连，弹簧与竖直方向夹角为θ。在乙右端施加水平拉力F，使甲、乙均处于静止状态。已知重力加速度为g，乙表面光滑，则下列说法正确的是（　　） A．弹簧弹力的大小为 B．地面对甲的摩擦力大小为F C．甲的表面可能光滑 D．m1与m2一定相等 【变式训练8】如图所示，物体A左侧为粗糙的竖直墙面，在竖直轻弹簧作用下，A、B保持静止。若在A的上方施加一竖直向下的作用力F，使A缓慢下移一小段距离在此过程中（　　） A．A可能相对B向下滑动 B．墙对A的弹力会慢慢变大 C．墙壁对A的摩擦力变小 D．B对A的作用力不断变大，方向始终为竖直向上 【变式训练9】（多选）如图，一质量为m的滑块静止置于倾角为30°的粗糙斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点，另一端系在滑块上，弹簧与斜面垂直，则(　　) A．滑块不可能只受到三个力作用 B．弹簧可能处于伸长状态 C．斜面对滑块的支持力大小可能为零 D．斜面对滑块的摩擦力大小一定等于mg 【变式训练10】如图所示，轻质弹簧一端系在质量为m＝1 kg的小物块上，另一端固定在墙上。物块在斜面上静止时，弹簧与竖直方向的夹角为37°，已知斜面倾角θ＝37°，斜面与小物块间的动摩擦因数μ＝0.5，斜面固定不动。设物块与斜面间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，下列说法正确的是(　　) A.小物块可能只受三个力 B.弹簧弹力大小一定等于4 N C.弹簧弹力大小不可能等于3 N D.斜面对物块支持力可能为零 【变式训练11】（多选）如图所示，A、B两物块始终静止在水平地面上，有一轻质弹簧一端连接在竖直墙上的P点，另一端与A连接。下列说法中正确的是(　　) A．如果B对A无摩擦力，则地面对B也无摩擦力 B．如果B对A有向左的摩擦力，则地面对B也有向左的摩擦力 C．P点缓慢下移过程中，B对A的支持力一定减小 D．P点缓慢下移过程中，地面对B的摩擦力一定增大 【变式训练12】如图所示，光滑直杆倾角为30°，质量为m的小环穿过直杆，并通过弹簧悬挂在天花板上，小环静止时，弹簧恰好处于竖直位置，现对小环施加沿杆向上的拉力F，使环缓慢沿杆滑动，直到弹簧与竖直方向的夹角为60°。整个过程中，弹簧始终处于伸长状态，以下判断正确的是(　　) A．弹簧的弹力逐渐增大 B．弹簧的弹力先减小后增大 C．杆对环的弹力逐渐增大 D．拉力F先增大后减小 【变式训练13】（多选）如图所示，一直杆倾斜固定并与水平方向成30°的夹角；直杆上套有一个质量为0.5 kg的圆环，圆环与轻弹簧相连，在轻弹簧上端施加一竖直向上、大小F＝10 N的力，圆环处于静止状态，已知直杆与圆环之间的动摩擦因数为0.7，g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.圆环受到直杆的弹力，方向垂直直杆向下 B.圆环受到直杆的弹力大小等于2.5 N C.圆环受到直杆的摩擦力，方向沿直杆向上 D.圆环受到直杆的摩擦力大小等于2.5 N 【变式训练14】（多选）如图7所示，光滑的大圆环固定在竖直平面上，圆心为O点，P为环上最高点，轻弹簧的一端固定在P点，另一端拴连一个套在大环上的小球，小球静止在图示位置，则(　　) A．弹簧可能处于压缩状态 B．大圆环对小球的弹力方向不可能指向O点 C．小球受到弹簧的弹力与重力的合力一定指向O点 D．大圆环对小球的弹力大小可能小于球的重力，也可能大于球的重力 【变式训练15】如图所示．1/4圆弧面AB与倾角为的斜面BC固定在水平面上，轻弹簧平行于斜面，一端与轻绳连接，另一端与质量为m的物块连接，轻绳绕过定滑轮分别与球和轻弹簧连接，系统处于静止状态时．滑轮左侧的轻绳恰好沿水平方向，滑轮右侧的轻绳平行于斜面，与水平面夹角为，弹簧伸长了x。重力加速度大小为g，不计一切摩擦。则下列表达式正确的是 A．弹簧的劲度系数 B．弹簧的劲度系数 C．球的质量 D．球的质量 【变式训练16】（多选）如图15所示，两根光滑细棒在同一竖直平面内，两棒与水平面成37°角，棒上各穿有一个质量为m的相同小球，两球用轻质弹簧连接，两小球在图中位置处于静止状态，此时弹簧与水平面平行，则下列判断正确的是(　)． 图15 A．弹簧处于拉伸状态 B．弹簧处于压缩状态 C．弹簧的弹力大小为mg D．弹簧的弹力大小为mg 【变式训练17】如图所示，图形凹槽半径=30cm，质量=1kg的小物块在沿半径方向的轻弹簧挤压下处于静止状态。已知弹簧的劲度系数=50N/m，自由长度=40cm，一端固定在圆心O处，弹簧与竖直方向的夹角为37°。取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则下列说法错误的是（　　） A．物块对槽的压力大小是15N B．弹簧对物块的压力大小是5N C．槽对物块的摩擦力大小是6N D．槽对物块的作用力大小是N 【变式训练18】小球用a、b、c三根弹簧固定，三根弹簧互成角且均在竖直平面内，且弹簧a在竖直方向，如图所示。已知小球静止时三根弹簧的弹力大小均为F，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．三根弹簧均被拉伸 B．三根弹簧均被压缩 C．弹簧a可能被拉伸 D．小球的质量为 【变式训练19】（多选）如图17所示，小球a的质量为小球b质量的一半，分别与轻弹簧A、B和轻绳相连接并处于平衡状态．轻弹簧A与竖直方向夹角为60°，轻弹簧A、B伸长量刚好相同，则下列说法正确的是(　　) 图17 A．轻弹簧A、B的劲度系数之比为3∶1 B．轻弹簧A、B的劲度系数之比为2∶1 C．轻绳上拉力与轻弹簧A上拉力的大小之比为2∶1 D．轻绳上拉力与轻弹簧A上拉力的大小之比为∶2 【变式训练20】如图所示，三个相同的轻质弹簧连接在O点，弹簧1的另一端固定在天花板上，且与竖直方向的夹角为30°，弹簧2水平且右端固定在竖直墙壁上，弹簧3的另一端悬挂质量为m的物体且处于静止状态，此时弹簧1、2、3的形变量分别为x1、x2、x3，则(　　) A.x1∶x2∶x3＝∶1∶2 B.x1∶x2∶x3＝2∶1∶ C.x1∶x2∶x3＝1∶2∶ D.x1∶x2∶x3＝∶2∶1 【变式训练21】两个中间有孔的质量为的小球A、B用一轻弹簧相连，套在一根光滑水平杆上。两个小球下面分别连有一轻弹簧。两轻弹簧下端系在同一小球C上，如图所示。已知小球C的质量为m，三根轻弹簧的劲度系数都为k，三根轻弹簧刚好构成一个等边三角形。则下列说法错误的是（　　） A．水平杆对质量为的小球的支持力为 B．连接质量为m的小球的轻弹簧的弹力为 C．连接质量为m的小球的轻弹簧的伸长量为 D．套在光滑水平杆上的轻弹簧的形变量为 【变式训练22】（多选）粗糙水平面上、、、四个相同小物块用四根完全相同的轻弹簧连接，正好组成一个等腰梯形，系统静止。之间、之间以及之间的弹簧长度相同且等于之间弹簧长度的一半。之间弹簧弹力大小为之间弹簧弹力大小的一半。若受到的摩擦力大小为，则（　　） A．之间的弹簧一定是压缩的 B．受到的摩擦力大小为 C．受到的摩擦力大小为 D．受到的摩擦力大小为 【变式训练23】如图20所示,质量为2m的物体A通过一轻质弹簧与地面上的质量为3m的物体B相连,弹簧的劲度系数为k,一条不可伸长的轻绳绕过定滑轮,一端连物体A,另一端连一质量为m的物体C,物体A、B、C都处于静止状态.已知重力加速度为g,忽略一切摩擦. (1)求物体B对地面的压力大小; (2)把物体C的质量改为5m,则C缓慢下降,经过一段时间系统达到新的平衡状态,这时B仍没离开地面,且C只受重力和绳的拉力作用,求此过程中物体A上升的高度. 图20 【变式训练24】如图所示，轻质弹簧上端固定，下端与小球A连接，小球A通过细线与小球B连接。整体静止时弹簧的长度为L。现对小球A施加一个水平向右的恒力，并对小球B施加一个水平向左的同样大小的恒力，最后达平衡时弹簧的长度记为。则下列说法正确的是（　　） A．，弹簧仍竖直 B．，弹簧向右偏 C．，弹簧向右偏 D．，弹簧向左偏 【变式训练25】如图所示，两块固定且相互垂直的光滑挡板POQ，OP竖直放置，OQ水平，小球a、b连接在轻弹簧的两端，现有一个水平向左的推力作用于b上，使a、b紧靠挡板处于静止状态。现用力F推动小球b，使之缓缓到达b′位置，则（　　） A．推力F变大 B．b对OQ的压力变大 C．弹簧长度变短 D．弹簧长度变长 【变式训练26】如图所示，轻绳AO绕过光滑的定滑轮，一端与斜面上的物体A相连，另一端与轻弹簧右端及轻绳BO上端的结点O相连，轻弹簧轴线沿水平方向，斜面体、物块A和悬挂的物块B均处于静止状态．轻绳的OC段与竖直方向的夹角为θ，斜面倾角为α，物块A和B的质量分别为mA、mB．弹簧的劲度系数为k，下列说法正确的是 A．弹簧的伸长量为 B．地面对斜面体的摩擦力大小，方向水平向右 C．若将斜面体向右移动一小段后，调整物块A的位置，使轻弹簧的轴线仍然沿水平方向，物块A受到的摩擦力增大 D．若沿水平方向移动斜面体，保持轻弹簧轴线沿水平方向，系统处于静止状态，则斜面体对地面的压力与A的位置无关 【变式训练27】（多选）如图，固定在水平地面上的斜面体，左、右斜面倾角分别为 30°、60°，质量相等的物块P、Q 通过一轻弹簧和轻质细绳相连，细绳跨过光滑的定滑轮，整个系统处于静止状态。现对 Q 施加始终与右侧轻绳垂直的拉力 F，使 Q 缓慢移动至右绳水平，P 仍保持静止不动，弹簧始终在弹性限度内，除了P与斜面间的摩擦外，其余摩擦均不计。下列说法正确的是（　　） A．拉力 F 先变大后变小 B．弹簧长度先减小后增加 C．P 所受摩擦力先减小后增大 D．斜面对 P 的作用力先变小后变大 【变式训练28】（多选）如图所示，倾角为的斜面体c置于水平地面上，小盒b置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体a连接，连接b的一段细绳与斜面平行，连接a的一段细绳竖直，a连接在竖直固定在地面的弹簧上，现在b盒内缓慢加入适量砂粒，a、b、c始终位置保持不变，下列说法中正确的是(　　) A．b对c的摩擦力可能先减小后增大 B．地面对c的支持力一定增大 C．c对地面的摩擦力方向始终向左 D．弹簧一定处于压缩状态 【变式训练29】（多选）一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C（劲度系数为k）、锁舌D（倾斜角θ=45°）、锁槽E以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示．设锁舌D的侧面与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力Ffm由Ffm=μFN（FN为正压力）求得．有一次放学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不能将门关上（这种现象称为自锁），此刻暗锁所处的状态的俯视图如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x，下列说法正确的是（　　） A．自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向向右 B．锁舌D在水平面内共受到4个力的作用 C．自锁时锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小为 D．无论用多大的力拉门,暗锁仍然能够保持自锁状态,则至少为 【变式训练30】如图所示，两木块A、B质量均为m，用劲度系数为k、原长为L的轻弹簧连在一起，放在倾角为α的传送带上，两木块与传送带间的动摩擦因数均为μ，用与传送带平行的细线拉住木块A，传送带按图示方向匀速转动，两木块处于静止状态，重力加速度为g.求： (1)A、B两木块之间的距离； (2)剪断细线瞬间，A、B两木块加速度分别为多大． 【变式训练31】如图所示，在光滑的水平杆上穿两个重力均为2 N的球A、B，在两球之间夹一弹簧，弹簧的劲度系数为10 N/m，用两条等长的线将球C与A、B相连，此时弹簧被压短了10 cm，两条线的夹角为60°，求： (1)杆对A球的支持力的大小； (2)C球的重力大小。 题型04：相似三角形法解弹簧问题 【典型例题1】如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑的半球形容器底部处O（O为球心），弹簧另一端与质量为m的小球相连，小球静止于P点。已知容器半径为R、与水平面间的动摩擦因数为μ，OP与水平方向的夹角为θ＝30°求轻弹簧对小球的作用力大小为多少，圆弧面对小球的支持力？ 【答案】：设弹簧对小球的支持力为F2圆弧对小球的支持力为F1， F1=F2=mg 【解析】：如图所示，对小球受力分析，将小球所受的力放下封闭的三角形中，根据相似三角形对应边成比例：，由题意可知：OP=OO,=O,P，故： F1= F2=mg 【变式训练1】（多选）如图所示，质量均为的小球、用劲度系数为的轻弹簧相连，球用长为的细绳悬于点，球固定在点正下方，当小球平衡时，绳子所受的拉力为，弹簧的弹力为；现把、间的弹簧换成原长相同但劲度系数为的另一根轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为，弹簧的弹力为，则下列关于与、与大小之间的关系，正确的是（　　） A. B. C. D. 【变式训练2】如图8所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片．若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为(　 　)． 图8 A．kL B．2kL C.kL D.kL 【变式训练3】如图所示，光滑的大圆环固定在竖直平面上，圆心为点，为环上最高点。轻弹簧的一端固定在点，另一端拴接一个套在大环上的小球，小球静止在图示位置。下列说法正确的是（    ） A．弹簧可能处于压缩状态 B．弹簧的弹力小于球的重力 C．大圆环对小球的弹力方向可能指向点 D．小球受到弹簧的弹力与重力的合力一定指向点 【变式训练4】如图所示，在半圆形光滑凹槽内，两轻质弹簧的下端固定在槽的最低点，另一端分别与小球、相连．已知两球在图示、位置静止．则下列说法中正确的是（ ） A． 若两球质量相同，则球对槽的压力较小 B． 若两球质量相同，则两球对槽的压力大小相等 C． 若球的质量大，则弹簧的劲度系数大 D． 若球的质量大，则弹簧的弹力大 题型05：弹簧与牛顿第二定律 【典型例题1】(多选)质量分别为2 kg和3 kg的物块A、B放在光滑水平面上并用轻质弹簧相连,如图所示。今对物块A、B分别施以方向相反的水平力F1、F2,且F1=20 N,F2=10 N,则下列说法正确的是(　　)。 A.弹簧的弹力大小为16 N B.若把弹簧换成轻质绳,则绳对物体的拉力大小为零 C.如果只有F1作用,则弹簧的弹力大小变为12 N D.若F1=10 N,F2=20 N,则弹簧的弹力大小不变 【答案】AC 【解析】对两个物体整体运用牛顿第二定律,有-=(+)a;再对物体A运用牛顿第二定律有-F=a,由两式解得F=16N,A项正确。若把弹簧换成轻质绳,同理根据牛顿第二定律列式得到绳对物体的拉力大小也是16N,故B项错误。如果只有作用,整体向左匀加速运动,则对B研究得弹簧的弹力大小F'=a=·=12N,C项正确。若=10N, =20N,则-=(+)a;再对物体B受力分析得-F″=a,解得F″=14N,D项错误。 【典型例题2】如图所示，足够长的、倾角为的光滑斜面上，档板C与斜面垂直。质量均为m的A、B两相同物块与劲度系数为k的轻弹簧两端相连，在C的作用下处于静止状态。现给A施加沿斜面向上的恒力F，使A、B两物块先后开始运动。已知弹簧始终在弹性限度内，下列判断正确的是　　 A. 恒力F的值一定大于mg B. 物块B开始运动时，物块A的加速度为 C. 物块B开始运动时，A发生位移的值为 D. 当物块B的速度第一次最大时，弹簧的形变量为 【答案】B 【解析】物块B开始运动时，弹簧的弹力大小，此时A可能在做减速运动，则有，选项A错误；物块B开始运动时，由牛顿运动定律，物块A的加速度为，故选项B正确；初始时弹簧的压缩量物块B开始运动时，弹簧的伸长量，所以A发生位移的值为，选项C错误；当物块B的速度第一次最大时，合力为零，则有，可得弹簧的形变量，选项D错误。此题正确选项为B。 【名师点评】本题是含有弹簧的力学问题，关键分析弹簧的状态，根据平衡条件求得弹簧的压缩的和伸长的长度，采用隔离法分析两个物体的受力情况。 【变式训练1】如图5所示，质量分别为2m和3m的两个小球静止于光滑水平面上，且固定在劲度系数为k的轻质弹簧的两端．今在质量为2m的小球上沿弹簧轴线方向施加大小为F的水平拉力，使两球一起做匀加速直线运动，则稳定后弹簧的伸长量为(　　) A.B.C.D. 【变式训练2】一轻弹簧两端分别连接物体a、b，在水平力作用下共同向右做匀加速运动，如图13所示，在水平面上时，力为F1，弹簧长为L1，在斜面上时，力为F2，弹簧长为L2，已知a、b两物体与接触面间的动摩擦因数相同，则轻弹簧的原长为( 　)． 图13 A.　　 B. C.　　D. 【变式训练3】如图7所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝6kg的物体P，Q为一质量为m2＝10kg的物体，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600N/m，系统处于静止状态．现给物体Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后F为恒力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求： (1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量x0； (2)物体Q从静止开始沿斜面向上做匀加速运动的加速度大小a； (3)力F的最大值与最小值． 题型06:弹簧的瞬时性 【典型例题1】如图所示，质量均为m的物块a、b之间用竖直轻弹簧相连，系在a上的细线竖直悬挂于固定点O，a、b与竖直粗糙墙壁接触，整个系统处于静止状态。重力加速度大小为g，则（　　） A．弹簧弹力小于mg B．细线的拉力可能等于mg C．剪断细线瞬间物块b的加速度大小为g D．剪断细线瞬间物块a的加速度大小为2g 【答案】D 【解析】 A．物块b受力平衡，故弹簧弹力等于mg。故A错误； B．整个系统受力平衡，则细线的拉力等于2mg。故B错误； C．剪断细线瞬间物块b的受力没有变化，加速度大小为零。故C错误； D．剪断细线瞬间物块a所受细线拉力消失，其他力没变化，则有 可得加速度大小为2g。 故选D。  【典型例题2】如图所示，吊篮A、物体B、物体C的质量均为m，B和C分别固定在竖直弹簧两端，弹簧的质量不计，重力加速度大小为g。整个系统在轻绳悬挂下处于静止状态，现将悬挂吊篮的轻绳剪断，在轻绳刚断的瞬间，下列说法正确的是（　　）    A．A、C间的弹力大小为0.5mg B．物体B的加速度大小为g C．物体C的加速度大小为2g D．吊篮A的加速度大小为3g 【答案】A 【解析】B．在轻绳刚断的瞬间，弹簧的弹力不能突变，则物体B受力情况不变，故物体B的加速度大小为零，故B错误； CD．将C和A看成一个整体，根据牛顿第二定律得 ， 解得 即A、C的加速度均为1.5g，故CD错误； A．轻绳刚断的瞬间，吊篮A受到重力和物体C对吊篮A的作用力，对吊篮A有 得 故A正确。 故选A。 【典型例题3】如图所示，轻绳一端连接一质量为m的物体，另一端固定在左侧竖直墙壁上，轻绳与竖直墙壁间夹角为，物体右侧与一轻弹簧相连，轻弹簧另一端固定于右侧竖直墙壁上，此时物体对光滑地面的压力恰好为零，重力加速度，则 A. 此时物体受四个力作用 B. 若突然撤去弹簧的瞬间，物体向左加速运动 C. 若突然剪断轻绳的瞬间，物体受2个力作用 D. 若突然剪断轻绳的瞬间，物体的加速度大小为 【答案】D 【解析】A.此时物体对地面的压力恰好为零，由受力分析可知物体受重力mg、绳子拉力F和弹簧弹力个力作用，故A错误；B.若突然撤去弹簧的瞬间，轻绳中张力发生突变，物体受重力和地面的支持力的作用，保持静止，故B错误；剪断绳子前，，，若突然剪断轻绳的瞬间，物体受重力、支持力、弹簧弹力三个力，则此时物体所受合力大小为：，联立解得，故C错误，D正确。故选D。   【典型例题4】如图所示，A、B两小球分别用轻质细绳L1和轻弹簧系在天花板上，A、B两小球之间用一轻质细绳L2连接，细绳L1、弹簧与竖直方向的夹角均为θ，细绳L2水平拉直，现将细绳L2剪断，则细绳L2剪断瞬间，下列说法正确的是(　　) A. ＝g sin θ B. ＝g tan θ C．＝g sin θ D．＝g tan θ 【答案】AD 【解析】将细绳L2从中间剪断后，甲球做圆周运动，剪断细绳的瞬间，加速度方向沿轨迹的切线方向；对A由牛顿第二定律得mg sin θ＝m，解得＝g sin θ。弹簧的弹力不可突变，将细绳L2从中间剪断瞬间，对B球，由牛顿第二定律得mg tan θ＝m，解得＝g tan θ，故选项A、D正确。 【变式训练1】如图所示，轻弹簧上端与一质量为m的木块1相连，下端与另一质量为M的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态．现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1，2的加速度大小分别为、重力加速度大小为则有：（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【变式训练2】多选质量分别为1kg和2kg的物块A、B放在光滑水平面上并用轻质弹簧相连，如图所示，今用大小为的力作用在A上使AB相对静止一起向左匀加速运动，则下列说法正确的是 A. 弹簧的弹力大小等于8N B. 弹簧的弹力大小等于6N C. 突然撤去F瞬间，A的加速度大小为0 D. 突然撤去F瞬间，B的加速度大小为 【变式训练3】如图所示，质量分别为m和3m的A、B两物块，用一轻弹簧相连，将A用轻绳悬挂于天花板上，用一木板托住物块B。调整木板的位置，当系统处于静止状态时，悬挂A物块的悬绳恰好伸直且没有拉力，此时轻弹簧的形变量为x，突然撤去木板，重力加速度为g，物块运动过程中，弹簧始终在弹性限度内，则下列说法正确的是（　　）    A．撤去木板瞬间，B物块的加速度大小为g B．撤去木板瞬间，B物块的加速度大小为0.5g C．撤去木板后，B物块向下运动3x时速度最大 D．撤去木板后，B物块向下运动4x时速度最大 【变式训练4】.如图所示，质量为m的小球被水平绳AO和与竖直方向成θ角的轻弹簧系着处于静止状态，现将绳AO烧断，在绳AO烧断的瞬间，下列说法正确的是(　　) A．弹簧的拉力F＝ B．弹簧的拉力F＝mg sin θ C．小球的加速度为零 D．小球的加速度a＝g sin θ 【变式训练5】（多选）如图所示，A、B两球质量相等，平衡时甲图中弹簧长度与乙图中细绳OB长度相等，乙图中弹簧长度与甲图中细绳OA长度相等，且OA水平，乙图中弹簧水平，甲图中弹簧与竖直方向的夹角和乙图中OB与竖直方向的夹角都为，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙图中两弹簧弹力大小之比为 B. 剪断OA绳瞬间，小球A的加速度大小为 C. 剪断乙图弹簧瞬间，小球B的加速度大小为 D. 将甲图中OA绳剪断，乙图中弹簧剪断后，两小球各自运动到悬点正下方时，小球A速度大 【变式训练6】（多选）如图所示，水平地面上放有一带支架的木板，质量为m的小球通过轻质弹簧悬挂在支架的O点。现通过细线对小球施加一水平拉力，在拉力作用下轻弹簧与竖直方向成角，系统保持静止。重力加速度为g。当剪断细线的瞬间，下列判断正确的是（　　）    A．小球的加速度为零 B．小球的加速度大小为，方向水平向右 C．地面对木板的摩擦力为零 D．地面对木板的摩擦力大小为，方向水平向右 【变式训练7】（多选）如图所示，质量为m的球与弹簧Ⅰ和水平细线Ⅱ相连，Ⅰ、Ⅱ的另一端分别固定于P、Q两点。球静止时，Ⅰ中拉力大小为T1，Ⅱ中拉力大小为T2，当仅剪断Ⅰ、Ⅱ中的一根的瞬间，球的加速度a应是(　　) A．若剪断Ⅰ，则a＝g，方向竖直向下 B．若剪断Ⅱ，则a＝，方向水平向左 C．若剪断Ⅰ，则a＝，方向沿Ⅰ的延长线 D．若剪断Ⅱ，则a＝g，方向竖直向上 【变式训练8】如图所示，质量为m的小球用水平弹簧系住，并用倾角为的光滑木板AB托住，小球恰好处于静止状态。当木板AB突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为 A. 0 B. 大小为，方向垂直木板向下 C. 大小为g，方向竖直向下 D. 大小为，方向水平向右 【变式训练9】如图甲、乙所示，细绳拴一个质量为m的小球，小球分别用固定在墙上的轻质铰链杆和轻质弹簧支撑，平衡时细绳与竖直方向的夹角均为，轻杆和轻弹簧均水平。已知重力加速度为g，，。下列结论正确的是    A. 甲、乙两种情境中，小球静止时，细绳的拉力大小均为 B. 甲图所示情境中，细绳烧断瞬间小球的加速度大小为 C. 乙图所示情境中，细绳烧断瞬间小球的加速度大小为 D. 甲、乙两种情境中，细绳烧断瞬间小球的加速度大小均为    【变式训练10】．如图所示，物块1、2间用刚性轻质杆连接，物块3、4间用轻质弹簧相连，物块1、3质量为m，2、4质量为M，两个系统均置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将两木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，物块1、2、3、4的加速度大小分别为a1、a2、a3、a4.重力加速度大小为g，则有( ) A．a1＝a2＝a3＝a4＝0 B．a1＝a2＝a3＝a4＝g C．a1＝a2＝g，a3＝0，a4＝g D．a1＝g，a2＝g，a3＝0，a4＝g 【变式训练11】（多选）如图所示，质量均为的物块A、B用轻弹簧相连放置于倾角为的光滑固定斜面上，物块B与垂直于斜面的挡板C接触，物块A系一轻质细绳，细绳、轻弹簧均与斜面平行，细绳绕过斜面顶端的轻质光滑定滑轮系一重物D，静止时物块B恰好不离开挡板此时弹簧在弹性限度内。已知弹簧的劲度系数，重力加速度，则下列分析正确的是 A. 若在与物块A接触处剪断弹簧，则剪断瞬间A的加速度大小为 B. 若在与物块A接触处剪断弹簧，则剪断瞬间A的加速度大小为 C. 若剪断细绳，则剪断瞬间A的加速度大小为 D. 若剪断细绳，则剪断瞬间A的加速度大小为 【变式训练12】如图所示，在倾角的光滑固定斜面上，物块A、B质量均为m，物块A与轻弹簧相连，物块B用平行于斜面的细线与斜面顶端相连，A，B静止且两者之间的弹力大小为，重力加速度为g，，，某时刻把细线剪断，下列说法正确的是（ ） A. 细线剪断前，细线的拉力大小为 B. 细线剪断前，弹簧弹力大小为 C. 细线剪断瞬间，A，B之间的弹力大小为 D. 细线剪断瞬间，A，B之间的弹力大小为 【变式训练13】（多选）光滑斜面上，当系统静止时，挡板C与斜面垂直，弹簧、轻杆均与斜面平行，A、B质量相等。在突然撤去挡板的瞬间，下列说法正确的是 A. 两图中两球加速度均为 B. 两图中A球的加速度均为零 C. 图甲中B球的加速度为 D. 图乙中B球的加速度为 【变式训练14】多选如图所示，质量均为的物块A、B用轻弹簧相连放置于倾角为的光滑固定斜面上，物块B与垂直于斜面的挡板C接触，物块A系一轻质细绳，细绳、轻弹簧均与斜面平行，细绳绕过斜面顶端的轻质光滑定滑轮系一重物D，静止时物块B恰好不离开挡板此时弹簧在弹性限度内。已知弹簧的劲度系数，重力加速度，则下列分析正确的是 A. 若在与物块A接触处剪断弹簧，则剪断瞬间A的加速度大小为 B. 若在与物块A接触处剪断弹簧，则剪断瞬间A的加速度大小为 C. 若剪断细绳，则剪断瞬间A的加速度大小为 D. 若剪断细绳，则剪断瞬间A的加速度大小为 【变式训练15】．如图，倾角为30°、质量为的斜面体置于光滑水平面上。轻弹簧的上端固定在斜面体的顶端A处，下端拴一质量为的小球。现让系统在水平恒力F的作用下以加速度大小为水平向左做匀加速直线运动。已知重力加速度大小为g，静止时弹簧与斜面平行，不计一切摩擦和空气阻力。若突然撤去力F，在撤去力F的瞬间，假设小球与斜面之间的弹力不变，则（　　）    A．弹簧的弹力大小为 B．小球对斜面的压力大小为 C．斜面体的加速度大小为 D．小球的加速度大小为0 【变式训练16】．（多选）如图所示，A、B、C三个物体分别用轻绳和轻弹簧连接，放置在倾角为θ的光滑斜面上，当用沿斜面向上的恒力F作用在物体A上时，三者恰好保持静止，已知A、B、C三者质量相等，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．在轻绳被烧断的瞬间，C的加速度大小为0 B．在轻绳被烧断的瞬间，B的加速度大小为 C．剪断弹簧的瞬间，C的加速度大小为 D．突然撤去外力F的瞬间，A的加速度大小为0 题型07：弹簧与动量 【典型例题1】如图所示，质量为3m的小物块B静止放在光滑水平面上，左端固定一轻质弹簧，弹簧劲度系数为k，质量为m的小物块A以初速度v0与弹簧碰撞并压缩弹簧，经时间t物块A、B速度大小相同，此过程中小物块B运动的位移为d，之后弹簧弹开，已知两物块始终在同一直线上运动，v0t＝d0，下列说法中正确的是（　　） A．当弹簧恢复原长时，物块A、B的速度相同 B．从开始压缩弹簧到弹簧压缩到最短，A物块的位移为d0﹣3d C．从开始压缩弹簧到弹簧完全弹开，弹簧的最大弹力为4kd D．从开始压缩弹簧到弹簧完全弹开，经历的时间为3t 【解答】解：A、从物块A与弹簧接触到分离过程，以向右为正方向， 根据动量守恒定律有：m＝m+3m 由机械能守恒定律有： 联立解得：， 由此可知，A、B速度大小相等，但方向相反，故A错误； B、弹簧压缩到最短时，A、B共速，根据动量守恒有：m＝（m+3m）v 解得： 根据牛顿第二定律，A、B加速度任意时刻之比都为3：1，故平均加速度之比也为3：1 对B，参照匀变速运动规律有：d 那么对A：＝t﹣3d，故B正确； C、弹簧的压缩量为：Δx＝﹣＝﹣3d﹣d＝﹣4d，最大弹力为k•Δx＝k（﹣4d）≠4kd，故C错误； D、从压缩弹簧到弹簧完全弹开，物块B速度由0增大至，与由增大至的过程中受到的弹力对称，速度变化相同，故两段时间相同，从开始压缩弹簧到弹簧恢复原长，经历的时间为2t，故D错误。 故选：B。 【变式训练1】如图所示，静止在光滑水平桌面上的物块A和B用一轻质弹簧栓接在一起，弹簧处于原长。一颗子弹沿弹簧轴线方向射入物块A并留在其中，射入时间极短。下列说法正确的是（　　） A．子弹射入物块A的过程中，两物块的动量守恒 B．子弹射入物块A的过程中，子弹对物块A的冲量大小大于物块A对子弹的冲量大小 C．子弹射入物块A的过程中，子弹和物块A的机械能守恒 D．两物块运动过程中，弹簧最短时的弹性势能等于弹簧最长时的弹性势能 【变式训练2】如图甲所示，在光滑水平面上的轻质弹簧一端固定，物体A以速度v0向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x；现让该弹簧一端连接另一质量为m的物体B（如图乙所示），静止在光滑水平面上。物体A以2v0的速度向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x。已知整个过程弹簧处于弹性限度内，则（　　） A．物体A的质量为2m B．物体A的质量为6m C．弹簧压缩量为最大值x时的弹性势能为 D．弹簧重新恢复原长时，物体B的动量大小为 【变式训练3】如图所示，A、B和C是光滑水平面上的三个质量都为m的相同的小球，其中B、C两小球用不计质量的轻质弹簧连接后静止在水平面上。现A球以速度v0沿B、C两球球心的连线向B球运动，碰后A、B两球粘在一起。对A、B、C及弹簧组成的系统，下列说法正确的是（　　） A．机械能守恒，动量不守恒 B．弹簧的最大弹性势能等于 C．三球速度相等时，弹簧一定处于压缩状态 D．三球速度相等后，速度将保持不变 【变式训练4】在距地面高为h的水平光滑桌面上放置着质量均为m的A、B两个物体（A、B可视为质点，开始时B离桌面左端足够远），A的左端紧紧插入一质量不计的弹簧，弹簧保持水平。现给A一个水平向左的瞬时冲量I，A获得一个初速度之后通过弹簧和B发生正碰，问： （1）A获得的初速度v0大小； （2）B脱离弹簧后，到达桌面左边缘，并沿桌面飞出，求其落地速度v大小。 题型08：与弹簧有关的能量问题 【典型例题1】（多选）如图甲所示，轻弹簧下端固定在倾角37°的粗糙斜面底端A处，上端连接质量3kg的滑块（视为质点），斜面固定在水平面上，弹簧与斜面平行。将滑块沿斜面拉动到弹簧处于原长位置的D点，由静止释放到第一次把弹簧压缩到最短的过程中，其加速度a随位移x的变化关系如图乙所示，重力加速度取10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是 A.滑块先做匀加速后做匀减速运动 B.滑块与斜面间的动摩擦因数为0.1 C．弹簧的劲度系数为180 N/m D.滑块在最低点时，弹簧的弹性势能为3.12 J 【答案】BD 【解析】本题考查了运动过程分析、牛顿第二定律、胡克定律、功能关系及其相关知识点，意在考查从图像中获取信息能力、分析综合能力、应用数学知识解决物理问题能力，体现的核心素养是运动和力的观念、能量观念和科学思维能力。 由图乙可知，物块运动的加速度先减小后增大，滑块先做加速度逐渐减小的加速运动，后做加速度逐渐增大的减速运动，选项A错误；将滑块沿斜面拉动到弹簧处于原长位置的D点，由静止释放时，弹簧弹力为零，由图乙可知，其加速度为a1=5.2m/s2，根据牛顿第二定律，mgsin37°-μmgcos37°=ma1，解得.滑块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.1，选项B正确；当滑块位移为x=0.2m时，弹簧沿斜面向上的弹力F=kx，物块加速度a2=-5.2m/s2，根据牛顿第二定律，mgsin37°-μmgcos37°-F=ma2，解得弹簧的劲度系数为k=156 N/m，选项C错误；对由静止释放到第一次把弹簧压缩到最短的过程中，由功能关系，mgsin37°x-μmgcos37°x=Ep，滑块滑块在最低点时，弹簧的弹性势能为Ep =3.12 J，选项D正确。 【易错警示】解答此题常见错误主要有：一是把图乙的加速度随位移变化图像误认为是速度随时间变化图像，导致错选A；二是没有通过分析运动，分析受力，利用牛顿运动定律列方程得出滑块与斜面间的动摩擦因数，导致漏选B；三是没有根据滑块位移为x=0.2m时，正确应用牛顿第二定律列方程得出弹簧的劲度系数，导致错选C；四是没有正确运用功能关系得出滑块在最低点时弹簧的弹性势能，导致漏选D。 【典型例题2】一物块由O点下落，到A点时与直立于地面的轻弹簧接触，到B点时速度达到最大，到C点时速度减为零，然后被弹回．物块在运动过程中受到的空气阻力大小不变，弹簧始终在弹性限度内，则物块(　　) A. 从A下降到B的过程中，合力先变小后变大 B. 从A下降到C的过程中，加速度先增大后减小 C. 从C上升到B的过程中，动能先增大后减小 D. 从C上升到B的过程中，系统的重力势能与弹性势能之和不断增加 【答案】C 【解析】从A下降到B的过程中，物块受到重力和弹簧向上的弹力，重力大于弹力，弹力逐渐增大，合力逐渐减小，加速度逐渐变小，到B点时速度达到最大，此时重力和弹簧的弹力大小相等，合力为零，故A错误。从A下降到B的过程中，弹簧的弹力小于重力，物块的合力向下，合力方向与速度方向相同，物块的速度增大。从B下降到C的过程中，弹簧的弹力大于重力，物块的合力向上，合力方向与速度方向相反，物块的速度减小，则从A下降到C的过程中，速度先增大后减小，故B正确。从C上升到B的过程中，物块受到重力和弹簧向上的弹力，弹力大于重力，合力向上，合力方向与速度方向相同，则物块的速度增大，动能增大，故C错误。对于物块和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹力做功，所以系统的机械能守恒，即物块的动能、重力势能与弹性势能之和保持不变，从C上升到B的过程中，物块的动能增大，则系统的重力势能与弹性势能之和不断减小，故D错误。  【关键点拨】。 对物块正确受力分析，结合弹力的变化情况来分析合力的变化情况，再根据合力方向与速度方向的关系，判断速度的变化情况，从而确定动能的变化情况。根据系统的机械能守恒分析系统的重力势能与弹性势能之和变化情况。解决本题的关键要抓住弹簧弹力的可变性，判断合力的变化情况，从而判断出物块速度的变化情况。 【典型例题3】如图所示，固定斜面AB与水平面之间由一小段光滑圆弧连接，倾角为α，斜面的高度OB=h．细线一端固定在竖直挡板上，另一端连接一质量为m的小物块，在小物块和挡板之间压缩一轻质弹簧（小物块与弹簧不连接）。烧断细线，小物块被弹出，滑上斜面AB后，恰好能运动到斜面的最高点。已知AC=1，小物块与水平面、斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，则（　　） A. 细线烧断前弹簧具有的弹性势能为mgh+μmg+μmghcotα B. 在此过程中产生的内能为mgh+μmgl+μmghcotα C. 弹簧对小物块做功为μmgH+μmghcotα D. 在此过程中斜面对小物块的摩擦力做功为 【答案】A 【解析】根据能量守恒定律可知，细线烧断前弹簧具有的弹性势能等于物块在B点的重力势能和产生的内能之和，即为：Ep=mgh+μmg+μmgcosα•=mgh+μmg+μmghcotα，故A正确。 在此过程中产生的内能等于物块克服摩擦力做的功，为Q=μmg+μmgcosα•=μmg+μmghcotα，故B错误。 弹簧对小物块做功等于细线烧断前弹簧具有的弹性势能，为mgh+μmg+μmghcotα，故C错误。 在此过程中斜面对小物块的摩擦力做功为Wf=-μmg-μmgcosα•=-μmg-μmghcotα，故D错误。 【关键点拨】 根据能量守恒定律求细线烧断前弹簧具有的弹性势能。在此过程中产生的内能等于小物块克服摩擦力做的功。根据动能定理求弹簧对小物块做功。根据功的公式求斜面对小物块的摩擦力做功。 解答本题的关键要知道物体在运动过程中存在着哪些形式的能的转化，知道做功过程中功是能量转化的量度。 【典型例题4】（多选）如图所示，长为L的轻弹簧AB两端等高地固定在竖直墙面上，弹簧刚好处于原长．现在其中点O处轻轻地挂上一个质量为m的物体P后，物体向下运动，当它运动到最低点时，弹簧与竖直方向的夹角为θ，若取初始位置为零重力势能面、重力加速度为g，则下列说法中正确的是(　　) A. 物体向下运动的过程中，加速度先减小，后增大 B. 物体在最低点时，AO部分弹簧对物体的拉力大小为 C. 物体在最低点时，弹簧的弹性势能为 D. 若换用劲度系数较小的弹簧，则弹簧的最大弹性势能增大 【答案】ACD　 【解析】 物体向下运动，弹簧弹力增大，所受合外力减小，加速度减小，方向向下，当加速度为零时，重力和弹簧弹力的合力相等，速度最大，物体继续向下运动，弹簧弹力增大，合力增大，加速度增大，方向向上，到达最低点时速度为零，故加速度先减小后增大，A正确；当加速度为零时，重力和弹簧弹力的合力相等，物块继续向下运动，弹簧弹力增大，弹簧弹力的合力F大于重力，则有2F cos θ>mg，解得F>，故B错误；根据能量守恒定律，物体在最低点时，速度为零，动能为零，物块减小重力势能转化为弹簧的弹性势能，由几何关系得物块下降的高度h＝，故弹簧的弹性势能为ΔE弹＝mgh＝，C正确；若换用劲度系数较小的弹簧，则物体下落的高度将比原来增大，根据功能关系弹簧的最大弹性势能增大，D正确． 【变式训练1】.如图所示.轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A静止于光滑水平桌面上，右端接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。开始时用手托住B，让细线恰好伸直然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是（ ） A.B物体的动能增加量等于B物体重力势能的减少量 B.B物体机械能的减少量等于弹簧的弹性势能的増加量 C. A的动能先增大后减小 D.细线拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量 【变式训练2】（多选）如图所示，一根粗细均匀的光滑细杆竖直固定，质量为m的小环C穿在细杆上，一个光滑的轻质小滑轮D固定在竖直墙上（竖直墙在图中没有画出）。A、B两物体用轻弹簧相连，竖直放在水平面上。一根没有弹性的轻绳，一端与A连接，另一端跨过小滑轮D与小环C相连。小环C位于M时，绳子与细杆的夹角为θ，此时B物体刚好对地面无压力。现让小环C从M点由静止释放，当下降h到达N点时，绳子与细杆的夹角再次为θ，环的速度达到v，下面关于小环C下落过程中的描述正确的是（　　） A. 小环C和物体A组成的系统机械能守恒 B. 当小环落到与滑轮同一高度时，小环的机械能最大 C. 小环C到达N点时A的速度为vcosθ D. 小环C到达N点时物体A的动能为mgh-mv2 【变式训练3】如图所示，半径为R的光滑大圆环用一细杆固定在竖直平面内，质量为m的小球A套在大圆环上。上端固定在杆上的轻质弹簧与质量为m的滑块B连接井一起套在杆上，小球A和滑块B之间用长为2R的轻杆分别通过铰链连接，当小球A位于圆环最高点时、弹簧处于原长；此时给A一个微小扰动（初速度视为0），使小球A沿环顺时针滑下，到达环最右侧时小球A的速度为为重力加速度。不计一切摩擦，A、B均可慢为质点，则下列说法正确的是　　 A. 小球A、滑块B和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能守恒 B. 小球A从圆环最高点到达环最右侧的过程中滑块B的重力能减小 C. 小球A从圆环最高点到达环最右侧的过程中小球A的重力势能减小了 D. 小球A从圆环最高点到达环最右侧的过程中弹簧的弹性势能增加了 【变式训练4】（多选）质量相等的两木块A、B用一轻弹簧拴接，静置于水平地面上，如图(a)所示。现用一竖直向上的力F拉动木块A，使木块A向上做匀加速直线运动，如图(b)所示。从木块A开始做匀加速直线运动到木块B将要离开地面时的这一过程(设此过程弹簧始终处于弹性限度内)，下列说法正确的是 (　　) A.力F一直增大 B.弹簧的弹性势能一直减小 C.木块A的机械能一直增大 D.木块A、B和轻弹簧组成的系统的机械能先增大后减小 【变式训练5】（多选）如图所示，倾角为30°的光滑斜面底端固定一轻弹簧，O点为原长位置。质量为0.5kg的滑块从斜面上A点由静止释放，物块下滑并压缩弹簧到最短的过程中，最大动能为8J．现将物块由A点上方0.4m处的B点由静止释放，弹簧被压缩过程中始终在弹性限度内，g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．A点到O点的距离小于3.2m B．从B点释放后滑块运动的最大动能为9J C．从B点释放滑块被弹簧弹回经过A点的动能小于1J D．从B点释放弹簧最大弹性势能比从A点释放增加了1J 【变式训练6】（多选）如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L，B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长．现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°，A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g．则此下降过程中（　　） A. A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于 mg B. A的动能最大时，B受到地面的支持力等于 mg C. 弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下 D. 弹簧的弹性势能最大值为 mgL 【变式训练7】如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m、套在光滑竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长．圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，重力加速度为g，则下列说法不正确的是(　　) A. 由A到C的过程中，圆环的加速度先减小后增大 B. 由A到C的过程中，圆环的动能与重力势能之和先增大后减少 C. 由A到B的过程中，圆环动能的增加量小于重力势能的减少量 D. 在C处时，弹簧的弹性势能为mgh 【变式训练8】（多选）把质量是0.2kg的小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A的位置，如图甲所示；迅速松手后，弹簧把球弹起，球升至最高位置C（图丙）途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态（图乙）．已知B、A的高度差为0.1m，C、B的高度差为0.2m，弹簧的质量和空气阻力均忽略不计．重力加速度g=10m/s2，则有（　　） 　 A．小球从A上升至B的过程中，弹簧的弹性势能一直减小，小球的动能一直增加 　 B．小球从B上升到C的过程中，小球的动能一直减小，势能一直增加 　 C．小球在位置A时，弹簧的弹性势能为0.6J 　 D．小球从位置A上升至C的过程中，小球的最大动能为0.4J 【变式训练9】（多选）如图所示，在水平光滑地面上有A、B两个木块，A、B之间用一轻弹簧连接．A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间弹簧压缩并处于静止状态．若突然撤去力F，则下列说法中正确的是（   ） A. 木块A离开墙壁前，A，B和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒 B. 木块A离开墙壁前，A，B和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒 C. 木块A离开墙壁后，A，B和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒 D. 木块A离开墙壁后，A，B和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒 【变式训练10】（多选）在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻弹簧相连接的物块A、B，它们的质量均为m，弹簧劲度系数为k，C为一固定挡板，系统处于静止状态。现用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，当物块B刚要离开C时，A的速度为v，则此过程(弹簧的弹性势能与弹簧的伸长量或压缩量的平方成正比，重力加速度为g)(　　) A．物块A运动的距离为 B．物块A加速度为 C．拉力F做的功为mv2 D．拉力F对A做的功等于A的机械能的增加量 【变式训练11】（多选）如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，一质量为m=0.2kg的小球，从弹簧上端某高度处自由下落，从它接触弹簧到弹簧压缩至最短的过程中（弹簧始终在弹性限度内），其速度v和弹簧压缩量△x之间的函数图象如图乙所示，其中A为曲线的最高点，小球和弹簧接触瞬间机械能损失不计，取g=10m/s2，则下列说法正确的是（ ） A．小球刚接触弹簧时速度最大 B．当△x=0.3m时，小球处于超重状态 C．该弹簧的劲度系数为20.0N/m D．从接触弹簧到压缩至最短的过程中，小球的加速度先减小后增大 【变式训练12】如图所示，两个质量均为m的小滑块P、Q通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，P套在固定的竖直光滑杆上，Q放在光滑水平地面上，轻杆与竖直方向夹角=30°。原长为的轻弹簧水平放置，右端与Q相连，左端固定在竖直杆O点上。P由静止释放，下降到最低点时变为60°。整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中（　　） A．P、Q组成的系统机械能守恒 B．P、Q的速度满足 C．弹簧弹性势能最大值为 D．P达到最大动能时，P对杆的弹力等于0 【变式训练13】如图甲所示，长为L的长木板水平放置，可绕左端的转轴O转动，左端固定一原长为的弹簧，一质量为m的小滑块压缩弹簧到图甲中的a点（物体与弹簧不连接），Oa间距离为。将小滑块由静止释放后，木板不动，小滑块恰能到达木板最右端。将木板绕O点逆时针转动37°后固定，如图乙所示，仍将物体由a点静止释放，物体最多运动到离O点3L/4的b点。已知弹簧的弹性势能，其中k为弹性系数，Δx为弹簧的形变量。取sin37°=0.6，cos37°=0.8.下列说法正确的是（　 　） A．物体与木板间的动摩擦因数为 B．物体在a点时，弹簧的弹性势能为 C．长木板水平放置时，物体运动过程中的最大动能为 D．长木板水平放置时，物体运动过程中的最大动能为 【变式训练14】如图所示，轻质弹簧长为L，竖直固定在地面上，质量为m的小球，在离地面高度为H处，由静止开始下落，正好落在弹簧上，使弹簧的最大压缩量为x，在下落过程中，小球受到的空气阻力为F阻，则弹簧在最短时具有的弹性势能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练15】如图所示，质量为M的物体放在水平地面上，物体上方安装一劲度系数为k的轻弹簧，在弹簧处于原长时，用手拉着其上端P点很缓慢地向上移动，直到物体脱离地面向上移动一段距离。在这一过程中，P点的位移为H，则物体重力势能的增加量为（　　） A．MgH B．MgH＋ C．MgH－ D．MgH－ 【变式训练16】第一次把它直接拉到A点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功为W2，已知，弹簧始终在弹性限度内，则这两次弹力做功的关系为（　　） A． B． C． D． 【变式训练17】劲度系数分别为和的弹簧A和B连接在一起，拉长后将两端固定，如图，弹性势能、的关系是（　　） A． B． C． D．无法比较、的大小 【变式训练18】如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，一个光滑弧形槽静止放在足够长的光滑水平面上，弧形槽底端与水平面相切，让一个物块从槽上高h处由静止开始下滑。下列说法正确的是（　　） A．物块沿槽下滑的过程中，物块的机械能守恒 B．物块沿槽下滑的过程中，物块与槽组成的系统动量守恒 C．从物块压缩弹簧到被弹开的过程中，弹簧对物块的冲量等于零 D．物块第一次被反弹后一定不能再次回到槽上高h处 【变式训练19】轻质弹簧左端固定于竖直墙壁上，右端连接一小球，开始时小球静止在光滑水平直轨道上的O点，如图所示，现将小球沿轨道移到A点后由静止释放，小球运动到B点时速度刚好为零。忽略空气阻力，在小球由A运动到B的过程中，关于小球机械能的变化情况，以下判断正确的是（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【变式训练20】（多选）如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处由静止释放。某同学探究小球在接触弹簧后向下的运动过程，他以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，作出小球所受弹力F大小随小球下落的位置坐标x的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为g。以下判断正确的（　　） A．当x=h+x0时，重力势能与弹性势能之和最小 B．最低点的坐标为x=h+2x0 C．小球受到的弹力最大值等于2mg D．小球动能的最大值为 【变式训练21】（多选）如图甲所示，劲度系数为k的轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处自由下落，接触弹簧后继续向下运动。若以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下建立一坐标轴Ox，小球的速度v随时间t变化的图象如图乙所示。其中OA段为直线，AB段是与OA相切于A点的曲线，BC是平滑的曲线，则关于A、B、C三点对应的x坐标及加速度大小，下列说法正确的是（　　） A．xA＝h，aA＝0 B．xA＝h，aA＝g C．xB＝h＋，aB＝0 D．xC＝h＋，aC＝0 【变式训练22】（多选）如图所示，质量均为m的物块A、B用轻弹簧相连，置于光滑水平面上，在水平力F的作用下，弹簧处于压缩状态，A紧压在竖直墙壁上。现撤去力F，在以后的运动过程中B的最大的速度为v，对撤去力F以后的过程，以下说法正确的是（　　） A．物块A离开竖直墙壁之前，竖直墙壁对A的冲量大小为mv B．物块A离开竖直墙壁之前，竖直墙壁对A做功的大小为mv2 C．物块A、B和弹簧组成的系统总动量守恒，机械能守恒 D．物块A的最大速度为v 【变式训练23】（多选）如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点的过程中（　　） A．重物的机械能减少 B．系统的机械能不变 C．系统的机械能增加 D．系统的机械能减少 【变式训练24】（多选）把质量为m的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至A位置，如图甲所示，现将小球从A位置由静止释放，小球被弹簧弹起后升至最高位置C，如图丙所示，途中经过位置B时弹簧正好处于原长状态，如图乙所示，已知A、C两位置高度差为h，弹簧的质量和空气阻力均忽略不计，下列分析正确的是（　　） A．小球从A运动到C的运动过程中它的机械能守恒 B．小球从B运动到C的运动过程中它的机械能守恒 C．小球在位置B时它的动能最大 D．弹簧释放的弹性势能最大值等于mgh 【变式训练25】（多选）一升降机箱底部装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦和空气阻力的影响，则升降机在从弹簧下端触地直到最低点的一段运动过程中（　　） A．升降机的速度不断减小 B．升降机的加速度不断变大 C．先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功 D．重力势能减小，弹性势能增大 【变式训练26】（多选）用如图所示实验能验证动量守恒定律，两块小木块A和B中间夹着一轻质弹簧，用细线捆在一起，放在光滑的水平台面上，将细线烧断，木块A、B被弹簧弹出，最后落在水平地面上落地点与平台边缘的水平距离分别为，，实验结果表明下列说法正确的是（　　） A．木块A、B离开弹簧时的速度大小之比 B．木块A、B的质量之比 C．弹簧对木块A、B做功之比 D．木块A、B离开弹簧时的动能之比 【典型例题5】如图所示，小车右端有一半圆形光滑轨道BC相切车表面于B点，一个质量为m＝1.0 kg可以视为质点的物块放置在A点，随小车一起以速度v0＝5.0 m/s沿光滑水平面上向右匀速运动．劲度系数较大的轻质弹簧固定在右侧竖直挡板上．当小车压缩弹簧到最短时，弹簧自锁(即不再压缩也不恢复形变)，此时，物块恰好在小车的B处，此后物块恰能沿圆弧轨道运动到最高点C.已知小车的质量为M＝1.0 kg，小车的长度为l＝1.0 m，半圆形轨道半径为R＝0.4 m，物块与小车间的动摩擦因数为μ＝0.2，重力加速度g取10 m/s2.求： (1) 物块在小车上滑行时的加速度a； (2) 物块运动到B点时的速度vB； (3) 弹簧在压缩到最短时具有的弹性势能Ep以及弹簧被压缩的距离x. 【解析】 (1) μmg＝ma a＝μg＝2 m/s2 方向向左 (2) mg＝m 解得＝2 m/s) mg2R＝m－m 解得＝2 m/s (3) 对m：－μmg(l＋x)＝m－m 对M：μmgx－Ep＝0－M Ep＝(M＋m) －m－μmgl 解得Ep＝13 J x＝0.25 m 【典型例题6】如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态．直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)．随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R.已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝，重力加速度大小为g.(取sin 37°＝，cos 37°＝) (1)求P第一次运动到B点时速度的大小； (2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能； (3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点．G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R.求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量． 【解析】：(1)根据题意知，B、C之间的距离为 l＝7R－2R ① 设P到达B点时的速度为，由动能定理得 mglsin θ－μmglcos θ＝m ② 式中θ＝37° 联立①②式并由题给条件得 ＝2. ③ (2)设BE＝x.P到达E点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为Ep.P由B点运动到E点的过程中，由动能定理有 mgxsin θ－μmgxcos θ－Ep＝0－m ④ E、F之间的距离为＝4R－2R＋x ⑤ P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有 Ep－mgsin θ－μmgcos θ＝0 ⑥ 联立③④⑤⑥式并由题给条件得x＝R ⑦ Ep＝mgR. ⑧ (3)设改变后P的质量为m1.D点与G点的水平距离和竖直距离分别为 ＝R－Rsin θ ⑨ ＝R＋R＋Rcos θ ⑩ 式中，已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实． 设P在D点的速度为，由D点运动到G点的时间为t.由平抛运动公式有＝g⑪ ＝t⑫ 联立⑨⑩⑪⑫式得＝ ⑬ 设P在C点速度的大小为.在P由C点运动到D点的过程中机械能守恒，有 ＝＋g ⑭ P由E点运动到C点的过程中，由动能定理有 Ep－g(x＋5R)sin θ－μg(x＋5R)cos θ＝ ⑮ 联立⑦⑧⑬⑭⑮式得＝m. 答案：(1)2　(2)mgR　(3)　m 【变式训练1】如图所示，固定的光滑平台上固定有光滑的半圆轨道，轨道半径R=0.6m。平台上静止着两个滑块A、B，mA=0.1kg，mB=0.2kg，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车，静止在光滑的水平地面。小车质量为M=0.3kg，车面与平台的台面等高，车面左侧粗糙部分长度为L=0.8m，动摩擦因数为μ=0.2，右侧拴接一轻质弹簧，弹簧自然长度所在范围内车面光滑。点燃炸药后，A滑块到达轨道最高点时对轨道的压力大小恰好等于A滑块的重力，滑块B冲上小车。两滑块都可以看作质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，且爆炸后两个物块的速度方向在同一水平直线上，且g=10m/s2。求： (1)滑块在半圆轨道最低点对轨道的压力； (2)爆炸后A与B获得的总动能是多少？ (3)滑块B滑上小车后的运动过程中弹簧的最大弹性势能。 【变式训练2】如图所示，带有挡板的长木板置于光滑水平面上，轻弹簧放置在木板上，右端与挡板相连，左端位于木板上的B点。开始时木板静止，小铁块从木板上的A点以速度v0=4.0m/s正对着弹簧运动，压缩弹簧，弹簧的最大形变量xm=0.10m；之后小铁块被弹回，弹簧恢复原长；最终小铁块与木板以共同速度运动。已知当弹簧的形变量为x时，弹簧的弹性势能，式中k为弹簧的劲度系数；长木板质量M=3.0kg，小铁块质量m=1.0kg，k=600N/m，A、B两点间的距离d=0.70m。取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。求： （1）当弹簧被压缩最短时小铁块速度的大小v； （2）小铁块与长木板间的动摩擦因数μ； （3）试通过计算说明最终小铁块停在木板上的位置。 【变式训练3】如图所示，静止放置在光滑水平面上的A、B、C三个滑块，滑块A、B间通过一水平轻弹簧相连，滑块A左侧紧靠一固定挡板P，某时刻给滑块C施加一个水平冲量使其以初速度v0水平向左运动，滑块C撞上滑块B的瞬间二者粘在一起共同向左运动，弹簧被压缩至最短的瞬间具有的弹性势能为1.35J，此时撤掉固定挡板P，之后弹簧弹开释放势能，已知滑块A、B、C的质量分别为mA＝mB＝0.2kg，mC＝0.1kg，取＝3.17。求： (1)滑块C的初速度v0的大小； (2)当弹簧弹开至恢复到原长的瞬时，滑块B、C的速度大小。 【变式训练4】通过探究得到弹性势能的表达式为。式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧伸长（或缩短）的长度。请利用弹性势能的表达式计算下列问题。放在地面上的物体，上端系在劲度系数k＝400N/m的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图所示。手拉绳子的另一端，当往下拉0.1m时，物体开始离开地面，继续拉绳，使物体缓慢升高到离地h＝0.5m高处。如果不计弹簧质量和各种摩擦，求拉力所做的功以及弹簧的弹性势能。 【变式训练5】如图所示，物块A放在平台上，绕过定滑轮的细线一端连在物块A上，另一端连在物块B上，物块B与C用轻弹簧相连，物块C放在地面上，物块A、B、C的质量分别为2m、m、m，轻弹簧的原长为L0，劲度系数为，重力加速度为g，物块A与平台间的动摩擦因数为μ=0.2。开始时，物块A刚好要滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，然后给物块A施加一个大小为F=2mg的水平向右的拉力，求： (1)加上拉力F的瞬间，物块A的加速度a； (2)当物块B向上运动0.24L0的距离时，物块B的速度v； (3)若经过一段时间后撤去F，要使物块C能离开地面，则拉力至少需要做的功W。 【变式训练6】如图所示，在水平轨道右侧安放半径为的竖直圆形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然状态。质量为的小物块A（可视为质点）从轨道右侧以初速度冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道。物块A与PQ段间的动摩擦因数，轨道其他部分摩擦不计，重力加速度。求： (1)物块A与弹簧刚接触时的速度大小v1； (2)物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度h1； (3)调节PQ段的长度L，A仍以v0从轨道右侧冲上轨道，当L满足什么条件时，物块A能第一次返回圆形轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道？ 【变式训练7】如图所示，A、B、C三个可视为质点的小物块质量分别为m1、m2、m3，且m1＞m2。A、B通过不可伸长的轻质细线绕过光滑的轻质滑轮相连，B、C通过轻质弹簧相连。用手拖住A物体，使B、C间的竖直弹簧恰好处于原长状态。松手释放A后，A下降距离d时，C恰好脱离地面且不能再上升。已知重力加速度为g。现把A换成质量为2m1的D物块，再次由弹簧处于原长状态时释放D，求： (1)弹簧劲度系数k和释放D的瞬间D的加速度大小； (2)当C恰好脱离地面时D的速度大小。 【变式训练8】如图所示，足够长的光滑水平面上有A、B、C三物块，A、B质量都是2kg，C质量为4kg。A、B分别与一个特殊的轻弹簧两端相粘连，弹簧处于压缩得不能再压缩状态而被锁定，但还处于弹性限度内，此时弹簧储存的弹性势能为192J。现给A、B及弹簧整体一个向右的6m/s的速度，B与C碰后结合在一起不再分开。求： (1)B、C碰后C的速度 (2)若碰后运动过程中某时刻弹簧突然解锁，求当弹簧恢复自由时A、B、C的速度 【变式训练9】在水平轨道上有一弹簧左端系于A点，右端与质量为m的小球接触但不连接。现用外力推动小球将弹簧压缩至P点保持静止，此时弹性势能为EP=mgs（s为一定值）。P、B之间的距离为2.5s，小球与水平轨道的动摩擦因数为µ=0.1，静止释放弹簧，小球沿水平轨道向右运动从DB进入圆弧轨道，如图所示。BC是一段竖直墙面，DEF是固定在竖直平面内的一段光滑绝缘圆弧轨道，轨道上端D点的切线水平，B、D间距很小，可看作重合的点。圆心O与轨道下端F的连线与竖直墙面的夹角为。在BC右边整个空间有水平向左、大小为F0=0.75mg的恒定风力，小球进入圆孤轨道之后恰好能沿着轨道DEF运动，一段时间后从轨道下端F处脱离，最后打在竖直墙面BC的C点。已知重力加速度为g，sin=0.8，求： (1)小球运动到B点的速度大小； (2)轨道DEF的半径R； (3)小球打在C点前瞬间的速度大小。 【变式训练10】如图所示，斜面倾角为，在斜面底端垂直斜面固定一挡板，轻质弹簧一端固定在挡板上，质量为M=1.0kg的木板与轻弹簧接触、但不拴接，弹簧与斜面平行、且为原长，在木板右上端放一质量为m=2.0kg的小金属块，金属块与木板间的动摩擦因数为1=0.75，木板与斜面粗糙部分间的动摩擦因数为2=0.25，系统处于静止状态。小金属块突然获得一个大小为v1=5.3m/s、平行斜面向下的速度，沿木板向下运动。当弹簧被压缩x=0.5m到P点时，金属块与木板刚好达到相对静止，且此后运动过程中，两者一直没有发生相对运动。设金属块从开始运动到木块达到共速共用时间t=0.75s，之后木板压缩弹簧至最短，然后木板向上运动，弹簧弹开木板，弹簧始终处于弹性限度内，已知sin=0.28、cos=0.96，g取10m/s2，结果保留二位有效数字。 (1)求木板开始运动瞬间的加速度； (2)假设木板由P点压缩弹簧到弹回P点过程中不受斜面摩擦力作用，求木板离开弹簧后沿斜面向上滑行的距离。 题型09：弹簧在静电场中的应用 【典型例题1】如图所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为q(q>0)的相同小球，小球之间用劲度系数均为k0的轻质弹簧绝缘连接．当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为l，已知静电力常量为k，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 对第三个小球受力分析，第三个小球受三个力的作用， 它们的关系是 解得 所以弹簧的原长为 故B正确，ACD错误。 故选B。 【典型例题2】如图所示，用劲度系数为的轻弹簧悬挂一个绝缘带有电荷量为的小球A，此时弹簧的长度为。在A的正下方放一个带电球B时，弹簧伸长量增加，此时两球相距。已知静电力常量为，A、B可视为点电荷，则（　　） A．A球受到的库仑力是 B．A球受到的库仑力是 C．B球带负电，电荷量是 D．B球带负电，电荷量是 【答案】D 【解析】 AB．A球受到的库仑力 故AB错误； CD．弹簧伸长，说明A和B相互吸引，带电性不同，故B球带负电，根据库仑定律 则 解得 故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练1】如图所示，内壁光滑粗细均匀的玻璃管竖直固定，在玻璃管内有大小和质量均相等的A、B、C三只小球，A、B小球之间用轻质绝缘弹簧连接，C小球置于玻璃管底部。当A、B、C小球均处于静止时，A、B小球之间距离与B、C小球之间距离相等，已知A、B两只小球带电荷量均为q（q>0），C小球带电荷量为Q（Q>0），小球直径略小于玻璃管内径，它们之间距离远大于小球直径，则（　　） A．若，弹簧对小球A为向上的弹力 B．若，弹簧对小球A为向上的弹力 C．若，弹簧对小球B为向上的弹力 D．若，弹簧对小球B为向下的弹力 【变式训练2】如图所示，光滑平面上固定金属小球A，用长l0的绝缘弹簧将A与另一个金属小球B连接，让它们带上等量同种电荷，弹簧伸长量为x1，若两球电量各漏掉一半，弹簧伸长量变为x2，则有(　　) A．x2＝x1 B．x2＝x1 C．x2>x1 D．x2<x1 【变式训练3】如图所示，真空中A、B两个点电荷的电荷量分别为和，放在光滑绝缘水平面上，A、B之间用绝缘的轻弹簧连接当系统平衡时，弹簧的伸长量为若弹簧发生的均是弹性形变，则　　 A．保持Q不变，将q变为2q，平衡时弹簧的伸长量等于 B．保持q不变，将Q变为2Q，平衡时弹簧的伸长量小于 C．保持Q不变，将q变为，平衡时弹簧的缩短量等于 D．保持q不变，将Q变为，平衡时弹簧的缩短量小于 【变式训练4】如图所示，有大小相同的A、B、C三个金属球，A、B带等量异种电荷，中间连接一个轻质绝缘的弹簧，放在光滑的绝缘水平面上，平衡时弹簧压缩量为x0，现将不带电的C球和A球接触一下，然后拿走，则产生新平衡时弹簧的压缩量x为（　　） A．x=x0 B．x＞x0 C．x＜x0 D．x= x0 【变式训练5】如图所示，在光滑且绝缘的水平面上有两个金属小球A和B，它们用一绝缘轻弹簧相连，带同种电荷。弹簧伸长x0时小球平衡，如果A、B带电荷量加倍，当它们重新平衡时，弹簧伸长x，则x和x0的关系为（　　） A．x＝2x0 B．x＝4x0 C．x＜4x0 D．x＞4x0 2 学科网（北京）股份有限公司 $