2025-2026学年北师大版九年级上学期第一次月考数学练习卷【第1-2章】·

2025-2026学年九年级第一次月考 【九上第1-2章】·数学 学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________ 全卷总分：120分 考试时间：120分钟 一．选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.下列方程是一元二次方程的是（          ）　 A．x2+2x－3 B．x2+3＝0 C．(x2+3)2＝9 D. 1.B 【解析】A．不是方程，不符合题意；B．符合一元二次方程的定义，符合题意；C．原式可化为x4+6x2＝0，是一元四次方程，不符合题意；D．是分式方程，不符合题意． 2.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，若AC＝4，则BD的长为（          ）　 A．1 B．2 C．3 D．4 2.B 【解析】∵∠ABC＝90°，D为AC中点，AC＝4，∴  ． 3.观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x﹣5＝0的正数解在（　　） x ﹣1 0 1 2 3 4 x2+3x﹣5 ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23 A．﹣1和0之间 B．1和2之间 C．0和1之间 D．2和3之间 3.B 【解析】由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，x2+3x﹣5＝0，即这个数是x2+3x﹣5＝0的一个根．x2+3x﹣5＝0的一个解x的取值范围为1和2之间. 4.下列说法正确的是（          ）　 A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线相等且垂直的四边形是正方形 D．对角线相等的四边形是矩形 4.B 【解析】A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；B．四边相等的四边形是菱形，说法正确，符合题意；C．对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，说法错误，不符合题意；D．对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意． 5.用配方法解方程x2－8x+9＝0，变形后的结果正确的是（          ）　 A．(x－4)2＝7 B．(x－4)2＝－7 C．(x－4)2＝25 D．(x－4)2＝－25 5.A 【解析】方程移项得x2－8x＝－9，配方得x2－8x+16＝7，即(x－4)2＝7． 6.为了让学生在自然中观察、学习并体验劳动的乐趣．某校积极组织学生参加义务植树活动，八年级学生在第一天种植了100棵树苗，第三天种植了169棵树苗．若每天的植树增长率相同，设每天植树的平均增长率为x，则可列方程为(　　) A.100(1－x)＝169 B.100(1－x)2＝169 C.100(1＋x)＝169 D.100(1＋x)2＝169 6.D 【解析】根据题意可列方程为100(1＋x)2＝169. 7.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20cm，则△BCE的周长是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．40cm 7.A 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∴△BEC的周长为CE+CB+BE＝AE+CB+CE＝AB+CB，∵矩形ABCD的周长为20cm，∴AB+CB＝10（cm）. 8.若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0无实数根，则m的取值范围是（      ） A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1 8.A 【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0无实数根，∴Δ＝b2－4ac＝22－4m＝4－4m＜0，解得m＞1． 9.如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点．若四边形EMFN是菱形，则原四边形ABCD应满足的条件是（          ）　 A．AC＝BD B．AB＝CD C．AC⊥BD D．∠ABC+∠DCB＝90° 9.B 【解析】∵E，F，N，M分别是AD，BC，BD，AC的中点，∴AE＝DE，BN＝DN，AM＝CM，BF＝CF，∴EN，NF，FM，EM分别为△ABD，△BCD，△ABC，△ACD的中位线，∴EN＝FM  AB，FN＝EM  CD，∴四边形EMFN为平行四边形，当EN＝FN，即AB＝CD，则此时平行四边形EMFN是菱形． 10.若关于x的方程x2－2(m－2)x＋m2－2m＝0有两个实数根，且两根之和不小于－6，则代数式 化简的结果是(　　) A．－1 B．1 C．－2m－1 D．－2m＋1 10.D 【解析】∵方程x2－2(m－2)x＋m2－2m＝0有两个实数根，∴b2－4ac＝[－2(m－2)]2－4×1×(m2－2m)＝－8m＋16≥0，∴m≤2．设关于x的方程x2－2(m－2)x＋m2－2m＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝2(m－2)，∵两根之和不小于－6，∴2(m－2)≥－6，解得m≥－1，∴－1≤m≤2,∴  |m  1|  |m＋1|＝|m－2|－|m＋1|＝2－m－m－1＝－2m＋1． 二．填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分.) 11.方程(x－2)(x+1)＝0的根是            ． 11.x＝2或x＝－1 【解析】(x－2)(x+1)＝0，x－2＝0或x+1＝0，解得x＝2或x＝－1． 12.若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则k的值为　  　． 12.﹣1 【解析】把x＝3代入方程x2﹣kx﹣12＝0得：9﹣3k﹣12＝0，解得：k＝﹣1. 13.如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，要使四边形ABCD是矩形，可添加一个条件是______. 13.OA＝OB（答案不唯一）　 14.“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条转发给相同的人数，若在这个过程中一共有 157 人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了______人． 14.12 【解析】设小红将这条宣传语转发给了x人，依题意得1＋x＋x2＝157，解得x＝12或x＝－13(舍去)． 15.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，F分别是边AD，BC上的动点，EF与BD相交于点O，且AE＝CF，过点B作直线EF的垂线，垂足为H，则线段BH长的最大值为            ． 15. 【解析】如答案图，∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝3，∴AD＝BC＝3，DC＝AB＝2，AD//BC，∠DCB＝90°，∴∠ODE＝∠OBF，∠OED＝∠OFB，∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，∴DE＝BF，∴△ODE≌△OBF(ASA)，∴OB＝OD，∵BD  ，∴OB  BD  ，∵BH≤OB，∴线段BH长的最大值为  ． 答案图 三．解答题(一)(本大题3小题，每小题8分，共24分.) 16.解方程：x2－4x＝5． 16.解：∵x2－4x＝5 ∴x2－4x－5＝0 ∴(x－5)(x+1)＝0 ∴x－5＝0，x+1＝0 ∴  ＝5，  ＝－1 ∴原方程的解为  ＝5，  ＝－1． 17.某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)．若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)． 17.解：设鸡场的宽为xm，则长为(33－3x)m， 由题意可知x•(33－3x)＝90， 解得  ＝5，  ＝6， ∵当x＝5时，33－3x＝18，18＞15，不合题意，舍去， 当x＝6时，33－3x＝15，符合题意． 答：鸡场的长(AB)为15m，宽(BC)为6m． 18.如图，已知矩形ABCD中，∠BAD 和∠ADC的平分线交于BC边上一点E．点F为矩形外一点，四边形AEDF为平行四边形．求证：四边形AEDF是正方形． 18.证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠CDA＝90°， ∵AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA， ∴ ， ， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴AE＝DE， ∵∠EAD+∠EDA+∠AED＝180°， ∴∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠EDA＝90°， ∴四边形AEDF是正方形． 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分.) 19.已知：如图，△ABC为等腰三角形． (1)求作菱形AEDF，使得∠A为菱形的一个内角，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若AB＝AC＝10，BC＝8，求菱形AEDF的面积． 19.解：(1)如解图，菱形AEDF即为所求(作法不唯一，合理即可)； 解图 (2)如解图，设AD与EF交于点O，∵AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝   BC＝4. 在Rt△ABD中，AD＝   ＝   ＝2   ， ∵EF⊥AD，∴EF∥BC. ∵AO＝OD，∴E，F分别为AB和AC的中点，∴EF＝   BC＝4. ∴S菱形AEDF＝   AD·EF＝4   ，∴菱形AEDF的面积为4   . 20.提出问题：为解方程x4－3x2－4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2－3y－4＝0，解此方程得  ＝4，  ＝－1(不符合要求，舍去)．当  ＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程的解为  ＝2，  ＝－2． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： (1)运用上述换元法解方程：(x2－2)2－13(x2－2)+42＝0； (2)若实数x满足方程(x2－x)2－5(x2－x)＝6，则2x2－2x+1的值是            ． 20.解：(1)令x2－2＝y，则y2－13y+42＝0， 即(y－6)(y－7)＝0， 解得  ＝6，  ＝7． 当y＝6时，x2－2＝6，解得  ，  ， 当y＝7时，x2－2＝7，解得  ＝－3，  ＝3， ∴原方程的解为  ，  ，  ＝－3，  ＝3； (2)13． 【解法提示】令x2－x＝y，则y2－5y＝6，解得  ＝6，  ＝－1．当y＝6时，x2－x＝6，即x2－x－6＝0，Δ＝25＞0，该方程有解，符合题意，此时2x2－2x+1＝2(x2－x)+1＝2×6+1＝13；当y＝－1时，x2－x＝－1，即x2－x+1＝0，Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0，该方程无实数解，不合题意；综上可知，2x2－2x+1的值是13． 21.2025年为大力响应广饶县乡村振兴政策，梨果村大力发展经济作物，在苹果、桃李树种植已初具规模时，销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． (1)请确定苹果、桃李的单价； (2)该村平均每天卖出苹果100千克和桃李120千克．经调查发现，苹果零售单价每降0.1元，苹果每天可多销售10千克．桃李零售单价每降0.1元，桃李每天可多销售5千克，为了使每天获取更大的利润，该村决定把苹果和桃李的零售单价同时下降a(0＜a＜4)元．在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元？ 21.解：(1)设苹果的单价为x元，桃李的单价为y元， ∵销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． ∴  ， ∴  ， ∴苹果的单价为8元，桃李的单价为10元； (2)依题意，  ， 整理得5a2－36a+31＝0， 即(5a－31)(a－1)＝0， 则  (舍去)， ∴当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元． 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分.) 22.定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0(ac≠0，a≠c)称为一对“友好方程”．如2x2－7x+3＝0的“友好方程”是3x2－7x+2＝0． (1)写出一元二次方程x2+3x－10＝0的“友好方程”            ； (2)已知一元二次方程x2+3x－10＝0的两根为  ＝2，  ＝－5，它的“友好方程”的两根  ，  ＝            ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根  、  与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根  ，  之间存在的一种特殊关系为            ； (3)已知关于x的方程2021x2+bx－c＝0的两根为  ＝－1，  ，请利用(2)中的结论，求出关于x的方程c(x－1)2－2021＝b(x－1)的两根． 22.解：(1)－10x2+3x+1＝0； (2)  ，互为倒数； 【解法提示】－10x2+3x+1＝0，(2x－1)(5x+1)＝0，解得  ，  ，根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根  、  与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根  、  之间存在的一种特殊关系为互为倒数.∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为  ，  ．“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根为  ，  ，∴  •  •  1，  •  •  1，即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数． (3)∵方程2021x2+bx－c＝0的两根是  ＝－1，  ． ∴该方程的“友好方程”－cx2+bx+2021＝0的两根为  ＝－1，  ＝2021， 则方程－c(x－1)2+b(x－1)+2021＝0的两根  －1＝－1，  －1＝2021， 即  ＝0，  ＝2022， 整理方程－c(x－1)2+b(x－1)+2021＝0得c(x－1)2－2021＝b(x－1)， ∴关于x的方程c(x－1)2－2021＝b(x－1)的两根为  ＝0，  ＝2022． 23.如图，在四边形ABCD中，点E是直线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋转α交直线CD于点F. (1)如图①，若四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，α＝60°，则AE与AF之间的数量关系是      ； (2)如图②，若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，当点E在BC的延长线上时，试猜想线段BE、DF与EF之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，当AB＝4，BE＝ BC时，请直接写出EF的长． 23.解：(1)AE＝AF； 【解法提示】如解图①，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC.∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACD＝∠BAC＝60°.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF.          解图①              (2)BE－DF＝EF； 证明：如解图②，在BC上取点F′，使得BF′＝DF，连接AF′， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABF′＝∠ADF＝90°， 在△ABF′和△ADF中， ， ∴△ABF′≌△ADF(SAS)，∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF. ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAE＋∠DAF＝∠DAE＋∠BAF′＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°. 在△AEF′和△AEF中， ，∴△AEF′≌△AEF(SAS)，∴EF′＝EF， ∴BE－DF＝BE－BF′＝EF′＝EF；       解图② (3) 或10. 【解法提示】分两种情况：①如解图③，当点E在线段BC上时，同理(2)易得EF＝BE＋DF，∵AB＝4，∴BE＝ BC＝2.设EF＝x，则DF＝x－2，CF＝4－(x－2)＝6－x，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2＋CF2＝EF2，即22＋(6－x)2＝x2，解得x＝ ，即EF＝ ；②如解图④，当点E在CB延长线上时，同理可得DF－BE＝EF.设EF＝x，则DF＝x＋2，CF＝x＋2－4＝x－2，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2＋CF2＝EF2，即62＋(x－2)2＝x2，解得x＝10，即EF＝10.综上所述，EF的长为 或10. 解图 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第一次月考 【九上第1-2章】·数学 学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________ 全卷总分：120分 考试时间：120分钟 一．选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.下列方程是一元二次方程的是（          ）　 A．x2+2x－3 B．x2+3＝0 C．(x2+3)2＝9 D. 2.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，若AC＝4，则BD的长为（          ）　 A．1 B．2 C．3 D．4 3.观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x﹣5＝0的正数解在（　　） x ﹣1 0 1 2 3 4 x2+3x﹣5 ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23 A．﹣1和0之间 B．1和2之间 C．0和1之间 D．2和3之间 4.下列说法正确的是（          ）　 A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线相等且垂直的四边形是正方形 D．对角线相等的四边形是矩形 5.用配方法解方程x2－8x+9＝0，变形后的结果正确的是（          ）　 A．(x－4)2＝7 B．(x－4)2＝－7 C．(x－4)2＝25 D．(x－4)2＝－25 6.为了让学生在自然中观察、学习并体验劳动的乐趣．某校积极组织学生参加义务植树活动，八年级学生在第一天种植了100棵树苗，第三天种植了169棵树苗．若每天的植树增长率相同，设每天植树的平均增长率为x，则可列方程为(　　) A.100(1－x)＝169 B.100(1－x)2＝169 C.100(1＋x)＝169 D.100(1＋x)2＝169 7.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20cm，则△BCE的周长是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．40cm 8.若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0无实数根，则m的取值范围是（      ） A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1 9.如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点．若四边形EMFN是菱形，则原四边形ABCD应满足的条件是（          ）　 A．AC＝BD B．AB＝CD C．AC⊥BD D．∠ABC+∠DCB＝90° 10.若关于x的方程x2－2(m－2)x＋m2－2m＝0有两个实数根，且两根之和不小于－6，则代数式 化简的结果是(　　) A．－1 B．1 C．－2m－1 D．－2m＋1 二．填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分.) 11.方程(x－2)(x+1)＝0的根是            ． 12.若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则k的值为　  　． 13.如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，要使四边形ABCD是矩形，可添加一个条件是______. 14.“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条转发给相同的人数，若在这个过程中一共有 157 人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了______人． 15.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，F分别是边AD，BC上的动点，EF与BD相交于点O，且AE＝CF，过点B作直线EF的垂线，垂足为H，则线段BH长的最大值为            ． 三．解答题(一)(本大题3小题，每小题8分，共24分.) 16.解方程：x2－4x＝5． 17.某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)．若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)． 18.如图，已知矩形ABCD中，∠BAD 和∠ADC的平分线交于BC边上一点E．点F为矩形外一点，四边形AEDF为平行四边形．求证：四边形AEDF是正方形． 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分.) 19.已知：如图，△ABC为等腰三角形． (1)求作菱形AEDF，使得∠A为菱形的一个内角，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若AB＝AC＝10，BC＝8，求菱形AEDF的面积． 20.提出问题：为解方程x4－3x2－4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2－3y－4＝0，解此方程得  ＝4，  ＝－1(不符合要求，舍去)．当  ＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程的解为  ＝2，  ＝－2． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： (1)运用上述换元法解方程：(x2－2)2－13(x2－2)+42＝0； (2)若实数x满足方程(x2－x)2－5(x2－x)＝6，则2x2－2x+1的值是            ． 21.2025年为大力响应广饶县乡村振兴政策，梨果村大力发展经济作物，在苹果、桃李树种植已初具规模时，销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． (1)请确定苹果、桃李的单价； (2)该村平均每天卖出苹果100千克和桃李120千克．经调查发现，苹果零售单价每降0.1元，苹果每天可多销售10千克．桃李零售单价每降0.1元，桃李每天可多销售5千克，为了使每天获取更大的利润，该村决定把苹果和桃李的零售单价同时下降a(0＜a＜4)元．在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元？ 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分.) 22.定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0(ac≠0，a≠c)称为一对“友好方程”．如2x2－7x+3＝0的“友好方程”是3x2－7x+2＝0． (1)写出一元二次方程x2+3x－10＝0的“友好方程”            ； (2)已知一元二次方程x2+3x－10＝0的两根为  ＝2，  ＝－5，它的“友好方程”的两根  ，  ＝            ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根  、  与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根  ，  之间存在的一种特殊关系为            ； (3)已知关于x的方程2021x2+bx－c＝0的两根为  ＝－1，  ，请利用(2)中的结论，求出关于x的方程c(x－1)2－2021＝b(x－1)的两根． 23.如图，在四边形ABCD中，点E是直线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋转α交直线CD于点F. (1)如图①，若四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，α＝60°，则AE与AF之间的数量关系是      ； (2)如图②，若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，当点E在BC的延长线上时，试猜想线段BE、DF与EF之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，当AB＝4，BE＝ BC时，请直接写出EF的长． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第一次月考 【九上第1-2章】·数学 详解详析 一．选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.B 【解析】A．不是方程，不符合题意；B．符合一元二次方程的定义，符合题意；C．原式可化为x4+6x2＝0，是一元四次方程，不符合题意；D．是分式方程，不符合题意． 2.B 【解析】∵∠ABC＝90°，D为AC中点，AC＝4，∴  ． 3.B 【解析】由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，x2+3x﹣5＝0，即这个数是x2+3x﹣5＝0的一个根．x2+3x﹣5＝0的一个解x的取值范围为1和2之间. 4.B 【解析】A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；B．四边相等的四边形是菱形，说法正确，符合题意；C．对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，说法错误，不符合题意；D．对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意． 5.A 【解析】方程移项得x2－8x＝－9，配方得x2－8x+16＝7，即(x－4)2＝7． 6.D 【解析】根据题意可列方程为100(1＋x)2＝169. 7.A 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∴△BEC的周长为CE+CB+BE＝AE+CB+CE＝AB+CB，∵矩形ABCD的周长为20cm，∴AB+CB＝10（cm）. 8.A 【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0无实数根，∴Δ＝b2－4ac＝22－4m＝4－4m＜0，解得m＞1． 9.B 【解析】∵E，F，N，M分别是AD，BC，BD，AC的中点，∴AE＝DE，BN＝DN，AM＝CM，BF＝CF，∴EN，NF，FM，EM分别为△ABD，△BCD，△ABC，△ACD的中位线，∴EN＝FM  AB，FN＝EM  CD，∴四边形EMFN为平行四边形，当EN＝FN，即AB＝CD，则此时平行四边形EMFN是菱形． 10.D 【解析】∵方程x2－2(m－2)x＋m2－2m＝0有两个实数根，∴b2－4ac＝[－2(m－2)]2－4×1×(m2－2m)＝－8m＋16≥0，∴m≤2．设关于x的方程x2－2(m－2)x＋m2－2m＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝2(m－2)，∵两根之和不小于－6，∴2(m－2)≥－6，解得m≥－1，∴－1≤m≤2,∴  |m  1|  |m＋1|＝|m－2|－|m＋1|＝2－m－m－1＝－2m＋1． 二．填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分.) 11.x＝2或x＝－1 【解析】(x－2)(x+1)＝0，x－2＝0或x+1＝0，解得x＝2或x＝－1． 12.﹣1 【解析】把x＝3代入方程x2﹣kx﹣12＝0得：9﹣3k﹣12＝0，解得：k＝﹣1. 13.OA＝OB（答案不唯一）　 14.12 【解析】设小红将这条宣传语转发给了x人，依题意得1＋x＋x2＝157，解得x＝12或x＝－13(舍去)． 15. 【解析】如答案图，∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝3，∴AD＝BC＝3，DC＝AB＝2，AD//BC，∠DCB＝90°，∴∠ODE＝∠OBF，∠OED＝∠OFB，∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，∴DE＝BF，∴△ODE≌△OBF(ASA)，∴OB＝OD，∵BD  ，∴OB  BD  ，∵BH≤OB，∴线段BH长的最大值为  ． 答案图 三．解答题(一)(本大题3小题，每小题8分，共24分.) 16.解：∵x2－4x＝5 ∴x2－4x－5＝0 ∴(x－5)(x+1)＝0 ∴x－5＝0，x+1＝0 ∴  ＝5，  ＝－1 ∴原方程的解为  ＝5，  ＝－1． 17.解：设鸡场的宽为xm，则长为(33－3x)m， 由题意可知x•(33－3x)＝90， 解得  ＝5，  ＝6， ∵当x＝5时，33－3x＝18，18＞15，不合题意，舍去， 当x＝6时，33－3x＝15，符合题意． 答：鸡场的长(AB)为15m，宽(BC)为6m． 18.证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠CDA＝90°， ∵AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA， ∴ ， ， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴AE＝DE， ∵∠EAD+∠EDA+∠AED＝180°， ∴∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠EDA＝90°， ∴四边形AEDF是正方形． 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分.) 19.解：(1)如解图，菱形AEDF即为所求(作法不唯一，合理即可)； 解图 (2)如解图，设AD与EF交于点O，∵AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝   BC＝4. 在Rt△ABD中，AD＝   ＝   ＝2   ， ∵EF⊥AD，∴EF∥BC. ∵AO＝OD，∴E，F分别为AB和AC的中点，∴EF＝   BC＝4. ∴S菱形AEDF＝   AD·EF＝4   ，∴菱形AEDF的面积为4   . 20.解：(1)令x2－2＝y，则y2－13y+42＝0， 即(y－6)(y－7)＝0， 解得  ＝6，  ＝7． 当y＝6时，x2－2＝6，解得  ，  ， 当y＝7时，x2－2＝7，解得  ＝－3，  ＝3， ∴原方程的解为  ，  ，  ＝－3，  ＝3； (2)13． 【解法提示】令x2－x＝y，则y2－5y＝6，解得  ＝6，  ＝－1．当y＝6时，x2－x＝6，即x2－x－6＝0，Δ＝25＞0，该方程有解，符合题意，此时2x2－2x+1＝2(x2－x)+1＝2×6+1＝13；当y＝－1时，x2－x＝－1，即x2－x+1＝0，Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0，该方程无实数解，不合题意；综上可知，2x2－2x+1的值是13． 21.解：(1)设苹果的单价为x元，桃李的单价为y元， ∵销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． ∴  ， ∴  ， ∴苹果的单价为8元，桃李的单价为10元； (2)依题意，  ， 整理得5a2－36a+31＝0， 即(5a－31)(a－1)＝0， 则  (舍去)， ∴当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元． 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分.) 22.解：(1)－10x2+3x+1＝0； (2)  ，互为倒数； 【解法提示】－10x2+3x+1＝0，(2x－1)(5x+1)＝0，解得  ，  ，根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根  、  与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根  、  之间存在的一种特殊关系为互为倒数.∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为  ，  ．“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根为  ，  ，∴  •  •  1，  •  •  1，即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数． (3)∵方程2021x2+bx－c＝0的两根是  ＝－1，  ． ∴该方程的“友好方程”－cx2+bx+2021＝0的两根为  ＝－1，  ＝2021， 则方程－c(x－1)2+b(x－1)+2021＝0的两根  －1＝－1，  －1＝2021， 即  ＝0，  ＝2022， 整理方程－c(x－1)2+b(x－1)+2021＝0得c(x－1)2－2021＝b(x－1)， ∴关于x的方程c(x－1)2－2021＝b(x－1)的两根为  ＝0，  ＝2022． 23.解：(1)AE＝AF； 【解法提示】如解图①，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC.∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACD＝∠BAC＝60°.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF.          解图①              (2)BE－DF＝EF； 证明：如解图②，在BC上取点F′，使得BF′＝DF，连接AF′， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABF′＝∠ADF＝90°， 在△ABF′和△ADF中， ， ∴△ABF′≌△ADF(SAS)，∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF. ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAE＋∠DAF＝∠DAE＋∠BAF′＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°. 在△AEF′和△AEF中， ，∴△AEF′≌△AEF(SAS)，∴EF′＝EF， ∴BE－DF＝BE－BF′＝EF′＝EF；       解图② (3) 或10. 【解法提示】分两种情况：①如解图③，当点E在线段BC上时，同理(2)易得EF＝BE＋DF，∵AB＝4，∴BE＝ BC＝2.设EF＝x，则DF＝x－2，CF＝4－(x－2)＝6－x，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2＋CF2＝EF2，即22＋(6－x)2＝x2，解得x＝ ，即EF＝ ；②如解图④，当点E在CB延长线上时，同理可得DF－BE＝EF.设EF＝x，则DF＝x＋2，CF＝x＋2－4＝x－2，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2＋CF2＝EF2，即62＋(x－2)2＝x2，解得x＝10，即EF＝10.综上所述，EF的长为 或10. 解图 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $