培优15 极点极线、平移齐次化，定比点差等七种重难点题型（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第一册

培优15 极点极线、平移齐次化，定比点差等七种重难点题型 题型1 第三定义 第三定义：平面内与两个关于原点对称的点的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 若是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 若是双曲线上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 1．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 2．已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为 A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由 有点 为线段 的中点,设 ,则 ,所以 ,故 ,由于点A,B,P在双曲线上,所以 ,代入上式中,有 ,所以 ,故最小值为4.选B. 点睛:本题主要考查了双曲线的有关计算,涉及到的知识点有平面向量中线定理,直线斜率的计算公式,基本不等式等,属于中档题. 首先得出原点为线段AB的中点,再求出直线PA,PB斜率的表达式, 算出为定值,再由基本不等式求出最小值. 3．已知是椭圆和双曲线的公共顶点．是双曲线上的动点,是椭圆上的动点（、都异于A、），且满足，其中，设直线、、、的斜率分别记为, ,则 【答案】 【详解】解：，是椭圆和双曲线的公共顶点， 不妨设，， 设，，，， ，其中， ，，，，，化为， 、都异于、，，，， 由，化为， 又，，代入化为， ，又， ， ． 故答案为：． 4．已知，是椭圆和双曲线的左右顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、，则 ． 【答案】0 【详解】解：依题意、为椭圆和双曲线的公共顶点， 、分别为双曲线和椭圆上不同于、的动点， 由，， 即， 可得，则点，，三点共线． 设，， 则， 同理可得， ，，， ， ． 故答案为：． 5．已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设，点共线，点共线，所在直线的斜率分别为， 点在双曲线上，即，有，因此， 点在椭圆上，即，有，直线的斜率，有， 即，于是，即直线与关于轴对称， 又椭圆也关于轴对称，且过焦点，则轴，令，由得， 显然，， ， 解得，所以双曲线的离心率. 故选：D 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： 定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； 特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 题型2 阿基米德三角形 1.阿基米德三角形的定义: 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形. 2.过焦点的阿基米德三角形的常见性质: 如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论: （1）点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 （2）两切线互相垂直,即; （3）; （4）点的坐标为. （5）的最小值为. 6．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线，过焦点的弦的两个端点的切线相交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点必在直线上，且以为直径的圆过点 B．点必在直线上，但以为直径的圆不过点 C．点必在直线上，但以为直径的圆不过点 D．点必在直线上，且以为直径的圆过点 【答案】D 【详解】设为抛物线上一点， 当时，由得：，在处的切线方程为：， 即，； 同理可得：当时，在处的切线方程切线方程为； 经检验，当，时，切线方程为，满足， 过抛物线上一点的切线方程为：； 设， 则抛物线在处的切线方程为和，， 点满足直线方程：，又直线过焦点， ，解得：，点必在直线上；AC错误； 由题意知：，， ，，； 设直线方程为：， 由得：，，，即， 以为直径的圆过点；B错误，D正确. 故选：D. 7．设抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】 ，设直线AB的方程为 ，显然m是存在的， 设 ，显然 ，求导： ， 在A点处的切线方程为…①， 同理可得在B点处的切线方程为：； 联立方程 ，解得 ， ， ， 联立方程 解得 ， ， 即P点在准线 上，设 ， ， 考虑抛物线关于x轴对称，不妨取 ，代入①得： ，解得 或 ， 由图可知 ，再代入抛物线方程得 ， ； 故选：D. 8．（多选）如图所示，抛物线为过焦点的弦，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，则下列结论正确的有（    ） A．若的斜率为1，则 B． C．若的斜率为1，则 D． 【答案】ABD 【详解】由可得，可得点处的切线方程为， 又，得，① 同理可得点处的切线方程为，② 由①②联立可得. 设过焦点的直线的方程为， 由得，所以，故D正确； ． 当时，；故A正确，C错误. 当时，取得最小值4． 故选：ABD 9．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，在处的切线与的准线交于点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】抛物线的准线为，抛物线的焦点为，如下图所示： 设点、，接下来证明出抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，可得， 所以，抛物线在点处的切线方程为， 所以，直线的方程为， 若与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， ，由韦达定理可得，， 在直线的方程中，令可得，可得， 即点，， ， 所以，，即， 因为， 当时，因为，则，则； 当轴时，则，直线的方程为， 联立可得，解得，取点、， 此时，直线的方程为，即， 在直线的方程中，令可得，即点， 所以，，则，则，此时，. 综上所述，，. 因为，则， 又因为，所以，， 所以，，即， 因此，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值. 10．已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，，D为垂足，点D的坐标为． (1)求C的方程； (2)若点E是直线上的动点，过点E作抛物线C的两条切线，，其中P，Q为切点，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明过程见详解，定点 【详解】（1）设点A的坐标为，点B的坐标为， 因为，所以，则直线的方程为， 联立方程组，消去y，整理得， 所以有，， 又，得， 整理得，解得． 所以C的方程为． （2）由，得，所以， 设过点E作抛物线C的切线的切点为， 则相应的切线方程为，即， 设点，由切线经过点E，得，即， 设，，则，是的两实数根， 可得，． 设M是的中点，则相应， 则，即， 又， 直线的方程为，即， 所以直线恒过定点． 【点睛】关键点点睛：小问（2）解答的关键是先根据导数设抛物线的切线方程，设点，，，从而得到，是方程的两实数根，再结合韦达定理得到，，进而得到直线的方程． 题型3 平移齐次化 如果公共点在原点，不需要平移.如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减，上减下加”. 设平移后的直线为，与平移后的圆锥曲线方程联立，一次项乘以，常数项乘以，构造，然后等式两边同时除以 (前面注明x不等于0)，得到，可以直接利用根与系数的关系得出斜率之和或斜率之积，即可得出答案.如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去. 11．已知圆的方程为． (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知，直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)直线经过定点，该定点的坐标为 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆C的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即． 由，解得，则切线方程为，即． 过点的圆C的切线方程为或． （2）点在圆：上． 若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为， 此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，， 联立方程组，整理得， 则，． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以，故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．    12．已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 【答案】（1）；（2）详见解析. 【详解】（1）由题意可得：，解得：， 故椭圆方程为：. (2)［方法一］：通性通法 设点， 若直线斜率存在时，设直线的方程为：， 代入椭圆方程消去并整理得：， 可得，， 因为，所以，即， 根据,代入整理可得： ，         所以， 整理化简得， 因为不在直线上，所以， 故，于是的方程为， 所以直线过定点直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得， 由得：， 得，结合可得：， 解得：或（舍）. 此时直线过点. 令为的中点，即， 若与不重合，则由题设知是的斜边，故， 若与重合，则，故存在点，使得为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系 将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即． 设，因为则，即． 代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点． 又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立． 故存在，使得． ［方法三］：建立曲线系 A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得． 则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）． 用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）． 即． 对比项、x项及y项系数得 将①代入②③，消去并化简得，即． 故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q． 经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得． ［方法四］： 设． 若直线的斜率不存在，则． 因为，则，即． 由，解得或（舍）． 所以直线的方程为． 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则． 令，则． 又，令，则． 因为，所以， 即或． 当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线恒过． 综上，直线恒过，所以． 又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动． 取线段的中点为，则． 所以存在定点Q，使得为定值． 【整体点评】（2）方法一：设出直线方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点，再根据平面几何知识可知定点即为的中点，该法也是本题的通性通法； 方法二：通过坐标系平移，将原来的O点平移至点A处，设直线的方程为，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出的关系，从而可知直线过定点，从而可知定点即为的中点，该法是本题的最优解； 方法三：设直线，再利用过点的曲线系，根据比较对应项系数可求出的关系，从而求出直线过定点，故可知定点即为的中点； 方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解以及的计算． 13．已知抛物线：上的点到其焦点的距离为2． (1)求点P的坐标及抛物线C的方程； (2)若点M、N在抛物线C上，且，求证：直线MN过定点． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）解：抛物线的焦点，准线为， 因为点到其焦点的距离为2， 所以，解得， 所以抛物线的方程为， 因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以， 综上，P点坐标为，抛物线的方程为． （2）证明：设直线MN的方程为， ，， 联立，得， 所以，， 所以， 同理可得， 因， 所以， 所以， 所以，即（满足）， 直线MN的方程为， 所以直线MN过定点． 14．如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点(在的上方)，设点、是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.    【答案】是定值，理由见解析 【详解】由题意将代入椭圆方程得，从而， 因为直线不过点，所以设直线的方程为， 椭圆的方程即：， 联立直线与椭圆方程，得 ， 整理得， 即，（*） 而（*）式中的指的是点或点的横纵坐标， 令，则关于的方程有两个解， 由得， 即：， 直线的斜率为，是定值. 15．已知抛物线：与椭圆：有相同的焦点，且两曲线相交于点，过作斜率为的动直线，交椭圆于，两点. （Ⅰ）求抛物线和椭圆的方程； （Ⅱ）若为椭圆的左顶点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】（Ⅰ）抛物线的方程为；椭圆的方程为：（Ⅱ）4 【详解】解法一：（Ⅰ）∵点在抛物线：上， ∴，解得， ∴抛物线的方程为. ∴椭圆的左、右焦点分别为和. ， ∴，， 所以椭圆的方程为：. （Ⅱ）设的方程为. 由，消去整理得：. 设，，则， 故 . 综上，. 解法二：（Ⅰ）∵点在抛物线：上， ∴，解得， ∴抛物线的方程为. ∴椭圆的左、右焦点分别为和，即. ∴. 又点在椭圆上， ∴， 即， 解得，（舍去）. ∴，， 所以椭圆的方程为：. （Ⅱ）同解法一. 【点睛】本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力. 题型4 角平分线模型 16．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作不与坐标轴垂直的直线交于两点，点的坐标为. (1)证明：； (2)设点关于轴的对称点为，求的面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意，. 设直线的方程为， 由，消得， 设， 则， 要证， 即证直线的斜率之和， 因为， 而 所以得证， 所以的倾斜角互补，即. （2）由（1）及椭圆的对称性可知，直线经过点， 设直线的方程为， 由消得. 设， 则 且，即. 所以 所以. 又点到直线的距离为， 所以的面积 设，则，且. 当，即时，面积的最大值为.    【点睛】思路点睛：由（1）及椭圆的对称性可知，直线经过点，从而可以设出直线的方程，进而联立方程组解决问题. 17．已知抛物线与椭圆有公共的焦点，的左､右焦点分别为，，该椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)如图，若直线与轴，椭圆顺次交于，，（点在椭圆左顶点的左侧），若与互补，试问直线是否经过一个定点？若直线经过一个定点，试求此定点坐标；若不经过，请说明理由. 【答案】(1) (2)直线经过定点 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线的焦点为， 椭圆的半焦距，又椭圆的离心率为， ，即， ，，即， 椭圆的方程为； （2）解：，设，，，， 与互补，， ，化简整理，可得①， 设直线为， 联立直线与椭圆方程， 化简整理，可得， ，可得②， 由韦达定理，可得③， 将，代入①，可得④， 再将③代入④，可得，解得， 的方程为， 所以直线经过定点. 题型5 定比点差法 一、定比分点公式 1、已知，若点)满足，求点的坐标． 二、定比点差法 当为椭圆上的两点，为弦上任意一点时， 设点满足 若在椭圆则; 点满足，可得到 ， ①－②得： ， 联立消元后即可用与定分比表示. 18．已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的动直线交曲线于不同的A，B两点，为线段上一点，满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【详解】（1）如图，易知圆E的半径为4，线段的垂直平分线交线段于点， 由中垂线的性质可知：，所以， 即动点Q到定点的距离和为定值4，且, 根据椭圆定义可知：，所以， 即曲线C的方程为：. （2）由题意可得直线l的斜率存在．设直线l的方程为， 代入椭圆方程，整理得， 设，则，， 由， 得, 化简得， 当时，因，化简得，与直线l的斜率存在矛盾，不合题意； 当时，化简得 即，化简得， 又，所以，化简得， 所以点在直线上. 【点睛】解决本题第二问关键联立直线与椭圆方程，利用两点间距离公式及韦达定理化简条件可得结果. 19．已知，是椭圆E：上的两点． (1)求椭圆E的方程． (2)若直线l与椭圆E交于C，D两点（C，D均不与点A重合），且以线段CD为直径的圆过点A，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)定点，理由见解析. 【详解】（1）将，代入椭圆方程可得，解得， 所以椭圆方程为； （2）若直线的斜率不存在，设直线方程为，由题可得为等腰直角三角形，则可将代入椭圆，解得（舍去）或，即直线方程为； 若直线的斜率存在，设方程为，设， 联立方程，可得， 则，可得， ①，②， 由题可得，则，即， 代入①②，整理可得，解得或， 若，直线为，经过点,不符合， 若，直线为，经过定点， 综上所述，直线l过定点. 20．椭圆：过点，且右焦点为，过的直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和． （1）求椭圆的方程； （2）如果直线的斜率等于，求出的值； （3）探讨是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）2. 【详解】（1）因为椭圆：过点，且右焦点为， 所以， 所以 ， 所以椭圆的方程是； （2）设直线的方程为，， 由得， 由根与系数的关系得， 所以， ， ． （3）当直线AB的斜率不存在时，， 则， 当直线AB的斜率存在时，设，， 由得， 由根与系数的关系得， 所以， ． . 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21．已知双曲线，直线交双曲线于两点. （1）求双曲线的顶点到其渐近线的距离； （2）若过原点，为双曲线上异于的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值； （3）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在点，使得. 【详解】（1）由双曲线方程可知其顶点坐标为，渐近线方程为； 由双曲线对称性知：双曲线顶点到任一渐近线的距离相等， 取，顶点，所求距离， 即双曲线的顶点到渐近线的距离为； （2）由双曲线对称性知：关于原点对称， 设，，，； 均为双曲线上的点，，两式作差得：， ，即为定值； （3）由双曲线方程知：； 当直线斜率存在时，设， 由得：，则； 设，，则，， ，， ； ，解得：，； 当直线斜率不存在时，，，此时使得； 综上所述：存在点，使得. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定值问题和存在定点满足某条件的问题的求解，解决此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量所满足的方程，化简整理所得方程； ④根据等量关系恒成立或化简消元的思想确定定点坐标. 22．已知、分别为椭圆:的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且.    （1）求椭圆的方程; （2）已知点和圆:，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段上取一点，满足:，，(且).求证:点总在某定直线上. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设，因为点M在抛物线上，且，所以，解得， 又点M在抛物线上，所以，且，即，解得， 所以椭圆的方程； （2）设，，因为，所以，即有， 又，所以，即有， 所以得：， 又点A、B在圆上，所以，又，所以， 故点Q总在直线上.    【点睛】本题考查椭圆和抛物线的简单几何性质，以及直线与圆的交点问题，属于较难题. 题型6 圆锥曲线的光学性质 （1）椭圆的光学性质:如图所示,从椭圆的一个焦点发出的光线,被椭圆反射后,必定经过另一个焦点; 如图所示,椭圆在点P处的切线为l,直线交直线于点Q,则PQ平分由角平分线性质定理可得 （2）双曲线的光学性质:如图所示,从双曲线一个焦点发出的光线,被双曲线反射后,反射光线的反向延长线交于另一个焦点,如图所示,双曲线在点处的切线l与直线相交于点Q,则PQ平分,由角平分线性质定理,可得 （3）抛物线的光学性质:如图所示,从抛物线的焦点F发出的光线,被抛物线反射后,得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线;如图所示,设抛物线在P处的切线l交对称轴于点切线l交对称轴于点M,则焦点F是的中点. 23．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 24．古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（   ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】由题意得，，，， 设点D，E的坐标分别为，， 直线AD：，联立抛物线方程得， 得，解得，，所以， 同理直线BD：，联立抛物线方程得， 得，解得，，可得， 所以两条反射光线，之间的距离． 故选：B. 25．（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（   ） A．面积的最大值为 B．的最大值为7 C．若，则 D．若，垂足为，则 【答案】ABC 【详解】由椭圆方程可知：. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得，当且仅当为线段与椭圆的交点时，取到最大，所以的最大值为7，故B正确； 对于C：由椭圆的光学性质，得点 P与l垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则， 可得， 则， 即, 整理可得，解得或， 当时，，M与O重合，不合题意， 所以，即，故C正确； 对于D：如图，延长交于点， 则在中，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D错误. 故选：ABC. 26．“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】由双曲线的光学性质可知，直线，的交点为双曲线的左焦点， 在中，由正弦定理得， 则，设，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 两式作商得， 设，， 由双曲线的定义可知，， ， 解得，则，，，， 所以，则，即， 在中，， 则，则，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 27．椭圆有一个光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光照射到椭圆上，其反射光线会经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，，光线从发出，经过上一点（不在轴上）反射后，到达椭圆上的点，再反射到达上的点，不断反射，得到反射点列，设. (1)若的焦距为2，，，求的离心率； (2)证明：； (3)证明：是等比数列. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题意，得，则，. 因为，，三点共线，所以，解得. 又，所以的离心率为. （2）由题意，得，，三点共线，其中. 当时，直线的方程为， 代入，得. 由韦达定理得，， 所以①. 假设，则. 由①，得，即，解得， 此时，则，这与不在轴上矛盾， 所以假设不成立，即.    （3），，三点共线，其中， 当时，直线的方程为， 与（2）同理，得②. 由①②，得. 当时，同理得. 所以对任意，都有，即， 可化为，即， 所以是首项为，公比为的等比数列. 【点睛】关键点点睛：各问都紧扣，，共线，求直线方程，综合直线与椭圆位置、韦达定理、反证思想及等比数列概念求解证明. 28．在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则．求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为．椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． (1)证明椭圆的光学性质； (2)如图，过的直线交椭圆于，两点（非左右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）求证：椭圆在，两点的切线的交点在定直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）当时，面积的最大值为；当时，面积的最大值为；（ii）证明见解析 【详解】（1）当时，，，性质成立； 当时，，，， 因为点在椭圆上，所以，， 设与直线，的夹角分别为，，则 ． 同理，，，． 该性质成立； （2）（i）设，，， 所以，消元得， 所以， 所以 ． 令，则． 当时，， 当且仅当，即时取等号，得 ， 所以的最大值为； 当时，在上单调递增， 时，取最大值，的最大值为． 当时，面积的最大值为； 当时，面积的最大值为． （ii）设两条切线的方程分别为，，消去得： ， ，， 因为，所以． 点在定直线上． 题型7 极点极线问题 （1）二次曲线极点对应的极线为 （半代半不代） （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 29．已知曲线是平面内到和的距离之和为4的点的轨迹. (1)求曲线的方程； (2)过点作斜率不为0的直线交曲线于A，B两点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点的坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由椭圆定义可知轨迹为椭圆，设曲线的方程， 则，，，，，曲线的方程； （2）方法一：直线的斜率存在且不为0，设直线方程为， 联立，整理得， ， 设，则，， 直线交直线于，则， 所以直线的方程为，， 令，解得，则， 所以直线的方程为，， 令，解得，则， ， 所以线段中点的坐标为. 方法二：直线的斜率存在且不为0，设直线方程为， 联立，整理得， ， 设，则，， 直线交直线于，则， 所以直线的方程为，， 令，解得，则，同理可得， ， 所以线段中点的坐标为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 30．已知椭圆C：的短轴长为2，椭圆上一点到两焦点的距离之和是6 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l方程是，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆C的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【详解】（1）由题意，，，所以，所以椭圆⽅程为； （2）设，，，设直线的方程为，，， ，化简得 所以，因为方程只有1解， 所以，故直线MG的方程为，化简得，同理可得直线MH的方程为， 因为两切线都经过点，所以， 所以直线GH的方程为， 因为，所以直线GH的方程为， 令，得，所以直线GH恒过定点 【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 31．已知椭圆：的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知，因为，所以解得，． 所以所求椭圆的方程为 （2）设，，，， 直线的斜率显然存在，设为，则的方程为． 因为，，，四点共线，不妨设， 则，，，， 由，可得， 化简得．（*） 联立直线和椭圆的方程，得， 消去，得， ，得， 由韦达定理，得，．代入（*） 化简得，即． 又，代入上式，得，化简得． 所以点总在一条定直线上．    【点睛】关键点睛：本题解题的关键是设出直线的方程，利用弦长公式表示出，代入化简，再将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，几个式子相结合可证得结论. 32．已知椭圆过点，焦距为．过作直线l与椭圆交于C、D两点，直线分别与直线交于E、F． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； (3)是否存在实数，使恒成立．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在； 【详解】（1）因为椭圆过点，焦距为， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2） 证明：设， 直线的斜率一定存在，设为， 则，消去得到，， ， ， 故是定值. （3） 设存在实数，使恒成立， 由，， 设到直线的距离为，到直线的距离为， 则，① 因为，所以，② 把①代入②并化简可得， 由上问可知，代入上式可得， 所以. 【点睛】关键点点睛： ①求曲线的标准方程常用待定系数法和曲线的性质列方程组求解； ②证明斜率之和为定值时，首先用曲线上的点表示出斜率，再直曲联立，利用韦达定理化简斜率之和的表达式； ③解决三角形面积关系时先用坐标表示出三角形面积，再利用韦达定理化简. 八、 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优15 极点极线、平移齐次化，定比点差等七种重难点题型 题型1 第三定义 第三定义：平面内与两个关于原点对称的点的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 若是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 若是双曲线上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 1．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为 A．8 B．4 C．2 D．1 3．已知是椭圆和双曲线的公共顶点．是双曲线上的动点,是椭圆上的动点（、都异于A、），且满足，其中，设直线、、、的斜率分别记为, ,则 4．已知，是椭圆和双曲线的左右顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、，则 ． 5．已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 题型2 阿基米德三角形 1.阿基米德三角形的定义: 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形. 2.过焦点的阿基米德三角形的常见性质: 如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论: （1）点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 （2）两切线互相垂直,即; （3）; （4）点的坐标为. （5）的最小值为. 6．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线，过焦点的弦的两个端点的切线相交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点必在直线上，且以为直径的圆过点 B．点必在直线上，但以为直径的圆不过点 C．点必在直线上，但以为直径的圆不过点 D．点必在直线上，且以为直径的圆过点 7．设抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（多选）如图所示，抛物线为过焦点的弦，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，则下列结论正确的有（    ） A．若的斜率为1，则 B． C．若的斜率为1，则 D． 9．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，在处的切线与的准线交于点，连接．若，则的最小值为 ． 10．已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，，D为垂足，点D的坐标为． (1)求C的方程； (2)若点E是直线上的动点，过点E作抛物线C的两条切线，，其中P，Q为切点，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． 题型3 平移齐次化 如果公共点在原点，不需要平移.如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减，上减下加”. 设平移后的直线为，与平移后的圆锥曲线方程联立，一次项乘以，常数项乘以，构造，然后等式两边同时除以 (前面注明x不等于0)，得到，可以直接利用根与系数的关系得出斜率之和或斜率之积，即可得出答案.如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去. 11．已知圆的方程为． (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知，直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 12．已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 13．已知抛物线：上的点到其焦点的距离为2． (1)求点P的坐标及抛物线C的方程； (2)若点M、N在抛物线C上，且，求证：直线MN过定点． 14．如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点(在的上方)，设点、是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.    15．已知抛物线：与椭圆：有相同的焦点，且两曲线相交于点，过作斜率为的动直线，交椭圆于，两点. （Ⅰ）求抛物线和椭圆的方程； （Ⅱ）若为椭圆的左顶点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值. 题型4 角平分线模型 16．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作不与坐标轴垂直的直线交于两点，点的坐标为. (1)证明：； (2)设点关于轴的对称点为，求的面积的最大值. 17．已知抛物线与椭圆有公共的焦点，的左､右焦点分别为，，该椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)如图，若直线与轴，椭圆顺次交于，，（点在椭圆左顶点的左侧），若与互补，试问直线是否经过一个定点？若直线经过一个定点，试求此定点坐标；若不经过，请说明理由. 题型5 定比点差法 一、定比分点公式 1、已知，若点)满足，求点的坐标． 二、定比点差法 当为椭圆上的两点，为弦上任意一点时， 设点满足 若在椭圆则; 点满足，可得到 ， ①－②得： ， 联立消元后即可用与定分比表示. 18．已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的动直线交曲线于不同的A，B两点，为线段上一点，满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 19．已知，是椭圆E：上的两点． (1)求椭圆E的方程． (2)若直线l与椭圆E交于C，D两点（C，D均不与点A重合），且以线段CD为直径的圆过点A，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 20．椭圆：过点，且右焦点为，过的直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和． （1）求椭圆的方程； （2）如果直线的斜率等于，求出的值； （3）探讨是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围. 21．已知双曲线，直线交双曲线于两点. （1）求双曲线的顶点到其渐近线的距离； （2）若过原点，为双曲线上异于的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值； （3）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 22．已知、分别为椭圆:的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且.    （1）求椭圆的方程; （2）已知点和圆:，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段上取一点，满足:，，(且).求证:点总在某定直线上. 题型6 圆锥曲线的光学性质 （1）椭圆的光学性质:如图所示,从椭圆的一个焦点发出的光线,被椭圆反射后,必定经过另一个焦点; 如图所示,椭圆在点P处的切线为l,直线交直线于点Q,则PQ平分由角平分线性质定理可得 （2）双曲线的光学性质:如图所示,从双曲线一个焦点发出的光线,被双曲线反射后,反射光线的反向延长线交于另一个焦点,如图所示,双曲线在点处的切线l与直线相交于点Q,则PQ平分,由角平分线性质定理,可得 （3）抛物线的光学性质:如图所示,从抛物线的焦点F发出的光线,被抛物线反射后,得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线;如图所示,设抛物线在P处的切线l交对称轴于点切线l交对称轴于点M,则焦点F是的中点. 23．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 24．古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（   ）    A． B．1 C． D．2 25．（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（   ） A．面积的最大值为 B．的最大值为7 C．若，则 D．若，垂足为，则 26．“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ． 27．椭圆有一个光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光照射到椭圆上，其反射光线会经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，，光线从发出，经过上一点（不在轴上）反射后，到达椭圆上的点，再反射到达上的点，不断反射，得到反射点列，设. (1)若的焦距为2，，，求的离心率； (2)证明：； 28．在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则．求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为．椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． (1)证明椭圆的光学性质； (2)如图，过的直线交椭圆于，两点（非左右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）求证：椭圆在，两点的切线的交点在定直线上． 题型7 极点极线问题 （1）二次曲线极点对应的极线为 （半代半不代） （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 29．已知曲线是平面内到和的距离之和为4的点的轨迹. (1)求曲线的方程； (2)过点作斜率不为0的直线交曲线于A，B两点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点的坐标. 30．已知椭圆C：的短轴长为2，椭圆上一点到两焦点的距离之和是6 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l方程是，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆C的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 31．已知椭圆：的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 32．已知椭圆过点，焦距为．过作直线l与椭圆交于C、D两点，直线分别与直线交于E、F． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； (3)是否存在实数，使恒成立．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $