3.3.2 抛物线的简单几何性质（分层作业）数学人教A版2019选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质 知识点1 抛物线的简单几何性质 1．已知抛物线的顶点在原点，开口向左，且其焦点到准线的距离为6，抛物线上有一点，到焦点的距离为5，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是 ，得到的一个抛物线标准方程是 . 3．已知正方形的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线上，则 ． 4．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 知识点2 直线与抛物线的位置关系 5．过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．直线与双曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 7．对于抛物线，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线与抛物线的位置关系是 ． 8．已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为 . 9．已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 知识点3 焦半径问题 10．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（   ） A． B．3 C．4 D． 11．已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则 . 13．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A，B，C三点.令，则的值为 . 14．过抛物线焦点F的射线与抛物线交于点A，与准线交于点B，若，则p的值为 . 知识点4 中点弦问题 15．直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 16．已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 17．已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则的值为 ． 18．已知抛物线的焦点为F，点F到抛物线准线距离为4． (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线E上，顶点，重心恰好是抛物线E的焦点F．求所在的直线方程． 19．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则 知识点5 弦长问题 20．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 21．过抛物线的顶点，且倾斜角为的直线与抛物线的另一个交点为，若，则 ． 22．过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，则 ． 23．过点作直线与交于A，B两点，若，则直线的倾斜角为 . 24．已知：抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线相交于两点，且，求抛物线的方程． 1．已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．已知过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，点为C上一点，记的面积分别为，若，则的最小值为（    ） A．16 B．20 C．25 D．28 3．过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，且满足，则（    ） A． B． C． D．1 4．已知O为坐标原点，直线交抛物线于A，B两点，P为y轴正半轴上一点，点A，P，B的纵坐标分别为，且，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知为抛物线的焦点，为上的两个动点，则下列命题正确的是（    ） A．若点的坐标为，则的最小值为3 B．若，则线段的中点到轴的最小距离为2 C．若线段的中点的横坐标为3，则的最大值为8 D．若直线过点，则（为坐标原点）的斜率之积为定值 6．已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 . 7．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，直线，与直线分别交于点． (1)求的方程； (2)记的纵坐标分别为，当时，求直线的斜率． 8．已知是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，（为坐标原点）三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，求的最小值． 1．已知抛物线的焦点为，的准线与轴的交点为，若过点的直线与交于两点，且，则的面积等于 ． 2．已知抛物线的准线与以为直径两端点的圆相切，过抛物线的焦点的动直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值为 . 3．某企业生产的系列玻璃器皿产品成功入选“一带一路十周年·国礼品牌”．其中某型号高脚杯的轴截面为抛物线C，如图1所示．往高脚杯中缓慢倒水，当杯中的水深为1cm时，水面宽度为4cm，如图2所示．以O为坐标原点建立平面直角坐标系，P，Q是抛物线C上异于点O的两点，且满足． (1)求抛物线C的方程； (2)求证：直线PQ过定点； (3)过点O作PQ的垂线，垂足为H．是否存在一个定点到点H的距离为定值?如果存在，求出该定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为，过点且斜率为的直线与轨迹从左到右的三个公共点分别为． (1)求轨迹的方程 (2)求的取值范围； (3)点关于原点对称，若，求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2 抛物线的简单几何性质 知识点1 抛物线的简单几何性质 1．已知抛物线的顶点在原点，开口向左，且其焦点到准线的距离为6，抛物线上有一点，到焦点的距离为5，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得抛物线的标准方程为，抛物线的焦点坐标为，准线方程为. 设点坐标为，过点作于点. 由于点到焦点的距离为5，根据抛物线的定义可知：，解得， 代入抛物线方程，解得，即点的纵坐标为. 故选：B. 2．已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是 ，得到的一个抛物线标准方程是 . 【答案】 ② 【详解】顶点在原点，坐标轴为对称轴，开口向右的抛物线焦点在轴的正半轴上，因此条件①不可选， 选择条件②， 设抛物线方程为，由抛物线经过点，得，解得， 所以所求抛物线标准方程是. 故答案为：②； 3．已知正方形的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线上，则 ． 【答案】 【详解】因为正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上， 则不妨设在坐标原点，则关于轴对称， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 4．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 【答案】 【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 故答案为：. 知识点2 直线与抛物线的位置关系 5．过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】当直线过点，且与轴平行时，此时直线与抛物线只有1个公共点； 当直线过点，且与轴垂直时，此时直线与抛物线有2个公共点； 当直线过点，斜率存在且不为0时，设直线，代入抛物线，得：， 因为. 由，因为，所以方程有两根， 故过点可以作两条直线与抛物线相切. 综上，过点共有3条直线，与抛物线只有1个公共点. 故选：D 6．直线与双曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【详解】方法一：由 可得，， 所以直线与双曲线有2个交点． 方法二：双曲线的渐近线为， 易知直线过双曲线的左顶点，且斜率为， 所以直线与双曲线有2个交点． 故选：C 7．对于抛物线，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线与抛物线的位置关系是 ． 【答案】相离 【详解】由与联立，消去得：， ∴， ∵， ∴， 所以直线与抛物线无公共点， 故答案为：相离. 8．已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为 . 【答案】 【详解】直线的方程为：， 联立，化为， 直线与抛物线相交于不同的两点， ，即，解得，且． 斜率的取值范围是． 故答案为：． 9．已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，解得（负值舍去）， 所以的方程为． （2）若直线的斜率存在，设的方程为． 由方程组可得． （Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点； （Ⅱ）当时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点； （ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点； （ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点． 综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或1或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 知识点3 焦半径问题 10．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【详解】由题意可知，抛物线的焦点为，设直线的方程为， 将直线的方程与抛物线的方程联立，设，且， ，消去x得， 由韦达定理得，则， 由焦半径公式得，， 因为，所以， 联立方程组，解得或（舍去）， 则，故D正确. 故选：D 11．已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由已知得，则过且斜率为1的直线为，设， 联立，消去得， 则，， ， 解得. 故选：A. 12．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则 . 【答案】12 【详解】由题意得， 设， 因为A、B中点的横坐标为5，所以， 由焦点弦长公式得 故答案为：12 13．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A，B，C三点.令，则的值为 . 【答案】2 【详解】设，由得，， 则直线l的方程为，即， ，消去y得， ， 解得. 过点作准线的垂线，分别交准线于点， 则， 同理可得. 故答案为：2. 14．过抛物线焦点F的射线与抛物线交于点A，与准线交于点B，若，则p的值为 . 【答案】3 【详解】过点作准线于点M，则， ∵， ∴， 由可得：，即， 解得：， 故答案为：3 知识点4 中点弦问题 15．直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 16．已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，则， 整理得， 因为线段中点的横坐标为， 所以线段中点的纵坐标为，则， 从而可得， 故选：D. 17．已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则的值为 ． 【答案】3 【详解】由题知，，故抛物线方程为． 设，易知， 则，由点差法可得 又是线段AB的中点，所以，所以直线l的斜率 因为直线l过焦点，所以，可得． 故答案为：. 18．已知抛物线的焦点为F，点F到抛物线准线距离为4． (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线E上，顶点，重心恰好是抛物线E的焦点F．求所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，∴抛物线方程为： （2）设，，由重心坐标公式得，∴CD中点坐标为， 两式相减得， 方程：， ，∴方程：. 19．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则 【答案】/ 【详解】由题意，四边形为菱形，则，且 由抛物线定义知：，故为等边三角形， 由对称性不妨设直线， 与联立得， 设，则， 故. 故答案为： 知识点5 弦长问题 20．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以，解得， 所以直线l的斜率为.    故选：B. 21．过抛物线的顶点，且倾斜角为的直线与抛物线的另一个交点为，若，则 ． 【答案】6 【详解】如图，过点向轴作垂线，垂足记为，由题意可知， 所以点的坐标为，代入抛物线方程得，所以． 一题多解  多方法解题 过原点且倾斜角为的直线方程为，由，得， 设，则，所以，解得． 故答案为：6. 22．过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，则 ． 【答案】4 【详解】方法一：由题设，抛物线焦点为，则，令，则，故． 方法二：由题意可知是抛物线的通径长， 由，的通径长为2p，得． 故答案为：4. 23．过点作直线与交于A，B两点，若，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【详解】因为抛物线的焦点坐标，准线为， 则直线过抛物线的焦点，且由题意可知直线的斜率不为0， 不妨设直线为，，， 联立，消去，得， 易知，则，故， 因为，所以，即，故， 所以直线的方程为，则直线的倾斜角为. 故答案为：. 24．已知：抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线相交于两点，且，求抛物线的方程． 【答案】 【详解】依题意，设抛物线的方程为， 联立，得， 则， 则，解得（负值舍去）， 此时，满足题意， 所以抛物线的方程为. 1．已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是抛物线上一点，所以，得， 所以抛物线方程为，设，的坐标分别为，， 易知直线、直线、直线的斜率存在， 则，， 由题意，可得， 所以， 所以直线的斜率为定值. 故选：C. 2．已知过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，点为C上一点，记的面积分别为，若，则的最小值为（    ） A．16 B．20 C．25 D．28 【答案】C 【详解】由点在抛物线C上，得，由，得，解得， 抛物线C：的焦点，设直线l：，， 由，得，则，则， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为25． 故选：C 3．过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，且满足，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】  过且倾斜角为的直线的方程为， 设，， 由消去得，， 所以  ①，  ②． 又，所以， 所以，代入①中得，代入②中得， 所以，解得或（舍去）． 故选：A. 4．已知O为坐标原点，直线交抛物线于A，B两点，P为y轴正半轴上一点，点A，P，B的纵坐标分别为，且，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点，联立，得 ，即， 所以， 所以， 所以． 故选：C 5．（多选）已知为抛物线的焦点，为上的两个动点，则下列命题正确的是（    ） A．若点的坐标为，则的最小值为3 B．若，则线段的中点到轴的最小距离为2 C．若线段的中点的横坐标为3，则的最大值为8 D．若直线过点，则（为坐标原点）的斜率之积为定值 【答案】BCD 【详解】由题意知，所以，故的方程为， 设，则，所以， 所以当时，，故A错误； 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 则的中点到轴的距， 当且仅当过点时等号成立，故B正确； 由于，当且仅当过点时等号成立，故C正确；    若过点，设其方程为，代入的方程并整理，得， 设，则，所以， 所以，故D正确， 故选：BCD． 6．已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 . 【答案】 【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，显然四边形是矩形， 由抛物线定义知，，因为， 则， 所以， 设直线的倾斜角为，则， 所以， 则直线的斜率为. 故答案为：. 7．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，直线，与直线分别交于点． (1)求的方程； (2)记的纵坐标分别为，当时，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题，焦点为，准线为， 因焦点到准线的距离为2，可得，则的方程为：； （2）由题，焦点为，准线为， 当直线的斜率为0时，显然不符合题意， 则设直线方程为：，其斜率为. 将直线方程与抛物线方程联立，消去x得： ，判别式为：，设，， 则，又，则，， 从而直线方程为：，直线方程为：， 将两直线方程分别与直线AB方程联立：， 则， 从而， 又由韦达定理：，， 则. 从而直线的斜率为. 8．已知是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，（为坐标原点）三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）过三点的圆的圆心为,则圆心在的中垂线上， 则，又点到抛物线的准线的距离为，所以，则， 所以抛物线的方程为. （2）设，记. 则， ， 整理得， 又，代入得，故， 所以总在定直线上，又, 而过且与该直线垂直的直线为， 由可得两条直线的交点为， 而，故交点在抛物线内部， 故的最小值为到直线的距离， 即的最小值为. 1．已知抛物线的焦点为，的准线与轴的交点为，若过点的直线与交于两点，且，则的面积等于 ． 【答案】 【详解】如图，因为抛物线的焦点，所以，解得， 则抛物线的方程为，准线方程为，， 易知直线斜率存在，设方程为， 联立，整理得, 由韦达定理得，， 又，，且 ∴，即代入， 整理得，解得或（舍）， 所以，，所以， 的面积等于 故答案为：. 2．已知抛物线的准线与以为直径两端点的圆相切，过抛物线的焦点的动直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】抛物线的准线方程为，由知， 以的中点为圆心，DE为直径的圆的方程为. 由题意得，解得，故，且. 设直线的方程为， 当时，直线方程为，则，则； 当时，将与抛物线方程联立并消去可得. 设，则， 所以. 从而， 故，当且仅当时取等号. 综上，的最小值为， 故答案为： 3．某企业生产的系列玻璃器皿产品成功入选“一带一路十周年·国礼品牌”．其中某型号高脚杯的轴截面为抛物线C，如图1所示．往高脚杯中缓慢倒水，当杯中的水深为1cm时，水面宽度为4cm，如图2所示．以O为坐标原点建立平面直角坐标系，P，Q是抛物线C上异于点O的两点，且满足． (1)求抛物线C的方程； (2)求证：直线PQ过定点； (3)过点O作PQ的垂线，垂足为H．是否存在一个定点到点H的距离为定值?如果存在，求出该定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在点到点H的距离是定值． 【详解】（1）设抛物线的方程为， 由题知，代入抛物线方程，可得， 解得，所以，抛物线C的标准方程为． （2）设直线PQ的方程为，， 联立，得．， ，因为，所以． ． 因为，所以，解得，或． 因为不经过点，所以舍去． 所以直线的方程为，所以直线过定点． （3）存在定点，理由如下： 由（2）得直线过定点，过点作的垂线，垂足为． 所以，定点在上，即， 故点在以为直径的圆周上，圆心为的中点． 因为，所以中点坐标为，即为圆心的坐标， 因为圆心到圆周上的点H的距离等于半径1， 故存在点到点H的距离是定值． 4．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为，过点且斜率为的直线与轨迹从左到右的三个公共点分别为． (1)求轨迹的方程 (2)求的取值范围； (3)点关于原点对称，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)40 【详解】（1）设，依题意得：，即， 化简得，， 所以点的轨迹的方程为； （2）设直线的方程为，由方程组， 可得，要使得有三个交点，则， 方程的判别式为， 设直线与轴的交点为，则由，取得， 当，解得或， 故当时，直线与轨迹恰有三个公共点； （3）设，，由（1）知，， 所以， 由直线的方程可知，，故， 所以，， 则，整理得，解得， 从而，故，， 则，，，即直线为，， 点到直线的距离为， 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $