第4章 锐角三角函数课件 2025-2026学年 湘教版九年级数学上册

第4章 锐角三角函数 4.4 解直角三角形的应用 第1课时 与仰角、俯角有关的应用问题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 利用解直角三角形的知识解决有关仰角、俯角的问题 1.（2024·长春）如图，2024年5月29日16时 12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火 箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点 时， A A. 千米 B.千米 C. 千米 D. 千米 位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为 ， 则此时火箭距海平面的高度 为( ) 分层训练 构建学科思维 3 2.（2024·南通）社团活动课上，九年级学习小组测量 学校旗杆的高度.如图，他们在处测得旗杆顶部 的仰 角为 ，，则旗杆的高度为_____ . 分层训练 构建学科思维 4 3.（2024·绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的 高度，从热气球上的点测得该楼顶部点 的仰角为 ，测得底部点的俯角为 ，点与楼 的水平 距离，则这栋楼的高度为 _____________ （结果保留根号）. 分层训练 构建学科思维 5 4.（张家界中考）张家界大峡谷玻璃桥是 我市又一闻名中外的五星景点．某校初三 年级在一次研学活动中，数学研学小组设 计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面 正下方的谷底选一观测点，观测到桥面， 的仰角分别为 ， ，测得长为320米，求观测点到桥面 的距 离．（结果保留整数，参考数据： ） 分层训练 构建学科思维 6 解：如图，过点作,交 的延长线 于点 . 根据题意,得 ， ， 米. ， （米）. 分层训练 构建学科思维 7 在中， ， .即 . （米）． 答．观测点到桥面 的距离约为277米． 分层训练 构建学科思维 8 知识点2 利用解直角三角形的知识解决有关夹角的问题 5.如图，为了测量一条河流的宽度，某测量员在河岸边相距200 米的，两点处分别观测对岸一棵树的位置，在 点的正对 岸，与河岸的夹角为 ，则河宽的长 可以表示为 ( ) B A. 米 B. 米 C.米 D. 米 分层训练 构建学科思维 9 6.如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安 全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由 改为 .已知原传送带的长为.求新传送带 的长度. 分层训练 构建学科思维 10 解：在中，， . . 在中， ， , . 答：新传送带的长度为 . 分层训练 构建学科思维 11 7.【新考向·真实问题情境】某老年活动中心欲在一房前 高的 前墙（）上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有 宽的阴 影处（ ）以供纳凉.假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面 的夹角为 ，遮阳篷与水平面的夹角为 .侧面示意图 如图所示，则此遮阳篷的长度为___.（结果精确到 ）. （参考数据：，， , ，， ） 3 分层训练 构建学科思维 12 8.【新考向·传统文化】（2024·湖南）如图，图1为《天工开物》 记载的用于舂捣谷物的工具——“碓 ”的结构简图， 图2为其平面示意图.已知于点，与水平线 相交于点 ，.若分米，分米， ，则点 到水平线的距离 为__________分米（结果用含根号的式子 表示）. 图1 图2 分层训练 构建学科思维 13 9.（2024·呼伦贝尔）综合实践活动 中，数学兴趣小组利用无人机测量 大楼的高度.如图，无人机在离地面 40米的处，测得操控者 的俯角为 ，测得楼楼顶处的俯角为 ，又经过人工测量得到操 控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼 的高度是多少 米？（点，，，都在同一平面内，参考数据： ） 分层训练 构建学科思维 14 解：如图，过点作于点，过点 作于点，则四边形 是矩形.由 题意，得米， 米， ， . 在中， ， ， 米， 米. 分层训练 构建学科思维 15 四边形 是矩形， 米. 在中， ， ， 米， （米）. 答：楼 的高度约是28米. 分层训练 构建学科思维 16 10.（天津中考）综合与实践活动中，要利用 测角仪测量塔的高度.如图，塔 前有一座高 为的观景台，已知 ， ，点，， 在同一条水平直线 上．某学习小组在观景台处测得塔顶部 的 仰角为 ，在观景台处测得塔顶部 的仰角为 ． 分层训练 构建学科思维 17 （1）求 的长； 解：根据题意，得 . 在中，， ， ．的长为 . 分层训练 构建学科思维 18 （2）设塔的高度为（单位： ）. ①用含有的式子表示线段 的长（结果保留根号）； 分层训练 构建学科思维 19 [答案] 根据题意，得 . 在中，， ， ． 在中，， ， ． ． 线段的长为 ． 分层训练 构建学科思维 20 ②求塔的高度 取，取，结果取整数 ． [答案] 如解图，过点作，垂足为 ，根据题意，得 ， ， ， ． 在中， ， ． ．解得 . 答：塔的高度约为 ． 解图 分层训练 构建学科思维 21 $第4章 锐角三角函数 易错易混专练 1 易错点1 对三角函数的概念理解不清 1.在中， ，若三角形各边同时扩大3倍，则 的值( ) B A.扩大为原来的三倍 B.不变 C.缩小为原来的 D.不确定 分层训练 构建学科思维 2 易错点2 点的位置不唯一 2.已知，正方形的边长为2，点是直线 上一点.若 ，则 的值是_ _________. 或 3.在中，，点为直线上一点，且 ， 直线与直线所成锐角的正切值为，并且，则 的 长为_ _____. 或5 分层训练 构建学科思维 3 易错点3 忽视钝角三角形而漏解 4.在中， ，，，则 ____________. 5.已知是的高，，，则 ___________. 6.已知在中，，，，那么 的长 等于________________. 或 或 或 分层训练 构建学科思维 4 易错点4 对给出的条件理解不全致错 7.在中，， 均为锐角，且 ，则 一定是( ) D A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.有一个角是 的三角形 8.已知，为的两个锐角，且, 是方程 的两个根，则 的值为____. 分层训练 构建学科思维 5 9.已知一个直角三角形的一边长等于另一边长的2倍，那么这个 直角三角形中较小的锐角的正切值为_ _____. 或 分层训练 构建学科思维 6 $第4章 锐角三角函数 4.1 正弦和余弦 第2课时 ， 角的正弦值及用计算器求任意 锐角的正弦值 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 特殊角的正弦值与特殊角的关系 1. 的相反数是( ) C A. B. C. D. 2.在中， ,,则 的值为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.计算： （1） _ __； （2） _ _______. 分层训练 构建学科思维 4 4.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 用计算器求任意锐角的正弦值或已知正弦值求对应 的锐角 5.用计算器求 的值，按键顺序是( ) B A. B. C. D. 6.已知,则锐角 的值为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 7.在中，若，且, 都是 锐角，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 8.若的值是方程的一个根，求锐角 的度数. 解：解方程 ， 得， . 由题意，知或 . 或 . 分层训练 构建学科思维 9 9.（舟山中考）数学活动课上，小敏、小颖分别画了 和 ，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作 ，小 颖画的三角形面积记作 ，那么你认为( ) 小敏画的三角形 小颖画的三角形 分层训练 构建学科思维 10 A. B. C. D.不能确定 √ 小敏画的三角形 小颖画的三角形 分层训练 构建学科思维 11 $第4章 锐角三角函数 4.3 解直角三角形 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 已知一条边和一个锐角（或锐角的三角函数值）解 直角三角形 1.如图，在中， ， ，，则 的长是( ) A A.2 B.8 C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，在中， ， ，，则 的长为( ) B A. B. C. D. 3.在中， ，，,则 ____， ____. 4.在中， ， ， ，则 _____. 10 分层训练 构建学科思维 4 5.如图，在中， ，已知 , ,解这个直角三角形. 解：， ， . , . , . 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 已知两条边解直角三角形 6.在中， ，，，欲求 的值，最 适宜的做法是( ) C A.计算 的值求出 B.计算 的值求出 C.计算 的值求出 D.先根据求出，再利用 求出 分层训练 构建学科思维 6 7.如图，在中， ， ，，则 等于( ) C A. B. C. D. 8.在中， ，，，则 _____， _____， ____. 20 分层训练 构建学科思维 7 9.如图，在中， ，已知， ， 解此直角三角形. 解： 在 中， ， , , 分层训练 构建学科思维 8 . . . , . 分层训练 构建学科思维 9 10.根据下列条件解直角三角形，结果不能确定的是( ) C ①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④ 已知一斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边. A.②③ B.②④ C.② D.②④⑤ 分层训练 构建学科思维 10 11.如图，,,, , ,则 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 12.（2024·临夏州）如图，在 中，，，则 的长 是( ) B A.3 B.6 C.8 D.9 分层训练 构建学科思维 12 13.（2024·浙江）如图，在 中，，是 边上的中线， ，， . （1）求 的长； 解：，， ， . ， ， . 分层训练 构建学科思维 13 （2）求 的值. 解：是 边上的中线， ， . ， ， . 分层训练 构建学科思维 14 14.如图，在中， ,,,是 的 中点，过点作所在直线的垂线，垂足为 . 求： 分层训练 构建学科思维 15 （1）线段 的长； 解：在 中， , , . . 是 的中点， . 分层训练 构建学科思维 16 （2） 的值. 解：在中，, , . 是 的中点， , . . 分层训练 构建学科思维 17 即 . . 在 中， , 即的值为 . 分层训练 构建学科思维 $第4章 锐角三角函数 强化训练专题（八） 构造基本图形解直角三角形的 实际问题 1 1.（2024·甘肃）习近平总书 记于2021年指出，中国将力争 2030年前实现碳达峰、2060年 前实现碳中和.甘肃省风能资 源丰富，风力发电发展迅速. 某学习小组成员查阅资料得知，在 风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的 设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动. 分层训练 构建学科思维 2 如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在 两 侧，，点与点相距（点，， 在同 一条直线上），在处测得筒尖顶点的仰角为 ，在 处测得 筒尖顶点的仰角为 .求风电塔筒 的高度. （参考数据： ，， .） 分层训练 构建学科思维 解：如图，连接交于点 . 由题意，得， ， . 设 ， 则 . 分层训练 构建学科思维 4 在中， ， ， 在中， ， ， ，解得 ， ， . 答：风电塔筒的高度约为 . 分层训练 构建学科思维 2.（2024·陕西）如图所示，一座小山顶的 水平观景台的海拔高度为 ，小明想 利用这个观景台测量对面山顶 点处的海拔 高度，他在该观景台上选定了一点 ，在点 处测得点的仰角 ，再在上选一点，在点 处 测得点的仰角 ，.求山顶 点处的海拔高度. （小明身高忽略不计，参考数据： ， ， ） 分层训练 构建学科思维 6 解：如图，过点作，交 的延 长线于点.设 ， ， . 在中， ， . 在中， ， 分层训练 构建学科思维 7 ， ， 解得， . 小山顶的水平观景台的海拔高度为 ， 山顶点处的海拔高度约为 . 答：山顶点处的海拔高度约为 . 分层训练 构建学科思维 3.（2024·山西）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”， 学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地， 在了解相关历史背景后，利用航模搭载的 扫描仪采集纪念碑的 相关数据. 分层训练 构建学科思维 9 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点 到水 平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点 处竖直上升，飞行 至距离地面20米的点处时，测得点的仰角 ；然 后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角 ， 当到达点正上方的点处时，测得 米；…… 分层训练 构建学科思维 10 数据应用：已知图中各点均在同一竖 直平面内，，， 三点在同一直线 上.请根据上述数据，计算纪念碑顶部 点到地面的距离 的长（结果精确 到1米.参考数据： ， ，， ， ， ）. 分层训练 构建学科思维 11 解图 解：如解图，延长交于点 . 由题意，得四边形 为矩形， 米. 在 中， ， ， ， . 分层训练 构建学科思维 12 在中， ， ， ， . 设米.米， （米）， ，解得 . （米）. 答：纪念碑顶部点到地面的距离 的长约为27米. 分层训练 构建学科思维 13 4.（2024·江西）图1是世界第一“大碗”— —景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑， 其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗， 寓意“万瓷之母”.如图2，“大碗”从前面看是 由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知， ， 是太阳光线，，，点，，， 在同一 条直线上.经测量， ， ， .（结果精确到 ） 分层训练 构建学科思维 14 （1）求“大碗”的口径 的长； 解：， ， . ， ， 四边形 是矩形， . 答：“大碗”的口径的长为 . 分层训练 构建学科思维 15 （2）求“大碗”的高度 的长. （参考数据：，， ） 解：如解图，延长交于点 . 解图 分层训练 构建学科思维 16 由题意，得， ， ， ， ， . 在中， ， . 答：“大碗”的高度的长约为 . 分层训练 构建学科思维 $第4章 锐角三角函数 章末复习 1 复习点1 锐角三角函数 1.在中， ，， ，那么下列各式 中不正确的是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 2.（2023·益阳）如图，在平面直角坐标系 中，有三点，， ，则 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.如图，在平面直角坐标系中， 是第一象限内 的点，其坐标是，且与轴的夹角 的 正切值是，则 的值为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 复习点2 特殊角的三角函数值 4.计算 的结果等于( ) D A. B. C. D. 5.已知 是锐角，若的值是，则 等于( ) C A. B. C. D. 6.若一个三角形的三个内角度数的比为 ，则这个三角形中 最小角的正切值为_ __. 分层训练 构建学科思维 5 7.计算: （1） ； 解：原式 . （2） . 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 6 复习点3 解直角三角形 8.如图，已知菱形的对角线，相交于点 .若 ，，则 的长是___. 2 分层训练 构建学科思维 7 9.根据下列条件，解直角三角形： （1）在中， ，， ； 解：， ， . . . . 分层训练 构建学科思维 8 （2）在中， ， ， . 解： ， ， . , . 分层训练 构建学科思维 9 复习点4 解直角三角形的实际应用 10.（2024·泰安）在综合实践课上，数学兴趣 小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度. 他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机.如 图，无人机在河上方距水面高60米的点 处测得 74 瞭望台正对岸处的俯角为 ，测得瞭望台顶端 处的俯角为 ，已知瞭望台高12米（图中点，，， 在同一平面 内）.那么大汶河此河段的宽 为 ____米.（参考数据： ，，， ） 分层训练 构建学科思维 10 11.如图，一艘轮船以 的速度自 东向西航行，在点 处得知正西方向有暗 礁，改沿西北（北偏西）方向航行 后到达点处，之后沿南偏西 方向航 2.8 行一段时间后到达位于点正西方向的点处，则轮船从点 到点 航行所用的时间约为____.（结果精确到 ，参考数据： ， ） 分层训练 构建学科思维 11 12.（2024·济南）城市轨道交通发展迅猛， 为市民出行带来极大方便.某校“综合实践”小 组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测 组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 分层训练 构建学科思维 12 过程 资料 轻轨高架站示 意图 ____________________________________________ 相关数据及说明：图中点，，， ， ，在同一平面内，房顶，吊顶 和 地面所在的直线都平行，点 在与地面 垂直的中轴线上， ， ，， . 成果 梳理 …… 续表 分层训练 构建学科思维 13 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点到地面 的距离； 分层训练 构建学科思维 14 解：如图，过点作，交 的延长线于点 ， . 在 中， ， ， . 答：点到地面的距离约为 . 分层训练 构建学科思维 （2）求顶部线段 的长. （结果精确到，参考数据： ， ，， ， ， ） 分层训练 构建学科思维 16 解：如图，过点作，垂足为 ， . ， . 平行线间的距离处处相等， . ， . 分层训练 构建学科思维 17 在 中， ， . 答：顶部线段的长约为 . 分层训练 构建学科思维 18 13.【新考向·跨学科融合】（2024·贵州）综合与实践：小星学习 解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习. 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边 沿处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为 ； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点 处时，停止注水. （直线为法线，为入射光线， 为折射光线.） 分层训练 构建学科思维 19 【测量数据】 如图，点，，，，，，，， 在同一平面内，测得 ， ，折射角 . 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： 分层训练 构建学科思维 20 （1）求 的长； 解：在中， ， ， . 分层训练 构建学科思维 21 （2）求，之间的距离（结果精确到 ）. （参考数据：，， ） 解：由题意,知 ， ， 又 ， ， . 分层训练 构建学科思维 22 $第4章 锐角三角函数 4.1 正弦和余弦 第3课时 锐角的余弦 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 余弦的意义 1.如图，在中， ， ， ，则 的值为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.（柳州中考）如图，在中， ， ，，则 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.在正方形网格中，的位置如图所示，则 的值是 _ __. 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 互余两角的正弦、余弦关系 4.已知, 为锐角，则 的值等于( ) B A. B. C. D. 5.如果 是锐角，且，那么 的值等于( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 6.下列各式中一定与（ 是锐角）相等的是( ) D A. B. C. D. 7.已知 为锐角， ，则 _____. 分层训练 构建学科思维 7 知识点3 特殊角的余弦值 8.（无锡中考） 的值为( ) B A. B. C. D. 9.化简 的结果是( ) A A. B. C. D. 10.已知 ， 都是锐角，且, ，则 _____. 分层训练 构建学科思维 8 11.计算： （1） ___； （2） ____. 0 分层训练 构建学科思维 9 知识点4 用计算器求任意锐角的余弦值或已知余弦值求对应 的锐角 12.用计算器计算 的结果是（精确到 ）( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 13.已知下列余弦值，用计算器求对应的锐角：（精确到 ） （1） ; 解: . （2） . 解: . 分层训练 构建学科思维 11 14.如图，在平面直角坐标系中,点的坐标为 ， 那么 的值是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 15.如图，为 边上的任意一点，过点 作 于点，过点作于点 ，下 列用线段比表示 的值，错误的是( ) C A. B. C. D. 16.在中，，则 是______ 三角形. 等腰 分层训练 构建学科思维 13 17.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 14 18.如图,已知为锐角， ，且，求 和 的值. 解:根据题意,得 . 分层训练 构建学科思维 15 ， . 设, . 则 . . , . 分层训练 构建学科思维 16 19.把记作 ，根据 图1和图2完成下列各题. （1） ___， ___， ___； 1 1 1 分层训练 构建学科思维 17 （2）观察上述等式猜想：在中， ，总有 ___； 1 （3）如图2，在 中证明（2）中的猜想； 证明：在图2中， ，，且 ， . 即 . 分层训练 构建学科思维 18 （4）已知，在中， ，且 ，求 . 解：在中， ， . ， . 解得或 （舍去）. . 分层训练 构建学科思维 19 $第4章 锐角三角函数 强化训练专题（七） 求锐角三角函数值的方法归类 1 方法1 运用定义求锐角三角函数值 在直角三角形中，已知一个锐角三角函数值和相关线段长 或已知边长求锐角三角函数值时，通常直接根据定义求解. 分层训练 构建学科思维 2 1.（贵阳中考）如图，是 的边 上一点， 点的坐标为，则 等于( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，在中，是 的中点， ，，则 的值为( ) B A. B. C. D. 3.如图，在中，是的垂直平分线， 交 于点，连接，若，，则 __, __. 分层训练 构建学科思维 4 方法2 巧设参数求锐角三角函数值 在直角三角形中，若已知两边的比值或已知一个锐角三角 函数值，而不能求出三角函数相应边的长，则可采用设参数的 方法，先用参数表示出三角函数相应边的长，再根据三角函数 公式计算它们的比值，即可得出三角函数值. 分层训练 构建学科思维 5 4.如图，在菱形中， ， ，，则 的值是 ( ) B A. B.2 C. D. 分层训练 构建学科思维 6 5.（益阳中考）如图，在中， ，若 , 则 __. 分层训练 构建学科思维 7 方法3 利用等角转化求锐角三角函数值 若要求的角的锐角三角函数值不容易求出，且这个角可以 转化为其他角，则可以直接求转化后角的锐角三角函数值. 分层训练 构建学科思维 8 6.（莆田中考）如图，在矩形中，点在 边上，沿折叠矩形，使点落在 边上 的点处，若，，则 的值 为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 7.如图，在中， ，是直角边 上一点， 于点，，，则 的值为_ __. 分层训练 构建学科思维 10 方法4 构造法求锐角三角函数值 若要求锐角三角函数值的角不在直角三角形中，且不能转 化为其他角，则可以根据已知条件构造直角三角形解决. 8.如图，在中，，， ， 则 的值为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 9.（贵港中考）如图，在 网格正方形中，每个 小正方形的边长为1，顶点为格点，若 的顶点 均是格点，则 的值是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 10.（广元中考）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边 长都相等，，，，都在格点处，与相交于点 ，则 的值为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 11.（连云港中考）如图，在中， ， ， . （1）求 的长； 分层训练 构建学科思维 14 解图 解：如解图，过点作 ，交 的延长线于点 . 在中， ， ， ， ， . 在中， ， ， . 分层训练 构建学科思维 15 （2）利用此图形求 的值（精确到 ，参考数据： ，， ） 解：如解图,在边上取一点，使得，连接 . ， , ， 解图 分层训练 构建学科思维 16 $第4章 锐角三角函数 4.4 解直角三角形的应用 第2课时 与坡度、方位角有关的应用问题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 坡度和坡角 1.如图，一个斜坡长，坡顶离水平地面的距离为 ，那 么这个斜坡的坡度为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.某水库大坝的横断面是梯形，坝内一斜坡的坡度 ，则 这个斜坡坡角为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.（阜新中考）如图，为了了解山坡上两棵树 间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该 山坡的倾斜角 ，两树间的坡面距离 ，则这两棵树的水平距离约为____ 4.7 （结果精确到，参考数据： ， ， ）. 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 与方位角有关的实际问题 4.如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东 方向， 距离灯塔50海里的点 处，它沿正北方向航行一 段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的点 处，这时处与灯塔 的距离可以表示为( ) B A.50海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 分层训练 构建学科思维 6 5.如图，海面上有一座小岛，一艘船在处观测 位于其西南方 向处，该船向正西方向行驶2小时至处，此时观测 位于 其南偏东 ，则此船行驶的路程约为____ . （结果保留整 数，，， ） 39 分层训练 构建学科思维 7 6.（咸宁中考）如图，海上有一灯塔 ，位于 小岛北偏东 方向上，一艘轮船从小岛 出发，由西向东航行到达 处，这时 测得灯塔在北偏东 方向上，如果轮船不 20.8 改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔 的正南方，此时轮船 与灯塔的距离是_____.（结果保留一位小数， ） 分层训练 构建学科思维 8 7.（2024·甘孜州）如图，一艘海轮位于灯塔 的北偏 东 方向，距离灯塔100海里的 处，它沿正南方向 航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东 方向上 的处.这时，处距离 处有多远？（参考数据： ，， ） 分层训练 构建学科思维 9 解：如图，过点作于点 . 在中， ， 海里， （海里）， （海里）. 在中， ， （海里）， （海里）. 答：处距离 处约有140海里. 分层训练 构建学科思维 10 8.如图，某拦水大坝的横断面为梯形，， 为梯形的高， 其中迎水坡的坡角 ，坡长米，背水坡 的 坡度，则背水坡 的坡长为____米. 12 分层训练 构建学科思维 11 9.（2024·泸州改编）如图，海中有一 个小岛，某渔船在海中的 点测得小岛 位于东北方向上，该渔船由西向东航 行一段时间后到达点，测得小岛 位于 北偏西 方向上，再沿北偏东 方向继续航行一段时间后到 达点，这时测得小岛位于北偏西 方向上.已知， 相距 .此时，间的距离为______ （计算过程中的数 据不取近似值）. 分层训练 构建学科思维 12 10.图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装的热水器侧面 示意图.已知屋面的倾斜角为 ，长为3米的真空管 的坡度为，安装热水器的铁架竖直管 的长度为0.5米. 分层训练 构建学科思维 13 （1）真空管上端到水平线 的距离; 解图 解：如解图,过点作于点 . 在中，， . 设，则 . 解得 （负值舍去）. （米）. 答：真空管上端到水平线 的距离为1.8米. 分层训练 构建学科思维 14 （2）求安装热水器的铁架水平横管 的长度（结果精确到0.1 米）. （参考数据：，， ） 分层训练 构建学科思维 15 解：在 中，由（1），得 （米）. ，， ， 四边形 是矩形. , . , （米）. 分层训练 构建学科思维 16 在中， ， 则 . （米）. 答：安装热水器的铁架水平横管 的长度约为0.9米. 分层训练 构建学科思维 11.如图是某地下停车库入口的设 计示意图，已知坡道 的坡比 2.4，的长为7.2米， 的长为0.4米.按规定，车库坡道 口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的 限高数值（即点到 的距离）. 分层训练 构建学科思维 18 解：如图，延长交于点 ， 过点作于点 . . .， . ， （米）. 由题意，知，且 ， 分层训练 构建学科思维 19 , . ， . （米）. 答：该车库入口的限高数值为2.4米. 分层训练 构建学科思维 $第4章 锐角三角函数 综合与实践 1 1.天王寺善济塔位于河南省新乡市，修建于元朝至元四年（1267）， 为七级六角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位.某校数 学“综合与实践”小组的同学把“测量善济塔的高度”作为一项课题活 动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们 在善济塔前的一棵树底部处测得塔顶处的仰角为 ，在塔底部 处测得大树顶部处的仰角为 ，测得树高为 .为了减小测 量误差，小组在测量两个仰角的度数时，都分别测量了两次并取它 们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）. 分层训练 构建学科思维 2 课题 测量善济塔的高度 测量示 意图 __________________________________ 线段表示大树的高度，线段 表示善济塔的高度， 点，在同一条直线上，且点，，， 都在同一竖 直平面内 分层训练 构建学科思维 3 测量数 据 测量项目 第一次 第二次 平均值 … … （1）任务一：表中 _____; 续表 分层训练 构建学科思维 4 （2）任务二：请帮小组的同学求出善济塔 的高度;（结果精确 到，参考数据：，， ， ） 分层训练 构建学科思维 5 解：在中， ， . 在中， ， . 答：善济塔的高度约为 . 分层训练 构建学科思维 （3）任务三：该小组要写一份完整的课题活动报告，除上表的 项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一条即可） 解：还需要补充的项目：测量工具（或计算过程，人员分工，指 导教师等）.（答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 7 2.综合与实践. 活动主题：利用测角仪测量塔高. 测量工具：测角仪、卷尺等. 实践研究：某小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一 个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容： 分层训练 构建学科思维 8 课题：测量古塔的高度 小明的研究报告 小红的研究报告 图示 ________________________________________________ _____________________________________________________________ 分层训练 构建学科思维 9 测量方案与 测量数据 用距离地面高度为 的测角仪测出古塔顶端 的仰角为 ,再用皮尺 测得测角仪所在位置与 古塔底部边缘的最短距 离为 . 在点 用距离地面高度为 的测角仪测出古塔 顶端的仰角为 ，然 后沿方向走 到 达点 ，测出古塔顶端 的仰角为 . 续表 分层训练 构建学科思维 10 参考数据 , , , , , 续表 分层训练 构建学科思维 11 计算古塔高 度 （结果精确 到 ） …… 续表 分层训练 构建学科思维 12 总结反思： （1）写出小红的研究报告中“计算古塔高度”的解答过程； 解：设,在 中， , , , 在中， , 即， . 经检验， 是原方程的解，且符合题意. . 答：古塔的高度约为 . 分层训练 构建学科思维 13 （2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实 际高度偏差较大，针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因. 解：原因：小明测量的只是测角仪所在位置与古塔底部边缘的最 短距离，不是测量测角仪所在位置与古塔底面圆心的最短距离. 分层训练 构建学科思维 14 $第4章 锐角三角函数 4.1 正弦和余弦 第1课时 正弦及 角的正弦值 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 知识点1 正弦的意义 1.如图，在中， ，如果 ，，那么 的值为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，在中， ， ， ，则 ( ) B A. B. C. D. 3.（河池中考）在中， ,, ，则 的值为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 4.如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，那么 的值是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 5.（教材P111练习T1变式）如图，在 中， ，,,求和 的值. 解：在 中， . . . 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 角的正弦值 6.（玉林中考）计算： ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 7.把三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角 的正弦函 数值( ) A A.不变 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定 分层训练 构建学科思维 8 8.如图，在中， ，，则 ( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 9.（聊城中考）如图，在 的正方形网格中， 每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在 这些小正方形的顶点上，那么 的值为 ( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 10.如图，在中， ，，点 为垂足， 若 ，则 的值是__. 分层训练 构建学科思维 11 $第4章 锐角三角函数 4.2 正切 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 正切的意义 1.（2024·云南）如图，在 中，若 ，，，则 ( ) C A. B. C. D. 2.在中， ，若斜边是直角边 的3倍，则 的值是( ) D A. B.3 C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.如图，在中， ，,,则 ___. 8 分层训练 构建学科思维 4 4.如图，在中, ,,,求, . 分层训练 构建学科思维 5 解：在 中， ，, , 由勾股定理，得 ， , . 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 特殊角的三角函数 5.填空： _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ ___ ____ 1 分层训练 构建学科思维 7 6. ( ) A A. B. C. D. 7.计算 等于( ) C A.1 B. C.2 D. 8.计算： ___. 0 分层训练 构建学科思维 8 知识点3 用计算器求任意锐角的正切值或已知正切值，求对 应的锐角 9.用计算器求下列锐角的正切值：（精确到 ） （1） _________； （2） _________； （3） _________. 分层训练 构建学科思维 9 10.已知下列锐角的正切值，用计算器求锐角 的度数.（精确到 ） （1） ； 解： . （2） . 解： . 分层训练 构建学科思维 10 11.在中， ，,则 的值为( ) D A. B. C. D. 12.如图，，， 是小正方形的顶点，且每个 小正方形的边长均为1，则 的值为 ( ) B A. B.1 C. D. 分层训练 构建学科思维 11 13.已知为锐角, ,且满足 ,则 的值为__. 14.（2024·江西）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形 ，连接，则 __. 图1 图2 分层训练 构建学科思维 12 15.计算： （1） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 13 （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 14 （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 15 16.如图,在中,,边上的高,交于点,若 , ,求 的值. 分层训练 构建学科思维 16 解：在中，, ，根据勾股定理，得 . ，分别是， 边上的高， . ， . . 分层训练 构建学科思维 17 17.（遵义中考）构建几何图形解决代数问题 是“数形结合”思想的重要应用，在计算 B A. B. C. D. 时，如图.在中， ， ，延 长使，连接，得 ，所以 . 类比这种方法，计算 的值为( ) 分层训练 构建学科思维 18 $