第2章 一元二次方程课件2025-2026学年 湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程在几何图形问题中的应用，从基础建模到动态情境探究层层递进，通过矩形面积、菱形对角线、直角三角形边长等现实问题引入，构建“设未知数—列方程—解方程—验根”的完整思维链条，形成清晰的学习支架。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，如第4题通道宽度问题体现几何直观与模型意识，第6题动点距离问题展现逻辑推理与符号运算能力，第9题羊圈设计则凸显数据观念与应用意识。教学中注重真实情境驱动，引导学生从生活现象抽象出数学关系，再用严谨推理解决问题，既提升学生的问题解决能力，又助力教师实现精准分层教学与素养导向的课堂转型。

第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.3 因式分解法 第2课时 选用合适的方法解一元二次方程 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 知识点 用合适的方法解一元二次方程 1.填空： （1）解方程 ，选用____________； （2）解方程 ，选用________； （3）解方程 ，选用________. 因式分解法 公式法 配方法 分层训练 构建学科思维 3 2.选择合适的方法解下列方程： （1） ； 解：解法1：用平方根的意义求 解： 原方程可化为 . 根据平方根的意义，得 ， 因此，原方程的根为, . 分层训练 构建学科思维 4 解法2：因式分解法： 把方程左边因式分解,得 . 由此得或 . 解得, . 分层训练 构建学科思维 5 （2） ； 解：配方,得 ， 因此 . 由此得或 ， 解得, . 分层训练 构建学科思维 6 （3） ； 解：原方程可化为 . 把方程左边因式分解,得 . 由此得或 . 解得, . 分层训练 构建学科思维 7 （4）（徐州中考） . 解：这里，， . 因而 . 所以 . 因此，原方程的根为， . 分层训练 构建学科思维 8 3.（2024·赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形的周长为( ) C A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 【变式】 三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程 的根，则该三角形的周长为____． 4.若不等于零的实数，满足，则 ______. 12 分层训练 构建学科思维 9 5.（教材P42习题 变式）先化简，再求值： ，其中满足 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 10 解方程，得， . ， ， . 当时，原式 ． 分层训练 构建学科思维 $第2章 一元二次方程 2.4 一元二次方程根与系数的关系 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 知识点1 直接利用根与系数的关系求两根的和与积 1.（邵阳中考）设方程的两根分别是， ，则 的值为( ) A A.3 B. C. D. 2.若方程的两个根分别为，，则 为 ( ) D A. B.6 C. D.5 分层训练 构建学科思维 3 3.实数，是一元二次方程 的两个根，则多项式 的值为____． 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 根与系数的关系的应用 4.已知关于的方程 有一个根为2，则另一个根为 ( ) C A.2 B.3 C.4 D.8 5.（2024·天津期中）已知关于的一元二次方程 的两根分别为，，则与 的值分别为( ) C A.， B.， C.， D.， 分层训练 构建学科思维 5 6.（贵港中考）已知关于的一元二次方程 的 两个实数根分别为，，且，则 的值是( ) D A. B.2 C. D.1 分层训练 构建学科思维 6 7.（2024·绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方 程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根 是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程 的两个根是和 .则原来的方程是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 8.（2024·乐山）若关于的一元二次方程 两根 为,，且，则 的值为( ) A A. B. C. D.6 9.（2024·泸州）已知，是一元二次方程 的 两个实数根，则 的值是 ____. 10.【整体思想】（2024·西宁）已知方程 的两根 分别为和，则 的值为____． 14 16 分层训练 构建学科思维 8 【变式】 （2024·烟台）若一元二次方程 的两 根为，，则 的值为___. 6 11.（2024·遂宁）已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； 分层训练 构建学科思维 9 证明： ， 这里，， ， ． ， ． 无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根. 分层训练 构建学科思维 10 （2）如果方程的两个实数根为，，且 ， 求 的值． 解：根据题意，得， ． ， ， ． 整理，得 ． 解得， ． 的值为 或1． 分层训练 构建学科思维 11 $第2章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的应用 第1课时 利用一元二次方程解决平均变化率及商品 利润问题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 利用一元二次方程解决平均变化率问题 1.某药品经过两次调价,每瓶零售价由128元升为168元.已知两次 调价的百分率相同,设每次调价的百分率为 ,根据题意列方程为 ( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.（2024·牡丹江）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每 盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为( ) C A. B. C. D. 3.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20 000个，1月底 因市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份 起扩大产能，3月份平均日产量达到24 200个. 分层训练 构建学科思维 4 （1）求口罩日产量的月平均增长率； 解：设口罩日产量的月平均增长率为 ，则根据等量关系得 . 整理，得 . 解得（舍去）， . 答：口罩日产量的月平均增长率为 . 分层训练 构建学科思维 5 （2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少个？ 解： （个）. 答：预计4月份平均日产量为26 620个. 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 利用一元二次方程解决商品利润问题 4.某商品的进价为5元,当售价为元时,此时能销售该商品 个,获利144元，则该商品的售价为____元. 13 分层训练 构建学科思维 7 5.某商场服装店在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件， 每件盈利40元，为迎接“六·一”儿童节，商场决定采取适当的降价 措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件童装 降价1元，那么平均每天就可多售出2件.若销售该童装每天盈利 要达到1 200元.则每件童装应该降价多少元？ 分层训练 构建学科思维 8 解：设每件童装应该降价元.降价 元后，每一件童装的利润为 __________元，每天可以卖出去的童装件数为__________件，根 据等量关系可列方程为__________________________，则每件童 装应该降价________元.为了尽量减少库存，则每件童装应该降 价____元. 10或20 20 分层训练 构建学科思维 9 6.国庆期间,某游乐园为了增加收入,进行了市场调研.调研发现,如 果票价定为每张30元,那么1 200张门票可全部售出；如果票价每 张增加1元,那么售出的门票就减少30张.要使门票总收入达到 36 750元,票价应该定为多少元？ 分层训练 构建学科思维 10 解：设当票价每张增加 元时,门票总收入达到36 750元，则根据 等量关系得 . 整理,得 . 解得 . 故票价应定为 （元）. 答：要使门票总收入达到36 750元，票价应该定为35元. 分层训练 构建学科思维 11 7.某公司今年销售一种产品,1月份获得利润10万元,由于产品畅销, 利润逐月增加,第一季度共获利36.4万元.已知2月份和3月份利润 的月增长率相同，设2，3月份利润的月增长率为,那么 满足的 方程为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 8.（2024·绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500 元．因销量持续攀升，商家在3月份提价 ，后发现销量锐减， 于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的 降价率连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则 ______. 9.某种商品平均每天可销售40件，每件盈利44元，在每件降价幅 度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件.若 每天要盈利2 400元，则每件应降价___元. 4 分层训练 构建学科思维 13 10.某农村居委会以16 000元的成本收购了一种农产品40吨，目 前可以按600元/吨的价格全部销往外地.如果将该农产品先储藏起 来，每星期的重量会损失1吨，且每星期需支付各种费用共400元， 每星期每吨的价格能上涨100元，但储藏时间不超过10个星期， 那么储藏多少个星期出售该农产品可获利20 500元? 分层训练 构建学科思维 14 解:设储藏 个星期出售该农产品可获利20 500元，则根据等量关 系得 20 500. 整理，得 . 解得， . 因为储藏时间不超过10个星期， 所以 . 答：储藏5个星期出售该农产品可获利20 500元. 分层训练 构建学科思维 15 11.菜农李伟种植的某种蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销 售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销.李伟为了加快 销售，减少损失，对价格进行两次下调后，以每千克3.2元的价 格对外批发销售. 分层训练 构建学科思维 16 （1）求平均每次价格下调的百分率； 解：设平均每次价格下调的百分率为 ，则根据等量关系得 . 整理，得 . 解得， （不合题意，舍去）. 答：平均每次价格下调的百分率是 . 分层训练 构建学科思维 17 （2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再 给予以下两种优惠方案供他选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金200元. 小华选择哪个方案更优惠？请说明理由. 分层训练 构建学科思维 18 解：小华选择方案一更优惠.理由如下： 方案一所需费用为 （元）. 方案二所需费用为 （元）. . 方案一更优惠. 答：小华选择方案一更优惠. 分层训练 构建学科思维 19 $第2章 一元二次方程 教材回归专题（一） 面积问题——针对教材P52练 习T1 1 【教材母题】 （教材P52练习T1） 如图，在长为、宽为 的矩形地面上要 修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分 解：设道路的宽应为 ，根据题意，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：道路的宽应为 . 进行绿化.若要使绿化面积为 ，则道路的宽应为多少米？ 分层训练 构建学科思维 2 1.如图，小明同学用一张长，宽 的矩形纸板制作一个 底面积为 的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一 个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）.求剪 去的正方形边长. 分层训练 构建学科思维 3 解：设剪去的正方形边长为 ， 由题意，得 ， 化简，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：剪去的正方形边长为 . 分层训练 构建学科思维 4 2.小明决定自己设计一个画轴，如图，画轴长为，宽 ， 正中央是一个与整个画轴长、宽比例相同的矩形.如果四周边衬 所占的面积是整个画轴面积的 ，且上、下边衬等宽，左、右边 衬等宽，求左、右边衬的宽. 分层训练 构建学科思维 5 解：设正中央的矩形宽为，则长为 ， 依题意，得 ， 解得， （不合题意，舍去）， , . 答：左、右边衬的宽为 . 分层训练 构建学科思维 6 3.如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为 的墙，另外三边用 长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙 的一边上留一个 宽的门. 分层训练 构建学科思维 7 （1）矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为 ? 解：设矩形鸡舍垂直于墙的一边长为 ，则矩形鸡舍平行于 墙的一边长为 . 依题意，得，解得， ， 当时， （不合题意，舍去）， 当时， . 答：矩形鸡舍的一边的长为，另一边的长为 时， 鸡舍面积为 . 分层训练 构建学科思维 8 （2）鸡舍面积能否达到 ? 解：假设鸡舍面积为，则 ，整理，得 ， ， 方程无实数解. 答：鸡舍面积不能达到 . 分层训练 构建学科思维 9 $第2章 一元二次方程 易错易混专练 1 易错点1 忽视一元二次方程中二次项系数不为0而致错 1.若关于的方程 是一元二次方程， 则 的值等于___. 0 分层训练 构建学科思维 2 易错点2 在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根 2.解方程： . 解：两边同除以，得 .① 所以 .② 以上解答错在第____步，正确的答案是_________________. ① ， 【变式】 （扬州中考）一元二次方程 的根是 _______________. ， 分层训练 构建学科思维 3 易错点3 配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平 方，而在右边忘记加 3.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容. 解方程： . 解：移项，得 .① 将二次项系数化为1，得 .② 分层训练 构建学科思维 4 配方，得， .③ .④ ， .⑤ （1）上述过程的错误在步骤____（填序号），原因是_________ _______________________________________________________. ③ 配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加 分层训练 构建学科思维 5 （2）请写出正确的解答过程. 解：移项，得 . 将二次项系数化为1，得 . 配方，得， . . ， . 分层训练 构建学科思维 6 易错点4 用一元二次方程根的判别式时忽略二次项系数不为0 4.若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数 根，则 的最小整数值为___. 1 分层训练 构建学科思维 7 易错点5 用根与系数的关系时忽略隐含条件“ ” 5.（潍坊中考）若关于的一元二次方程 的两个实数根的平方和为12，则 的值为( ) A A. B. C.或 D.或 分层训练 构建学科思维 8 易错点6 考虑问题不全面，出现漏解 6.如图，， 是一条射线， ，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行； 同时另一只蚂蚁由点以的速度沿 方向爬行. 解：设当爬行时，两只蚂蚁与 点组成的三角形的面积为 . 有两种情况： 问：是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与 点组成的三角形的面 积为 ？ 分层训练 构建学科思维 9 ①如图1，当蚂蚁在线段 上运动时， 图1 由题意，得 ， 整理，得 ， 解得， . 分层训练 构建学科思维 10 ②如图2，当蚂蚁在线段 上运动时， 图2 分层训练 构建学科思维 11 由题意，得 ， 整理，得 ， 解得， （舍去）. 存在这样的时刻，即当爬行的时刻为第，， 时， 两蚂蚁与点组成的三角形的面积为 . 分层训练 构建学科思维 12 $第2章 一元二次方程 章末复习 1 复习点1 一元二次方程的概念 1.是关于 的一元二次方程的条件是( ) C A.，，为任意实数 B.， 不同时为0 C.不为0 D.， 不同时为0 2.若是关于 的一元二次方程， 则 的值是____. 分层训练 构建学科思维 2 复习点2 一元二次方程的根（解） 3.（镇江中考）若是关于的一元二次方程 的一个根，则 的值为___. 4.（枣庄中考）若是关于的方程 的解，则 的值为______. 5 2019 分层训练 构建学科思维 3 复习点3 一元二次方程的解法 5.选择合适的方法解下列方程： （1） ； 解:原方程可化为 . 根据平方根的意义，得 或 . 因此，原方程的根为， . 分层训练 构建学科思维 4 （2） ； 解:配方，得 ， 因此 . 由此得或 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 5 （3） ； 解:这里,, . 因而 , 所以 . 因此，原方程的根为 , . 分层训练 构建学科思维 6 （4） . 解：原方程可化为 . 把方程左边因式分解，得 ， 由此得或 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 7 复习点4 一元二次方程根的判别式 6.（2024·自贡）关于的方程 根的情况是 ( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 7.（2024·上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是 ( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 8.（2024·龙东地区）关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是( ) D A. B. C.且 D.且 9.【新考法·结论开放性试题】（2024·南通）已知关于 的一元 二次方程 有两个不相等的实数根．请写出一个满 足题意的 的值：______________________． （答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 9 复习点5 一元二次方程根与系数的关系 10.（衡阳中考）已知关于的方程 的一个根是 ，则它的另一个根是___. 5 分层训练 构建学科思维 10 11.（鄂州中考）已知关于的方程 有实数根． （1）求 的取值范围； 解： 原方程有实数根， , 解得 . 分层训练 构建学科思维 11 （2）设方程的两根分别是,，且，试求 的值． 解：， 是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系， 得 ， . 又， ， . 分层训练 构建学科思维 12 即 . 解得， ． 又 由（1），得, ． 分层训练 构建学科思维 13 复习点6 一元二次方程的应用 12.如图，在长为，宽为 的矩 形空地上修筑四条宽度相等的小路，若 余下的部分全部种上花卉，且花圃的面 积是 ，则小路的宽是( ) A A. B. C.或 D. 分层训练 构建学科思维 14 13.某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，那么每天 可销售200件，现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如 果这种商品每件的售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少20件， 若要想每天获得640元的利润，则每件的售价定为____元最合适． 16 分层训练 构建学科思维 15 14.某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图 书馆.据统计，第一个月进馆200人，此后进馆人数逐月增加，到 第三个月进馆达到288人，若进馆人数的月平均增长率相同. （1）求进馆人数的月平均增长率； 解:设进馆人数的月平均增长率为 . 根据等量关系得 . 解得， （不合题意，舍去）. 答:进馆人数的月平均增长率为 . 分层训练 构建学科思维 16 （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不得超过400人，若 进馆人数的月平均增长率不变，到第几个月时，进馆人数将超过 学校图书馆的接纳能力？ 分层训练 构建学科思维 17 解:第四个月进馆人数为 （人）， 第五个月进馆人数为 （人）， 由于 ， 所以到第五个月时，进馆人数将超过学校图书馆的接纳能力. 分层训练 构建学科思维 18 15.（2024·南宁月考）如图，有长为 的篱笆，一面利用墙 （墙的最大可用长度为 ），围成中间隔有一道篱笆 （平行于 ）的长方形花圃． （1）设花圃的一边长为，则的长可用含 的代数式表 示为 __________ ； 分层训练 构建学科思维 19 （2）当的长是多少时，围成的花圃面积为 ？ 解：根据题意，得 ， 解得， . 当时， ，符合题意； 当时， ，不符合题意，舍去， 当的长是时，花圃面积为 . 分层训练 构建学科思维 20 （3）围成的花圃面积能否为？若能，请求出 的长度； 若不能，请说明理由． 解：不能，理由如下： 假设围成的花圃面积可以为,则 ，整理， 得 . ， 该方程没有实数根， 不能围成面积为 的花圃． 分层训练 构建学科思维 21 $第2章 一元二次方程 综合与实践 1 图1 1.【主题】一元二次方程的几何解法 【阅读】许多数学家曾研究过一元二次方程的 几何解法，下面以方程 即 为例加以说明. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方 法是：构造图1，一方面，图中大正方形的边长是 ， 它的面积可利用正方形的面积公式计算；另一方面，这个大正方 形的面积又等于四个全等矩形的面积加上中间小正方形的面积. 分层训练 构建学科思维 2 公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是： 构造图2，一方面，图中大正方形的面积为 ； 另一方面，它又等于 .据此可得正 整数 . 图2 分层训练 构建学科思维 【完成任务】 （1）数学家阿尔·花拉子米求解过程中所用的方法与下列哪种方 法是类似的？( ) C A.直接开平方法 B.公式法 C.配方法 D.因式分解法 分层训练 构建学科思维 4 （2）根据数学家赵爽的方法求出 的值； 解：一方面，大正方形的面积可表示为 ， 另一方面，它也可表示为 ， . 又， . ，，解得 . 分层训练 构建学科思维 5 【探究思考】 （3）上述几何解法有何弊端，请说明这种弊端产生的原因； 解：上述几何解法的弊端是容易漏解. 原因：几何解法中正方形的边长与面积均为正数，无法构造出与 负数相关的图形，导致只能求出一元二次方程的正数根，无法求 出负数根. 分层训练 构建学科思维 6 【拓展延伸】 （4）根据赵爽记载的方法，在下列三个构图中（矩形的顶点均 落在边长为1 的小正方形网格格点上），能够得到 的正数解的构图是____.（只填序号） ② 分层训练 构建学科思维 7 $第2章 一元二次方程 强化训练专题（五） 用一元二次方程解决其他问题 1 类型1 传播问题 1.某病毒存在人传人，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那 么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染人，则 为 ( ) A A.14 B.15 C.16 D.17 2.中秋节当天，小明将收到的一条短信发送给若干人，每个收到 小明短信的人又给相同数量的人（不重复）转发了这条短信，此 时包括小明在内收到这条短信的人共有111人，则小明给____人 发了短信． 10 分层训练 构建学科思维 2 3.有1人患流感，经过两轮传染后，共有49人患流感. （1）求每轮传染中平均1人传染了几人？ 解：设每轮传染中平均1人传染了 人. 根据等量关系得 . 整理，得 . 解得， （不合题意，舍去）. 答：每轮传染中平均1人传染了6人. 分层训练 构建学科思维 3 （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 解： （人）. 答：第三轮将又有294人被传染. 分层训练 构建学科思维 4 类型2 单循环问题（握手、单循环比赛问题等） 4.组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据 场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛.设比 赛组织者应邀请个队参赛，则 满足的关系式为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 5.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所 有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？ （1）设共有家公司参加商品交易会，用含 的代数式表示：每 家公司与其他________家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙 公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所 以所有公司共签订了__________份合同； 分层训练 构建学科思维 6 （2）列出方程并完成本题解答. 解：根据题意，得 ， 整理，得 . 解得， （不合题意，舍去）． 答：共有10家公司参加商品交易会． 分层训练 构建学科思维 7 6.探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手 1次. （1）若参加聚会的人数为3，则共握手3次；若参加聚会的人数 为5，则共握手____次； （2）若参加聚会的人数为（ 为正整数），则共握手_ ______次； 10 分层训练 构建学科思维 8 （3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数. 拓展：嘉嘉给琪琪出题： “若线段上共有个点（含端点，），线段总数为30，求 的值.” 琪琪的思考：“在这个问题上，线段总数不可能为30”. 琪琪的思考对吗？为什么？ 分层训练 构建学科思维 9 解：根据等量关系得 . 整理，得 . 解得， （不合题意，舍去）. 分层训练 构建学科思维 10 答：参加聚会的人数为8. 拓展：琪琪的思考对.理由如下： 如果线段数为30，则由题意，得 .整理，得 . 解得， . 为正整数， 没有符合题意的解. 线段总数不可能为30. 分层训练 构建学科思维 11 类型3 双循环问题（互送东西等） 7.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他 同学各送一张留作纪念，全班共送了3 782张相片.若全班有 名 学生，根据题意，列出方程为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 8.某平台规定，平台内的每个人都要发一个红包，并保证平台内 其他人都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活 动中，平台内所有人共收到90个红包，则该平台一共有( ) B A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 分层训练 构建学科思维 13 类型4 数字问题 9.（教材P53习题 变式）如图是一张月历表，在此月历表上用一 个长方形任意圈出 个数（如17，18，24，25），如果圈出的 四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 C A.40 B.48 C.52 D.56 分层训练 构建学科思维 14 10.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果 把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原 来的数小27，则原来的两位数是____． 63 分层训练 构建学科思维 15 类型5 古代数学问题 11.【新考向·数学文化】《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二 人同所立，甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北 与乙会.问甲乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一 地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向 南走10步，然后沿北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时， 甲走了_____步，乙走了_____步. 24.5 10.5 分层训练 构建学科思维 16 12.【新考向·关注传统文化】子曰：“吾十有五而志于学，三十而 立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲， 不逾矩．”——《论语·为政篇》 读诗词解题： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 分层训练 构建学科思维 17 解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为，则十位数字为 ， 根据题意，得 ， 解得， . 当时， ,周瑜的年龄是25岁. 而立之年为30岁， ， 岁不符合题意，应舍去； 当时， ,周瑜的年龄是36岁，符合题意． 答：周瑜逝世时的年龄是36岁． 分层训练 构建学科思维 18 $第2章 一元二次方程 强化训练专题（四） 一元二次方程根的判别式 1 类型1 不解方程判断一元二次方程根的情况 1.【新定义】（张家界中考）对于实数，定义运算“☆”如下： ☆，例如3☆ ，则方程1☆ 的根的情况为( ) D A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 分层训练 构建学科思维 2 类型2 根据方程根的情况确定方程中参数的值或取值范围 2.（河南中考）若方程没有实数根，则 的值可 以是( ) D A. B.0 C.1 D. 3.（云南中考）若一元二次方程 有两个不相等 的实数根，则实数 的取值范围是______________. 且 分层训练 构建学科思维 3 4.（衡阳中考）关于的一元二次方程 有实数根． （1）求 的取值范围； 解：根据题意，得 ， 解得 . 分层训练 构建学科思维 4 （2）如果 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 与方程 有一个相同的 根，求此时 的值． 分层训练 构建学科思维 5 解：满足条件的的最大整数为2，此时方程 变 形为方程，解得， . 当相同的解为时，把 代入方程 ，得 ，解得 ； 当相同的解为时，把 代入方程 ，得 分层训练 构建学科思维 6 ，解得 ， 而 ，不符合题意，舍去， 所以的值为 ． 分层训练 构建学科思维 类型3 根的判别式及根与系数关系的综合 5.（玉林中考）已知关于的一元二次方程 有两 个不相等的实数根． （1）求 的取值范围； 解： 方程有两个不相等的实数根， ，解得 ． 的取值范围为 . 分层训练 构建学科思维 8 （2）若方程的两个不相等的实数根是，，求 的值． 解：由根与系数关系,得 ，，且 , ． 分层训练 构建学科思维 9 类型4 根的判别式和几何的综合 6.已知的两边，的长是关于 的方程 的两个实数根． （1）为何值时，四边形 是菱形？求出这时菱形的边长； 分层训练 构建学科思维 10 解：若四边形 是菱形， 则 ． 又，的长是关于的方程 的两个实 数根， ， ， 当为1时，四边形 是菱形． 分层训练 构建学科思维 11 当时，原方程为 ， 即，解得 ， 菱形的边长是 ． 分层训练 构建学科思维 （2）若的长为2，那么 的周长是多少？ 解：把 代入原方程，得 ，解得 ． 将代入原方程，得 ， 方程的另一根 ， 的周长是 ． 分层训练 构建学科思维 13 $第2章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的应用 第2课时 利用一元二次方程解决几何问题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 利用一元二次方程解决几何图形问题 1.某中学准备建一个面积为 的矩形游泳池，且游泳池的宽 比长短.设游泳池的长为 ，则可列方程为______________ ____. 2.一个菱形两条对角线相差5，面积为12，设长对角线为 ，则可 列方程为_______________. 分层训练 构建学科思维 3 3.一个直角三角形的两条直角边的长相差，面积是 ， 则较长的直角边的长为______. 分层训练 构建学科思维 4 4.幸福小区规划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地 上修 建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与 平行， 其余部分种草，若要使草坪的面积为864平方米，求通道的宽度. 分层训练 构建学科思维 5 解：设通道的宽度为米，则种草部分可合成长为 米， 宽为 米的矩形. 依题意，得 . 整理，得 . 解得， （不合题意，舍去）. 答：通道的宽度为2米. 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 利用一元二次方程解决动态几何图形问题 5.如图，在长方形中， ， ，点从点开始沿边向点以 的速度移动，与此同时，点从点开始沿边 向 点以的速度移动，当点运动到点 时，两 点停止运动，设运动时间为，求多少秒后三角形 的面积等 于 ？ 分层训练 构建学科思维 7 解：由题意，得，，则 . 四边形是矩形， . 三角形的面积等于 ， , . 解得， . 当时， ， 不符合题意，舍去. 答：1秒后三角形的面积等于 . 分层训练 构建学科思维 8 6.如图，在中， ，， ， 点，同时从，两点出发，分别沿，方向向点 匀速运 动，它们的速度都是，那么几秒后，， 两点之间的距 离为 ？ 分层训练 构建学科思维 9 解：设后，,两点之间的距离为 ， 此时 ， ， 在中，根据勾股定理，得 , 即 . 整理，得 . 解得， （不符合题意，舍去）. 答：后，，两点之间的距离为 . 分层训练 构建学科思维 10 7.将一块长方形桌布铺在长为、宽为 的长方形桌面上，各 边下垂的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的2倍，那么桌 布下垂的长度为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 8.如图，在矩形中，， ，动 点，分别从点，同时出发，点沿 方向以 的速度向点移动，点沿方向以 的速 度向点移动，当点运动到点停止时，点 也随之停 止运动，问，两点从出发经过_________时，点 ， 间的距离是 . 1.6或4.8 分层训练 构建学科思维 12 9.（东营中考）如图，老李想用长为 的栅栏，再借助房屋的 外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边 上留一 个宽的门（建在 处，另用其他材料）. 分层训练 构建学科思维 13 （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 的羊圈？ 解：设矩形的边 ，则边 . 根据题意，得 . 整理，得 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 14 当时， ； 当时， . 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为 时， 能围成一个面积为 的羊圈. 分层训练 构建学科思维 15 （2）羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案； 如果不能，请说明理由. 答：不能.理由如下： 根据题意，得 . 整理，得 . ， 一元二次方程没有实数根. 羊圈的面积不能达到 . 分层训练 构建学科思维 16 10.如图,已知矩形的边长, .某一时刻,动 点从点出发沿方向以的速度向点 匀速运动；同时, 动点从点出发沿方向以的速度向点 匀速运动,问： 分层训练 构建学科思维 17 （1）经过多少时间,的面积等于矩形的面积的 ？ 解：设经过,的面积等于矩形的面积的 . 则,, . 由 ,得 . 整理,得.解得, . 答：经过或,的面积等于矩形的面积的 . 分层训练 构建学科思维 18 （2）是否存在时间,使的面积为 ？若存在,求出时 间 ；若不存在,请说明理由. 解：不存在.理由如下： 假设存在时间,使的面积为 , 则,即 . 整理,得 . 这里，， ， 分层训练 构建学科思维 19 . 所以此方程没有实数根. 答：不存在时间，使的面积为 . 分层训练 构建学科思维 $第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 一元二次方程的概念及一般形式 1.下列方程中，是关于 的一元二次方程的是( ) A A. B. C. D. 2.若关于的方程是一元二次方程,则 的取值范 围是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.若方程是关于的一元二次方程,则 的值为 ( ) D A.2 B.1 C.0 D.3 4.将一元二次方程 化为一般形式为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 5.（教材P27例题变式）下列方程是否为一元二次方程？若是， 指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. （1） ; 解：移项,得 . 这是一元二次方程，其中二次项系数为4,一次项系数为5,常数项 为 . 分层训练 构建学科思维 5 （2） . 解：化简,得 . 这是一元二次方程，其中二次项系数为2,一次项系数为2,常数项为0. 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 建立一元二次方程的模型 6.某广场准备修建一个面积为 的矩形草坪，它的长比宽多 .设草坪的宽为 ，根据题意可列方程为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 7.（教材P28习题 变式）（广西中考）据国家统计局发布的 《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年 全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至 2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为 ，依题意可 列方程为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 8.根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化为一元二次方程 的一般形式： （1）一个直角三角形的两条直角边长之和为 ，面积为 ，求它的两条直角边的长； 解：设一条直角边长为，则另一条直角边长为 . 根据题意，得 . 整理，得 . 分层训练 构建学科思维 9 （2）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比 百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这 个三位数. 解：设十位数字为，则个位数字为，百位数字为 . 根据题意，得 . 整理，得 . 分层训练 构建学科思维 10 9.若关于的一元二次方程 中不含常数项， 则 的值是( ) C A.2 B. C.4 D. 分层训练 构建学科思维 11 10.【新考向·数学文化】（泰安中考）我国古代著作《四元玉鉴》 记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株 脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽， 这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一 株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文 能买多少株椽？设这批椽的数量为 株，则符合题意的方程是 ( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 11.已知方程.当 ___时，该方程为 一元二次方程. 3 分层训练 构建学科思维 13 12.已知关于的方程 . （1）当 为何值时，此方程为一元一次方程？并求出此时方程的解； 解：当且，即 时，此方程为一元一次 方程. 此时方程为，解得 . 分层训练 构建学科思维 14 （2）当 为何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二 次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：当,即 时，此方程为一元二次方程. 此时这个一元二次方程的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 . 分层训练 构建学科思维 15 13.资料中经常会出现这样的题目：把方程 化为一元 二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常 数项. 现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答. 分层训练 构建学科思维 16 （1）下列式子中，有哪几个是方程 所化的一元二次 方程的一般形式？（答案只写序号） ； ； ； ； . 解：一元二次方程的一般形式是，， 是常 数且，因此①，②，④，⑤都是方程 所化的 一元二次方程的一般形式. 分层训练 构建学科思维 17 （2）把方程 化为一元二次方程的一般形式，它的二 次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？ 解：把方程 化为二次项系数为1的一般形式为 ，根据等式的基本性质，可知这个方程的二次项 系数∶一次项系数∶常数项 . 分层训练 构建学科思维 18 $第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.3 因式分解法 第1课时 用因式分解法解一元二次方程 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 知识点1 用因式分解法解含有公因式的一元二次方程 1.解方程： . 解：把方程左边因式分解，得 . 由此得___或______ . 解得___, ___. 0 3 2.方程 的解是( ) C A.1 B.5 C.1或5 D.无解 分层训练 构建学科思维 3 3.用因式分解法解一元二次方程 时，可将原 方程转化为两个一元一次方程，其中一个方程是 ，则 另一个方程是__________. 4.（威海中考）一元二次方程 的解为_________ ______. ， 分层训练 构建学科思维 4 5.用因式分解法解下列方程： （1） ; 解：原方程可化为 . 把方程左边因式分解,得 ， 由此得或 . 解得, . 分层训练 构建学科思维 5 （2） ； 解：原方程可化为 . 把方程左边因式分解，得 . 由此得或 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 6 （3） . 解：原方程可化为 . 把方程左边因式分解，得 . 由此得或 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 7 知识点2 先配方再用因式分解法解一元二次方程 6.【答题模板】用因式分解法解方程： . 解：配方，得___-___ . 因而_________-____ . 把方程左边因式分解，得_____________________ ， 由此得______或______ . 解得， . 4 4 分层训练 构建学科思维 8 7.用因式分解法解方程： （1） ； 分层训练 构建学科思维 9 解：配方，得 . 因而 . 把方程左边因式分解，得 ， 即 . 由此得或 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 10 （2） . 解：配方，得 . 因而 . 把方程左边因式分解，得 ， 即 . 由此得或 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 11 8.若关于的一元二次方程的根分别为 ，7，则该方程可以为 ( ) A A. B. C. D. 9.一元二次方程 的根是( ) B A., B., C., D., 分层训练 构建学科思维 12 10.（易错题）若关于的一元二次方程 的一个根为1，则 的值为___. 0 11.对于实数,,定义运算“”如下, .例如, .若, 的值为_________ ______. , 分层训练 构建学科思维 13 12.用因式分解法解方程： （1） ； 解：原方程可化为 . 把方程左边因式分解，得 ， 由此得或 . 解得, . 分层训练 构建学科思维 14 （2） ; 解：把方程左边因式分解,得 . 即 . 由此得或 . 解得, . 分层训练 构建学科思维 15 （3） . 解：原方程可化为 . 把方程左边因式分解，得 ， 即 ， 由此得或 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 16 微专题2 运用十字相乘法分解因式解一元二次方程 【注重阅读理解】阅读下列材料： （1）将 分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ， ． ②交叉相乘，验中项： . 分层训练 构建学科思维 17 ③横向写出两因式： ． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或 .试用上述方法 和原理解下列方程： ① ； 解：，， . ② ； 解：，， . 分层训练 构建学科思维 18 ③ ； 解：，， . ④ . 解：，， . 分层训练 构建学科思维 19 【变式应用1】 若分式的值为0，则 的值为____． 【变式应用2】 已知，则 的值是 _______． 5或10 【温馨提示】本课时，， 可以使用此解法. 分层训练 构建学科思维 20 $第2章 一元二次方程 强化训练专题（三） 一元二次方程的解法 1 类型1 一元二次方程的一般解法 【方法指导】 1.形如<m></m>的方程，适宜用直接开平方法求解； 2.二次项系数为1，且一次项系数为偶数的方程，适宜用配方法 求解； 3.方程移项后一边为0，另一边易分解成两个一次因式的积的方 程，适宜用因式分解法求解； 4.一元二次方程均可用公式法求解. 分层训练 构建学科思维 2 1.用指定的方法解一元二次方程： （1） ；（直接开平方法） 解：移项，得 . 两边同除以3，得 . ， . 分层训练 构建学科思维 3 （2） ；（配方法） 解：将二次项系数化为1，得 . 配方，得，即 . ， ， . 分层训练 构建学科思维 4 （3） ;（公式法） 解：，， ， . . ， . 分层训练 构建学科思维 5 （4） .（因式分解法） 解： ， ， 或 . ， . 分层训练 构建学科思维 6 2.用合适的方法解一元二次方程： （1） ; 解：两边开平方，得 ， 或 ， 即或 . ， . 分层训练 构建学科思维 7 （2） ; 解：整理，得 ， 配方，得， . ， ， . 分层训练 构建学科思维 8 （3） ; 解：整理，得 . 配方，得，即 . . ， . 分层训练 构建学科思维 9 （4） . 解：整理，得 . ，， ， . . ， . 分层训练 构建学科思维 10 类型2 解含绝对值的一元二次方程 3.阅读以下内容，解决问题： 例：解方程： . 解：①当 时， 原方程化为 ， 解得， . ， . 分层训练 构建学科思维 11 ②当时，原方程化为 ， 解得， . ， . 综上所述，原方程的解是， . 依照上述解法，解方程： . 分层训练 构建学科思维 解：当，即 时， 原方程化为 . 解得， . ， . 当，即 时， 原方程化为 ， 解得， . ， . 综上所述，原方程的解是， . 分层训练 构建学科思维 13 类型3 用换元法解方程 4.若，则 的值为___. 6 分层训练 构建学科思维 14 5.阅读材料，解答问题. 解方程： . 解：把视为一个整体，设 ， 则原方程可化为 . 解得， . 或 . ， . 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思 想.请仿照材料解下列方程： 分层训练 构建学科思维 15 （1） ； 解：设，则原方程可化为 ， 解得， . 当时，， . 当时， ，无实数解. 原方程的解为， . 分层训练 构建学科思维 16 （2） . 解：设 ，则原方程可化为 ， 解得， . 当时， ， 解得， . 当时， ， 分层训练 构建学科思维 17 解得 . 综上所述，原方程的解为， ， . 分层训练 构建学科思维 $第2章 一元二次方程 2.3 一元二次方程根的判别式 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 知识点1 利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况 1.一元二次方程 根的判别式的值为( ) A A.4 B.2 C.0 D. 2.（滨州中考）一元二次方程 根的情况为( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能判定 分层训练 构建学科思维 3 3.下列一元二次方程中，无实数根的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 4.（教材P45习题 变式）不解方程，利用判别式判断下列方程 根的情况： （1） ； 解:因为 ， 所以，原方程有两个不相等的实数根. 分层训练 构建学科思维 5 （2） ； 解:因为 ， 所以，原方程有两个相等的实数根. （3） . 解：将原方程化为一般形式，得 . 因为 ， 所以，原方程无实数根. 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 利用根的判别式求方程中字母系数的取值或取值范围 5.（北京中考）若关于的一元二次方程 有两个 相等的实数根，则实数 的值为( ) C A. B. C. D.9 分层训练 构建学科思维 7 6.（2024·广安）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范 围是( ) A A.且 B. C.且 D. 7.（2024·云南）若一元二次方程 无实数根，则 实数 的取值范围为______. 分层训练 构建学科思维 8 8.（2024·泰安）关于的一元二次方程 有实数 根，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 9.（2024·潍坊）已知关于 的一元二次方程 ，其中，满足 ，关于 该方程根的情况，下列判断正确的是( ) C A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 分层训练 构建学科思维 10 10.已知关于的一元二次方程 . （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； 证明：,, , . 方程总有两个不相等的实数根. 分层训练 构建学科思维 11 （2）若是此方程的一个根，求代数式 的值. 解： 是此方程的一个根， 把代入方程，得 . 配方，得 . . 分层训练 构建学科思维 12 $第2章 一元二次方程 新考向·新情境·跨学科 1 1.【运算能力、推理能力】（广州中考）已知关于 的方程 有两个实数根，则 的化简结果是( ) A A. B.1 C. D. 2.【几何直观、空间观念】（衢州中考）将一 个容积为 的包装盒剪开铺平，纸样如 图所示.利用容积列出图中 满足的一元二 次方程：___________________（不必化简）. 分层训练 构建学科思维 2 3.【传统文化】手卷是国画装裱中 横幅的一种体式，以能握在手中顺 序展开阅览得名，它主要由“引首” 10 “画心”“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三 部分的其余部分统称为“隔水”. 下图中手卷长，宽 ， “引首”和“拖尾”完全相同，其宽度都为 .若“隔水”的宽度为 ， “画心”的面积为，则 ____. 分层训练 构建学科思维 3 4.【数学文化】【几何直观、运算能力】《代数学》中记载，形 如 的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构 造一个面积为 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四 个面积为的矩形，得到大正方形的面积为 ，则 该方程的正数解为.”小聪按此方法解关于 的方程 时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的 面积为19，则该方程的正数解为_________. 图1 图2 分层训练 构建学科思维 4 5.【开放性试题】（杭州中考）设一元二次方程 . 在下面的四组条件中选择其中一组， 的值，使这个方程有两个 不相等的实数根，并解这个方程. ，；，；， ； ， . 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分. 分层训练 构建学科思维 5 解： 使这个方程有两个不相等的实数根， ，即， 均可， 选②解方程，则这个方程为 ， ， ， . 选③解方程，则这个方程为 ， , ， . 分层训练 构建学科思维 6 6.【新定义】（遂宁中考）我们规定：对于任意实数，，， 有 ，其中等式右边是通常的乘法和减法运 算，如： . （1）求 的值； 解： . 分层训练 构建学科思维 7 （2）已知关于的方程 有两个实数 根，求 的取值范围. 解：根据题意，得 ， 整理，得 . 关于的方程 有两个实数根， 且 ， 解得且 . 分层训练 构建学科思维 8 $第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.1 配方法 第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 配方 1.下列各式是完全平方式的是( ) C A. B. C. D. 2.将 配成完全平方式，需加上的一次项是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.（教材P33练习T1变式）填空： （1）____-_______ ___; （2）____-_______ ___; （3）_____-_______ __. 1 4 4 2 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 4.【答题模板】用配方法解方程： . 解：配方,得____-____ , 因此_____________. 由此得______________________. 解得_________________. 或 , 5.用配方法解方程 ，应在方程两边同时( ) B A.加上 B.加上 C.减去 D.减去 分层训练 构建学科思维 5 6.（赤峰中考）用配方法解方程 时，配方后正确 的是( ) C A. B. C. D. 7.（怀化中考）一元二次方程 的解是( ) C A.， B. C. D.， 分层训练 构建学科思维 6 8.用配方法解下列方程： （1） ； 解：配方，得 , 因此 . 由此得或 . 解得, . 分层训练 构建学科思维 7 （2） ; 解：配方，得 , 因此 . 由此得或 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 8 （3） . 解:配方，得 , 因此 . 由此得或 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 9 9.（2024·东营）用配方法解一元二次方程 ， 将它转化为的形式，则 的值为( ) D A. B.2 024 C. D.1 分层训练 构建学科思维 10 10.已知一元二次方程配方后为 ， 那么一元二次方程 配方后为( ) D A. B.或 C. D.或 11.若一元二次方程的两根为，，且 ， 则 _____． 181 分层训练 构建学科思维 11 12.用配方法解下列方程： （1） ； 解：配方,得 , 因此 . 由此得或 . 解得, . 分层训练 构建学科思维 12 （2） ； 解：配方，得 ， 因此 . 由此得或 . 解得， . （3） ； 解：移项、合并同类项，得 ， 配方，得.解得 . 分层训练 构建学科思维 13 （4） . 解：整理，得 . 配方，得 ， 因此 . 由此得或 . 解得, . 分层训练 构建学科思维 14 13.【新考向·阅读理解试题】先阅读下面的例题，再按要求解答 下列问题： 例题：求代数式 的最小值. 解： . ， . 的最小值是4. 请你仿照上述方法求代数式 的最小值. 分层训练 构建学科思维 15 解： . ， . 的最小值是 . 分层训练 构建学科思维 16 14.【新考向·阅读理解试题】阅读下面文字内容：对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解 成的形式.但对于二次三项式 ，就不能直接用 完全平方公式分解了.对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变， 即 .像这样，把一个二次三项式变成 含有完全平方式的方法叫做配方法. 分层训练 构建学科思维 17 （1）利用“配方法”分解因式： ； 解： . 分层训练 构建学科思维 18 （2）如果，求 的值. 解： ， . . ，， . ， . 分层训练 构建学科思维 19 $第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.1 配方法 第1课时 根据平方根的意义解一元二次方程 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 一元二次方程的根（解） 1.在数,,,0,1,2,3中，是一元二次方程 的根 的是______. 2.（2024·深圳）一元二次方程 的一个解为 ，则 ___． ,2 3 分层训练 构建学科思维 3 变式题 根据方程的解求字母 求代数式的值 若是关于的一元二次方程 的解，则 ___. 9 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 根据平方根的意义解一元二次方程 3.方程 的根是( ) B A. B.， C.， D. 4.一元二次方程 可以转化为两个一元一次方程，其中 一个一元一次方程为 ，则另一个一元一次方程为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 5.若关于的方程有解，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 6.（扬州中考）方程 的根是_________________. ， 分层训练 构建学科思维 6 7.解下列方程: （1） ； 解：原方程可化为 . 根据平方根的意义，得 或 ， 因此，原方程的根为， . 分层训练 构建学科思维 7 （2） ； 解：原方程可化为 . 根据平方根的意义，得 或 ， 因此，原方程的根为, . 分层训练 构建学科思维 8 （3） ; 解：原方程可化为 . 根据平方根的意义，得 或 ， 因此，原方程的根为, . 分层训练 构建学科思维 9 （4） . 解：根据平方根的意义，得 或 , 因此，原方程的根为 , . 分层训练 构建学科思维 10 8.若与的和为1,则 的值为( ) C A. B. C. D. 9.（易错题）若关于的一元二次方程 的一个根是0,则 的值为( ) A A.1 B. C. D.0 10.【整体思想】若，则 等于( ) A A.13 B.13或 C. D.以上都不对 分层训练 构建学科思维 11 11.若一元二次方程的两个根分别是 与 ,则 ___. 12.（2024·南充）已知是方程 的一个根，则 的值为 ____. 4 分层训练 构建学科思维 12 13.解下列方程: （1） ； 解：根据平方根的意义，得 或 , 因此，原方程的根为, . 分层训练 构建学科思维 13 （2） ； 解：原方程可化为 . 根据平方根的意义，得 或 , 因此，原方程的根为, . 分层训练 构建学科思维 14 （3） . 解：原方程可化为 . 整理，得 . 根据平方根的意义，得或 , 因此，原方程的根为, . 分层训练 构建学科思维 15 14.已知一元二次方程的一个根是,求 的值 和方程的另一个根. 解: 方程的一个根是 , 把代入方程，得 , 即 . 根据平方根的意义，得或 . 原方程为 . 分层训练 构建学科思维 16 根据平方根的意义，得 或 , 因此，方程的根为， . 的值是或，方程的另一个根是 . 分层训练 构建学科思维 15.在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程 . 解：原方程可变形，得 . . . 根据平方根的意义，得 分层训练 构建学科思维 18 或 , 因此，原方程的根为 ， ． 我们称这种解法为“平均数法”． 分层训练 构建学科思维 （1）下面是小明用“平均数法”解方程 时写的 解题过程： 解：原方程可变形，得 . . . 根据平方根的意义，得 或 , 因此，原方程的根为， ． 上述解题过程中的，，， 所表示的数分别是___，___，___， _____； 5 3 2 分层训练 构建学科思维 20 （2）请用“平均数法”解方程： ． 解：原方程可变形，得 ． ， . 根据平方根的意义，得 或 , 因此，原方程的根为， ． 分层训练 构建学科思维 21 $第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.1 配方法 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方 程 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 用配方法解二次项系数不为1 的一元二次方程 1.用配方法解方程 ，则方程可变形为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.用配方法解方程 时， ①将二次项系数化为1，得 . ②配方，得 , ③因此 . ④由此得或 . ⑤解得, . （1）上述解答过程从第____步开始出现错误； ② 分层训练 构建学科思维 4 （2）请写出正确的解答过程. 解：将二次项系数化为1，得 . 配方，得 , 因此 . 由此得或 . 解得, . 分层训练 构建学科思维 5 3.用配方法解下列方程： （1） ； 解：将二次项系数化为1，得 . 配方,得.解得 . 分层训练 构建学科思维 6 （2） ； 解：将二次项系数化为1，得 . 配方，得 ， 因此 . 由此得或 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 7 （3） ； 解：将二次项系数化为1，得 . 配方，得 ， 因此 . 由此得或 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 8 （4） . 解：将二次项系数化为1，得 . 配方，得 ， 因此 . 由此得或 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 9 4.若关于的方程 的左边是一个完全平方 式，则 的值是( ) B A.2或6 B.或6 C.或 D.2或 分层训练 构建学科思维 10 5.在解方程 时，对方程进行配方，图1是小思做 的，图2是小博做的，对于两人的做法，下列说法正确的是 ( ) 图1 图2 分层训练 构建学科思维 11 A.两人都正确 B.小思正确，小博不正确 C.小思不正确，小博正确 D.两人都不正确 √ 分层训练 构建学科思维 12 6.已知,为任意实数，则, 的大小关 系为( ) C A. B. C. D.不能确定 【变式】 ，，其中 为任意 数.若的值总大于的值，则 可取的数为( ) D A.5 B.4 C. D.2 分层训练 构建学科思维 13 7.用配方法解下列方程： （1） ; 解：将二次项系数化为1，得 . 配方，得 , 因此 . 由此得或 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 14 （2） . 解：原方程可化为 . 将二次项系数化为1，得 . 配方，得 ， 因此 . 由此得或 . 解得， ． 分层训练 构建学科思维 15 8.已知实数，满足 ，你认为能够求 出和的值吗？如果能，请求出， 的值；如果不能，请说明 理由． 分层训练 构建学科思维 16 解：能． 原方程可变形为 , 即 . ， ， ， . ， . 分层训练 构建学科思维 17 微专题1 利用配方法求最值 【方法指导】 用配方法求二次三项式的最值，需要把二次三项 式配方成的形式，当， 时，该二次三 项式有最大值；当，时，该二次三项式有最小值 . 当___时，代数式 有最____（填“大”或“小”）值， 是___． 3 小 1 分层训练 构建学科思维 18 【变式1】 当____时，代数式 有最____值，是 _____． 【变式2】 当____时，代数式 有最____值，是 ____. 小 大 15 分层训练 构建学科思维 19 $第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.2 公式法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 求根公式 1.用公式法解方程 时，正确代入求根公式的是 ( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2. 是下列哪个一元二次方程的根( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 用公式法解一元二次方程 3.【答题模板】用公式法解方程： . 解：将方程化为一般形式，得_________________.这里 ___, ____, ____, 因而_____________________________,所以 _ _____ _ ___. 因此，原方程的根为_______________. 3 , 分层训练 构建学科思维 5 4.用公式法解方程时,，， 的值分别是( ) C A.5,6, B.5,, C.5,,8 D.6,5, 5.用求根公式法解方程 的解是( ) A A., B., C., D., 分层训练 构建学科思维 6 6.用公式法解下列方程： （1） ； 解:这里，， . 因而 ， 所以 . 因此，原方程的根为， . 分层训练 构建学科思维 7 （2）（无锡中考） ； 解：这里，， . 因而 ， 所以 . 因此，原方程的根为 ， . 分层训练 构建学科思维 8 （3） ； 解:将方程化为一般形式，得 . 这里,, , 因而 ， 所以 . 因此，原方程的根为， . 分层训练 构建学科思维 9 （4） . 解：这里，， . 因而 ， 所以 . 因此，原方程的根为 . 分层训练 构建学科思维 10 7.一元二次方程 的较大实数根在下列哪两个相 邻的整数之间( ) C A.3，4 B.2，3 C.1，2 D.0，1 8.若关于的方程与有一个解相同，则 的值为( ) C A.1 B.1或 C. D. 或3 分层训练 构建学科思维 11 9.方程 的根为_ _____________________. 10.定义，则方程 的解为 _ ____________________． ， , 分层训练 构建学科思维 12 11.用公式法解下列方程： （1） ； 解:将方程化为一般形式，得 . 这里，， ， 因而 ， 所以 . 因此，原方程的根为， . 分层训练 构建学科思维 13 （2） . 解：将方程化为一般形式，得 . 这里，， . 因而 ， 所以 . 因此，原方程的根为， . 分层训练 构建学科思维 14 12.用公式法解方程： . 解:这里，， . 因而 ， 所以 . 因此，原方程的根为 ， . 上述解题过程是否正确？若不正确，请指出错误之处并改正. 分层训练 构建学科思维 15 解:不正确. 错误：没有将方程化成一般形式，造成常数项的符号错误. 正解:将方程化为一般形式，得 . 这里，， ， 因而 ， 所以 . 因此，原方程的根为， . 分层训练 构建学科思维 16 13.（南充中考）关于 的一元二次方程为 . （1）求出方程的根； 解：根据题意，得 . ，， ， . ,即， . 分层训练 构建学科思维 17 （2） 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 解：由（1），知 ， 方程的两个根都为正整数， 是正整数.又 为整数， 或，解得或 . 因此，当 是2或3时，此方程的两个根都为正整数. 分层训练 构建学科思维 18 $